（課程與教學(xué)論專業(yè)論文）對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育中推理能力及其階段性培養(yǎng)的研究.pdf

2 摘 要 推理與我們的生活息息相關(guān) 一個(gè)人推理能力的大小 往往關(guān)系到事情的成敗 以及個(gè)人的成長(zhǎng)和發(fā)展是公民必備的基本能力數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展推理能力的作用 人們?cè)缫焉钚挪灰?首先本文從對(duì)數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)推理能力的理解著手使人們對(duì)數(shù)學(xué)推理能 力有一個(gè)較為全面的科學(xué)的認(rèn)識(shí)糾正長(zhǎng)期以來數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用形式化 的方式發(fā)展學(xué)生的論證推理能力而忽視合情推理能力的培養(yǎng)指出數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)該采取論證推理和合情推理并重的原則來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力 那么教育工作者如何充分地利用數(shù)學(xué)這一載體對(duì)中學(xué)生推理能力進(jìn)行全面 的培養(yǎng)本文提出了其中應(yīng)該注意的一些問題并且著重指出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教 育應(yīng)以研究與掌握學(xué)生心理發(fā)展的規(guī)律為前提在不同階段學(xué)生在推理能力的 水平上呈現(xiàn)出不同的層次不考察學(xué)生心理發(fā)展的客觀規(guī)律就會(huì)使教育超前 或滯后學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展盲目行事因此對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)要注意 層次性 而教材是教與學(xué)的藍(lán)本關(guān)系著教育效果的優(yōu)劣因此好的教材要以學(xué)生 認(rèn)知發(fā)展的階段水平為前提來編排才能更加具有針對(duì)性和實(shí)效性才能合理地 促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展本文對(duì)初中階段全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱下 的現(xiàn)行教材與全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下的實(shí)驗(yàn)教材進(jìn)行了分析分別 劃分出在幾何部分中二者發(fā)展學(xué)生推理能力時(shí)所編排的幾大層次 最后對(duì)二者呈現(xiàn)的階段性進(jìn)行對(duì)比并且結(jié)合皮亞杰認(rèn)知發(fā)展的四階段理 論以及數(shù)學(xué)教育成果與實(shí)踐評(píng)述兩類教材在發(fā)展初中生數(shù)學(xué)推理能力中階段劃 分的合理性 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)推理 數(shù)學(xué)推理能力 論證推理能力 合情推理能力 認(rèn)知發(fā)展水平 教材 層次性 3 abstract reasoning and our life are closely bound up. it is often concerned with ones reasoning ability that whether the things which he did succeeded and his development. so reasoning ability is integrant and basic to a person. mathematics plays a role in developing the ability. and we are cocksure of that. firstly, proceeding from the comprehension of mathematical reasoning and its ability, this article elaborated on the importance of deductive reasoning and plausible reasoning to correct long-term cognition of looking down on the later. so the article emphasized the point that mathematical teaching should take the policy of simultaneous development of the two abilities. then how the educators make good use of the subject of mathematics to train comprehensively the middle school students reasoning ability, on that the article put forward the point that the students disciplinarian of cognitive development is the precondition and foundation of the mathematical education. so the mathematical teaching progress about developing the middle school students reasoning ability should be conscious of their different levels on their corresponding cognitive periods. the mathematical textbook is the chief source of teaching and studying, and relates to the quality of the mathematical education. the eligible textbook is compiled in the different periods effectively according to the levels of the students cognitive ability, in order to improve their reasoning ability. the article analyzed the process of active geometry textbook on mathematics teaching program and experimental one on mathematics curriculum standard in developing of junior high school students mathematical reasoning ability. by demurely analyzing the article compartmentalized the two textbooks stages about training the students mathematical reasoning ability. finally, the article commented on the rationality of the method of each compilation in the geometry textbook according to the cognitive development theory of j.piaget and mathematical educational achievement. key words mathematical reasoning reasoning ability of mathematics deductive reasoning ability plausible reasoning ability development of cognition textbook characteristic of phases 4 對(duì)數(shù)學(xué)推理的概述 牛頓從蘋果落地受到啟發(fā)發(fā)現(xiàn)并證明了萬有引力定律解決了困擾人們幾 十年的一個(gè)物理學(xué)難題這個(gè)故事大家都十分熟悉可謂婦孺皆知其過程充分 體現(xiàn)了推理這一思維形式蘋果為什么不往天上飛也不向前后左右掉而偏偏 是垂直地往地上落呢那么一定有什么東西地球在向下吸引它既然蘋果與 地球之間存在吸引力那么其它任何兩個(gè)物體之間呢經(jīng)過一系列的推理導(dǎo)出 了萬有引力定律這類事例不勝枚舉推理貫穿其中舉足輕重它作為發(fā)現(xiàn)和 論證真理的主要思維形式為我們開啟了科學(xué)之門帶領(lǐng)著我們?nèi)ヌ剿骺茖W(xué)的堂 奧 在日常生活中推理也是隨處可見的與我們的生活息息相關(guān)醫(yī)療診斷 市場(chǎng)開發(fā)公安破案企業(yè)決策等方方面面推理是我們?cè)诼犝f讀寫想 中運(yùn)用的最基本最重要的思維形式之一尤其在當(dāng)今信息高度紛繁的現(xiàn)代社會(huì) 經(jīng)常需要人們通過推理進(jìn)行選擇和判斷做出決策 11 對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解 推理既然滲透在我們的生活之中那如何來理解推理呢推理是由一個(gè)或 幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)未知判斷的思維形式在數(shù)學(xué)中通常把直接表達(dá) 判斷的語句稱為命題因而數(shù)學(xué)推理就是由已知命題推出新命題的思維過程 具體說來數(shù)學(xué)推理是人們?cè)跀?shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下由若干數(shù)學(xué)條件結(jié)合一定 的數(shù)學(xué)知識(shí)方法對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象形成某種判斷的思維操作過程 數(shù)學(xué)推理作為一類推理有其自身的特點(diǎn)首先就推理的對(duì)象而言數(shù)學(xué) 推理的對(duì)象既不是生活中的常識(shí)也不是社會(huì)現(xiàn)象而是表示數(shù)量關(guān)系和空間形 式的數(shù)學(xué)符號(hào)其次就推理過程而言在某一個(gè)思考過程中數(shù)學(xué)推理較之一 般推理更是環(huán)環(huán)相扣連貫進(jìn)行并且推理的依據(jù)主要來自問題所在數(shù)學(xué)系統(tǒng) 數(shù)學(xué)高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性使得數(shù)學(xué)推理相對(duì)具有一定的難度 數(shù)學(xué)是推理的音樂推理是數(shù)學(xué)思維的核心的確數(shù)學(xué)在某種意義上說 是處理抽象實(shí)體的準(zhǔn)則而推理是理解抽象的工具我們要依靠推理來思考數(shù)學(xué) 客體的確定性并加以廣泛應(yīng)用因此從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程看無論是數(shù)學(xué)知識(shí) 的形成還是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用都離不開數(shù)學(xué)推理它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)中心位置 12 數(shù)學(xué)中常用的推理 1 推理有內(nèi)容和形式兩個(gè)方面內(nèi)容指推理的前提和結(jié)論前提和結(jié)論之間的 5 聯(lián)系方式則稱為推理的形式它體現(xiàn)的是一種思維過程推理的形式也稱為推理 的方法在形式邏輯中通常只研究推理的形式部分不涉及推理的內(nèi)容則一般 所說的推理即指推理形式這樣推理本身的正確性或稱為有效性只由推理形 式?jīng)Q定而推理結(jié)論的真假性卻不僅取決于推理形式還有前提的真假性 數(shù)學(xué)推理按推理形式可以分為演繹法歸納法和類比法即演繹推理歸納 推理和類比推理按照推理結(jié)論的可信性它們又可分別歸屬為兩大類一類是 論證推理必真推理另一類是合情推理似真推理 121 論證推理 在推理的前提正確無誤的情況下推理方法可以導(dǎo)出真實(shí)的推理結(jié)論即真 命題則稱這種推理方法為必真的推理方法一般說來必真的推理方法都可以 作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格論證的方法即又稱為論證推理完全歸納法和演繹法屬于論證 推理它們?cè)跀?shù)學(xué)理論的整理與證明中有著重要作用 完全歸納法一種特殊的歸納法在歸納推理中當(dāng)前提判斷的范圍與結(jié)論判斷 的范圍相同時(shí)這時(shí)的歸納法就稱為完全歸納法由于完全歸納法需要考察一類 事物的全體對(duì)象這使它的應(yīng)用具有一定的局限性而演繹法即演繹推理則是 一種主要的論證推理 1211 演繹推理 演繹推理是思維進(jìn)程中以某一類事物的一般判斷為前提而作出的該類事物 中的個(gè)別特殊事物的判斷的思維形式因此是從一般到特殊的推理這種推理以 形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)有三段論關(guān)系推理聯(lián)言推理選言推理假言 推理和模態(tài)推理等推理模式由于演繹推理的每一步都是可靠的無可置辯的和 終決的因而可以用它來肯定數(shù)學(xué)知識(shí)建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系 曾有人說 演繹是數(shù)學(xué)的心臟在很多書中把演繹推理作為論證推理的別名 可見其分量的確演繹推理在數(shù)學(xué)中起著舉足輕重的作用它是數(shù)學(xué)證明的工 具數(shù)學(xué)結(jié)論的可信性要通過演繹推理得到確認(rèn)演繹的過程是對(duì)數(shù)學(xué)問題的證 明整理和理解的過程演繹法是擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)體系揭示知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系的主 要方法因此呈現(xiàn)在我們面前的數(shù)學(xué)是一門以論證推理為特征的演繹科學(xué)演 繹推理是數(shù)學(xué)的特殊標(biāo)志 1212 證明與證明方法 前面提到論證推理的作用之一便是用于數(shù)學(xué)證明證明是數(shù)學(xué)的靈魂黑 格爾語人類對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行證明的研究已有兩千多年的歷史了數(shù)學(xué)家們總是 不厭其煩地去找出一個(gè)又一個(gè)的命題然后再想方設(shè)法證明它們但是證明不 6 是數(shù)學(xué)的專利物理學(xué)中有證明化學(xué)需要證明法官判案離不開證明生活中 也充滿了證明 證明是由若干段推理組成的包括論題論據(jù)和論證三部分?jǐn)?shù)學(xué)證明要求 論題真實(shí)論據(jù)確鑿論證嚴(yán)謹(jǐn) 數(shù)學(xué)證明的種類很多從推理形式上分為演繹證明和歸納證明它們又分別 稱為演繹證法和歸納證法歸納證明是用完全歸納推理形式進(jìn)行的論證演繹證 明是用演繹推理形式進(jìn)行的論證很多書上都把它認(rèn)為是數(shù)學(xué)力量的表現(xiàn)是數(shù) 學(xué)區(qū)別于其它科學(xué)的主要特征數(shù)學(xué)史上演繹證明的典范是歐幾里得的幾何 原本它使數(shù)學(xué)知識(shí)的整理工作達(dá)到了一個(gè)輝煌的高峰被稱為數(shù)學(xué)家的圣經(jīng) 在數(shù)學(xué)史乃至人類科學(xué)史上具有無與倫比的崇高地位它對(duì)數(shù)學(xué)定理按邏輯次序 的排列對(duì)數(shù)學(xué)定理的證明構(gòu)建了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)公理系統(tǒng)開創(chuàng)了科學(xué)理論 系統(tǒng)化的先河決定了其后的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展所以幾何原本從歐幾里得時(shí) 代至十八世紀(jì)一直是學(xué)習(xí)幾何和推理的重要教材像這樣一本書作為教材被人 們推崇兩千多年是人類文化史上所沒有的 此外在中學(xué)數(shù)學(xué)證明中還用到兩種特殊的證明方法反證法和數(shù)學(xué)歸納法 其中反證法是一種間接證法數(shù)學(xué)歸納法屬于演繹法它是用來證明某些與自然 數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的方法 證明是研究數(shù)學(xué)的重要方法也是數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分因 此正確認(rèn)識(shí)證明的教育功能是數(shù)學(xué)教學(xué)的需要也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的需要 首先數(shù)學(xué)證明的價(jià)值顯然有助于核實(shí)真理還有一個(gè)更重要的價(jià)值是增進(jìn) 理解尤其是一個(gè)命題的不同證明方法能加深學(xué)生對(duì)該命題及其相關(guān)知識(shí)的理 解并且證明將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來把新舊知識(shí)聯(lián)系起來使有關(guān)知 識(shí)形成一個(gè)邏輯鏈一個(gè)知識(shí)子系統(tǒng)從而使學(xué)生習(xí)得的知識(shí)得以系統(tǒng)化此外 在證明中還能發(fā)展學(xué)生的思維能力甚至通過思路的拓寬導(dǎo)致新的發(fā)現(xiàn) 因此應(yīng)該讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)證明的價(jià)值從中體會(huì)和理解證明的必要性并 能對(duì)一些命題加以證明 122 合情推理 合情推理一詞來自 plausible reasoning 又譯為似真推理它指在推理中前 提是真命題而推理結(jié)論不一定為真則把這種合乎情理的好像為真的推理稱 為合情推理也稱為或然推理它是人們根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)直觀與感覺得 到的一種可能性推理物理學(xué)家的歸納論證律師的案情論證歷史學(xué)家的史料 論證和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的統(tǒng)計(jì)論證都屬于合情推理之列波利亞polya說數(shù)學(xué)家的 創(chuàng)造性工作成果是論證推理即證明但是這個(gè)證明是通過合情推理通過猜想 7 而發(fā)現(xiàn)的只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明過程的話那么應(yīng)當(dāng)讓猜想 合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?