2014年清北學(xué)堂 寒假數(shù)學(xué)聯(lián)賽集訓(xùn)二導(dǎo)學(xué)4-初等數(shù)論部分

2014 年寒假 數(shù)學(xué)聯(lián)賽 集訓(xùn)二 導(dǎo)學(xué) （第 四 次） 資料 說明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細(xì)解讀。每個班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第四次導(dǎo)學(xué)。 4 次導(dǎo)學(xué)的相應(yīng)關(guān)聯(lián)以及課程詳細(xì)授課內(nèi)容，請參見相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱。寒假授課即將開始，除現(xiàn)場授課及答疑外，歡迎大家參加寒假之后的在線答疑活動。祝大家在寒假中收獲良多，學(xué)習(xí)進(jìn)步！ 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學(xué)競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 2013-12-25 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-5 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假 數(shù)學(xué)聯(lián)賽 集訓(xùn)二 導(dǎo)學(xué) (初等數(shù)論 部分 ) 目錄 一、 課程重點及難點概述 . 2 二、 清北導(dǎo)學(xué) . 3 整數(shù)問題 . 3 重點及難點 . 3 知識點 . 3 整除 . 5 重點及難點 . 5 知識點 . 5 思考題 . 8 同余 . 9 重點及難點 . 9 知識點 . 9 思考題 . 13 不定方程 . 14 重點及難點 . 14 知識點 . 14 思考題 . 16 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 一、 課程重點及難點概述 本次課程的重點為整除與同余問題。剩余類的概念、歐拉函數(shù)和不定方程有關(guān)的定理是本次培訓(xùn)的難點。 集訓(xùn)二 班以真題講解為主， 對知識點進(jìn)行較詳細(xì)的介紹 ， 錘煉學(xué)員的基礎(chǔ)知識掌握 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 二、 清北導(dǎo)學(xué) 整數(shù)問題 重點及難點 整數(shù)相關(guān)問題是初等數(shù)論的基礎(chǔ)。本部分需要重點掌握算術(shù)基本定理，并了解進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換規(guī)則。 知識點 1. 整數(shù)與其進(jìn)位制 ： 在集合觀點下，整數(shù)是整數(shù)集合的簡稱，記為 Z ， =n|n=0, 1, 2, Z 。整數(shù)對“加、減、乘”三種運(yùn)算封閉，對“除、開方”運(yùn)算不封閉。 正整數(shù)有無窮多個，為了用有限的個數(shù)符號表示出無限個正整數(shù)，前人發(fā)明了進(jìn)位制。 10 是十進(jìn)制的基，任何大于 1 的整數(shù) r 均可作為 r 進(jìn)位制的基。 自然數(shù) N 的 r 進(jìn)制是把 N 表示成 r 的 n 次多項式的形式，即 11 1 0nnnnN a r a r a r a ，其中 0 , 1 , 2 , , 1 , 0 , 1 , 2 , . 0ina r i n a ，并記作1 1 0()n n rN a a a a 。 r 進(jìn)制記數(shù)法的基本原則是“逢 r 進(jìn) 1”。 不同進(jìn)位制的數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，如 324 1 0(1 0 2 1 ) 1 4 0 4 2 4 1 ( 7 3 ) 。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成 P 進(jìn)制數(shù)是“除 P 取余”法，例如 4 3 21 3 7 1 3 + 2 3 + 0 3 + 0 3 + 2 ，故 3137 (12002) 。 a進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)為 b 進(jìn)制數(shù)，只需先把 a 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為 b 進(jìn)制數(shù)。 2. 整數(shù)的奇偶性： 將全體整數(shù)分為兩類，凡是 2 的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù)，因此，任意偶數(shù)可表示成 2 ( )mm Z ，任意奇數(shù)可表示為 21m 的形式。