（等離子體物理專業(yè)論文）等離子體填充的橢圓波導(dǎo)色散特性研究.pdf

獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)】；進(jìn) 行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特 別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得電子科技大學(xué)或 其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工 作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確 的說明并表示謝意。 - 2 f 日 簽名： 移i 名歷 日期：一，2年z 月 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本學(xué)位論文作者完全了解電子科技大學(xué)有關(guān)保留、使 用學(xué)位淪文的規(guī)定，有權(quán)保留并向國家有關(guān)部r 或機(jī)構(gòu)送 交淪文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授 權(quán)電子科技大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有 關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手 段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 玎日 簽名：趁疊疊導(dǎo)師簽名到也l 望 日期：，9 二年月 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 f i 最初，人們研究橢圓波導(dǎo)是為了能夠定出圓波導(dǎo)的制造公差，即是說把橢圓 波導(dǎo)柞為圓波導(dǎo)的小變形后的波導(dǎo)，故所研究的橢圓波導(dǎo)都是屬于小橢圓度的或 小偏心率的。近年來電子工業(yè)的發(fā)展，要求有高性能的微波傳輸線，故出現(xiàn)非金 屬的波導(dǎo)及非圓形波導(dǎo)，橢圓波導(dǎo)作為長距離，可彎曲波導(dǎo)，應(yīng)用于大天線，如 衛(wèi)星通訊的三十米天線中，作為主波導(dǎo)用，是屬于大橢圓度的，故以前屬于小橢 圓度的理論計算不足以適應(yīng)現(xiàn)在的應(yīng)用了。到副l 十年代以后，又出現(xiàn)了一些討 論橢圓波導(dǎo)文章，主要應(yīng)用在天線系統(tǒng)中。 y 本文從橢圓空波導(dǎo)中電磁波的傳輸理論出發(fā)，較為全面的研究了橢圓柱坐標(biāo) 系下解亥坶霍茲方程出現(xiàn)的馬丟函數(shù)的解的問題，用無窮級數(shù)的有限項(xiàng)來逼近馬 丟函數(shù)的解，研究了橢圓空波導(dǎo)中各種波型的波，并計算了歸一化的截止波長， 幾種模式的歸化衰減曲線，及波的色散曲線，并與圓波導(dǎo)的色散曲線進(jìn)行了比 較。 在此基礎(chǔ)上，又從導(dǎo)師的“磁化等離子體波導(dǎo)中電磁波傳播理論”出發(fā)，并 將其應(yīng)用于橢圓波導(dǎo)中，研究了在外加無窮大磁場和零磁場時完全填充等離子體 橢圓波導(dǎo)中波的傳輸理論，計算出了各種模式的波的色萱篁盥繕，又進(jìn)行了部分填 充的橢廚波導(dǎo)中的波傳播理論的公式推導(dǎo)。 關(guān)鍵詞：橢圓波導(dǎo)，等離子體，色散特性，馬丟函數(shù) v v 一 壘墮型 一 一一 a b s t r a c t b a s e do nt h et h e o r yo fe l e c t r o m a g n e t i cw a v e si ne l l i p t i c a lh o l l o wp i p e so f m e t a l m a dt h ep r o f i l i u st h e o r yo nt h ew a v ep r o p a g a t i o na l o n gm a g n e t i z e dp l a s m a - f i l l e d w a v e g u i d e ，t h ed i s s e r t a t i o np r e s e n t st h et h e o r yo f t h et r a n s m i s s i o no fe l e c t r o m a g n e t i c i nh o l l o wc o n d u c t i n g p i p e s o rt u b e so f e l l i p t i c a l c r o s ss e c t i o n ，i n c o m p l e t e l y p l a s m a f i l l e de l l i p t i c a lw a v e g u i d e a n di np a r t l yf i l l e de l l i p t i c a lw a v e g u i d e i t sd i f f i c u l tt oi l w e s t i g a t et h eb e h a v i o ro fe l l i p t i c a lw a v e g u i d e ，o n ep r o b l e mi st h e a n a l y s i so fm a t h i e uf u n c t i o n ，a n o t h e ri sm a n u f a c t u r