高中數(shù)學競賽輔導材料--幾何變換

1 高中數(shù)學競賽輔導材料 幾何變換 一、 平移變換 1定義 設 PQ 是一條給定的有向線段， T 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F上任一點 X 變到 X ，使得 PQXX ，則 T 叫做沿有向線段 PQ 的平移變換。記為)( XX PQT ，圖形 )( FF PQT 。 2主要性質 在平移變換下，對應線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切?，圓變?yōu)閳A。兩對應點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。 二、 軸對稱變換 1定義 設 l 是一條給定的直線， S 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F 上任一點X 變到 X ，使得 X 與 X 關于直線 l 對稱，則 S 叫做以 l 為對稱軸的軸對稱變換。記為 )( XX lS ，圖形 )( FF lS 。 2主要性質 在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。 三、 旋轉變換 1定義 設 是一個定角， O 是一個定點， R 是平面上的一個變換，它把點 O 仍變到O（不動點），而把平面圖形 F 上任一點 X 變到 X ，使得 OXOX ，且 XOX ，則 R 叫做繞中心 O，旋轉角為 的旋轉變換。記為 ),( XX OR ，圖形),( FF OR 。 其中 0 時，表示 XOX 的始邊 OX 到終邊 XO 的旋轉方向為順時針方向； 0時，為逆時針方向。 2主要性質 在旋轉變換下，對應線段相等，對應直線的夾角等于旋轉角 。 2 四、 位似變換 1定義 設 O 是一個定點， H 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F 上任一點 X 變到 X ，使得 OXkOX ，則 H 叫做以 O 為位似中心， k 為位似比的位似變換。記為 ),( XX kOH ，圖形 ),( FF kOH 。 其中 0k 時， X 在射線 OX 上，此時的位似變換叫做外位似； 0k 時 , X 在射線OX 的反向延長線上，此時的位似變換叫做內位似。 2主要性質 在位似變換下，一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應線段的比等于位似比的絕對值，對應圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應線段平行，即一 直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應點；兩對應圓相切時切點為位似中心。 例題講解 1 P 是平行四邊形 ABCD 內一點，且 PCBPAB 。 求證： PDAPBA 2 “風平三角形 ”中， 60,2 B O CA O BCCBBAA ，求證： 3 在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。 3 C O AB O CA O B SSS 3 的周長最?。唬沟?、上各求一點、及射線內一個定圓，試在圓是給定銳角圓 P Q RR QPCBCAoA C Bo :5 。；求證于交 ，連接于交，連接、的兩弦點引圓的中點，過的弦圓 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :.4ADRPQRPQ P Q RDBCADAA B C 290.6 求證： ，是它的任一內接三角形，于，中，；.7 MQMPMQMP BCMA Q CA P BACABA B C ，的中點，求證： 是，、直角三角形為斜邊分別向外作等腰、的邊以)(； ,1 2 0.8 為費馬點求證： 內任意一點，是內一點，是已知 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三線也相交于一點；、求證：，三線交于一點、，設、垂線六個點分別作所在邊的，過上述、分別交于點、的三邊與圓212121212121212121.9cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCABCO ONOMNMACABPO PBCODOA B CAD ，求證：、于、分別交 ，連接并延長于的切線交作圓的直徑，過的外接圓是.10 4 例題答案 【例 1】 P 是平行四邊形 ABCD 內一點，且 PCBPAB 。 求證： PDAPBA 【例 2】 “ 風平三角形 ” 中， 60,2 B O CA O BCCBBAA 求證： 【例 3】在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。 4376；85,21；74,82,；63,51,)( ，即四點共圓。