數(shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的其中不完全歸納推理簡(jiǎn)稱歸納推理和 類比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理不完全歸納推理它是由某一類對(duì)象 的個(gè)別部分所具有的屬性出發(fā)而得到這一類對(duì)象都具有該屬性的思維方式類 比推理是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象的某些方面如特征屬性關(guān)系等相同或相 似而推出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗤蛳嗨频乃季S形式盡管用合情推理得到的結(jié) 論具有或然性還只能稱之為猜想其正確或錯(cuò)誤還需要嚴(yán)格論證但合情推理 在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中卻發(fā)揮著不小的作用 1221 合情推理有助于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新 古往今來許多科學(xué)家都指出了合情推理在發(fā)現(xiàn)發(fā)明中的作用并達(dá)成了共 識(shí)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯laplace說數(shù)學(xué)本身賴以獲得真理的重要工具是歸 納和類比一般說來合情推理中的類比與歸納在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中是相互配合 協(xié)同作戰(zhàn)的其作用關(guān)系可用框圖圖 1來表示 的確合情推理這一思維形式中蘊(yùn)涵著想像和直覺判斷而想像和直覺屬于 創(chuàng)造性思維的范疇所以合情推理有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與探索真理的創(chuàng)造性作用并且 用合情推理提出的猜想可以作為數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)豐富數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容這對(duì)數(shù) 學(xué)的發(fā)生發(fā)展有著很大的推動(dòng)作用 圖 1 1222 合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用 例如中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一些概念公式及定理通過歸納法引出更符合學(xué) 生的認(rèn)知特點(diǎn)也符合人們的從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律并且有些公式定理 由于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的局限性只能讓學(xué)生暫時(shí)接受其真實(shí)性常常是用不完全歸納 法給出而不加以證明在問題解決教學(xué)中教師也可引導(dǎo)學(xué)生自覺地用歸納方法 探索發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方向 還有合情推理中的另一種重要方法類比也在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用 它不僅是學(xué)習(xí)知識(shí)系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法之一而且在問題解 決中具有啟迪思維的作用學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常調(diào)動(dòng)利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)借助類 從具體問題 或具體素材 出發(fā) 實(shí)驗(yàn) 類比 歸納 聯(lián)想 推廣 預(yù)見 形成 猜想 證明 8 比由此及彼溫故知新有效地建構(gòu)新的認(rèn)知從而推動(dòng)對(duì)新知識(shí)的理解和掌 握在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步作恰當(dāng)類比還可以將這些知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來 在問題解決中每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思想時(shí)類比這個(gè)方法往往指引我 們前進(jìn)康德語當(dāng)人們面臨一個(gè)比較生疏的問題時(shí)往往可以聯(lián)想一個(gè)比較 熟悉的問題作為類比對(duì)象熟悉問題的解決途徑和方法常可啟發(fā)思維提供線索 使人觸類旁通找到生疏問題的解決途徑和方法也正如波利亞所說類比是一 個(gè)偉大的引路人 因此 合情推理的實(shí)質(zhì)是發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)不限于尋求人類尚未知曉的事物 確切地說它是發(fā)現(xiàn)者用自己的頭腦親自獲得知識(shí)自主建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程 是人們探索和創(chuàng)新精神的體現(xiàn) 在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要著重指出的是探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線對(duì)概念 公式定理要盡量還原其發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)聯(lián)想類比歸納猜 想即引導(dǎo)學(xué)生先用合情推理的方法給出猜想再加以證明同樣這種方法對(duì)很 多例題習(xí)題的教學(xué)也是適用的 利用合情推理的方法組織教學(xué)符合學(xué)生心理的認(rèn)知過程便于學(xué)生對(duì)所學(xué) 內(nèi)容的理解和掌握并且有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是記憶公式或者做些練 習(xí)更重要的是探尋解法探索模式或形成猜測(cè)只有當(dāng)教學(xué)中反映出這些重點(diǎn) 時(shí)學(xué)生才有機(jī)會(huì)把數(shù)學(xué)作為一門探索性的動(dòng)態(tài)的發(fā)展的學(xué)科來學(xué)習(xí)這對(duì) 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力無不具有重要意義 通過對(duì)論證推理和合情推理的分析我們可以看出二者在數(shù)學(xué)推理中都有各 自的特點(diǎn)與作用論證推理是對(duì)數(shù)學(xué)問題的證明整理的過程是發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí) 體系揭示知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系加深對(duì)知識(shí)充分理解的主要方法它使數(shù)學(xué)具有嚴(yán) 格的邏輯性即演繹性但這僅僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)方面數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)的東西是數(shù)學(xué) 建造過程的尾聲是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性工作結(jié)出的果實(shí)而在依靠論證推理整理成這 些定型的邏輯材料之前有著更為漫長(zhǎng)的探索發(fā)現(xiàn)過程這就是數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè) 面數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法之一合情推理它是同樣重要的數(shù)學(xué)推理方法正如全 能的數(shù)學(xué)家彭佳勒早就指出數(shù)學(xué)推理的性質(zhì)是什么把它仔細(xì)分析一下知 大不為然它在某種范圍內(nèi)卻帶有歸納推理合情推理的性質(zhì)其所以豐裕 亦正在此因此論證推理和合情推理既不相同又相輔相成數(shù)學(xué)推理是二者 的有機(jī)結(jié)合我們必須正確處理好二者的關(guān)系全面培養(yǎng)學(xué)生的推理能力 彭佳勒科學(xué)與假設(shè)北京商務(wù)印書館1930 9 13 數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)思維 在前面通過對(duì)推理概念的介紹我們認(rèn)識(shí)到推理是一種思維形式而思維是 人腦對(duì)客觀世界的本質(zhì)屬性相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的和間接的反映 是心理學(xué)的核心問題從屬于認(rèn)識(shí)過程多年來一直受到心理學(xué)家的關(guān)注具體 說來思維是在表象概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析綜合判斷推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的 