i n go n e t h er e s u l t so f n u m e r i c a l c a l c u l a t i o no ft h ec u t o f fw a v e l e n g t ho fd i f f e r e n ts u c c e s s i v em o d e sa r ep r e s e n t e d ，t h e m e a s u r e dv a l u e so ft h ec u t o f f w a v e l e n g t ho fd i f f e r e n tm o d e sa g r e ev e r yw e l lw j t ht h e t h e o r e t i c a lc a l c u l a t e dv a l u e s t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so fh o l l o wa n dp l a s m a f i l l e d e l l i p t i c a lw a v e g u i d eh a v eb e e no b t a i n e d t h ed i s p e r s i o nc u r v eo fd i f f e r e n ts u c c e s s i v e m o d e si sr e p o r t e dh e r e w i t ht h ee x a c ts u c c e s s i o no ft h ed i f f e r e n tm o d e si tb e c o m e s p o s s i b l et oc o m p a r et h eb a n d w i d t ho f a l l e l l i p t i c a lt ot h eb a n d w i d t ho f t h er e c t a n g u l a r a n dc i r c u l a rg u i d e t h ec a l c u l a t i o n sw e r em a d e b yp r o g r a m su s i n gv c + + t oc o m p u t e t h em a t h i e uf u n c t i o n so ft h ef i r s tk i n da n d u s i n gb e s s e lf u n c t i o np r o d u c ts e r i e sf o rt h e m o d i f i e dm a t h i e uf u n c t i o n so ft h ef i r s tk i n d t h ef o r m u l a so f p a r t l yf i l l e de l l ：i p t i c a t w a v e g u i d ew e r ed e r i v e d w i t ht h e s ev a r i o u sd i f f i c u l t i e si nm i n dw ec o u l dw e l la s k w h e t h e ll i k eap a r t l yf i l l e dc i r c u l a rw a v e g u i d e ，ap a r t l yf i l l e de l l i p t i c a lw a v e g u i d ei s c a p a b l eo fs u p p o r t i n g ab a l a n c e d h y b r i d m o d e i tw o u l dp r o b a b l yb ee a s i e rt o m a n u f a c t u r et h a nt h ec o r r u g a t e dw a v e g u i d ea n dc o u l do f f e rt hp o s s i b i l i t yo fb e t 【e r b a n d w i d t h p e r f o r m a n c e k e yw o r d ：e l l i p t i c a lw a v e g u i d e ，d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，m a t h i e uf u n c t i o n 4 皇重型絲查堂堡主堂垡絲苧 一 第一章引言 1 1 橢圓波導(dǎo)的研究進(jìn)展及等離子體填充的微波器件的研究 1 1 1 橢圓波導(dǎo)的研究進(jìn)展 在3 0 ，4 0 年代，橢圓波導(dǎo)的研究工作已經(jīng)比較成熟，出現(xiàn)了一些經(jīng)典論文，如 m a s s a c h u s e l t t si n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y , c a m b r i d g e m a s s a c h u s e t t s 的l a l lj e nc h u 的那篇( ( e l e c t r o m a g n e t i cw a v e s i ne l l i p t i c a lh o l l o w p i p e so f m e t a l ) ) i l l ，一直被 奉為經(jīng)典，因?yàn)樗亲钤绲囊黄芯繖E圓波導(dǎo)理論的文章，他得到了六種不 同模式的波導(dǎo)的截止頻率和衰減常數(shù)的數(shù)值結(jié)果。1 9 4 7 年k i n z e r 和w i l s o n 第一次發(fā)表了t e 。，t m c 0 1 和t i f f 。