奇數(shù)偶數(shù)具有如下性質(zhì)： 奇數(shù) 奇數(shù) =偶數(shù)；偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)；奇數(shù) 偶數(shù) =奇數(shù)；偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)； 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 奇數(shù) 偶數(shù) =奇數(shù)；奇數(shù) 奇數(shù) =奇數(shù)。 奇數(shù)的平方都可以表示為 81m 的形式，偶數(shù)的平方都可以表示為 8m 或 84m 的形式。任何一個正整數(shù) n，都可以寫成 2mnl 的形式，其中 m 為非負(fù)整數(shù)， l 為奇數(shù)。 3. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)、算術(shù)基本定理： 大于 1 的整數(shù)按它具有因數(shù)的情況可以分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。 一個大于 1 的整數(shù)，如果除了 1 和它自身外沒有任何正因子，則稱此數(shù)為質(zhì)數(shù)或素數(shù)，否則，稱為合數(shù)。 顯然， 1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)； 2 是最小的且是唯一的偶質(zhì)數(shù)。 算術(shù)基本定理：任何大于 1 的整數(shù) A 都可以分解成質(zhì)數(shù)的乘積，若不計這些質(zhì)數(shù)的 次序，則這種質(zhì)因子分解表達(dá)式是唯一的，進(jìn)而 A 可以寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式：12 naaa nA p p p ，其中 12 np p p ， ip 為質(zhì)數(shù)， ia 為非負(fù)整數(shù)， 1,2, ,in 。 合數(shù)的因子個數(shù)計算公式：若 12 naaa nA p p p 為標(biāo)準(zhǔn)分解式，則 A 的所有因子（包括 1 和 A 本身）的個數(shù)為1( 1)n ii a 。 質(zhì)數(shù)的判定定理：設(shè) n 是大于 2 的整數(shù)，如果不大于 n 的質(zhì)數(shù)都不是 n 的因子，則 n 是質(zhì)數(shù)。 質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 整除 重點及難點 整除問題是初等數(shù)論中非常重要的一類問題。費(fèi)馬定理、裴蜀定理和輾轉(zhuǎn)相除法是本次學(xué)習(xí)的重點。 知識點 1. 整數(shù)的整除性 初等數(shù)論的基本研究對象是自然數(shù)集合及整數(shù)幾何。我們知道，整數(shù)集合中可以作加、減、乘運(yùn)算，并且這些運(yùn)算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結(jié)合律和交換律，加法與乘法的分配率），但一般不能做除法，即，如 ,ab是整數(shù)， 0b ，則 ab不一定是整數(shù)。由此引出初等數(shù)論中第一個基本概念：整數(shù)的整除性。 帶余除法：對于任一整數(shù) a 和任一整數(shù) b ，必有唯一的一對整數(shù) ,qr，使得 =abq r ，0 rb ，并且整數(shù) q 和 r 由上述條件唯一確定，則 q 稱為 b 除 a 的不完全商， r 稱為 b除 a 的余數(shù)。 若 =0r ，則稱 b 整除 a ，或 a 被 b 整除，或稱 a 是 b 的倍數(shù)，或稱 b 是 a 的約數(shù)（又叫因子），記為 |ba，否則 |ba 。 任何 a 的非 1a， 的約數(shù)，叫做 a 的真約數(shù)。 0 是任何整數(shù)的倍數(shù)， 1 是任何整數(shù)的約數(shù)。任一非零的整數(shù)是其本身的約數(shù)，也是其本身的倍數(shù)。由整除的定義，不難得出整除的如下性質(zhì)： （ 1）若 | , |abbc ，則 |ac （ 2）若 |iab ，則1|n iiia cb，其中 , 1,2, ,ic Z i n （ 3）若 |ac，則 |abcb （ 4）若 |ab，則 ab 。因此，若 |ab，又 |ba，則 ab 。 （ 5） ab、 互質(zhì)，若 |ac， |bc，則 |abc 。 （ 6） p 為質(zhì)數(shù)，若 12| npa a a ，則 p 必能整除 12, , , na a a 中的某一個。特別地，若 p為質(zhì)數(shù)， | npa，則 |pa。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 （ 7）如在等式11nmikikab中除開某一項外，其余各項都是 c 的倍數(shù)，則這一項也是 c的倍數(shù)。 （ 8） n 個連續(xù)整數(shù)中有且只有一個是 n 的倍數(shù)。 （ 9）任何 n 個連續(xù)整數(shù)之積一定是 n 的倍數(shù)。 2. 