（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）有限體積方法在守恒律中的應(yīng)用.pdf

中英文摘要 o 1中文摘要 來(lái)自自然科學(xué)與工程領(lǐng)域中的大多數(shù)微分方程在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為守恒形式 r 可，( mj 二0z r “t r + 三( 0 ，。c ) ，r “ “j 11 0 j - - = l 【 ( r ) z r “ 它是自然界中的守恒定律在數(shù)學(xué)上的直接反映，對(duì)流體力學(xué)方程組而言，它就是質(zhì)量，動(dòng) 量，能量守恒得到的方程。由于雙曲守恒律( o11 ) 沒(méi)有其它項(xiàng)，如色散( d i s p e r s i o n ) ，擴(kuò) 散c d i f h l s i o n ) ( 某物理量分布不均勻引起的輸運(yùn)) ，反應(yīng)( r e a c t i o n ) ，記憶( 1 l l e l n o r y ) ，阻尼 f d a m p i n g ) 及松弛( r e l a , ：a t i o n ) ( 描述非平衡態(tài)) 等，而僅有輸運(yùn)或?qū)α黜?xiàng)( t ：o i i v e c i o t l ) ( 由于 流體的流動(dòng)引起的輸運(yùn)) 時(shí)，守恒律( 1 】11 ) 的解失去光滑性( 這里不特殊說(shuō)明守恒律就 指該意義下) ，甚至即使光滑的初始數(shù)據(jù)，解隨著時(shí)間的發(fā)展會(huì)變成不連續(xù)，這在物理上 表現(xiàn)為激波的形成。從流體力學(xué)的角度上看，( o1 1 ) 事實(shí)上就是粘性很小的近似。當(dāng)考 慮粘性后，即在數(shù)學(xué)上反映為( 011 ) 中多了擴(kuò)散項(xiàng)( 二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)) 即使很粗糙的初始數(shù) 據(jù)，解在瞬間內(nèi)變的很光滑這由于流體的粘性擴(kuò)散引起，這種對(duì)流一擴(kuò)散問(wèn)題可用古 典的微分方程來(lái)研究。自然的想法就是當(dāng)粘性趨于零時(shí)，帶粘性的對(duì)流一擴(kuò)散問(wèn)題的解 在某意義下趨于無(wú)粘性問(wèn)題( 0 i 1 ) 的解，這就是正則化方法。另一辦法從離散( 數(shù)值) 角 度上研究?jī)H有對(duì)流項(xiàng)的守恒律( o11 ) 如構(gòu)造它的差分格式，甚至更一般的有限體積格 式，有限元及譜方法等，從這些格式構(gòu)造近似解( 常表現(xiàn)為分片多項(xiàng)式) 來(lái)逼近原守恒律 的解。正則化方法與數(shù)值角度研究都在于估計(jì)解的構(gòu)造，其次考慮估計(jì)解的穩(wěn)定性，即 在適當(dāng)度量下估計(jì)解大小的上界，而且著重研究與正剮化系數(shù)【如粘性大小) 與數(shù)值的離 散參數(shù)( 如時(shí)間，空間步長(zhǎng)大小) 無(wú)關(guān)的上界。在利用緊框架( 如b v 緊，l l 緊，補(bǔ)償緊 等) 得到估計(jì)解有子列在某種模意義下收斂到某一個(gè)函數(shù)，再利用估計(jì)格式( 估計(jì)解所滿 足的方程) 逼近守恒律來(lái)證明所得到的函數(shù)就是在某種意義下守恒律的解由于大時(shí)間 范圍內(nèi)守恒律( 011 ) 的解表現(xiàn)為很差的正則性，它不能在古典意義下定義，即在每一點(diǎn) 下的導(dǎo)數(shù)無(wú)意義使得古典辦法研究遇到很大困難，它只能在弱意義下定義弱解，但往 往這種弱解不唯一，需要某條件限制確保解的唯一性，在數(shù)學(xué)上稱為熵條件，滿足該條 件的弱解稱為熵解。從流體力學(xué)來(lái)看，它事實(shí)上是熱力學(xué)第二定理的反映，即熵越過(guò)激 波f 一種間斷1 要增加各種估計(jì)格式構(gòu)造的估計(jì)解應(yīng)反映這一事宴，即滿足熵不等式 從實(shí)際計(jì)算來(lái)看，總是通過(guò)離散化求解，不考慮計(jì)算的積累誤差，它的穩(wěn)定性與計(jì)算精 度都依賴與真解的光滑性，一般說(shuō)，在解較光滑的區(qū)域有較好的穩(wěn)定性與計(jì)算精度，而 在較粗糙的區(qū)域則相反對(duì)守恒律( 0l1 ) 的求解來(lái)說(shuō)，一般保持一定精度的數(shù)值格式在 光滑性較差的區(qū)域計(jì)算效果不大好，首先，捕捉解的光滑性較差的區(qū)域( 間斷處) 較差， 其次，在該區(qū)域附近逼近不大好，如不能模擬物理上的震蕩。