t t 這三種模式的截止頻率的近似公式，作者 并沒有提到他們公式的正確性。咂模式在1 9 6 0 年v a l e n z u e l a 發(fā)表的論文 中有過討論，p i e f k e 用新的近似方法修正了馬丟函數(shù)，得到了十二中模式的 衰減常數(shù)，沿用到7 0 年代初。19 7 0 年，j g k r e t z s c h m a r 在i e e e 上發(fā)表了 ( ( p r o p a g a t i o ni ne l l i p t i c a lw a v e g u i d e s ) ) 1 3 j 。但這期間內(nèi)，人們研究橢圓波導(dǎo)是 為了能夠定出圓波導(dǎo)的制造公差，即是說把橢圓波導(dǎo)作為圓波導(dǎo)的小變形后 的波導(dǎo)，故所研究的橢圓波導(dǎo)都是屬于小橢圓度的或小偏心率的。近年來電 子工業(yè)的發(fā)展，要求有高性能的微波傳輸線，故出現(xiàn)非金屬的波導(dǎo)及非圓形 波導(dǎo)，橢圓波導(dǎo)作為長距離，可彎曲波導(dǎo)，應(yīng)用于大天線，如衛(wèi)星通訊的三 十米天線中，作為主波導(dǎo)用，是屬于大橢圓度的，故以前屬于小橢圓度的理 論計算不足以適應(yīng)現(xiàn)在的應(yīng)用了。到了八十年代以后，又出現(xiàn)了一些討論橢 圓波導(dǎo)的文章，主要應(yīng)用在天線系統(tǒng)中，如t s b i r d 的( ( b e h a v i o ro fm u l t i p l e e l l i p t i c a lw a v e g u i d e so p e n i n g i n t oag r o u n d p l a n e m j ，文章中討論了橢圓波導(dǎo)中 波輻射至地面的問題。波導(dǎo)和橢圓截面的喇叭在圓極化源方面，還有在反射 器的反饋中需要成形束，都有一定的實(shí)際用途。橢圓的，波紋形的和介質(zhì)線 的喇叭輻射問題已經(jīng)得到研究，自從m u l l e r 在此領(lǐng)域首開先河之后，光滑 橢圓波導(dǎo)的輻射問題幾乎沒有得到應(yīng)有的研究。由于開放式末端，現(xiàn)存文獻(xiàn) 第一章引言 幾乎沒有達(dá)到在橢圓波導(dǎo)中研究反射這一層次的，主要是由于解馬丟函數(shù)的 困難，盡管c h e w 等人提供了一個近似公式。光滑的矩形和圓形喇叭輻射器 的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明重要的反射已經(jīng)能在中等尺寸的孔徑中發(fā)生，為喇叭輸入失 配作出了很重要的貢獻(xiàn)。e r i kl i e r 在( a p p l i c a t i o no f r e c t a n g u l a r a n d e l l i p t i c a l d e l c o r ef e e dh o m st oe l l i p t i c a lr e f l e c t o r sa n t e n n a s ) ) ( 7 】中談到在一定的喇叭中， 橢圓模式能達(dá)到最大限度輻射強(qiáng)度。這些用在雷達(dá)，地面站，還有在衛(wèi)星通 訊中，用在地球橢圓軌跡方面。對于雙偏振來說，在兩個正交的偏振之間， 一個高頻率的反饋系統(tǒng)必須獲得很高的增益。在雙反射系統(tǒng)中，主反射器用 橢圓波導(dǎo)，副反射器用圓角型波導(dǎo)，這個反射器能提供低的正交偏振和高的 孔徑效益。在一個用橢圓作反射器的非成形雙反射器中，角向橢圓電子注的 饋電系統(tǒng)是需要的。在只有一個反射器的反射系統(tǒng)中，主饋角用橢圓，饋角 相對于雙反射系統(tǒng)要小。相對于一個雙反射器補(bǔ)償天線，單反射器補(bǔ)償天線 要便宜，但這兩種天線都需要橢圓模式和好的圓極化性能。f a a l h a l g a n 和 s r j u d a h 在( ( m o d ec h a r t sf o rc o n f o c a la n n u l a re l l i p t i c a lr e s o n a t o r s ) ) p 3 中討論了 共焦環(huán)形橢圓振蕩器的一些有用的特性，主要用在面天線的設(shè)計和多口微帶 電路接口中，這篇文章主要用新的技巧，給出了c a e r 的幾種模式，并給出 了這幾種模式的波數(shù)和橢圓環(huán)半徑，偏心率及內(nèi)外橢圓環(huán)橢圓度的比值的關(guān) 系。圓波導(dǎo)和矩形波導(dǎo)的波模式已經(jīng)得到廣泛研究，并在微波元器件的設(shè)計 中有著不可估量的價值，但橢圓波導(dǎo)振蕩器及共焦橢圓環(huán)形振蕩器的研究還 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，k r e t z s c h m a r , l r i s h ，r e m b o l d 已經(jīng)研究過橢圓盤振蕩器，但這些研究 僅是一些近似的，漸近線的或是實(shí)驗(yàn)的研究結(jié)果。另外，a l h a r g a n 和j u d a h 得到過不同橢圓度的8 0 種模式的橢圓盤振蕩器的圖表。t m ，模式的環(huán)形橢 圓面天線的帶寬已經(jīng)得到實(shí)驗(yàn)證明，在許多情況下，天線的設(shè)計者對c e a r 的完全分析并不感興趣，這主要是關(guān)系到馬丟函數(shù)的事，一些圖表提供了簡 單但行之有效的數(shù)據(jù)，盡管是近似的，但能繞過分析馬丟函數(shù)的困難。但對 于c e a r 來說，還沒有這些圖表能夠加以利用s h a r m a 用頻域分析的方法研 究振蕩器波數(shù)。