過程所以推理從屬于認(rèn)識(shí)過程它可以作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的思維活動(dòng)出現(xiàn) 也可經(jīng)常參與許多其它的認(rèn)識(shí)活動(dòng) 在數(shù)學(xué)中思維就其基本成分而言一般分為形象思維抽象邏輯思維和直 覺思維三種這三種思維形式都是數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的不同表現(xiàn)相互作用 交織在一起首先勿庸置疑邏輯思維與形象思維的主要運(yùn)演手段分別是論證 推理和合情推理此外我們認(rèn)為直覺思維主要指直覺和靈感是人腦對(duì)客 觀世界及其關(guān)系的一種非常直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)也是一種合情推理 它是數(shù)學(xué)推理過程斷與續(xù)即簡(jiǎn)縮性跳躍性間斷性直接性的一種 表現(xiàn) 因此數(shù)學(xué)推理屬于數(shù)學(xué)思維形式而一切數(shù)學(xué)思維活動(dòng)又以推理的某種形 式展開這樣對(duì)數(shù)學(xué)推理的訓(xùn)練能有利地增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與靈活性以 及思維的廣闊性與深刻性進(jìn)而改善他們的思維品質(zhì) 綜上數(shù)學(xué)推理主要的教育功能一方面數(shù)學(xué)推理為數(shù)學(xué)的建立和發(fā)展起 著重要的基礎(chǔ)作用另一方面推理是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)形成理性思維導(dǎo) 致真正的數(shù)學(xué)記憶和洞察的基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)推理中要用到相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)因此 推理把數(shù)學(xué)內(nèi)容看成是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)這不僅是推理的結(jié)果也是進(jìn)一 步推理的基礎(chǔ)這顯然對(duì)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分有 益的這樣推理就能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)研究的對(duì)象認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)并產(chǎn)生 一種可靠的記憶基本的數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)記憶即數(shù)學(xué)記憶并且通常所 說的數(shù)學(xué)儲(chǔ)存數(shù)學(xué)靈感事實(shí)上都有賴于數(shù)學(xué)記憶和數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)的形成和 發(fā)展同時(shí)數(shù)學(xué)儲(chǔ)存數(shù)學(xué)靈感又都是洞察的基礎(chǔ)因此總的說來數(shù) 學(xué)推理不僅是建立數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也是學(xué)生形成理性思維導(dǎo)致真正的 數(shù)學(xué)理解和洞察的基礎(chǔ) 2 對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的認(rèn)識(shí) 推理能力是一個(gè)公民應(yīng)具備的基本能力之一推理能力的大小往往關(guān)系到 事情的成敗以及個(gè)人的成長(zhǎng)和發(fā)展因而推理能力水平的高低是衡量一個(gè)人 智力發(fā)展水平的重要標(biāo)志國外許多心理學(xué)家把它作為劃分兒童智力發(fā)展階段的 9 13 數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)思維 在前面通過對(duì)推理概念的介紹我們認(rèn)識(shí)到推理是一種思維形式而思維是 人腦對(duì)客觀世界的本質(zhì)屬性相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的和間接的反映 是心理學(xué)的核心問題從屬于認(rèn)識(shí)過程多年來一直受到心理學(xué)家的關(guān)注具體 說來思維是在表象概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析綜合判斷推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的 過程所以推理從屬于認(rèn)識(shí)過程它可以作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的思維活動(dòng)出現(xiàn) 也可經(jīng)常參與許多其它的認(rèn)識(shí)活動(dòng) 在數(shù)學(xué)中思維就其基本成分而言一般分為形象思維抽象邏輯思維和直 覺思維三種這三種思維形式都是數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的不同表現(xiàn)相互作用 交織在一起首先勿庸置疑邏輯思維與形象思維的主要運(yùn)演手段分別是論證 推理和合情推理此外我們認(rèn)為直覺思維主要指直覺和靈感是人腦對(duì)客 觀世界及其關(guān)系的一種非常直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)也是一種合情推理 它是數(shù)學(xué)推理過程斷與續(xù)即簡(jiǎn)縮性跳躍性間斷性直接性的一種 表現(xiàn) 因此數(shù)學(xué)推理屬于數(shù)學(xué)思維形式而一切數(shù)學(xué)思維活動(dòng)又以推理的某種形 式展開這樣對(duì)數(shù)學(xué)推理的訓(xùn)練能有利地增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與靈活性以 及思維的廣闊性與深刻性進(jìn)而改善他們的思維品質(zhì) 綜上數(shù)學(xué)推理主要的教育功能一方面數(shù)學(xué)推理為數(shù)學(xué)的建立和發(fā)展起 著重要的基礎(chǔ)作用另一方面推理是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)形成理性思維導(dǎo) 致真正的數(shù)學(xué)記憶和洞察的基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)推理中要用到相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)因此 推理把數(shù)學(xué)內(nèi)容看成是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)這不僅是推理的結(jié)果也是進(jìn)一 步推理的基礎(chǔ)這顯然對(duì)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分有 益的這樣推理就能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)研究的對(duì)象認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)并產(chǎn)生 一種可靠的記憶基本的數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)記憶即數(shù)學(xué)記憶并且通常所 說的數(shù)學(xué)儲(chǔ)存數(shù)學(xué)靈感事實(shí)上都有賴于數(shù)學(xué)記憶和數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)的形成和 發(fā)展同時(shí)數(shù)學(xué)儲(chǔ)存數(shù)學(xué)靈感又都是洞察的基礎(chǔ)因此總的說來數(shù) 學(xué)推理不僅是建立數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也是學(xué)生形成理性思維導(dǎo)致真正的 數(shù)學(xué)理解和洞察的基礎(chǔ) 2 對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的認(rèn)識(shí) 推理能力是一個(gè)公民應(yīng)具備的基本能力之一推理能力的大小往往關(guān)系到 事情的成敗以及個(gè)人的成長(zhǎng)和發(fā)展因而推理能力水平的高低是衡量一個(gè)人 智力發(fā)展水平的重要標(biāo)志國外許多心理學(xué)家把它作為劃分兒童智力發(fā)展階段的 10 主要指標(biāo)之一在數(shù)學(xué)中由于學(xué)科的特點(diǎn)在學(xué)習(xí)活動(dòng)中推理能力作為不可或 缺的一種數(shù)學(xué)能力是其它數(shù)學(xué)能力的前提和基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中扮演著重 要角色 21 對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的界定 要較全面的理解數(shù)學(xué)推理能力把握好數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)能力這兩 