所有這些都反映了解的正 則性的缺乏給數(shù)值研究帶來(lái)困難。 l j 1 , i z k o v 4 8 】在7 ( ) 年代用雙變量技巧( d o u b l ev a r i a l ? l et e c h n i q u e ) 解決了多維單個(gè)雙 曲守恒律( 0l1 ) 的熵解的適定性問(wèn)題，即熵解的存在性，唯一性及正規(guī)性結(jié)果，特別熵解 的1 收縮性質(zhì)。1 9 7 6 年k u z n e t s o v 5 1 1 把雙變量技巧用于雙曲守恒律的估計(jì)問(wèn)題，用拋 物正規(guī)( 粘性方法) 或用f “上的矩形網(wǎng)格構(gòu)造差分格式，并得到了相應(yīng)的1 收斂速度估 計(jì)。他的估計(jì)方法常稱為k i l z l l e t s o v 估計(jì)理論。1 9 9 8 年k i l z l i e t s o v 估計(jì)理論被b o u c h u t 與p ( , r t h a m e 5 1 推廣到用非線形退化守恒的拋物問(wèn)題逼近雙曲守恒律( 0ii ) ，并得到兩 者熵解的誤差的顯式表示，1 9 9 9 年c o c k i m r n 與g r i p e n b e g i2 1 把雙變量技巧得到非線形 退化守恒的拋物問(wèn)題半群解在l 1 意義下如何顯式依賴輔運(yùn)流，擴(kuò)散流及初始數(shù)據(jù)，在一 維時(shí)半群解就是熵解，但對(duì)于多維情形，這種半群解是否仍為熵解還沒(méi)有得到解決。 1 9 8 5 年d i p e r n a 3 1 1 引人多維單個(gè)雙曲守恒律的測(cè)度值熵解概念，用雙變量技巧證 明了測(cè)度值熵解的唯一性與一個(gè)更深刻的結(jié)論：滿足平均l 1 界，與初始數(shù)據(jù)相容的測(cè)度 值熵解在f ) 的值就是熵解在( z ，t ) 值處的d i r a c 質(zhì)量，稱之為d i p e r n a 唯一性結(jié)果， 這也給出了多維單個(gè)雙曲守恒律熵解與測(cè)度值熵解的聯(lián)系。1 9 8 3 年l a r t a r 8 5 1 得到一 致l ”的估計(jì)序列的連續(xù)函數(shù)復(fù)合的弱星極限就是某一、u n g 測(cè)度對(duì)該函數(shù)的作用( 稱 該y 0 1 1 1 1 9 測(cè)度為與估計(jì)序列相聯(lián)系的f 概率) 測(cè)度族) 并進(jìn)一步說(shuō)明了一致l ”序列有 子列幾乎處處收斂到某函數(shù)與該序列的相應(yīng)的y o u n g 測(cè)度為d i r a c 質(zhì)量等價(jià)。該結(jié)論與 d i p e r n a 唯一性結(jié)果給出了估計(jì)解序列收斂到多維單個(gè)雙曲守恒律的熵解的一般框架： i ” 構(gòu)造多維單個(gè)雙曲守恒律的估計(jì)格式，得到估計(jì)解序列，并證明它在l ”意義 下為一致的。 2 0 ：與該估計(jì)解序列聯(lián)系的y o u n g 測(cè)度滿足d i p e r n a 唯一性結(jié)論的條件 3 ” 由1 ) i p e r n a 唯一性結(jié)果及t a r t a r 結(jié)論，估計(jì)解序列有子列幾乎處處收斂到多維 單個(gè)雙曲守恒律的熵解。 一致x 序列 u l 有子列( 仍記為 兒+ 弱星收斂到某函數(shù)u 不能推得對(duì)任意的光 滑函數(shù)，有巾z ) 弱星收斂到，( u ) 這是由于緊性的缺乏引起，需要補(bǔ)償一些緊性稱它 為補(bǔ)償緊。1 9 8 3 年t a r t , u 8 5 1 得到補(bǔ)償緊引理，并推得著名的d i vc u r l 引理，他給出了 當(dāng)一致l 。估計(jì)序列的任意墑消失測(cè)度在h ：的緊時(shí)有相應(yīng)的、r o u r l g 測(cè)度滿足t a r t , a r 交換等式，從而一致。估計(jì)序列有子列幾乎處處收斂歸結(jié)為滿足t a r t a r 交換等式的 、o u n g 測(cè)度是否為d i r a c 質(zhì)量的問(wèn)題。 