k l c h a r t 和s r j u d a h 在( ( m o d a l a n a l y s i s a t f l a e j u n c t i o n f o r m e d b y ac i r c u l a ro r e l l i p t i c a lw a v e g u i d ea n d at r a n s l a t e da n dr o t a t e d e l l i p t i c a l 一皇王型墊查堂塑主堂垡笙墨 一 一一 。a v e g u i d 【9 1 文中闡述了橢圓諧振腔被用來作微波濾波器的元件，這樣，接 口特性在濾波器設(shè)計過程中是至關(guān)重要的，在諸多處理技巧中，模式匹配法 來解決這個問題用的最廣泛，因?yàn)闄E圓波導(dǎo)中的場是用馬丟函數(shù)來描述的。 m a t r a s 等人已經(jīng)用模式匹配的方法研究了橢圓橢圓的波導(dǎo)接口，并把其 工作推廣到了偏離圓心的更一般的情況，盡管他已得出耦合系數(shù)的計算結(jié)果， 但也只是近似值。g i m e n o 和g u g l i e l m i 也已研究過規(guī)則波導(dǎo)和小橢圓度的橢 圓波導(dǎo)。s a l v a t o r ec a o r s i 等在( ( e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gb yw e a k l yl o s s y m u l t i l a y e re l l i p t i c a lc y l i n d e r ) 1 1 0 】中利用一階泰勒級數(shù)的有限項(xiàng)來近似馬丟函 數(shù)的解來處理用失真材料的多層圓柱中電磁場的散射問題。y e h 已經(jīng)根據(jù)馬 丟函數(shù)獲得了單一均勻介質(zhì)填充的橢圓波導(dǎo)的二維散射問題的解。s a l v a t o r e 等人已經(jīng)拓展這個問題，得到了共焦的橢圓柱中散射問題的解，盡管這個問 題被認(rèn)為是很困難的，但s a l v a t o r e 等得到了類似與y e h 的解法的更有計算效 率的解。由于復(fù)宗量的馬丟函數(shù)的解至今沒有現(xiàn)成的軟件可用，作者采用了 泰勒級數(shù)的一階近似。研究的焦點(diǎn)主要集中在橢圓波導(dǎo)中出現(xiàn)的馬丟函數(shù)的 處理，其次是在于如何用初等函數(shù)來逼近橢圓波導(dǎo)中的場結(jié)構(gòu)，來求得簡易 的工程計算公式。有些文獻(xiàn)中已經(jīng)用貝塞爾函數(shù)的乘積級數(shù)來逼近橢圓波導(dǎo) 中的馬丟函數(shù)，并能得到很好的結(jié)果。研究這種波導(dǎo)有實(shí)際意義，因?yàn)閺臋E 圓波導(dǎo)的分析可以估計圓波導(dǎo)小變形對電磁波傳輸所產(chǎn)生的影響。中科院院 士林為干先生對橢圓直波導(dǎo)也進(jìn)行了詳細(xì)闡述【2 1j 。國內(nèi)的中國工程物理研究 院流體物理研究所的林其文在橢圓波導(dǎo)的截止波長和衰減常數(shù)的理論計算 2 2 ，這篇文章詳細(xì)闡述了馬丟函數(shù)實(shí)宗量的解的問題。 圓波導(dǎo)在平衡條件激勵下的混合模式已經(jīng)得到很廣泛的研究，并在天線 系統(tǒng)中天線的反饋部分廣泛地作為高性能的反射器。當(dāng)在自由空間中輻射時， 它產(chǎn)生了一個理想的沒有交叉的偏振成分的對稱的輻射模式。在圓波導(dǎo)中為 了支持一個平衡模式的混合模，要求滿足各向異性的邊界條件，如圓周方向 和縱向的表面電抗f 和：在圓周邊界上需滿足x 。x ：= 一z ? ，其中z 。是波 導(dǎo)內(nèi)填充的介質(zhì)的阻抗。最常用的產(chǎn)生滿足邊界條件方法是的采用波紋波導(dǎo)， 笙二童! ! 童 一 這樣的波紋波導(dǎo)近年來得到了廣泛的研究，尤其用在天線的饋元部分。長久 以來，部分填充的圓波導(dǎo)被看作是一種便宜的，有成本效益且具有足夠帶寬 的帶名詞。圓對稱的平衡混合模式的波導(dǎo)輻射出一對稱的模式。在一些應(yīng)用 中需要非對稱的電子束，這時采用橢圓波導(dǎo)較好，盡管它導(dǎo)致了線性的橫向 極化場。已經(jīng)證實(shí)在橢圓波導(dǎo)中一種混合模式在圓周方向處處可以輻射出成 形束。橢圓波導(dǎo)喇叭的特性還沒有得到應(yīng)有的研究，其中一個困難是制造工 藝上的，另一個是分析上的。另外，些研究表明，橢圓波導(dǎo)的混合模式一 定程度上限制了帶寬性能，這樣，我們不免要問，象部分填充圓波導(dǎo)那樣， 橢圓波導(dǎo)能否也可以支持平衡混合模式的波型，它在工藝制造上比波紋波導(dǎo) 容易，有可能具有很好的帶寬特性。 已有文獻(xiàn)均是研究橢圓空波導(dǎo)的傳輸特性，當(dāng)?shù)入x子體填充后，能極大 的提高微波器件的輸出功率和效率。等離子體的出現(xiàn)，尤其是有磁場存在時， 將導(dǎo)致波導(dǎo)中的波和場發(fā)生巨大的變化。t e 模和t m 模將耦合在一起而不能 單獨(dú)存在，將產(chǎn)生混合模h e 和e h 模。磁化等離子體填充將產(chǎn)生各種各樣的 傳輸模式，而這些模式是在真空中或有等離子體但無磁場情況下不存在的。 1 1 2 等離子體填充的微波器件的研究 在二次世界大戰(zhàn)中，對雷達(dá)的研究促進(jìn)了微波技術(shù)的飛速發(fā)展，也為微波的 廣泛應(yīng)用創(chuàng)造了條件。