2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷分類匯編2.2函數(shù)的性質(zhì)與反函數(shù).doc

高考地理復(fù)習(xí)第二章函數(shù)二函數(shù)的性質(zhì)與反函數(shù)【考點闡述】函數(shù)的單調(diào)性.奇偶性反函數(shù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系【考試要求】（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)【考題分類】（一）選擇題（共21題）1.（安徽卷理9）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)()ygx的圖象與xye的圖象關(guān)于直線yx對稱。而函數(shù)()yfx的圖象與()ygx的圖象關(guān)于y軸對稱，若()1fm，則m的值是（）AeB1eCeD1e解：由題知()ln,()ln(),gxxfxx則1)ln(m，em1選D。2.（安徽卷理11）若函數(shù)(),()fxgx分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足()()xfxgxe，則有（）A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gffC(2)(0)(3)fgfD(0)(2)(3)gff解：用x代換x得：()(),xfxgxe即()()xfxgxe，解得：2)(,2)(xxxxeexgeexf，而)(xf單調(diào)遞增且大于等于0，1)0(g，選D。3.（安徽卷文6）函數(shù)2()(1)1(0)fxxx的反函數(shù)為A1()11(1)fxxxB1()11(1)fxxxC1()11(2)fxxxD1()11(2)fxxx解：由原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域，1()0fx，排除B,D兩個；又原函數(shù)x不能取1，()fx不能取1，故反函數(shù)定義域不包括1，選C.(直接求解也容易)4.（北京卷文5）函數(shù)2()(1)1(1)fxxx的反函數(shù)為（）A1()11(1)fxxxB1()11(1)fxxx高考地理復(fù)習(xí)C1()11(1)fxxxD1()11(1)fxxx【答案】B【解析】221(1)1,(1)1,11,xyxxyxy所以反函數(shù)為1()11(1)fxxx5.（福建卷理4文4）函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為A.3B.0C.-1D.-2解：3()1sinfxxx為奇函數(shù)，又()2fa()11fa故()11fa即()0fa.6.（湖北卷文6）已知()fx在R上是奇函數(shù)，且2(4)(),(0,2)()2,(7)fxfxxfxxf當(dāng)時，則A.-2B.2C.-98D.98解：由題設(shè)2(7)(3)(1)(1)212ffff7.（湖南卷文4）函數(shù))0()(2xxxf的反函數(shù)是()0()(.1xxxfA)0()(.1xxxfB)0()(.1xxxfC)0()(.21xxxfD【答案】B【解析】用特殊點法,取原函數(shù)過點(1,1),則其反函數(shù)過點(1,1),驗證知只有答案B滿足.也可用直接法或利用“原函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域互換”來解答。8.（遼寧卷理12）設(shè)()fx是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時()fx是單調(diào)函數(shù)，則滿足3()4xfxfx的所有x之和為（）A3B3C8D8答案：C解析：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運用。依題當(dāng)滿足3()()4xfxfx時，即34xxx時，得2330xx，此時123.xx又()fx是連續(xù)的偶函數(shù)，()()fxfx，另一種情形是3()()4xfxfx，即34xxx，得2530xx，345.xx滿足3()()4xfxfx的所有x之和為3(5)8.高考地理復(fù)習(xí)9.（遼寧卷文2）若函數(shù)(1)()yxxa為偶函數(shù)，則a=（）A2B1C1D2答案：C解析：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性。(1)2(1),fa(1)0(1),ff1.a10.（全國卷理6）若函數(shù)(1)yfx的圖像與函數(shù)ln1yx的圖像關(guān)于直線yx對稱，則()fx（）A21xeB2xeC21xeD22xe解析：B.由21212ln1,1,yxxyxxefxefxe11.（全國卷文8）若函數(shù)()yfx的圖象與函數(shù)ln1yx的圖象關(guān)于直線yx對稱，則()fx（）A22exB2exC21exD2+2ex2y1y12y22x2y1=lnx,x=e,x=e=e,y=eA解析:本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系及反函數(shù)的求法。