費(fèi)馬定理 Fermat 定理：設(shè) p 為質(zhì)數(shù)，對任何整數(shù) n ，都成立 | ppn n （或 (mod )pn n p ） 推論： p 為質(zhì)數(shù)，且 |pn ，則 -1|1ppn （或 -1 1(mod )pnp ） 3. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 定理一：算術(shù)基本定理 定理二：設(shè)大于 1 的整數(shù) a 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 12 naaa na p p p （ 1 npp為質(zhì)數(shù)， ia 均為非負(fù)整數(shù)），則 a 的約數(shù)個數(shù)為： 1( ) ( 1)n iid a a 所有的約數(shù)和為： 111() 1ian ii ipa p 定義 2：設(shè) ab、 是兩個不全為 0 的整數(shù)。若整數(shù) c 滿足： |,|cacb ，則稱 c 為 ,ab的公約數(shù)， ab、 的所有公約數(shù)中的最大者稱為 a 與 b 的最大公約數(shù)，記為 (,)ab 。如果(, ) 1ab ，則稱 a 與 b 互質(zhì)或互素。 定義 3：如果 d 是 a 、 b 的倍數(shù)，則稱 d 是 a 與 b 的公倍數(shù)。 a 與 b 的公倍數(shù)中最小的正數(shù)稱為 a 與 b 的最小公倍數(shù)，記為 ,ab 。 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念可以推廣到有限多個整數(shù)的情形。若 12( , , , ) 1na a a ，則稱 12, , , na a a 互質(zhì)，若 12, , , na a a 中任何兩個都互質(zhì)，則稱它們是兩兩互質(zhì)的。 定理 3：設(shè) a 、 b 、 c 是三個不全為 0 的正數(shù)，且有正數(shù) t 使得 a bt c，則 ( , ) ( , )a b b c ，即 ( , ) ( , )a b b a bt 定理 4（裴蜀定理）：設(shè) a 、 b 是整數(shù)，則 ( , )ab d 的充要條件是存在整數(shù) u ， v ，使得 a vb d 輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）：設(shè) a 、 bN ，且 ab ，由帶余除法有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 因為每進(jìn)行一次帶余除法，余數(shù)至少減少 1，即 ,而 b 為有限數(shù)，因此，必有一個最多不超過 b 的正整數(shù) n 存在，是的 rn0 ,，故 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)： （ 1） a 和 b 的任一公約數(shù)都是它們的最大公約數(shù)的約數(shù) （ 2） mN ,則 (am,bm) = m(a,b) （ 3）設(shè) c 為 a ， b 的公約數(shù)，則 (ac,bc)=(a,b)c （ 4）設(shè) 是任意 n 個正整數(shù)，如果 ，則 （ 5）設(shè) a 和 b 均與 m互素，則 ab 也與 m互素 （ 6）若 b|ac ，且 (b,c)=1 ，則 b|a （ 7）若 (a,b)=1 ，則 (ac,b)=(c,b) （ 8）若 m是整數(shù)， a|m,b|m ，則 a,b|m （ 9）若 m是正整數(shù)，則 ma,b=ma,mb （ 10）兩兩互素的正整數(shù)的最小公倍數(shù)等于它們的乘積 （ 11）設(shè) 是任意 n 個正整數(shù)，如果 ，則 4. 方冪問題 一個正整數(shù) n 能否表示成 m 個整數(shù)的 k 次方和的問題稱為方冪和問題。 能表示成某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡稱平方數(shù)。關(guān)于平方數(shù)，明顯有如下一些簡單地性質(zhì)和結(jié)論： （ 1） 平方數(shù)的個位素質(zhì)只能是 0， 1， 2， 4， 5， 6， 9 （ 2） 偶數(shù)的平方數(shù)是 4 的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被 8 除余 1，即任何平方數(shù)被 4 除的余數(shù)只能是 0 或 1. 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 （ 3） 奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù) （ 4） 十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個位數(shù)一定是 6 （ 5） 不能被 3整除的數(shù)的平方被 3除余 1，能被 3整除的數(shù)的平方也能被 3整除。