2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷分類匯編5.4解斜三角形.doc

高考地理復(fù)習(xí)第五章平面向量四解斜三角形【考點(diǎn)闡述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考試要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形【考題分類】（一）選擇題（共7題）1.（安徽卷文5）在三角形ABC中，5,3,7ABACBC,則BAC的大小為（）A23B56C34D3解：由余弦定理2225371cos2532BAC，23BAC2.（北京卷文4）已知ABC中，2a，3b，60B，那么角A等于（）A135B90C45D30【解析】由正弦定理得:2322,sinsin,sinsinsinsin23abABABAB45abABA【答案】C3.（福建卷理10文8）在ABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,則角B的值為A.6B.3C.6或56D.3或23解：由222(a+c-b)tanB=3ac得222(a+c-b)3cos=22sinBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又在中所以B為3或234.（海南寧夏卷理3）如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為A.185B.43C.23D.87解：設(shè)頂角為C，因?yàn)?,2lcabc，由余弦定理222222447cos22228abccccCabcc高考地理復(fù)習(xí)5.（山東卷文8）已知abc，為ABC的三個(gè)內(nèi)角ABC，的對(duì)邊，向量(31)(cossin)AA，mn若mn，且coscossinaBbAcC，則角AB，的大小分別為（）A63，B236，C36，D33，解析：本小題主要考查解三角形問題。3cossin0AA，；3A2sincossincossin,ABBAC2sincossincossin()sinsinABBAABCC，.2C6B.選C.本題在求角B時(shí),也可用驗(yàn)證法.6.（陜西卷理3）ABC的內(nèi)角ABC，的對(duì)邊分別為abc，若26120cbB，則a等于（）A6B2C3D2解：由正弦定理621sinsin120sin2CC，于是30302CAac7.（四川卷文7）ABC的三內(nèi)角,ABC的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為,abc，若5,22abAB，則cosB()（）53（）54（）55（）56【解】：ABC中522abAB5sinsin2sinsin22sincosABABBB5cos4B故選B；【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察解三角形，以及二倍角公式；【突破】：應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用三角公式進(jìn)行角的統(tǒng)一，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；在解三角形中，利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化是解題的基本方法，在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值中常要重視角的統(tǒng)一，函數(shù)的統(tǒng)一，降次思想的應(yīng)用。（二）填空題（共6題）1.（湖北卷理12）在ABC中，三個(gè)角,ABC的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為3,4,6abc,則coscoscosbcAcaBabC的值為.高考地理復(fù)習(xí)解：由余弦定理，原式1636993616169366122222.（湖北卷文12）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知3,3,30,abc則A.解：由余弦定理可得239233cos303c,330()6caAC或3.（江蘇卷13）若2,2ABACBC，則ABCS的最大值。【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想設(shè)BCx，則AC2x，根據(jù)面積公式得ABCS=21sin1cos2ABBCBxB，根據(jù)余弦定理得2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三邊關(guān)系有2222xx解得222222x，故當(dāng)22x時(shí)取得ABCS最大值22【答案】224.（山東卷理15）已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m（1,3），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，則角B_.解：mn3cossin0AA,3AsincossincossinsinABBACC2sincossincossin()sinsinABBAABCC.2C6B5.（陜西卷文13）ABC的內(nèi)角ABC，的對(duì)邊分別為abc，若26120cbB，則a2解：由正弦定理621sinsin120sin2CC，于是30302CAac6.（浙江卷理13文14）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若CaAcbcoscos3，則Acos_。解析：本小題主要考查三角形中正弦定理的應(yīng)用。依題由正弦定理得：(3sinsin)cossincosBCAAC,即3sincossin()sinBAACB,高考地理復(fù)習(xí)3cos.3A（三）解答題（共16題）1.（海南寧夏卷文17）如圖，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2。（1）求cosCBE的值；（2）求AE?！驹囶}解析】：.(1)因?yàn)?009060150,BCDCBACCD所以015CBE，0062coscos45304CBE(2)在ABE中，2AB，故由正弦定理得00002sin4515sin9015AE,故00122sin30262cos15624AE【高考考點(diǎn)】正弦定理及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用【易錯(cuò)點(diǎn)】：對(duì)有關(guān)公式掌握不到位而出錯(cuò)。【全品備考提示】：解三角形一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，不能輕視。2.（湖南卷理19）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45且與點(diǎn)A相距402海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45+(其中sin=2626，090)且與點(diǎn)A相距1013海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.解:（I）如圖，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=222cos105.ABACABAC所以船的行駛速度為10515523（海里/小時(shí)）.EDCBA高考地理復(fù)習(xí)（II）解法一如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos1013cos(45)30CAD,y2=ACsin1013sin(45)20.CAD所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=20210,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=|05540|357.14所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法二:如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC=22240210510132402105=31010.