個(gè)概念是必要的 以往數(shù)學(xué)推理能力即被認(rèn)為邏輯思維能力顯然這種理解是片面的通過 以上對(duì)數(shù)學(xué)推理的詳細(xì)分析我們對(duì)數(shù)學(xué)推理有了較全面的認(rèn)識(shí)首先數(shù) 學(xué)推理是一種思維形式這一點(diǎn)可幫助我們來深入地理解數(shù)學(xué)推理能力是一 種數(shù)學(xué)思維能力 并且數(shù)學(xué)推理不僅表現(xiàn)為邏輯思維這種形式還表現(xiàn)為直覺思維和形象 思維形式因此數(shù)學(xué)推理能力實(shí)際上是學(xué)生邏輯論證能力獨(dú)立思考能力 探索能力創(chuàng)新能力等的綜合體現(xiàn)是一種復(fù)合型能力 借助數(shù)學(xué)推理認(rèn)識(shí)我們初步認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)推理能力接著參看一下數(shù) 學(xué)能力在數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)能力目前也還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)結(jié)合能力的理 解可以認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是一種個(gè)性心理特征它對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)程和方式起著 直接的穩(wěn)定的調(diào)控作用很多人贊成把數(shù)學(xué)能力看成是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的 是在掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)技能的過程中形成的因此數(shù)學(xué)能力原則上屬 于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)范疇這樣看來數(shù)學(xué)推理能力就可以簡(jiǎn)單認(rèn)為是人們從事數(shù) 學(xué)推理這一思維活動(dòng)的個(gè)性心理特征 因此通過認(rèn)真分析筆者把數(shù)學(xué)推理能力界定為在數(shù)學(xué)活動(dòng)中用合 情推理去獲得對(duì)知識(shí)的理解探求問題解決的途徑以及獲得發(fā)現(xiàn)發(fā)明而按 邏輯思維規(guī)律運(yùn)用論證推理對(duì)探索出的結(jié)論加以檢驗(yàn)證明的個(gè)性心理特征 22 數(shù)學(xué)推理能力的表現(xiàn) 中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力一般具有以下表現(xiàn) 1通過實(shí)驗(yàn)歸納類比等獲得數(shù)學(xué)猜想并進(jìn)一步尋求證據(jù)給出證明 或舉出反例也就是說 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論常常經(jīng)歷合情推理論證推理的過程 對(duì)這一表現(xiàn)我們不再贅述 2合乎邏輯地準(zhǔn)確地闡述自己的數(shù)學(xué)思想和觀點(diǎn) 這一點(diǎn)又表現(xiàn)為推理能力的兩個(gè)層次思考者能清晰有條理地表達(dá)自己的 教育部基礎(chǔ)教育司組織編寫數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀北京師范大學(xué)出版社2002164 11 思考過程做到言之有理落筆有據(jù)在此基礎(chǔ)上能準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯 地嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)自己的觀點(diǎn)即學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)歷內(nèi)部語言外部語言形 式化的數(shù)學(xué)語言的過程 具體說來無論在合情推理或演繹推理的過程中思考者常在自己的頭腦中 使用殘缺不全不連貫具有高度情境性的語言要把這種內(nèi)部語言轉(zhuǎn)化為 外部語言需要理清思考過程中每一個(gè)判斷的理由和依據(jù)使思考過程變得清晰 而有條理從而才能有理有據(jù)地進(jìn)行口頭表達(dá)和書面表達(dá)當(dāng)然這時(shí)學(xué)生可以使 用非形式化的自然語言以此為前提掌握形式表達(dá)的語義內(nèi)容并能加以運(yùn)用 用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地準(zhǔn)確地精練地與他人進(jìn)行交流討論及其質(zhì)疑達(dá)到 數(shù)學(xué)推理表達(dá)的更高階段 3能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念思想和方法辨明數(shù)學(xué)關(guān)系即一個(gè)概念系統(tǒng)中公式 法則定理公理間的關(guān)系以及不同概念之間的關(guān)系建構(gòu)知識(shí)體系進(jìn)行問 題解決 以上我們論述了數(shù)學(xué)推理能力的外部表現(xiàn)而具體到學(xué)生個(gè)體在數(shù)學(xué)推理 能力的表現(xiàn)上又不盡相同會(huì)有強(qiáng)弱高低之分而數(shù)學(xué)推理能力是一種復(fù)合能 力是許多數(shù)學(xué)能力的綜合體所以我們從數(shù)學(xué)推理能力的內(nèi)部結(jié)構(gòu)著手對(duì)學(xué) 生個(gè)體數(shù)學(xué)推理能力的表現(xiàn)差異進(jìn)行分析 1對(duì)數(shù)學(xué)材料迅速而正確的概括能力 數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)推理能力的基礎(chǔ)它是指從大量的或繁雜的數(shù)學(xué)材料中 抽出最重要的東西以及外表不同的數(shù)學(xué)材料中看出共同點(diǎn)的能力數(shù)學(xué)概括是 一種特殊的概括它的對(duì)象既有現(xiàn)實(shí)世界又有在現(xiàn)實(shí)生活中概括出來的數(shù)字 符號(hào)和圖形即概括基礎(chǔ)上的再概括 數(shù)學(xué)概括能力包括不同的方面數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律的概括顯然這種概括 是歸納推理的基礎(chǔ)把概括的內(nèi)容具體化它在演繹推理中用到在概括的基礎(chǔ) 上再概括進(jìn)而把數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化這是概括的步步高級(jí)層次可見一方面 概括能力是推理能力的前提另一方面隨著推理能力的增強(qiáng)概括的層次也在 提高反之亦然 2縮短推理過程用簡(jiǎn)縮的結(jié)構(gòu)來進(jìn)行思維的能力 簡(jiǎn)縮在數(shù)學(xué)活動(dòng)中有兩方面的意義一方面簡(jiǎn)縮指推理過程程序的縮短 但其運(yùn)演過程是連續(xù)的合理的即推理過程的壓縮隨著學(xué)習(xí)的深入基礎(chǔ) 的提高熟練度的加深思維過程便出現(xiàn)簡(jiǎn)化省略并開始尋找捷徑另一方 面簡(jiǎn)縮表現(xiàn)為思維的跳躍式即不連貫性這是更高層次的簡(jiǎn)縮它一般是建 立在學(xué)生有了一定數(shù)學(xué)能力后形成了各種聯(lián)想這一基礎(chǔ)之上的如合情推理中 的直覺思維 12 縮短推理能力有利于提高思維效率直接抓住問題的癥結(jié)并可以進(jìn)行發(fā)現(xiàn) 創(chuàng)新活動(dòng) 3對(duì)推理方法的轉(zhuǎn)換能力 對(duì)推理方法轉(zhuǎn)換能力主要指心理運(yùn)演的靈活性其表現(xiàn)形式為善于靈活運(yùn)用 法則公理定理和方法概括遷移能力強(qiáng)善于靈活變換思路能從不同角 度方向方面運(yùn)用多種方法去著手解決問題善于把分析與綜合特殊與一般 具體與抽象有機(jī)地聯(lián)系起來善于從正向思維容易轉(zhuǎn)向逆向思維等 數(shù)學(xué)推理能力弱的學(xué)生有很大一部分是由于推理方法轉(zhuǎn)換較為呆板在推 理中總是遵循業(yè)已使用的規(guī)則和思維方式當(dāng)遇到新情況新問題和困難時(shí)缺 少應(yīng)變能力導(dǎo)致推理進(jìn)程停止不前半途而廢這樣長(zhǎng)此以往對(duì)推理能力的 發(fā)展造成障礙 4在推理過程中的反省認(rèn)知能力 推理過程的反省認(rèn)知能力主要指在推理過程中學(xué)生每進(jìn)行一次推理都必須 反思自己這樣推理所要達(dá)到的目的以及這樣推理的合理性使推理過程始終處于 自己的意識(shí)監(jiān)控之下 數(shù)學(xué)推理能力較強(qiáng)的學(xué)生往往反省認(rèn)知能力也較強(qiáng)其表現(xiàn)為推理的思路 清楚具體問題具體分析能及時(shí)調(diào)節(jié)修改思路善于發(fā)現(xiàn)推理過程中出現(xiàn)的 錯(cuò)誤并及時(shí)糾正能夠抓住問題解決的有用條件剔除干擾因素善于對(duì)問題的 可解性作出正確的估計(jì)推理過程的目的性強(qiáng)等這樣推理過程的每一步基本 在意識(shí)的監(jiān)控之下提高了推理的效率和結(jié)果的正確性使推理的每一步有根有 據(jù) 5對(duì)推理結(jié)果的反思能力 