因而，平方數(shù)被 9 除的余數(shù)為 0， 1， 4， 7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9 除的余數(shù)也只能是 0， 1， 4， 7 （ 6） 平方數(shù)的約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù) （ 7） 任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加 1，必定是一個平方數(shù) 定理：奇素數(shù) p 能表示成兩個正整數(shù)的平方和的充要條件是 p=4m+1 思考題 ABC 中，邊長 a,b,c(a b c)同時滿足下列三個條件 （ 1） a,b,c 均為整數(shù)（ 2） a,b,c 組成等比數(shù)列（ 3） a 與 c 至少有一個等于 100 求出三元數(shù)組 (a,b,c) 的所有可能的解 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 同余 重點及難點 同余是數(shù)論中的重要概念，同余理論是研究整數(shù)問題的重要工具之一。本部分介紹同余的基本概念、剩余類和完全剩余類、同余方程和中國剩余定理。其中同余和剩余類是學(xué)習(xí)的重點。 知識點 1. 基本概念 定義 1：設(shè) m 是一個給定的正整數(shù)，如果兩個整數(shù) a,b 用 m 除所得的余數(shù)相同，則稱 a,b 對模 m 同余，記作 a b(modm) ；否則，記為 a / b(modm) 。 等價定義：（ 1）若 m|a-b ，則稱 a,b 對模 m 同余 （ 2）若 a = b + mt(t Z )，則稱 a,b 對模 m 同余 同余的基本性質(zhì)： （ 1） a 0 (m od m ) m | a （ 2）a a ( m od m )a b ( m od m ) b a ( m od m )a b ( m od m )b c ( m od m ) a c ( m od m ) （ 3）若 a b ( modm) ， c d(modm) ，則 a c b d ( m od m )； ac bd (mod m) （ 4）若 ，則 （ 5）若 ac bc(mod m)，則 a b(mod m(m, c)。 特別地，若 (c,m)=1 ，則 a b(modm) 。 （ 6） a b(modm) ，而 d| m(d 0) ，則 a b(modd) 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 （ 7）設(shè) a b(modm) a：若 c0 ，則 ac bc(mod m) b:d 為 a,b,m 的任一公約數(shù)，則 ad bd (mod md ) （ 8） 若 a b(mod m1) , a b(mod m2 )且 (m1,m2)=1 ，則 a b(mod m1m2 ) （ 9） 若 a b(modm) ，則 (a,m) = (b,m) （ 10） 若 p 為質(zhì)數(shù)，則 ap a(mod p)。 特別地， p 為質(zhì)數(shù)且 (a,p)=1 ，則 a p-1 1(mod p)。 2. 剩余類和完全剩余類 * 定義 2：設(shè) mN* ，把全體整數(shù)按其對模 m 的余數(shù) r(0 r m -1)歸于一類，記為，每一類 均稱為模 m 的剩余類（又叫同余類）。同一類中任一數(shù)稱為該類中另一數(shù)的剩余。 剩余類 kr 是數(shù)集 kr=qm+ r （ m 是模， r 是余數(shù)， qZ ），也即k r = a | a Z , a r ( m od m ) ，它是一個公差為 m 的（雙邊無窮）等差數(shù)列。 定義 3：設(shè) 是模 m 的（全部）剩余類，從每個 kr 中任取一個數(shù) ar ，這 m 個數(shù) 組成一個組稱為模 m 的一個完全剩余系，簡稱完系。 定理 1： m 個整數(shù) 是模 m 的一個完系 當(dāng) ij 時， ai / aj (mod m)。 定理 2 ：設(shè) (b,m)=1 ， c 為任意整數(shù)。若 為一個完系，則也是模 m 的一個完全剩余類。 定義 4： m 為一正整數(shù)，把 中與 m 互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)叫做 m 的歐拉函數(shù)，記為 j(m) 。 定義 5：如果一個模 m 的剩余類 kr 中任一數(shù)與 m 互質(zhì)，則稱 kr 是與模 m 互質(zhì)的剩余類；在與模 m 互質(zhì)的每個剩余類中任取一個數(shù)（共 j(m) 個）所組成的數(shù)組，稱為模 m 的一個簡化剩余系。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 定理 3： 是模 m 的簡化剩余系 (ai,m)=1 ，且 。 定理 4：在模 m 的一個完全剩余系中，取出所有 與 m 互質(zhì)的數(shù)組成的數(shù)組，就是一個模 m 的簡化剩余系。 定理 5：設(shè) 是模 m 的簡化剩余類。若 (k,m)=1 ，則也是模 m 的簡化剩余類。 定理 6（歐拉定理）：若 (a,m)=1 ，則 （費(fèi)馬小定理）若 m=p 為質(zhì)數(shù)， p|a ，則 a p-1 1(mod p)。 定理 7（威爾遜定理）：設(shè) p 是素數(shù)，則 ( p - 1)! -1(m od p ) 定理 8（歐拉函數(shù)值計算公式）令 m 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 則 j ( m ) = m (1 - 1p i )i =1k 3. 