改寫為：答案為，12.（全國卷理3文4）函數(shù)1()fxxx的圖像關(guān)于（）Ay軸對稱B直線xy對稱C坐標(biāo)原點對稱D直線xy對稱【答案】C【解析】1()fxxx是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱【高考考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)13.（山東卷理4）設(shè)函數(shù)f(x)x+1+x-a的圖象關(guān)于直線x1對稱，則a的值為(A)3(B)2(C)1(D)-1解：1x、xa在數(shù)軸上表示點x到點1、a的距離，他們的和()1fxxxa關(guān)于1x對稱，因此點1、a關(guān)于1x對稱，所以3a（直接去絕對值化成分段函數(shù)求解比較麻煩，如取特殊值解也可以）14.（陜西卷理7文7）已知函數(shù)3()2xfx，1()fx是()fx的反函數(shù)，若16mn（mn+R，），則11()()fmfn的值為（）A2B1C4D10解：312()2()log3xfxfxx于是高考地理復(fù)習(xí)11222()()log3log3log6fmfnmnmn2log16646215.（四川卷理11文9）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx滿足213fxfx，若12f，則99f()（）13（）2（）132（）213【解】：213fxfx且12f12f，1313312ff，13523ff，1313752ff，13925ff，221132nfnn為奇數(shù)為偶數(shù)，1399210012ff故選C【點評】：此題重點考察遞推關(guān)系下的函數(shù)求值；【突破】：此類題的解決方法一般是求出函數(shù)解析式后代值，或者得到函數(shù)的周期性求解；16.（四川卷文）函數(shù)1ln212yxx的反函數(shù)是()（）112xyexR（）21xyexR（）112xyexR（）21xyexR【解】：由ln21yx反解得112yxe112xye從而淘汰（）、（）又原函數(shù)定義域為12x反函數(shù)值域為12y故選C；【考點】：此題重點考察求反函數(shù)的方法，考察原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域的互換性；【突破】：反解得解析式，或利用原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域的互換對選項進行淘汰；17.（天津卷理7）設(shè)函數(shù)1011xxxf的反函數(shù)為xf1，則(A)xf1在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1(B)xf1在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0(C)xf1在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1(D)xf1在其定義域上是增函數(shù)且最小值為0高考地理復(fù)習(xí)解析：1yx為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知()fx為增函數(shù)，所以1()fx單調(diào)遞增，排除B、C；又1()fx的值域為()fx的定義域，所以1()fx最小值為018.（天津卷文3）函數(shù)1(04)yxx的反函數(shù)是（）A2(1)(13)yxxB2(1)(04)yxxC21(13)yxxD21(04)yxx解析：當(dāng)04x時，,311x，解1yx得12()(1)fxx，選A19.（重慶卷理6）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是（）(A)f(x)為奇函數(shù)（B）f(x)為偶函數(shù)(C)f(x)+1為奇函數(shù)（D）f(x)+1為偶函數(shù)解：令0x，得(0)2(0)1ff，(0)1f，所以()()()11fxxfxfx()()110fxfx,即()1()1fxfx，所以()1fx為奇函數(shù),選C20.（重慶卷文6）函數(shù)y=10x2-1(0x1的反函數(shù)是（）(A)11lg()10yxx(B)1lgyx(x110)(C)1lgyx(110x1(D)1lgyx(110x1【答案】D【解析】本小題主要考查反函數(shù)的求法。由2110(01)xyx得：21lgxy，即lg1xy。又因為01x時，2110x，從而有21110110x，即原函數(shù)值域為1(,110。所以原函數(shù)的反函數(shù)為1lg1(1)10yxx，故選D。21.（四川延考理11文11）設(shè)函數(shù)()yfx()xR的圖象關(guān)于直線0x及直線1x對稱，且0,1x時，2()fxx，則3()2f（）（A）12（B）14（C）34（D）94解：23311111()()(1)(1)()()2222224fffff（二）填空題（共8題）1.