對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行反思簡(jiǎn)單的指對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)估但這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不 夠更重要的是一方面分析出推理結(jié)果反映出的規(guī)律即從具體的題目中歸 納出一般的結(jié)論和方法并能舉一反三靈活運(yùn)用另一方面分析自己在推理 過程中思維的優(yōu)劣比如思考還有沒有更簡(jiǎn)捷的思路和更佳的方法和同學(xué)進(jìn) 行交流和比較回憶自己推理過程中的漏洞和不足及時(shí)彌補(bǔ)對(duì)推理結(jié)果的反 思有利于優(yōu)化推理思維結(jié)構(gòu)提高推理思維水平 研究數(shù)學(xué)推理能力的目的在于對(duì)其的發(fā)展和提高為具體教學(xué)提供可借鑒的 內(nèi)容 3 數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng) 古人在九章算術(shù)中就設(shè)有推理章來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力而現(xiàn)代在 12 縮短推理能力有利于提高思維效率直接抓住問題的癥結(jié)并可以進(jìn)行發(fā)現(xiàn) 創(chuàng)新活動(dòng) 3對(duì)推理方法的轉(zhuǎn)換能力 對(duì)推理方法轉(zhuǎn)換能力主要指心理運(yùn)演的靈活性其表現(xiàn)形式為善于靈活運(yùn)用 法則公理定理和方法概括遷移能力強(qiáng)善于靈活變換思路能從不同角 度方向方面運(yùn)用多種方法去著手解決問題善于把分析與綜合特殊與一般 具體與抽象有機(jī)地聯(lián)系起來善于從正向思維容易轉(zhuǎn)向逆向思維等 數(shù)學(xué)推理能力弱的學(xué)生有很大一部分是由于推理方法轉(zhuǎn)換較為呆板在推 理中總是遵循業(yè)已使用的規(guī)則和思維方式當(dāng)遇到新情況新問題和困難時(shí)缺 少應(yīng)變能力導(dǎo)致推理進(jìn)程停止不前半途而廢這樣長(zhǎng)此以往對(duì)推理能力的 發(fā)展造成障礙 4在推理過程中的反省認(rèn)知能力 推理過程的反省認(rèn)知能力主要指在推理過程中學(xué)生每進(jìn)行一次推理都必須 反思自己這樣推理所要達(dá)到的目的以及這樣推理的合理性使推理過程始終處于 自己的意識(shí)監(jiān)控之下 數(shù)學(xué)推理能力較強(qiáng)的學(xué)生往往反省認(rèn)知能力也較強(qiáng)其表現(xiàn)為推理的思路 清楚具體問題具體分析能及時(shí)調(diào)節(jié)修改思路善于發(fā)現(xiàn)推理過程中出現(xiàn)的 錯(cuò)誤并及時(shí)糾正能夠抓住問題解決的有用條件剔除干擾因素善于對(duì)問題的 可解性作出正確的估計(jì)推理過程的目的性強(qiáng)等這樣推理過程的每一步基本 在意識(shí)的監(jiān)控之下提高了推理的效率和結(jié)果的正確性使推理的每一步有根有 據(jù) 5對(duì)推理結(jié)果的反思能力 對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行反思簡(jiǎn)單的指對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)估但這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不 夠更重要的是一方面分析出推理結(jié)果反映出的規(guī)律即從具體的題目中歸 納出一般的結(jié)論和方法并能舉一反三靈活運(yùn)用另一方面分析自己在推理 過程中思維的優(yōu)劣比如思考還有沒有更簡(jiǎn)捷的思路和更佳的方法和同學(xué)進(jìn) 行交流和比較回憶自己推理過程中的漏洞和不足及時(shí)彌補(bǔ)對(duì)推理結(jié)果的反 思有利于優(yōu)化推理思維結(jié)構(gòu)提高推理思維水平 研究數(shù)學(xué)推理能力的目的在于對(duì)其的發(fā)展和提高為具體教學(xué)提供可借鑒的 內(nèi)容 3 數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng) 古人在九章算術(shù)中就設(shè)有推理章來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力而現(xiàn)代在 13 學(xué)校的基礎(chǔ)課程中對(duì)學(xué)生的推理能力進(jìn)行培養(yǎng)的教育呼聲最響亮的要毫無疑 問的屬于數(shù)學(xué)學(xué)科可見推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位因?yàn)閷W(xué)生推理能力的提高 不僅有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的順利進(jìn)行而且歸根結(jié)底是為了提高公民的素質(zhì)以適應(yīng) 時(shí)代發(fā)展的要求國家教育部 2001 年 7 月頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn)稿中指出義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā) 展學(xué)生的推理能力2000 年全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱實(shí)驗(yàn)修訂 版把推理能力作為一種思維能力列入教學(xué)的基本目標(biāo)之一其它國家例如美 國亦是如此nctm 在 2000 年推出的新標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)指出推理能力的培養(yǎng)是 數(shù)學(xué)教育中不可忽視的一個(gè)重要問題在數(shù)學(xué)中對(duì)學(xué)生的推理能力進(jìn)行培養(yǎng) 有其深刻的客觀原因和良好的教育成效 可以說數(shù)學(xué)學(xué)科是發(fā)展學(xué)生推理能力的理想國因?yàn)閿?shù)學(xué)具有如下的一些 特點(diǎn)被認(rèn)為是最適合于進(jìn)行推理的學(xué)科任何術(shù)語都被清楚地解釋證明過程 都嚴(yán)格地合乎邏輯而不含糊不受任何權(quán)威意見之約束與限制任何悖于常理的 概念與理論只要它能對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有促進(jìn)作用就不會(huì)長(zhǎng)期為人們所拒絕 誠然在數(shù)學(xué)中人類的理性可以最大限度地發(fā)揮并得到發(fā)展因此數(shù) 學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力最好的最經(jīng)濟(jì)的材料正如加里寧所說數(shù)學(xué)是 鍛煉思維的體操化學(xué)家羅蒙諾索夫說至于數(shù)學(xué)即使是只不過使人們的思 維有條理也應(yīng)該學(xué)習(xí) 嚴(yán)格的邏輯推理僅是數(shù)學(xué)訓(xùn)練思維能力的一個(gè)方面從前兩章的分析論述中 我們還可得出數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的形象思維直覺思維還是學(xué)習(xí)合情推理的 理想課堂的確數(shù)學(xué)思維本身是生動(dòng)活潑的發(fā)明創(chuàng)造過程其中包括想像類 比聯(lián)想直覺頓悟等方面都表現(xiàn)得淋漓盡致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是發(fā)現(xiàn)問題提出 問題分析問題解決問題的過程是培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)探索能力的最經(jīng)濟(jì)的場(chǎng)所 數(shù)學(xué)是啟迪智慧的鑰匙數(shù)學(xué)使思維產(chǎn)生活力數(shù)學(xué)對(duì)提高學(xué)生的合情推理 能力有重大的教育價(jià)值和意義 因此一切數(shù)學(xué)思維活動(dòng)都或多或少的以數(shù)學(xué)推理的某種形式展開數(shù)學(xué)與 推理密不可分 3 1 數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生推理能力的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)作為學(xué)科因素為學(xué)生推理能力的發(fā)展創(chuàng)造了廣闊的天地在現(xiàn)代教學(xué)論 中數(shù)學(xué)教學(xué)被強(qiáng)調(diào)為是思維活動(dòng)的教學(xué)而數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心又是數(shù)學(xué)推理 吳亞萍美國數(shù)學(xué)教育的核心問題推理能力的培養(yǎng)外國教育資料1999.559 丁石孫張祖貴 數(shù)學(xué)與教育 湖南教育出版社 1998113 14 這樣關(guān)于推理的教學(xué)便是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的推理能力便成為數(shù)學(xué)教 育的中堅(jiān)因此數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)生推理能力的培養(yǎng)中具有不可或缺的突出作用 這幾乎是舉世公認(rèn)無可辯駁的教師要通過數(shù)學(xué)這一載體充分發(fā)揮學(xué)科優(yōu)勢(shì) 對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理全面的思維訓(xùn)練最大限度地挖掘與有效地發(fā)展學(xué)生在推理能 力方面的潛能使他們獲得科學(xué)地生活和工作的基本素養(yǎng) 1幫助學(xué)生作好有關(guān)知識(shí)與技能的準(zhǔn)備工作 這一點(diǎn)我們大家比較認(rèn)可說得也比較多只稍作論述對(duì)雙基基礎(chǔ)知 識(shí)和基本技能重要性的認(rèn)識(shí)不能盲目夸大但也不能忽視甚至否定因?yàn)?