微波等離子體作為微波應(yīng)用的一個重要方面，開始研究于 四十年代末和五十年代初，當(dāng)時，美國麻省理工學(xué)院w p a i i i s ，s c b r o w n ，d j r o s e 和a d m a c d o n a l d 等科學(xué)家首先對微波氣體放電的物理機(jī)制進(jìn)行了詳細(xì)研究，由 于條件的限制，以及物理機(jī)制的復(fù)雜性，對微波等離子體研究的深度還不夠，到 六十年代末，由于微波等離子體在材料形成及處理，分析化學(xué)，光譜學(xué)，激光， 火箭驅(qū)動等方面的廣泛應(yīng)用，使得微波等離子體的研究成為新的熱點(diǎn)。當(dāng)時，妨 礙微波等離子體廣泛應(yīng)用的一個重要方面是只能在很小體積內(nèi)得到微波等離子 體，這是由于微波放電電路要求放電尺寸同微波的空間波長相同或更小。脈沖功 皇蘭型墊盔堂堡主堂焦蘭苧一 率技術(shù)和相對論電子束技術(shù)的長足進(jìn)步和發(fā)展是人們又重新開始研究等離子體器 件。與此同時，高能量的強(qiáng)流電子注被廣泛應(yīng)用到各種微波器件如相對論速調(diào)管， 相對論返波管，相對論行波管等中，獲得了更大功率的微波輸出。等離子體的填 充改變慢波結(jié)構(gòu)的電動力學(xué)特性。首先是使色散曲線通常上移，從而使工作頻率 提高，這一點(diǎn)可從等離子體填充的光滑波導(dǎo)的截止頻率上看出來： ，2 ：。z 丁z + 2 ，式中等號右邊第一項(xiàng)為沒有等離子體填充時波導(dǎo)的截止頻率， 此時t ：。利用這一特性，可以通過改變等離子體密度來實(shí)現(xiàn)頻率調(diào)諧。另外， 等離子的填充產(chǎn)生出頻率非常豐富的低頻等離子體振蕩模式( t g 模式) ，尤其是 周期性加載的波導(dǎo)如波紋波導(dǎo)，其周期性低頻t g 模為周期性光滑波導(dǎo)t g 模式 的疊加。實(shí)際上，波紋波導(dǎo)等周期性加載波導(dǎo)可近似看成由多個光滑波導(dǎo)組成的 導(dǎo)波系統(tǒng)。最近，電子科技大學(xué)劉盛綱教授提出了電子注一電磁波等離子體波 導(dǎo)互作用理論。 1 2 本論文的工作及論文組織 1 2 1 本論文的工作 1 、首先對空波導(dǎo)進(jìn)行了了解和必要的研究，為主要工作即填充等離子體后的 橢圓波導(dǎo)的色散特性研究進(jìn)行了鋪墊。 2 、對橢圓柱坐標(biāo)系下解亥姆赫茲方程所出現(xiàn)的馬丟函數(shù)進(jìn)行了深入的了解和 應(yīng)用。 3 、推導(dǎo)出等離子體填充的橢圓波導(dǎo)的波動方程及色散方程。 4 、推導(dǎo)出了填充等離子體后的橢圓波導(dǎo)的色散方程，并對其進(jìn)行了必要的數(shù) 值計算，且把橢圓波導(dǎo)的色散曲線在偏心率取極限小時于相同條件下的圓波導(dǎo)進(jìn) 行了比較，用來驗(yàn)證橢圓波導(dǎo)的相關(guān)性質(zhì)。 1 2 2 本論文的組織 第一章引言 笙二童! ! 童 一 第二章 第三章 第四章 第五章 橢圓空波導(dǎo)的理論 填充等離子體的橢圓波導(dǎo)理論研究 部分填充介質(zhì)的橢圓波導(dǎo)理論研究 結(jié)束語 電子型墊查堂堡主堂垡絲塞 一 2 1 引言 第二章橢圓直波導(dǎo)中色散特性的研究 1 9 3 8 年，c h u 發(fā)表了電磁波在橢圓空波導(dǎo)中傳播的理論，他得到了六種 不同模式的波導(dǎo)的截止頻率和衰減常數(shù)的數(shù)值結(jié)果。1 9 4 7 年k i n z e r 和w i l s o n 弘“ 第一次發(fā)表了t e c 0 1t mc 和。，t m 5 。這三種模式的截止頻率的近似公式。作者并沒 有提到他們公式的正確性。t e 。，。模式在1 9 6 0 年v a l e n z u e l a 發(fā)表的論文中有過 討論h i ，p i e f k e 用新的近似方法修正了馬丟函數(shù)，得到了十二中模式的衰減常數(shù)。 本文采用無窮級數(shù)表達(dá)的馬丟函數(shù)的有限項(xiàng)來進(jìn)行數(shù)值計算，得到了較好的結(jié) 果。 2 2 橢圓空波導(dǎo)色散方程的推導(dǎo) 由麥克斯韋方程： v e = - j b v h = j + j c o d v d 2 口 v b = 0 得到直角坐標(biāo)系下波動方程： 籌+ 等+ 霧一踟ax 2av 2az 2 橢圓柱坐標(biāo)系下的拉梅系數(shù)為： 1 ，l i h 2 = h 正薩了麗= h 、c h 2 ( - c o s 2 7 ，h = 以f ，a 、b 分別為橢圓的長 短半軸。所以橢圓柱坐標(biāo)系下，波動方程為： 第二j 生盟型重鎏呈! 魚墼塹堡塑塑壅 一 1 堡+ 粵 + 駕彬刪 h 2 ( c h2 ( - - c o s ：1 1 ) 。孑+ 而r 砑”一 其中，k ：娶：甜萬 空心橢圓直波導(dǎo)中的場，可分解為橫磁場及橫電場，由e ：和h ：表示出 【蘭+ 罷+ 娶( c h 2 4 - - c o s 2 _ ) 卿 薩+ 麗+ 彳( c 2 1 月玩刊 k ，= 7 2 + k 2 ，k2 = 2 s 進(jìn)行分禺變量處埋： e ：2 甲( f ) 中( 叩) h ：2 甲( f ) 中( 卵) 上式變?yōu)椋?窘+ 甲等。腳如舵f - c o s 2 7 2 腫。0 d c z d n i 、 。 以甲中除全式后移項(xiàng)即得 當(dāng)窯+ 土k 2 ( c h 2 4 - - - c o s 2 ，7 ) 甲中：o wd z2 。 