一類三自由度碰振系統(tǒng)的余維二分岔.doc

一類三自由度碰振系統(tǒng)的余維二分岔 一類三自由度碰振系統(tǒng)的余維二分岔 陳溥 (廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004) 【摘要】針對(duì)一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，運(yùn)用不連續(xù)映射方法建立了擦邊周期軌道的Poincar映射,得到了系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的條件.利用數(shù)值仿真對(duì)系統(tǒng)擦邊余維二分岔進(jìn)行了研究，在擦邊余維二分岔點(diǎn)附近獲得了系統(tǒng)的四周期三碰、五周期五碰、六周期六碰運(yùn)動(dòng)等一系列復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)三自由度碰振系統(tǒng)的余維二分岔情況有了較深入的認(rèn)識(shí). 關(guān)鍵詞碰撞振動(dòng)；不連續(xù)映射方法；擦邊余維二分岔 0引言 碰撞中有一種非常特殊的情況，即兩個(gè)振子以零速度發(fā)生碰撞，也就是所謂的擦邊。擦邊這種特殊狀態(tài)的出現(xiàn)，會(huì)使碰撞振子產(chǎn)生非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。1最先對(duì)這領(lǐng)域進(jìn)行研究，提出了研究擦邊動(dòng)力學(xué)行為和分岔的系統(tǒng)性方法。李群宏2-3研究了具有單側(cè)和對(duì)稱約束二自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)擦邊周期軌道的存在性和穩(wěn)定性。Thota4對(duì)一類單自由度碰撞振子余維二擦邊分岔的延拓進(jìn)行了研究。徐德貴5對(duì)文獻(xiàn)4的結(jié)果進(jìn)行了推廣，詳細(xì)推導(dǎo)了多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的擦邊余維二分岔?xiàng)l件。 1系統(tǒng)模型 三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示，當(dāng)振子M1的位移X1等于B時(shí)，M1將與剛性約束A發(fā)生碰撞，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定，碰撞時(shí)間忽略不計(jì)。 在任意相鄰兩次碰撞之間（X1 其中，“”表示對(duì)無量綱時(shí)間t求導(dǎo)。設(shè)M10，K10，F(xiàn)0=P1+P2+P3引入無量綱量： 經(jīng)無量綱化變換后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 M1的沖擊方程為： 其中x1-和x1+分別表示振子M1與剛性約束發(fā)生碰撞前和后的瞬時(shí)速度。令為方程（1）的正則模態(tài)矩陣，令X=（x1，x2，x3）T，=（1，2，3）T，做坐標(biāo)變換X=，通過對(duì)方程進(jìn)行解耦和模態(tài)疊加，可得到方程（1）的通解為 其中i=1，2，3， 為正則模態(tài)矩陣的元素，? 表示振子的固有頻率， ，aj和bj為積分常數(shù)，Aj和Bj表示振幅常數(shù)。根據(jù)擦邊周期運(yùn)動(dòng)的初始和周期性條件可以得到系統(tǒng)發(fā)生擦邊周期運(yùn)動(dòng)的條件為： 其中 2不連續(xù)映射和Poincar映射P 定義邊界函數(shù)hD（x）=b-x1，則x1=b對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間中的一個(gè)不連續(xù)面D，即約束面，定義為：D=xhD（x）=0。令hP（x）=hDx（x）f（x）=-v1，引進(jìn)Poincar截面P，P的定義為：P=xhP（x）=0，假設(shè)點(diǎn)x*是系統(tǒng)周期軌道與約束面D的擦邊點(diǎn)，滿足（x*，t+T）=（x*，t），然后忽略跳躍映射的影響，使軌線與Poincar截面P橫截相交，從而可以定義一個(gè)局部Poincar映射Psmooth：PP，滿足P 當(dāng)考慮跳躍映射影響時(shí)，在滿足擦邊周期軌道的初始參數(shù)值的擾動(dòng)下，振子的動(dòng)力學(xué)行為可用不連續(xù)映射方法1來進(jìn)行分析。在擦邊點(diǎn)x*的鄰域內(nèi)引進(jìn)Poincar截面不連續(xù)映射DM，則擦邊軌線附近的Poincar映射可以寫成： 根據(jù)不連續(xù)映射的方法，可以得到 由文獻(xiàn)4-5可知，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生擦邊余維二分岔，且n的表達(dá)式可以簡(jiǎn)化成 第1行第2列的元素。 3數(shù)值仿真 由上節(jié)可知當(dāng)滿足 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是擦邊余維二分岔點(diǎn)。選取參數(shù)k2=k3=5，m2=m3=10，Si=0.05，R=0.8，當(dāng)n=1，通過數(shù)值計(jì)算求得?棕=0.28249，0.34779，0.39719，0.48459，0.70019時(shí)，有1=0，反映在擦邊曲線上如圖2所示。圖上“*”表示滿足1=0的點(diǎn)，且從圖中可以看出，w棕越小，出現(xiàn)的擦邊余維二分岔點(diǎn)越多。 通過大量選取參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真及對(duì)結(jié)果分析比較得到了?棕=0.28249，b=1.92935時(shí)的擦邊余維二分岔點(diǎn)附近區(qū)域的粗略分析圖（圖3），圖中虛線為擦邊曲線。 分別固定參數(shù)?棕=0.29和?棕=0.2818，變動(dòng)參數(shù)b進(jìn)行數(shù)值仿真得到系統(tǒng)的一系列相圖（圖4），其中圖3中各個(gè)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的相圖在圖4中也以相同的字母表示。 4小結(jié) 本文針對(duì)一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，推導(dǎo)了系統(tǒng)擦邊周期運(yùn)動(dòng)的存在性條件，通過建立擦邊周期軌道的Poincar映射得到了系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的條件。最后在擦邊余維二分岔點(diǎn)附近進(jìn)行數(shù)值仿真，得到了擦邊余維二分岔點(diǎn)附近的開折圖以及各個(gè)區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)的相圖。 參考文獻(xiàn) 1NordmarkAB.Non-periodicmotioncausedbygrazingincidenceinanimpactoscillatorJ.JournalofSoundandVibration,1991,145(2):279-297. 2JieqiongXu,QunhongLi,NanWang,Existenceandstabilityofthegrazingperiodictrajectoryinatwodegree-of-freedomvibro-impactsystemJ.Appliedmathematicsandputation,xx,217:5537-5546. 3QunhongLi,LimeiWei,etal.DoublegrazingperiodicmotionsandbifurcationsinavibroimpactsystemwithbilateralstopsJ.AbstractandAppliedAnalysis,xx,ArticleID642589,9,pages. 4ThotaP,ZhaoXP,DankowiczH.Co-dimension-twograzingbifurcatio