有限體積方法( f 、i ) 是離散擴(kuò)散一輸運(yùn)( 特別守恒律1 問(wèn)題的主要工具它在求解流體 力學(xué)方程中已作為重要辦法其基本思想如下：把微分守恒律在某一個(gè)盒上積分，用g r e e n 公式轉(zhuǎn)化為邊界積分，得到守恒律的積分形式，再對(duì)它離散它可看作物理過(guò)程的離散模 型與有限差相比，它可適應(yīng)一般區(qū)域的求解，如它可在無(wú)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下計(jì)算，在矩形網(wǎng)格下 它可看作有限差分格式，從這角度看有限差分格式是f 、i 的特殊情形f k 、i 用于流體力 學(xué)方程的計(jì)算可回顧到7 0 年代，i a ：m - n 4 2 在1 9 7 9 年首先把這個(gè)術(shù)語(yǔ)f 、i 用于可壓縮 氣體動(dòng)力學(xué)的勢(shì)方程：v ( p v ) = 0 ，p = p “可叫) 為b e r n o u l l i 方程，事實(shí)上m c d o n a l d 6 7 1 在1 9 7 1 年把該方法用于相同的問(wèn)題相似的格式已被f o r s t y t h e 與w a s o w 3 6 1 在1 9 6 0 年用 于中子擴(kuò)散問(wèn)題的模擬但f v m 的理論分析在9 0 年代才出現(xiàn)，n i 7 1 1 首先提出的盒頂點(diǎn) f v m 及后來(lái)m o r t o n s u l i 等這方面的研究的，j a m s o n 等f(wàn) 4 3 1 的盒中心f v m 的理論研究。 在矩形網(wǎng)格下，對(duì)一般的守恒問(wèn)題的f v m 的收斂性與收斂速度可歸結(jié)為一維離散問(wèn)題， 這種結(jié)論見(jiàn)k u z n e t s o v 5 1 ( 1 9 7 6 ) ，c r a n d a l l 與m a j d a 2 6 ( 1 9 8 0 ) ，s m l d e r s ( 1 9 8 3 ) 7 7 4 在一般的 三角剖分網(wǎng)格下，對(duì)顯式的f v m ，如c o c k b u r n 等( 1 9 9 4 ) 吼c h a j n p i e r 等( 1 9 9 3 ) ，k r o n e r 與 r o k y t a ( 1 9 9 4 ) f 4 9 】，k r o n e r 等( 1 9 9 5 ) ，v i l l a ( 1 9 9 4 ) 9 3 】，他們大多遵循s z e p e s s y ( 1 9 8 9 ) 8 2 1 的證 明思想，即用d i p e r n a 唯一性框架，但用d i p e r n a 唯一性框架僅得到收斂性結(jié)果。g a l l o u e t 與h e r b i n ( 1 9 9 4 ) e y m a r d 等( 1 9 9 5 ) 推廣了k u z n e t s o v ( 1 9 7 6 ) 技巧得到誤差估計(jì)o ( h ) ， 及c o c k b u r n ，c h a i n a i s h i l l a i r e t 1 8 1 9 1 等對(duì)類(lèi)似問(wèn)題也得到相同的收斂速度雙變量技巧 也用于守恒律或它的粘性問(wèn)題的f v m 的后驗(yàn)誤差估計(jì)如k r o n e r ( 1 9 9 7 ) 5o 】，k r o n e r 與 m o h b e r g e r ( 1 9 9 9 ) 47 】，m o h b e r g e r ( 2 0 0 1 ) 7 3 1 本文組織如下，在第一章，我們做了如下工作：f v m 用于靜態(tài)s t o k e s 問(wèn)題的離散， 其中速度用基于對(duì)偶網(wǎng)格的非協(xié)調(diào)c r o u z e i x r a v i a r t 元近似，壓力用原始網(wǎng)格下的分片 常數(shù)近似。o ( h ) 的收斂速度得到，但對(duì)它比普通的協(xié)調(diào)線形元需要解的更高光滑性( 多 i 2 階) ，這可能是證明引起 第二章引人一般守恒律的概念，熵解的定義殛一些例子 第三章介紹一些緊性，b v 緊，上1 緊及補(bǔ)償緊 第四章研究多維單個(gè)守恒律或它的粘性的f v m 格式主要有三個(gè)結(jié)果： 1 0 考慮帶源項(xiàng)的多維的弱耦合雙曲守恒系統(tǒng)： b u l4 - 可。f i ( z ，t ，a2 ) = s ( “) ，v i = 1 ，n 用k u z n e t s o v 技巧得到如下結(jié)論：設(shè)u ，為上述問(wèn)題的熵解，設(shè)a t j i ( f ，t ) 。( z ，) 曼 b 。i = 1 ，n ，5 在兀：1 b 】中的l i p 常數(shù)記為l i p t 。( s ) 若n l i p t 。