由于此式左邊與卵無關(guān)，右邊與f 無關(guān)，故左右兩邊應(yīng)等于同一常數(shù)，取a 作為此常數(shù)，即得到兩個常微分方程： 等m j 1 ；h 2 c o s 2 r 脅。( 2 - _ 1 1 ) 籌一j 1 彩2 拋鐘_ 0 ( 2 - _ _ 2 ) 此( 2 - - - 1 ) 、( 2 - - - 2 ) 兩式是研究橢圓波導(dǎo)的基本方程，即是馬丟函數(shù)，在( 2 1 ) 皇蘭型墊奎堂嬰主堂焦堡苧一 中以f f g ，l 即得到( 2 2 ) 式；同樣在( 2 2 ) 中以叩代f 即得到( 2 1 ) 式。在 ( 2 1 ) 、( 2 2 ) 中，a 是任意數(shù)，在邊值問題中，它的取值應(yīng)由邊界條件來定出。 在波導(dǎo)問題中，( 2 1 ) 式的解應(yīng)為叩的周期為2 刀的周期函數(shù)，而( 2 1 ) 、( 2 2 ) 兩式的解分別為是階數(shù)為整數(shù)的馬丟函數(shù)和變態(tài)馬丟函數(shù)。此時a 取特殊的值， a = a 。b ，1 1 1 就是馬丟函數(shù)的階數(shù)，口。6 。是七。h 的函數(shù)，現(xiàn)在的一個通用的記號 是引入?yún)?shù)q ， q = 竽= 妒q 2 2 i + y 一 而e ：或h ：= ( f ) 中( 印) 中，如口= 。則取如下記號：中( 7 7 ) = c e 。，( 7 7 ，g ) ，若 d = 6 。，則取另一記號( 叩) = s e 。( 7 7 ，9 ) ，a 和q 的值取實(shí)值時，( 卵) = c e 。( 沖，g ) 或 m ( 叩) = s e 。( 叩，q ) 是周期為萬或2 丌的單值周期函數(shù)，這樣的單值周期函數(shù)才能把 空心波導(dǎo)中的電磁場分量正確表示出來。對應(yīng)于這樣的中( ，7 ) 函數(shù)，( 2 2 ) 式的 解可以寫成。( f ，g ) 及& 。，( f ，q ) ，( 2 - - - 1 ) 、( 2 - - - 2 ) 式是二階線性方程，故各有 兩個線性獨(dú)立的解，但它們都不是周期函數(shù)，所以( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式的解可記作： e ：= v ( f ) 中( 7 7 ) h ：= 甲( f ) 中( ，7 ) 所以，當(dāng)a = a 。，時， 爭= q 。，( f ，q ) c e 。，( 吼g ) d = b 。，時， 爭= s e 。( f ，q ) s e 。，r h q l 5k t )h l b ”i ， 把( 2 - - - 1 ) 式寫成如下的形式： 箬+ ( a - 2 q c o s 2 z 加。 ( 2 - ”。) 則( c ) 式的無窮級數(shù)形式的周期解表為： d = a 2 ny = c e 2 。( z ，q ) = 鋒c o s 2 r z( 2 4 ) 第二章塑墮皇鎏量主魚塑塑壁塑墮莖一 d ：d ：。+ ，y ：c e 2 n 1 ( z ，g ) = 爿i ：j c o s ( 2 r + 1 ) z ( 2 5 ) 口：b 2 。+ 1j ，= = s e 。，+ ，( z ，g ) = = 曰! j ：1 s i n ( 2 r + 1 ) z ( 2 6 ) 日：6 2 。+ 2 ，y = s e 2 t ，, 2 ( z ，g ) = v 。r 2 2 r + ”+ 2 2 s i n ( 2 r + 2 ) z ( 2 7 ) 歸一化方法： 土7 了c e ：( z ，a ) 出= 去了s e ：( z ，q ) 醴z = j 刀； 對于變態(tài)的馬丟函數(shù)，即式( 2 2 ) 的解，在( 2 4 ) o ，令“= 2 k 】c o s h z ，k ? = q 則( 2 - - - 2 ) 式變?yōu)椋?( “2 _ 4 k2 ) y ”+ 砂+ ( “2 _ p2 ) y = 0 ( 2 6 1 ) 其中p2 = a + 2 k ? = a + 2 q ，( 2 6 1 ) 式除第一個因子外，與貝塞爾方程一樣 當(dāng)“k 時，則( 2 6 1 ) 式與貝塞爾方程完全一樣，故可設(shè)如下形式的解 y = ( 一1 ) c ：，。( “) ( 2 6 - 2 ) 代入( 2 6 1 ) 式后，得到 ( 一1 ) c ：，一4 k , 2 ) j ：，+ o ( “2 - p 2 ) j ：， - 0 ( 2 6 3 ) ，= 0 但貝塞爾方程為 “z ，+ ：，+ “0 2 - 4 r2 j 2 ， ( 2 6 - - - 4 ) 及其迭代公式 4 j 2 ，= j 2 ，一2 2 j 2 ，+ ，2 ，+ 2 ( 2 6 5 ) 將( 2 6 4 ) 、( 2 6 5 ) 兩式代入( 2 6 3 ) 得到 ( 一1 ) c 2 ， ( 4 r2 一a ) j 2 ，一k 1 2 ( j 2 ，2 + i ，2 ，+ 2 ) = 0 然后令j 2 ，的系數(shù)等于零，r = o ，1 ，2 ，即得到 j oa c o k 1 2 = 0( 2 6 - - - 6 ) 第二章橢圓直波導(dǎo)中色散特性的研究 j 2( 盯一4 ) c 2 一k 1 2 ( c 4 + 2 c o ) = 0 ( 2 6 7 ) i ，2 ， ( 口一4 r2 ) c 2 ，一k 1 2 ( c 2 。2 + c 2 ，一2 ) = 0 ( r22 ) ( 2 6 8 ) 由于( 2 6 8 ) 式是一個二階的線性差分方程，應(yīng)有兩個解，現(xiàn)以( r + 1 ) 代替 r ，即得 【a 一4 ( r + 1 ) 2 c 2 。2 一q ( c 2 。4 + c 2 ，) = 0 現(xiàn)引入一個新記號v ：，= c ：。c ：，則此式給出 v 2 ，+ 2 + l ： d 一4 ( r + 1 ) 2 g 一 ( 2 6 9 ) y 2 ， 故當(dāng)r 一。