-數(shù)學(xué)的完美之旅——數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī).doc.doc

數(shù)學(xué)的完美之旅數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)摘要：古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精確的思考，也正是悖論直接導(dǎo)致了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，并不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)走向完整與完美。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)悖論；三次數(shù)學(xué)危機(jī)；數(shù)學(xué)的完美1引言“現(xiàn)在我說(shuō)一句假話?！边@句話是真是假？“悖論(Paradox)”，也可叫“逆論”或“反論”。悖論是一種認(rèn)識(shí)矛盾，它既包括邏輯矛盾、語(yǔ)義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。“一般而言，悖論的某個(gè)答案單獨(dú)看是很有說(shuō)服力的，而勢(shì)均力敵的對(duì)手之間的拉鋸戰(zhàn)則使問(wèn)題保持了生氣。”1悖論有四種主要形式。1一種論斷看起來(lái)好像肯定錯(cuò)了，但實(shí)際上卻是對(duì)的（佯謬）。2一種論斷看起來(lái)好像肯定是對(duì)的，但實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非的理論）3某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題“悖論是有趣的”是每一個(gè)接觸過(guò)悖論的人的感受；“悖論是極其重要的”接受這一觀點(diǎn)的人卻少之又少。但請(qǐng)不要小看悖論，生活中存在悖論，如“涂寫一個(gè)告示，上書：不準(zhǔn)涂寫！”2古今中外也有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精確的思考，也正是悖論直接導(dǎo)致了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，并不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)走向完美。2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)“在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。”3這句話很精確地道出了三次數(shù)學(xué)危機(jī)的本質(zhì)。公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。這一個(gè)小小的2不僅嚴(yán)重觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，同時(shí)也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見解，這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量都“應(yīng)該”表示成有理數(shù)?？墒沁@一為人們的經(jīng)驗(yàn)所確信的常識(shí)性論斷居然被小小的2的存在而推翻了！希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，史稱“希帕索斯悖論”，它成為一場(chǎng)巨大數(shù)學(xué)風(fēng)波的導(dǎo)火索，直接觸發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。但也正是希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，讓人們認(rèn)識(shí)到直覺、經(jīng)驗(yàn)?zāi)酥翆?shí)驗(yàn)都不是完全可靠的，推理論證才是可靠的。促使人們進(jìn)一步去認(rèn)識(shí)和理解無(wú)理數(shù)，引導(dǎo)古希臘數(shù)學(xué)走向一條迥異于其它古代民族數(shù)學(xué)的發(fā)展道路，從而開始了幾何優(yōu)先發(fā)展的時(shí)期。雖然這一做法一度阻礙了代數(shù)的發(fā)展，但之后，數(shù)學(xué)家逐步解決了這一由主觀認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤而造成的悖論，使數(shù)學(xué)獲得長(zhǎng)足進(jìn)步。3第二次數(shù)學(xué)危機(jī)17世紀(jì)末，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分理論在實(shí)踐中取得了成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)于這一理論的可靠性深信不移。然而，這一震撼人之心靈的智力奮斗的結(jié)晶在其剛剛誕生時(shí)卻有著艱難的發(fā)展歷程。原因是微積分理論的基礎(chǔ)無(wú)窮小是包含邏輯矛盾的。英國(guó)大主教貝克萊指責(zé)牛頓：無(wú)窮小量在同一思維過(guò)程中一會(huì)兒說(shuō)是0，一會(huì)兒又說(shuō)不是0。運(yùn)動(dòng)的結(jié)果在量上等于0，而在起點(diǎn)上則不等于0。這就是“貝克萊悖論”，而這一點(diǎn)連牛1羅伊索倫森；悖論簡(jiǎn)史哲學(xué)和心靈的迷宮中譯本序言；北京；北京大學(xué)出版社；2007年；第2頁(yè)2馬丁加德納；從驚訝到思考數(shù)學(xué)悖論奇景；北京；科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社；1986年；第5頁(yè)3胡作玄；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)；成都；四川人民出版社；1985年；第3頁(yè)頓也無(wú)法解釋，因?yàn)闊o(wú)窮小量必須是0，但又不能是0。這一悖論在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一場(chǎng)軒然大波，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。極限從古希臘的窮竭法發(fā)展而來(lái)，但一直缺乏精確的表達(dá)，“這是它以幾何直觀為依據(jù)所造成的后果”，1這之后，數(shù)學(xué)家不斷努力去解決它。