（湖南卷理13）設(shè)函數(shù)()yfx存在反函數(shù)1()yfx,且函數(shù)()yxfx的圖象過點高考地理復(fù)習(xí)(1,2),則函數(shù)1()yfxx的圖象一定過點.【答案】(-1,2)【解析】由函數(shù)()yxfx的圖象過點(1,2)得:(1)1,f即函數(shù)()yfx過點(1,1),則其反函數(shù)過點(1,1),所以函數(shù)1()yfxx的圖象一定過點(1,2).2.（湖南卷理14）已知函數(shù)3()(1).1axfxaa（1）若a0,則()fx的定義域是；(2)若()fx在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】3,a,01,3【解析】（1）當(dāng)a0時，由30ax得3xa,所以()fx的定義域是3,a；(2)當(dāng)a1時，由題意知13a；當(dāng)0a1時，為增函數(shù),不合；當(dāng)a0時，()fx在區(qū)間0,1上是減函數(shù).故填,01,3.3.（遼寧卷理13）函數(shù)100xxxyex，的反函數(shù)是_答案：11ln1.xxyxx，解析：本小題主要考查求反函數(shù)基本知識。求解過程要注意依據(jù)函數(shù)的定義域進行分段求解以及反函數(shù)的定義域問題。4.（遼寧卷文13）函數(shù)21()xyex的反函數(shù)是答案：1(ln1)(0)2yxx解析：本小題主要考查反函數(shù)問題。21121ln(ln1),2xyexyxy所以反函數(shù)是1(ln1)(0).2yxx5.（上海卷理4）若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f1(x)x2（x0），則f(4)【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2ftftttt.高考地理復(fù)習(xí)6.（上海卷文4）若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為12()logfxx，則()fx【答案】2xxR【解析】令2log(0),yxx則yR且2,yx()2.xfxxR7.（上海卷文9）若函數(shù)()()(2)fxxabxa（常數(shù)abR，）是偶函數(shù)，且它的值域為4，則該函數(shù)的解析式()fx【答案】224x【解析】22()()(2)(2)2fxxabxabxaabxa是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對稱,202,aabb22()22,fxxa且值域為4，224,a2()24.fxx8（四川延考理13文13）函數(shù)11xye()xR的反函數(shù)為。解：11111ln(1)xxyeeyxy，所以反函數(shù)ln(1)1(1)yxx，（三）解答題（共1題）1.（江蘇卷20）若121212()3,()3,xpxpfxfxxRpp為常數(shù)，且112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx（I）求1()()fxfx對所有的實數(shù)x成立的充要條件（用12,pp表示）；(II)設(shè),ab為兩實數(shù)，ab且12,(,)ppab，若()()fafb，求證：()fx在區(qū)間,ab上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為2ba（閉區(qū)間,mn的長度定義為nm）。解：（1）由()fx的定義可知，1()()fxfx（對所有實數(shù)x）等價于12fxfx（對所有實數(shù)x）這又等價于12323xpxp，即123log2332xpxp對所有實數(shù)x均成立.（*）由于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值為12pp，故（*）等價于1232pp，即123log2pp，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論（i）當(dāng)1232pplog時，由（1）知1()()fxfx（對所有實數(shù),xab）高考地理復(fù)習(xí)Oyx(a,f(a)(b,f(b)圖1Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)圖2則由fafb及1apb易知12abp，再由111113,()3,pxxpxpfxxp的單調(diào)性可知，函數(shù)()fx在區(qū)間,ab上的單調(diào)增區(qū)間的長度為22abbab（參見示意圖1）（ii）1232pplog時，不妨設(shè)12,pp，則213log2pp，于是當(dāng)1xp時，有1212()33()pxpxfxfx，從而1()()fxfx；當(dāng)2xp時，有312122122log2()333333()xpppxpppxpxpfxfx從而2()()fxfx；當(dāng)12pxp時，11()3xpfx，及22()23pxfx，由方程12323xppx解得12()()fxfx與圖象交點的橫坐標(biāo)為12031log222ppx顯然1022