o 時，v ：。+ 上單調(diào)下降_ 一o o ，可見v ：，既不能在兩個有限的界 v 2 ， 內(nèi)振蕩，也不能趨于不為零的有限值，故式( 2 6 8 ) 的兩個解中一個為零，一 個為無限大。為了使c ：。隨r 哼o 。而趨于零以使式( 2 6 1 ) 收斂，所以只能取 v n 辛0 的解，故在( 2 6 2 ) 式中，當(dāng)r 1 時，v 2 r + 2 v 2 ，1 ，如a , q 取有限值， a 4 ( r + 1 ) 2 ，故( 2 6 9 ) 給出 i i 刮導(dǎo)卜忐，r - - + + a o 如果取展式 c e 2 。( z ，g ) = c p 2 。( j z ，g ) = 磅c o s h ( 2 r z ) ( 2 6 1 0 ) 代入原微分方程，則得到與式( 2 6 6 ) ( 2 6 8 ) 一樣的關(guān)系，可見c 。，是爿字 乘以一常數(shù)因子，故首先有( 2 6 1 0 ) 這樣的關(guān)系，即 又可見 麗 專 盟 皇王型絲查堂堡主蘭焦絲莖 ( 一1 ) ”罐”j ：，( 2 k zc o s h z ) 由于( 2 4 ) 與( 2 6 1 2 ) 兩式同為馬丟方程( 2 2 ) 式的解，不難定出 常數(shù)k ，故最后得到： 同理可得 啪劫：嚳扣_ 字k z 即o s n ：， 心，g ) ：拿矣( 州鬟，2 h 】( 2 打啷h z ) 心，g ) 。面南( _ 1 一剁。z “2 扣m 當(dāng)n = o 時，用貝塞爾函數(shù)乘積級數(shù)表示的偶型1 階馬丟函數(shù)為 c e ( f ，g ) = a 2 s + , c h ( 2 j + 1 ) f = 0 c e ，( f ，q ) = d ：川 川( 2 - f q c h ( ) = 0 c e ( = c ：川 ( 扛一m + ，( 扛) ，( 扛釓+ ，( 扛) j 川( 屈一) 其中 d 2 j , 1 = ( 。1 ) “青7 鳴” c p 。( = ，g ) c ：川_ ( _ ，廣1 盟糍半氣+ 第二章橢圓直波導(dǎo)中色散特性的研究 c e 。( o ，g ) = a 2 ，+ c e ：( 罷，g ) 用此三種貝塞爾函數(shù)級數(shù)解的結(jié)果與馬丟函數(shù)相同，只是這種表示法收斂 速度快，易于數(shù)值計算。下圖為用貝塞爾函數(shù)級數(shù)解來計算的衰減曲線圖。 圖2 , 6 1t e 5 1 l 模式的歸一化衰減曲線 從圖中可見，歸一化衰減常數(shù)隨著偏心率的增大而增大，t e ；、波型當(dāng) e = 0 3 5 9 4 時，口丑= o 8 以后慢慢趨于常數(shù)，而當(dāng)e = 0 8 5 9 4 時，a 2 = 1 2 以后才 慢慢趨于常數(shù)。 皇三型墊查蘭堡主堂焦絲壟一一 a l l 圖2 6 2t e 。1 1 模的歸一化衰減曲線 圖( 2 6 2 ) 中顯示出陋i 波型的歸一化衰減常數(shù)隨偏心率的變化特性。可以看 出，偏心率的變化對衰減常數(shù)的影響不如咂j 模那么顯著，無論偏心率取多大， 丁既波型的衰減常數(shù)幾乎都是從a = o 8 以后慢慢趨于常數(shù)的。 計算結(jié)果與馬丟函數(shù)的無窮級數(shù)表示取有限項(xiàng)相吻合，只不過用貝塞爾函 數(shù)乘積級數(shù)表示法計算，級數(shù)收斂速度最快，易于計算。 第三章填充等離子體的橢圓波導(dǎo)的色散分析 3 1 引言 第三章填充等離子體的橢圓波導(dǎo)的色散分析 橢圓空波導(dǎo)的傳輸特性諸如幾種波型截止頻率，衰減常數(shù)，波阻抗等問題 已得到廣泛研究，并出現(xiàn)了很多經(jīng)典論文，但填充等離子體的橢圓波導(dǎo)的一些 特性并沒有得到足夠的研究，本文就外加無窮大磁場和無外加磁場的等離子體 填充的橢圓波導(dǎo)的色散特性進(jìn)行了分析。 3 2 磁化等離子體填充的橢圓波導(dǎo)的馬丟方程的解 對于外加縱向磁場的等離子體，其電介質(zhì)特性為各向異性，從流體理論可 知，磁化等離子體的介電張量為 ，c o p e ! s 1 s 2 e o l 占2 l o s 2 0 毛0 0 島 鏟一篙辮 鏟若畚 毛= 1 一七 1 1 d ，：絲 占：塹 國 塒，。= ( 篆 為電子等離子體頻率，m 。= e b o y 。r g - y - i n 旋頻率，y 婀為電 子有效碰撞頻率，j 為單位虛數(shù)，m 。為電子質(zhì)量，n 為電子密度，b 。為縱向磁 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 場的大小，e 為電子的電子的電荷量，為自由空間的介電常數(shù)，0 9 為電磁波的 角頻率。用縱向場表示橫向場法解出磁化等離子體中的電磁波的波動方程： v 12 e ：+ a e ：= b h ： ( 3 1 ) v 2 h ：+ c h ：= d e ：( 3 2 ) 其中， a = ( y 2 + k 2 s 1 ) 毛c 1 6 = j c o l o 聲2 s l c = y 2 + k 2 ( s ? + 占；) s l d = 一j c o , 。, r e 2 島c l k = 2 氏o = c o 2 c 2 v 2 _ v 2 一等 在橢圓柱坐標(biāo)系下，得到填充等離子體的馬丟方程的解。 口= a 2 n , y = c e 2 ，( z ，q ) = 磅c o s 2 r z( 3 2 1 ) d = a 2 n + l , y = c e 2 ( z ，q ) = a ( 2 n + 1 c o s ( 2 r + 1 ) z ( 3 2 2 ) d = b 2 + l , y = s e m f ( 乙9 = b ( 2 + n f + 1 s i n ( 2 r + 1 弦 ( 3 2 3 ) d = 6 2 n + 2 , y = s e ：。