數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得數(shù)學(xué)技能的獲得和數(shù)學(xué)能力的形成同時(shí)存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中 相互聯(lián)系相互制約從根本上說必須協(xié)調(diào)發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力不可能脫離知識(shí) 技能的掌握而孤立存在所以數(shù)學(xué)教育應(yīng)使學(xué)生的推理能力在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí) 和基本技能的土壤上得到充分發(fā)展 2創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的空間增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力 能力的發(fā)展以知識(shí)與技能的獲得為依托但決不等同能力是在活動(dòng)中形成 和發(fā)展的 能力的形成是一個(gè)緩慢的過程有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律它不是學(xué) 生懂了也不是學(xué)生會(huì)了而是學(xué)生自己悟出了道理規(guī)律和思考 方法等這種悟只有在數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能得以進(jìn)行 因而教師要加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程教學(xué)這樣可有利地提高學(xué)生的合情推理 能力通過適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)盡可能使學(xué)生親自體驗(yàn)概念的形成過程精心設(shè)計(jì) 和組織教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生參與公式定理法則性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)探索推導(dǎo)的過程 盡量暴露解題的思考過程尤其是思路受阻以及產(chǎn)生錯(cuò)誤后是如何調(diào)整思維方式 的過程幫助學(xué)生掌握探索的方法和解題的規(guī)律這樣在教學(xué)活動(dòng)中教師應(yīng)給 學(xué)生提供足夠的探索交流的空間組織引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明 等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程即突出數(shù)學(xué)化特點(diǎn)的教學(xué)把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融 入其中 同時(shí)在學(xué)生這種教學(xué)活動(dòng)中盡量給學(xué)生呈現(xiàn)熟悉的感興趣的現(xiàn)實(shí)的 問題情境并加以適當(dāng)?shù)膯l(fā)和鼓勵(lì)以激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的 熱情增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力使推理能力的培養(yǎng)更加順暢 3 有目的有計(jì)劃有步驟地進(jìn)行論證推理的訓(xùn)練提高學(xué)生論證推理的 能力 合情推理比較符合人的認(rèn)知過程在教學(xué)中的難易程度比較好控制而數(shù)學(xué) 的論證推理屬于邏輯推理其中就蘊(yùn)涵著許多的邏輯知識(shí)和法則使學(xué)生在接受 起來有一定的難度我國對(duì)中學(xué)生論證推理能力的培養(yǎng)往往是通過幾年的邏輯 推理訓(xùn)練而在訓(xùn)練中教材和教學(xué)一般只對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本身進(jìn)行解釋而對(duì)其中 的邏輯成分很少解釋學(xué)生在沒有理解邏輯知識(shí)的情況下去學(xué)習(xí)推理往往只是不 15 自覺地使用邏輯法則有時(shí)便會(huì)造成一些邏輯錯(cuò)誤這當(dāng)然不利于學(xué)生推理能力 的發(fā)展為了幫助學(xué)生更自覺地使用邏輯推理避免邏輯錯(cuò)誤提高思維和發(fā)展 推理能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)赜嗅槍?duì)性地有步驟地安排學(xué)生學(xué)習(xí)初步的邏 輯知識(shí)是有好處的 其次教師要重視向?qū)W生明確運(yùn)算也是推理算理的思想有意識(shí)地在 運(yùn)算中培養(yǎng)學(xué)生推理的習(xí)慣和能力這是因?yàn)樵谥袑W(xué)代數(shù)中含有較多的具有算 法性質(zhì)的內(nèi)容學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)多只是記憶運(yùn)算的公式和步驟而忽 視對(duì)其依據(jù)的有效理解和掌握這就不利于運(yùn)算的準(zhǔn)確性也不利于推理能 力的培養(yǎng)雖然在中學(xué)生不能對(duì)所有的數(shù)式運(yùn)算的依據(jù)進(jìn)行掌握但我 們要盡可能使學(xué)生做到數(shù)學(xué)地記憶從中提高推理能力其實(shí)數(shù)學(xué)的各知 識(shí)領(lǐng)域都是如此推理的載體是多元化的因此我們應(yīng)該有步驟地把推理 能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)的各內(nèi)容領(lǐng)域之中 還有學(xué)生邏輯思維水平的高低尤其受到一定年齡的制約使得邏輯思維能 力的發(fā)展呈現(xiàn)出一定的階段性從大的方面說數(shù)學(xué)教育的對(duì)象是學(xué)生學(xué)生是 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體而且數(shù)學(xué)教育也有培育學(xué)生主體性的任務(wù)這是學(xué)生與數(shù)學(xué)教 育一個(gè)矛盾的兩個(gè)方面在矛盾的轉(zhuǎn)化中外因是條件內(nèi)因是根據(jù)所以數(shù) 學(xué)教育只有依據(jù)學(xué)生的內(nèi)因進(jìn)行教學(xué)才能真正促成學(xué)生推理能力的合理發(fā)展 不考察學(xué)生思維發(fā)展的客觀規(guī)律內(nèi)因的主要方面就會(huì)盲目行事不可能使數(shù) 學(xué)教育朝著科學(xué)的方向行進(jìn)不可能真正提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量也就不能有效保 障學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的提高 因此需要著重指出的是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以研 究與掌握學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律為前提考慮并遵循學(xué)生的身心特點(diǎn)把握好學(xué)生 現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平使教學(xué)內(nèi)容逐層展開循序漸進(jìn)體現(xiàn)出一定的層次性 這樣才能使數(shù)學(xué)教學(xué)盡可能的適合并有利促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展不致超前或滯 后于學(xué)生論證推理的思維水平 這一點(diǎn)對(duì)幾何教學(xué)十分重要尤其在平面幾何教學(xué)中要有層次地逐步訓(xùn)練 分階段地發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和推理能力對(duì)此將在后面展開論述 32 數(shù)學(xué)教材與學(xué)生推理能力的培養(yǎng) 剛談到了數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生推理能力培養(yǎng)的問題使我們了解到數(shù)學(xué)推理能 力的培養(yǎng)是滲透在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中的這就首先要求教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)對(duì)課堂 學(xué)習(xí)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)和組織使學(xué)生有效地習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)高水平地掌握數(shù)學(xué)技 錢佩玲 