故、得由已知知都是平行四邊形，、由則【分析】作變換CPDPCBPPA DP PBCADPPDC PABPDC PABP ADT3 C O AB O CA O B SSS三角形為等邊共線，、共線，、共線，、記為重合，和，則【分析】作變換O P QPBOQAOQRPRRRRRPRBB O CA Q ROCA BBTAAT ；, )()(3 C O AB O CA O B SSS 5 形時，周長最??；故當四邊形為平行四邊同理可得的中點；、分別為、，的中點且是；交于、平行四邊形；延長是一個符合條件的，則，令、的中點、【分析】取DCBADCABBCDABCBCBGBCADCGAGCFECFCCCEFACEGCCAFDBCACAACFEBDAC EFT 2,/)( 【評注】當已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。 PMPNMPFPFNPENP D EMPFFDMPE D FEFFE D FFPNM D FPMFABFFGHABGHFFPFPFPMFFPNPBPAPFPFPFPFGHPoFFFPGHGHSGHSGHS 1 8 0/,)()()(四點共圓、；，又，；又圓顯然的直徑，為過【分析】設 )(,2|11|,22 曲線系知識解析法證明：利用二次則中點的距離為到，已知、于交、，連接、作兩條相交弦，過上的一點內一弦的圓已知半徑【評注】一般結論為：rRaPNPMaABPrOPNMABEDCFEFCDPPABoR 的周長最小；，使得 、上各求一點、及射線內一個定圓，試在圓是給定銳角】圓【例 P Q RR QPCBCAoA C Bo 5 。；求證于交 ，連接于交，連接、的兩弦點引圓的中點，過的弦圓】【例 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :4 6 頂點。為所求的三角形的三個、則、于、分別交，連接，令，交圓周于連接做法：的周長為最小，于是有為最小，從而取最小值時，當理，是該圓直徑，由正弦定四點共圓，、，則于交，于交設角形；的情況下周長最小的三是在取定，顯然、于、分別交，連接，令上任取一點【分析】在圓RQPRQCBCAPPPPPPPOCRQPEFCPE C FCPEFCPPFCEEFPPPRRQQPFCBPPECAPPPRQPRQCBCAPPPPPPPoCBSCASCBSCAS212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,；si n2, 【 評注 】 如果題設中有角平分線、垂線，或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形，可以將圖形或其部分進行軸對稱變換。此外，也可以適當選擇對稱軸將一些線段的位置變更，以便于比較它們之間的大小。 ADRPQRPQ P Q RDBCADAABC 2906 求證： ，是它的任一內接三角形，于，中，】【例AD RP QR PQ AD AP AP AP RP QR Q P RQP P P P A A AP P AP P A RP QR Q P RP QR PQ AP AP AP Q P PQ RP RP P P P P AC S AB S 2 2 2 , 180 2 , 90 , , , , ) ( ) ( 的內部； 上或在凸四邊形 點在線段 又 則 【分析】設 7 ；7 MQMPMQMP BCMA Q CAPBACABABC ，的中點，求證： 是，、直角三角形為斜邊分別向外作等腰、的邊】以【例OCOBOAPCPBPACOOOAOACCPPPAPCOOAOBOB OCCBOB P CCBPB OCCBOPBPPOBOOB P PB OOPPOOPPOOCCBRBRBR 即：四點共線，、；由于，顯然，都是正三角形、則；、連接【分析】將1 8 01 2 0,)60,()60,()60,( )(； ,1 2 08 為費馬點求證： 內任意一點，是內一點，是】已知【例 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三線也相交于一點；、求證：，三線交于一點、，設、垂線六個點分別作所在邊的，過上述、分別交于點、的三邊與】圓【例2121212121212121219cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCA B CO ； 且 而 顯然： 都是等腰三角形， 、 則 ， ，使 到 ，延長 ，使 到 【分析】延長 MQ MP MQ MP BF MQ EC PM BF EC BF EC F C B E CAF BAE CQ QF F CQ BP PE E BP A R A R , 2 1 / , 2 1 / ； , , , ) 90 , ( ) 90 , ( 8 三線也相交于一點、即：的公共點、也是像下的像在變換的公共點、，同理：成中心對稱，關于圓心、【分析】2122121212)180,(12)180,(12)180,(121)1 8 0,0(cbacbaDRDcbaccbbaaOaaOROROR ONOMNOBOBNOBCGACGOA C BGBOA C BDBODBOGBOFDBOBGOODGBGOO P G