( z ，q ) = 碟s i n ( 2 r + 2 ) z ( 3 2 4 ) 歸一化方法： 當(dāng)2 f x ( 五9 比= 去( 毛9 如= ，萬i萬； 其中，q 是有等離子體填充的波動方程的本征值，q = a 或q = c 。對于變態(tài)的 馬丟函數(shù)，即式( 2 2 ) 的解，在( 2 4 卜_ ( 2 7 ) 中，以j z 代z 得到： c e 2 。( z ，q ) = c e 2 。( j z ，q ) = 雒“c h 2 r z( 療= 口。) c e 2 。1 ( 乙q ) = c l ( j z ，q ) = 爿料c h ( 2 r + 1 ) z( d = 口2 。1 ) 第三章填充等離子體的橢圓波導(dǎo)的色散分析 s e ：。+ 。( z ，q ) = s e 2 。u z ，q ) = 曰 j ! = ! ”s h ( 2 r + 1 ) z s e ：。：( z ，q ) = j ，( j z ，q ) = b 嬲2 s h ( 2 r + 2 ) z ( a ：吆+ 】) = b 2 。2 ) 3 3 外加無窮大磁場的等離子體填充的橢圓波導(dǎo)色散分析 陵： 得到b = d = o ，所以波動方程去耦合，且 a = ( ，2 十女2 ) ( 1 一f 2 ) c = r 2 + k 2 e ：( t m 模) 的波動方程與h ：( t e 模式) 的波動方程形式不同。 先計算t m 模的色散特性，本征值 a ：q ：h - 等4 ( - k ：2 + c o k 。也2 睪- ( o p 2 z l o c o ) 對上式進(jìn)行歸一化： q = ( 一t 2 + 甜2 + t 了( o p 2 - - o ) p2 ) 根據(jù)方程( 2 1 ) 、( 2 - - - 2 ) 的解得出橢圓波導(dǎo)t m 波型內(nèi)部的場結(jié)構(gòu) 皇量型墊查堂堡主堂些絲苧 一 e ：= c 。，c e 。( f ，q ) c e 。，0 7 ，o ) + z s 。s e 。，( f ，q ) s e 。，q ) ( 3 2 5 ) ”j = 0 m = 1 此項(xiàng)中舍去了傳播因子e ，”，c 。s 。，是待定常數(shù)，( 3 2 5 ) 式中，對應(yīng)于 任一個m 值存在著兩種解，把傳播因子補(bǔ)進(jìn)去，取實(shí)部，這兩個解是： e ：。= c 。，c e 。，( f ，q ) c e 。，( 叩，q ) c o s ( c o t 一皿) e 。= s s e ，( f ，q ) s e 。，( r l , q ) c o s ( c o t 一屈) 其中，q = 三如，五= j p ，。= k 2 - f l 2 對于t m 場，邊界條件是：在f = o 上，e = = 0 ，故邊界條件變?yōu)?。，( 氕，q ) = 0 則色散方程為 & 。，( f 。，q ) = 0 偶模：c e 。，( f ，( 一女；2 + 國“+ ：。2 與一，“) = 0 奇模：s e 。( f ，( 一t2 + ”+ ：。2 之一，。) = 0 下圖是歸一化的截止波長 第三章墮壟竺塞量堡塑塑墮墊量塑魚塑坌塹 九a 75 ( 07 0 65 60 55 5 0 45 40 3 5 30 2 5 2 0 15 10 o00 10 2 0 70 40 50 6 e 圖3 3 1橢圓波導(dǎo)幾種波型的歸一化截止波長 0 1z34 kn = 0 5 x 1 0 1 3 z p 圖3 3 2 等離子體濃度為0 5 x 1 0 ”時t m 3 1 1 模的色散曲線 從上圖( 3 3 1 ) 可以看出，t m 1 ，和t m i i 的截止頻率很接近，若工作頻率 在以= 1 6 口附近，單模傳輸幾乎不可能。圖( 3 3 2 ) 是等離子體濃度竹。= o 5 1 0 ” 時，偏心率分別為0 1 8 2 2 ，0 3 6 0 5 時的色散曲線，可見等離子體濃度相同，偏心 率增大，色散曲線有上移趨勢，但上移幅度不大。且產(chǎn)生很豐富的t g 模，圖中 皇王型莖查蘭墮主堂垡笙苧 僅示出了一條。 與相同等離子體濃度的圓柱波導(dǎo)即當(dāng)橢圓波導(dǎo)的偏心率取零時比較。 kn = 0 5 x 1 0 1 3 z p 圖3 3 3 等離子體濃度為0 5 x 1 0 1 3 時的圓波導(dǎo)的歸一化色散曲線 圖3 3 4 圓波導(dǎo)的色散曲線 圖( 3 3 3 ) 、( 3 3 - 4 ) 是等離子體濃度 。= 0 5 x 1 0 ”時的圓波導(dǎo)的幾種歸一 化色散曲線，與已有的文獻(xiàn)相吻合。t m o , 比肼i 的色散曲線有所下降，這與橢 圓波導(dǎo)的趨勢相一致。 笙三皇墮查箜塑王簽塑塑旦鎏量墮魚墼坌塑二一 圖。 c o k n = 4 x 1 # 3 一p 圖3 3 5同等離子體濃度不同偏一t l , 率的t m 8 l l 波型的色散曲線 k ： e = 0 1 8 2 2 圖3 3 6 等偏心率不同等離子體濃度的t m 5 i l 的色散曲線 圖( 3 3 6 ) 是不同等離子體濃度相同偏一t l , 率的t m 8 1 1 波型的一- k ：的曲線 磚加：g弱帖們拍筋加他們：寶 砧 加 鈾 鯽 帕 皇型墊查堂堡主堂篁絲苧 v 圖3 3 7 相同偏心率不同等離子體濃度的色散曲線 圖( 3 3 7 ) 是不同等離子體濃度同偏心率的t m i i 波型的v d _ k ：的色散曲線， 可知等離子體濃度月，= 4 x l o ”時的色散曲線比n ，= 0 5 1 0 ”時要平坦，所以可 以通過改變等離子體的濃度來改變橢圓波導(dǎo)的色散平坦度。