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西是數(shù)學(xué)分析的集大成者，他通過(guò)分析教程無(wú)窮小計(jì)算講義無(wú)窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用這幾部著作試圖解決這一悖論?！霸?9世紀(jì)，通過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)和無(wú)限集合的使用，無(wú)限性的概念已成為微積分學(xué)的基礎(chǔ)了。2”之后的數(shù)學(xué)家不僅重建了微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固的基礎(chǔ)，還給出無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義。這些定義，從不同的側(cè)面深刻揭示了無(wú)理數(shù)的本質(zhì)，從而建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，徹底消除了希帕索斯悖論，并解決了無(wú)窮小量的辨證性與數(shù)學(xué)方法的形式特性的矛盾。從此“微積分無(wú)論在基本概念，還是在邏輯嚴(yán)密性，形式嚴(yán)謹(jǐn)性上，都有如歐幾里得幾何學(xué)一般的令人贊嘆！”3這也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。4第三次數(shù)學(xué)危機(jī)經(jīng)過(guò)第一、二次數(shù)學(xué)危機(jī)，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的無(wú)矛盾性，歸結(jié)為集合論的無(wú)矛盾性，集合論已成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)這座無(wú)比輝煌的大廈就算竣工了。然而，良日總是苦短。1903年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出：集合論是有漏洞的！羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。那S是否屬于S呢？如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無(wú)論如何都是矛盾的。這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。作為對(duì)集合論悖論研究的直接成果是哥德爾集合論公理體系和不完全性定理。他認(rèn)為，一個(gè)包含邏輯和初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，則是不完全的，亦即無(wú)矛盾性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)確立；如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)是不可能證明的?！熬妥畋举|(zhì)的意義上說(shuō)，哥德爾定理所做的無(wú)非是永遠(yuǎn)的擊碎了真與證明同一的信念?！?從此以后，“真”永遠(yuǎn)大于“證明”。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮諾伊曼說(shuō)過(guò)：“哥德爾在現(xiàn)代邏輯中的成就是非凡的、不朽的它的不朽甚至超過(guò)了紀(jì)念碑?！睍r(shí)至今日，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)看似解決了，但其實(shí)是以更深刻的其它形式延續(xù)著。因?yàn)椤耙话銇?lái)說(shuō)，每當(dāng)數(shù)學(xué)家解決一個(gè)問(wèn)題，就會(huì)產(chǎn)生很多新的問(wèn)題?！?關(guān)于數(shù)學(xué)確定性與真理性的很多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，我們可以樂(lè)觀地相信，與前幾次危機(jī)一樣，人們最終可以找到想要的答案。5總結(jié)“解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來(lái)全新的觀念?！?作為大學(xué)生在平日里思考或解決簡(jiǎn)單的悖論對(duì)我們養(yǎng)成良好的思維素養(yǎng)是十分有益的。顯然，悖論的作用也不止這一點(diǎn)，它對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、邏輯學(xué)和哲學(xué)都有十分重要的意義。它會(huì)給數(shù)學(xué)帶來(lái)許多新內(nèi)容、新知識(shí)，有時(shí)也帶來(lái)革命性的變化。正如數(shù)學(xué)家塔斯基所指出的：“必須強(qiáng)調(diào)的是，悖論在建立現(xiàn)代演繹科學(xué)的基礎(chǔ)上占有一個(gè)特別重要的地位?！倍@或許就是數(shù)學(xué)悖論重要意義之所在，即在解決一個(gè)又一個(gè)悖論中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)不斷地完整化與完美化。參考文獻(xiàn)：1羅伊索倫森；悖論簡(jiǎn)史哲學(xué)和心靈的迷宮中譯本序言；北京；北京大學(xué)出版社；2007年1卡爾B波耶；微積分概念史發(fā)展；上海；復(fù)旦大學(xué)出版社；2007年；第286頁(yè)2卡爾B波耶；微積分概念史發(fā)展；上海；復(fù)旦大學(xué)出版社；2007年；第282頁(yè)3韓雪濤；數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)；湖南；湖南科學(xué)技術(shù)出版社；2006年；第200頁(yè)4韓雪濤；數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)；湖南；湖南科學(xué)技術(shù)出版社；2006年；第270頁(yè)5塞吉蘭；做數(shù)學(xué)之美妙三次公開演講前言；成都；四川大學(xué)出版社；2001年；第1頁(yè)6劉志彬；趣談數(shù)學(xué)悖論；理科愛好者；2010年第1期；第4頁(yè)2馬丁加德納；從驚訝到思考數(shù)學(xué)悖論奇景；北京；科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社；1986年3胡作玄；第