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法北京師范大學(xué)出版社 2001 錢佩玲 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法北京師范大學(xué)出版社 2001 16 能進(jìn)而發(fā)展和提高數(shù)學(xué)推理能力而數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織與呈現(xiàn) 為課堂教學(xué)提供了線索數(shù)學(xué)教材是教與學(xué)所依據(jù)的藍(lán)本是教師教學(xué)的基本素 材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)也是各國數(shù)學(xué)教育研究的重要部分?jǐn)?shù)學(xué)教材建設(shè) 的質(zhì)量直接影響到數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量決定著學(xué)生推理能力的水平直接決定著二 十一世紀(jì)公民的素質(zhì)它對(duì)于我國教育發(fā)展的重要性不容置疑因?yàn)槲覀儚臄?shù) 學(xué)教育的重要方面教材著手展開有關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的研究是很有意義 的 321 數(shù)學(xué)教材編寫的首要原則 的確從學(xué)生與數(shù)學(xué)教學(xué)這對(duì)矛盾包含著一系列矛盾教師與學(xué)生教師 與教材學(xué)生與教材等來看學(xué)生與教材的矛盾是教學(xué)過程的主要矛盾我們 依然本著前面提到的學(xué)生本位的原則在教材的編寫中也應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知水平為 前提即教材的編寫應(yīng)注意數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律并重這 是數(shù)學(xué)教材編寫的首要原則也是有效地發(fā)展學(xué)生推理能力的保障 1數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯演繹體系 數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容是依據(jù)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)等標(biāo)準(zhǔn)從數(shù)學(xué)科學(xué)的基本內(nèi)容中合理 地精選出來的而數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的知識(shí)結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的邏輯性與系統(tǒng)性這是 在數(shù)學(xué)教材建設(shè)中必須予以考慮的不重視數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)性 就不可能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有正確的理解和認(rèn)識(shí)更談不上讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去順 利全面地學(xué)習(xí)這門學(xué)科和解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題 2數(shù)學(xué)教材的編寫要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平 但數(shù)學(xué)教材不能僅僅照般數(shù)學(xué)科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)教育工作者還要研究學(xué)生不 同發(fā)展階段的認(rèn)知方式認(rèn)知結(jié)構(gòu)與心理發(fā)展規(guī)律從數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)中選擇那些 有利于學(xué)生成長(zhǎng)又能被學(xué)生接受的最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)來有步驟地組織教材內(nèi) 容為學(xué)生編寫更加具有針對(duì)性和實(shí)效性教材這樣才能合理地促進(jìn)學(xué)生推理能 力的發(fā)展 322 幾何教材的編寫 3 2 2 1 幾何的教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力的一個(gè)契機(jī) 前面我們論述到數(shù)學(xué)中處處充滿了推理論證推理和合情推理數(shù)學(xué)的 每個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都為發(fā)展學(xué)生的推理能力提供了天然的素材比如代數(shù)中的算理 統(tǒng)計(jì)里的統(tǒng)計(jì)推斷線形規(guī)劃中的分析決策等等其中幾何學(xué)雖然不一定是推 理能力培養(yǎng)的一個(gè)主場(chǎng)所但是不可否認(rèn)幾何應(yīng)作為數(shù)學(xué)教育的重要課程之 一是長(zhǎng)期以來國際數(shù)學(xué)教育界多數(shù)人的看法其中重要的原因是幾何在培養(yǎng)學(xué)生 的幾何直覺合情推理能力邏輯思維能力以及空間觀念上的作用 17 1幾何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力 這一點(diǎn)在歐氏幾何兩千多年的歷史中已經(jīng)得到了充分的肯定正如英國學(xué) 者費(fèi)克爾(d.s.fielker)所說歐幾里得的那些定理之所以重要不是因?yàn)樗怯杏?的能夠應(yīng)用的或它們本身的價(jià)值而是因?yàn)樗鼈兪茄堇[推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的 一部分首先幾何體系有利于人們對(duì)演繹推理有較深入的理解要求對(duì)思維進(jìn) 行系統(tǒng)的較為嚴(yán)格的訓(xùn)練而且這種訓(xùn)練對(duì)學(xué)生終身有用當(dāng)前西方國家普遍 感到計(jì)算機(jī)人才缺乏尤其是編程員缺乏其中一個(gè)原因是他們把中學(xué)幾何的內(nèi) 容砍得太多造成學(xué)生的邏輯思維能力以及對(duì)數(shù)學(xué)的興趣大大降低 其次在初級(jí)階段幾何作為一種訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的工具有它的 長(zhǎng)處它內(nèi)容的直觀性難度的層次性真假的實(shí)驗(yàn)性以及推理過程的可預(yù)見性 不要求學(xué)生有太多的知識(shí)作為基礎(chǔ)學(xué)生可以借助于圖形的直觀這一點(diǎn)適合初 中學(xué)生的認(rèn)知水平 當(dāng)然歐氏綜合幾何也不能被認(rèn)為是中學(xué)中演繹方法的嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯的唯一模 型已有一些學(xué)者提出用邏輯學(xué)或數(shù)學(xué)的其它材料如組合數(shù)學(xué)算法等來替 代幾何的教育功能但國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)icmi的研究表明到目前為止 還缺乏令人信服的證據(jù)和成功的實(shí)驗(yàn)而相比之下幾何材料則經(jīng)歷了上千年的 千錘百煉 2幾何有助于合情推理能力的發(fā)展 大量心理學(xué)實(shí)驗(yàn)尤其是皮亞杰的認(rèn)知發(fā)生論實(shí)驗(yàn)表明圖形更利于直覺 更利于歸納類比分析綜合等人類一般能力的發(fā)展幾何活動(dòng)經(jīng)常包含合情 推理活動(dòng)的各個(gè)方面從構(gòu)造猜想表述假設(shè)提供證明發(fā)現(xiàn)特例和反例到 最后形成理論這些過程在各種水平的幾何活動(dòng)中都可以被發(fā)現(xiàn)顯然幾何直 覺是合情推理這一思維活動(dòng)進(jìn)行一個(gè)重要的因素而幾何直覺又主要是幾何直觀 的產(chǎn)物正如吳文俊院士指出幾何學(xué)有形象化的好處幾何會(huì)給人以數(shù)學(xué)直 覺不能把幾何學(xué)等同于邏輯推理應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力但也應(yīng)適可 而止只會(huì)推理缺乏數(shù)學(xué)直覺是不會(huì)有創(chuàng)造性的 綜上幾何是不可替代的幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)豐富的直觀背景 和鮮明的認(rèn)知層次通過幾何的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生學(xué)會(huì)利用不同途徑去解決問題 對(duì)幾何結(jié)果形成合理的猜想對(duì)數(shù)量結(jié)論進(jìn)行快速的估計(jì)為解決具體問題提供 直觀的模型同時(shí)對(duì)空間與圖形性質(zhì)的探索和推導(dǎo)還有助于培養(yǎng)學(xué)生借助直觀 進(jìn)行推理的能力進(jìn)而養(yǎng)成推理嚴(yán)謹(jǐn)言必有據(jù)和條理化的思維習(xí)慣從這種意 義上講研究圖形的幾何作為數(shù)學(xué)的分支學(xué)科比其它分支更利于培養(yǎng)推理能力 提高思維品質(zhì) 鮑建生幾何的教育價(jià)值與課程目標(biāo)體系教育研究