同余方程 設(shè) 為 x 的正系數(shù)多項式 定義 6：同余式 f ( x ) 0 m od( m ) , a n / 0 ( m od m )叫做一元 n 次同余方程 定義 7：若 c 使得 ( ) 0 mod( )f x m 成立，則 x c(modm) 叫做同余方程f (x) 0(mod m)的一個解 1、 一次同余方程 ax b (m od m ), m /| a稱為一次同余方程 定理 9：若 (a,m)=1 ，則 ax b(mod m)有一個解。 定理 10：若 ( a , m ) = d 1, d /| b，則 ax b(mod m)無解，其中 a / 0(modm) 定理 11：若 (a,m) = d 1,d |b，則 ax b(mod m)有 d 個解，并且，若a x b (mod m1)的一個解為 x r(modm1) ，則 d 個解為： aj (m ) 1(mod m)清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁 ，其中 a = ad , b = bd , m1 = md 推論：一次同余方程 ax b (m od m ), ( a , m ) = 1的解法 解法 1：因 (a, m) =1 ，則存在二數(shù) s,t, 使得 as+mt =1 ，即 as 1(modm)，由此有 asx bs (mod m)，于是 x bs(mod m)為原方程的解 解法 2：原方程變形為 x ba (mod m) (ba 僅只是形式上的記號 )，然后用與 m 互質(zhì)的數(shù)陸續(xù)乘右端的分子分母，直至把分母絕對值變成 1（通過分子分母各對模 m取余數(shù)）而得到解 解法 3：利用歐拉定理。因 aj (m ) 1(mod m)，由 ax b(mod m)可得a j (m )x b a j (m )-1(m od m )，從而有解。 x b a j ( m )-1 (m od m ) 2、 一次同余方程組 定義 8：若數(shù) r 同時滿足 n 個同余方程： ，則 r叫做這 n 個同余方程組成的同余方程組的解 定理 12：對同余方程組 x c1 (m od m 1 )x c2 (m od m 2 ) 記 ( m 1 , m 2 ) = d , m 1 , m 2 = M （ 1） 若 d/| c1-c2 ，則此同余方程組無解 （ 2） 若 d|c1-c2 ，則此同余方程組有對模 M 的一類剩余解。 4. 中國剩余定理（孫子定理） 設(shè) 是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，記 則同余方程組 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 有且只有解 x M ia i c ii = 1n (m od M ) 其中 思考題 設(shè) p,q 是不同的奇素數(shù)，證明： pq | 2 pq - 1 - 1 p | 2 q - 1 - 1 ( and ) q | 2 p - 1 - 1 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 不定方程 重點及難點 所謂不定方程（組），是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如整數(shù)，正整數(shù)或有理數(shù)）的方程（組）。 對于一個一般得不定方程（組），除個別情況下，通常沒有一個統(tǒng)一的解法，而且有許多不定方程）（組），目前還無法判斷其是否有解，因此，必須對給定的不定方程（組）的具體形式進(jìn)行分析，確定解題方向。下面介紹幾種常見的方法。 知識點 1. 公式法 （ 1） 一次不定方程 在不定方程和不定方程組中，最簡單地不定方程是整系數(shù)方程 ax + by + c = 0 , ( a b , b 0 ) 通常稱之為二元一次不定方程。 定理 1：二元一次不定方程 ax + by = c , (a , b , c Z )有正整數(shù)解的充要條件 是 (a,b)|c 定理 2：若 (a,b) =1 ,且 x0,y0 為 ax + by + c = 0 , ( a b , b 0 )之一解，則其全部解為 x = x 0 + bt , y = y 0 - at ( t Z ) （ 2） 勾股方程 x2 +y2 =z2 定理 3：方程 x2 +y2 =z2 滿足 (x,y) =1,z | y 的全部正整數(shù)解 (x,y,z) 可以表示為x = a 2 - b 2 , y = 2 ab , z = a 2 + b 2 其中， a,b 是滿足 ab0 ,a,b 一奇一偶，且 (a,b)=1 的任意整數(shù)。 （ 3） 不定方程 xy=zt 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 設(shè) (x,z)=a ，則 x = ac,z = ad ，其中 (c,d)=1 ，故 acy=adt ，即 cy=dt ，因(c,d)=1 ，所以 d|y ，設(shè) y=bd ，則 t=bc ，因此方程 xy=zt 的正整數(shù)解可以表示為 x = ac , y = bd , z = ad , t = bc ( a , b , c , d Z + , ( c , d ) = 1 ) 2. 奇偶分析法 整