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四年級數(shù)的整除性講解(一)我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2,3,5整除的數(shù)的特征,這一講我們將討論整除的性質(zhì),并講解能被4,8,9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì):性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除,乙數(shù)能被丙數(shù)整除,那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除,那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如,21與15都能被3整除,那么2115及21-15都能被3整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除,那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如,126能被9整除,又能被7整除,且9與7互質(zhì),那么126能被9763整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì),我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性,我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來:(1)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0,2,4,6,8中的一個,那么這個數(shù)就能被2整除。(2)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5,那么這個數(shù)就能被5整除。(3)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除,那么這個數(shù)就能被3整除。(4)一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4(或25)整除,那么這個數(shù)就能被4(或25)整除。(5)一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8(或125)整除,那么這個數(shù)就能被8(或125)整除。(6)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除,那么這個數(shù)就能被9整除。其中(1)(2)(3)是三年級學(xué)過的內(nèi)容,(4)(5)(6)是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因為100能被4(或25)整除,所以由整除的性質(zhì)1知,整百的數(shù)都能被4(或25)整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和,所以由整除的性質(zhì)2知,只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4(或25)整除,這個數(shù)就能被4(或25)整除。這就證明了(4)。類似地可以證明(5)。(6)的正確性,我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837800307810031078(991)3(91)789983937(89939)(837)。因為99和9都能被9整除,所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知,(8x993x9)能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2,由(837)能被9整除,就能判斷837能被9整除。利用(4)(5)(6)還可以求出一個數(shù)除以4,8,9的余數(shù):(4)一個數(shù)除以4的余數(shù),與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。(5)一個數(shù)除以8的余數(shù),與它的末三位除以8的余數(shù)相同。(6)一個數(shù)除以9的余數(shù),與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?234,789,7756,8865,3728,8064。解:能被4整除的數(shù)有7756,3728,8064;能被8整除的數(shù)有3728,8064;能被9整除的數(shù)有234,8865,8064。例2 在四位數(shù)562中,被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時,這個四位數(shù)分別能被9,8,4整除?解:如果562能被9整除,那么56213應(yīng)能被9整除,所以當(dāng)十位數(shù)是5,即四位數(shù)是5652時能被9整除;如果562能被8整除,那么62應(yīng)能被8整除,所以當(dāng)十位數(shù)是3或7,即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除;如果562能被4整除,那么2應(yīng)能被4整除,所以當(dāng)十位數(shù)是1,3,5,7,9,即四位數(shù)是5612,5632,5652,5672,5692時能被4整除。到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)學(xué)過能被2,3,5,4,8,9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3,我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如,判斷一個數(shù)能否被6整除,因為623,2與3互質(zhì),所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除,那么根據(jù)整除的性質(zhì)3,可判定這個數(shù)能被6整除。同理,判斷一個數(shù)能否被12整除,只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除;判斷一個數(shù)能否被72整除,只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除;如此等等。例3 從0,2,5,7四個數(shù)字中任選三個,組成能同時被2,5,3整除的數(shù),并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解:因為組成的三位數(shù)能同時被2,5整除,所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征,數(shù)字和270與570都能被3整除,因此所求的這些數(shù)為270,570,720,750。例4 五位數(shù)能被72整除,問:A與B各代表什么數(shù)字?分析與解:已知能被72整除。因為7289,8和9是互質(zhì)數(shù),所以既能被8整除,又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征,要求能被8整除,由此可確定B6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征,的各位數(shù)字之和為A329BA3f296A20,因為lA9,所以21A2029。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除,所以A7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89,再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上,應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字,因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響,一旦B代表的數(shù)字確定下來,A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù),這樣的六位數(shù)有多少個?分析與解:因為623,且2與3互質(zhì),所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除,推知3ABABA33A2B能被3整除,故2B能被3整除。B可取0,3,6,9這4個值。由于B可以取4個值,A可以取5個值,題目沒有要求AB,所以符合條件的六位數(shù)共有5420(個)。例6 要使六位數(shù)能被36整除,而且所得的商最小,問A,B,C各代表什么數(shù)字?分析與解:因為3649,且4與9互質(zhì),所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除,就要能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。要使所得的商最小,就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小,其次是B盡量小,最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)的各位數(shù)

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