從而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC由于AE=5540=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在RtQPE中，PE=QEsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=515357.5所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.3.（江蘇卷17）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，及CD的中點(diǎn)P處，已知20ABkm,10CDkm,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm。高考地理復(fù)習(xí)（I）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)()BAOrad，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)()OPxkm，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式。（II）請(qǐng)你選用（I）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長(zhǎng)度最短?！窘馕觥勘拘☆}主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用（）由條件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad)，則10coscosAQOA,故10cosOB，又OP1010tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函數(shù)關(guān)系式為2010sin10cosy04若OP=x(km)，則OQ10x，所以O(shè)A=OB=222101020200xxx所求函數(shù)關(guān)系式為2220200010yxxxx（）選擇函數(shù)模型，2210coscos2010sin102sin1coscossiny令y0得sin12，因?yàn)?4，所以=6，當(dāng)0,6時(shí)，0y，y是的減函數(shù)；當(dāng),64時(shí)，0y，y是的增函數(shù)，所以當(dāng)=6時(shí)，min10103y。這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊1033km處。4.（江西卷理17）在ABC中，角,ABC所對(duì)應(yīng)的邊分別為,abc，23a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,AB及,bc解：由tantan422ABC得cottan422CCcossin224sincos22CCCC14sincos22CC高考地理復(fù)習(xí)1sin2C，又(0,)C566CC，或由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC即sin()0BCBC6BC2()3ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得1sin2232sin32BbcaA5.（遼寧卷理17）在ABC中，內(nèi)角ABC，對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是abc，已知2c，3C（）若ABC的面積等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC的面積說明：本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力滿分12分解析：（）由余弦定理及已知條件得，224abab，又因?yàn)锳BC的面積等于3，所以1sin32abC，得4ab4分聯(lián)立方程組2244ababab，解得2a，2b6分（）由題意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，8分當(dāng)cos0A時(shí)，2A，6B，433a，233b，當(dāng)cos0A時(shí)，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，聯(lián)立方程組2242ababba，解得233a，433b所以ABC的面積123sin23SabC12分6.（遼寧卷文17）在ABC中，內(nèi)角ABC，對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是abc，已知2c，3C高考地理復(fù)習(xí)（）若ABC的面積等于3，求ab，；（）若sin2sinBA，求ABC的面積解：（）由余弦定理得，224abab，又因?yàn)锳BC的面積等于3，所以1sin32abC，得4ab4分聯(lián)立方程組2244ababab，解得2a，2b6分（）由正弦定理，已知條件化為2ba，8分聯(lián)立方程組2242ababba，解得233a，433b所以ABC的面積123sin23SabC12分7.（全國(guó)卷理17）設(shè)ABC的內(nèi)角ABC，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為abc，且3coscos5aBbAc（）求tancotAB的值；（）求tan()AB的最大值解析：（）在ABC中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，則tancot4AB；（）由tancot4AB得tan4tan0AB2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB34當(dāng)且僅當(dāng)14tancot,tan,tan22BBBA時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)1tan2,tan2AB時(shí)，tan()AB的最大值為34.8.（全國(guó)卷文17）設(shè)ABC的內(nèi)角ABC，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為abc，且cos3aB，sin4bA（）求邊長(zhǎng)a；（）若ABC的面積10S，求ABC的周長(zhǎng)l高考地理復(fù)習(xí)2222CCDABDCDbsinA=4,BD=acosB=3,BCDa=BC=BD+CD=5113S=ABCD=AB4=10,AB=5,acosB=3,cosB=2253b=c+a2accosB=25+2522520255552510251025解：過作于，則由在直角三角形中，由面積又再由余弦定理得：周長(zhǎng)為。9.（全國(guó)卷理17）在ABC中，5cos13B，4cos5C（）求sinA的值；（）設(shè)ABC的面積332ABCS，求BC的長(zhǎng)解：（）由5cos13B，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC5分（）由332ABCS得133sin22ABACA，由（）知33sin65A，故65ABAC，8分又sin20sin13ABBACABC，故2