11由2012年三道高考解析幾何題得到的圓錐曲線性質(zhì).doc

由2012年三道高考解析幾何題得到的圓錐曲線性質(zhì)高考題1(2012福建文21)如圖1，等邊三角形的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上.(I)求拋物線的方程；(II)設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn).證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn).圖1 (參考答案：(I)；(II)以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)(0,1).)高考題2(2012福建理19)如圖2，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率.過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8.(I)求橢圓的方程(II)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.圖2(參考答案：(I)；(II)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0).)高考題3(2012安徽理20)如圖1，點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂線交直線于點(diǎn).圖3(I)如果點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,4)，求此時(shí)橢圓的方程；(II)證明：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn).(參考答案：(I)；(II)略.)文獻(xiàn)1研究了高考題1,2的一般情形(專著2第55-56頁的文章也早就研究了它們)，本文由這三道高考題又得到了圓錐曲線的兩條性質(zhì).定理1設(shè)圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線)的一條準(zhǔn)線及其對應(yīng)的焦點(diǎn)分別是.(1)若過準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作兩條直線分別與切于點(diǎn)，則點(diǎn)共線且；(2)若過焦點(diǎn)作直線分別與交于點(diǎn)，再過點(diǎn)分別作的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在準(zhǔn)線上且；(3)過上的任一點(diǎn)作的切線能交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若的與準(zhǔn)線垂直的對稱軸上的定點(diǎn)滿足恒成立，則定點(diǎn)重合且直線與也相切(其中點(diǎn)是直線與的另一交點(diǎn))；(4)過上的點(diǎn)作直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則直線與相切.為證明定理，先給出兩個(gè)引理(見專著2第22頁)：引理1 (1)若是橢圓上一點(diǎn)，則該橢圓以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是；(2)若是雙曲線上一點(diǎn)，則該雙曲線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是；(3)若是拋物線上一點(diǎn)，則該拋物線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是.引理2 (1)若是橢圓外一點(diǎn)，切該橢圓于，則切點(diǎn)弦的方程是；(2)若是雙曲線外一點(diǎn)，切該雙曲線于，則切點(diǎn)弦的方程是；(3)若是拋物線外一點(diǎn)，切該拋物線于，則切點(diǎn)弦的.定理1的證明 先證拋物線的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(3)，得，所以得點(diǎn)共線.當(dāng)及時(shí)，均易證得.(2)因?yàn)橹本€的斜率一定存在，所以可設(shè)其方程為，又設(shè).由引理1(3)，得，所以，即點(diǎn)在準(zhǔn)線上.由及，得，所以.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又，設(shè)，由可證得定點(diǎn)重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 易知點(diǎn)不是的頂點(diǎn)，所以可不妨設(shè)點(diǎn)在軸的右方.過點(diǎn)作拋物線的右半支的切線，切點(diǎn)為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點(diǎn)重合，所以直線與相切.再證橢圓的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(1)，得，所以得點(diǎn)共線.當(dāng)及時(shí)，均易證得.(2)可設(shè)，又設(shè).由引理1(1)，得，所以，即點(diǎn)在準(zhǔn)線上.由及,得，即.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又，設(shè)，由可證得定點(diǎn)重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 這里只證是焦點(diǎn)在軸上的橢圓情形.易知點(diǎn)不是長軸的端點(diǎn)，所以可不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方.過點(diǎn)作上半橢圓的切線，切點(diǎn)為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點(diǎn)重合，所以直線與相切.最后證雙曲線的情形.可不防設(shè)，得.(1)可設(shè)，由引理2(1)，得，所以得點(diǎn)共線.當(dāng)及時(shí)，均易證得.(2)可設(shè)，又設(shè).由引理1(1)，得，所以，即點(diǎn)在準(zhǔn)線上.由及,得，即.又，可證.(3)設(shè)，由引理1(3)，得，所以可求得它與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又，設(shè)，由可證得定點(diǎn)重合.再由結(jié)論(2)及同一法，可得欲證成立.(4) 由結(jié)論(1)得. 這里只證是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的情形.易知點(diǎn)不是實(shí)軸的端點(diǎn)，所以可不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方.過點(diǎn)作的上半部分的切線，切點(diǎn)為.由“”的結(jié)論，得.又，可得點(diǎn)重合，所以直線與相切.定理2 (1)設(shè)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓或雙曲線(其離心率是，左、右焦點(diǎn)分別為，左、右準(zhǔn)線分別為)，過曲線上的任一點(diǎn)(但不在軸上)作的切線交分別于點(diǎn)，則(當(dāng)存在時(shí))，(當(dāng)存在時(shí))；(2)設(shè)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓或雙曲線(其離心率是，左、右焦點(diǎn)分別為，直線分別是的過左、右頂點(diǎn)的切線)，過曲線上的任一點(diǎn)(但不在軸上)作的切線交分別于點(diǎn)，則；(3)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線及焦點(diǎn)分別是，的過頂點(diǎn)的切線是，過上的不是頂點(diǎn)的任一點(diǎn)作的切線，與分別交于點(diǎn)，則.證明 (1)由定理1(1)立得.下面再給出一種統(tǒng)一的證明.這里只證雙曲線的情形，并且只證(當(dāng)存在時(shí)).設(shè)雙曲線，可得雙曲線過點(diǎn)的切線方程為，所以.可得.由，可得.(2)這里也只證雙曲線的情形.設(shè)雙曲線，可得雙曲線過點(diǎn)的切線方程為，所以.可得.由，可得.(3)可不防設(shè)，直線即軸，切線，可得，所以無論是否存在，均可