c ( s ) t 0 用標(biāo)準(zhǔn)k u z n e t z o v 技巧可以證明陽(yáng)j 圳的熵解有收縮性質(zhì)； l l ( t ) 一面( ，t ) l k - 1 月) 曼i l ( 0 ) 一面( o ) l l t i r p v t 0 從而也證明了( o12 ) 的熵解的唯一性利用構(gòu)造比較函數(shù)思想 8 1 還證明了由( o 13 ) 構(gòu) 造的估計(jì)解與( o 、12 ) 的熵解之間的誤差為 1 | ( u 一) ( t ) i i l l f r l o ( a t ) v t 0 限于篇幅，省去該引理與定理及這個(gè)結(jié)論的證明 在第六章中給出了第四章與第五章結(jié)論的證明 在第七章，我們研究了二維三角網(wǎng)格的整體或局部的自動(dòng)加密，在m a t l a b 下實(shí)現(xiàn)上 述的功能見(jiàn)第七章的圖l 1 8 0 2 英文摘要 m o s to fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r i s i n gf r o mp h y s i c a lo re n g i n e e r i n gs c i e n c ec a nb e f o r u m l a t e di n t oc o n s e r v a t i o nf o r m ： 0 t “+ v ：- ，( u ) = 0z r “，t r + 三( 0 ，o 。) ，“r “ ( 0 2 1 ) u ( z ，0 ) = t t 0 ( z ) z r 4 i t , d i r e c t l yr e f l e c t sc o n s e r v a t i o ni a w si nn a t u r a ls c i e n c e s f r o mv i e w p o i n t so f f l u i dd y n a m i c s ，i t c a l lb eo b t a i n e df r o mt h en l a s s ，m o m e n t u m ，e n e r g yc o n s e r v a t i o nl a w s b e c a u s et h ef o r m ( 0 21 ) h a sn oo t h e rt e r m ss u c ha sd i s p e r s i o n ，d i f f u s i o n ( c a u s e db yn o n u n i f n r m i t yo fs o m ep h y s i c a l s t a t e s ) ，r e a c t i o n ，m e m o r y ，d a m p i n ga n dr e l a x a t i o ne t c ，s m o o t h n e s so fs o l u t i o no f ( 0 2 1 ) m a y b el o s sa st i m e sg o e so n e v e nf o rt h es m o o t hi n i t a ld a t a ，s o l u t i o n so ff 02 1 ) b e c o m ed i s c o n t i n n o l l sl naf i n i t et i m et h i sf e a t u r er e f l e c t st h ep h y s i c a lp h e n o m e n o no fb r e a k i n go f w a v e sa z l dd e v e l o p m e n to fs h o c kw a v e si nt h ef i e l d so ff u l i dd y n a m i c s ，( o2 1 ) i sa na p p r o x i m a t i o nu fs m a l iv i s v o s i t x - p h e n o m e n o n i fv i s c o s i t y ( o rt h ed i f f u s i o nt e r m ，t w od e r i v a t i v e s ) a r ea d d e dt o ( 0 21 ) ，i tc a nb er e s e a r c h e di nt h ec l a s s i c a lw a yw h i c hs a yt h a tt h es o l u t i o n s b e c o m ev e r ys m o o t hi m n m d i a t e l ye v e nf o rc o a r s ei n i t a ld a t ab e c a u s eo ft h ed i m l s i o no f v i s c o s i t yan a t u r a li d e a ( m e t h o do fr e g u l a r i t y li so b t a i n e da sf o l l o w s ：s o l u t i o n so ft h ev i s c o a sc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e ma p p r o a c h st ot h es o l u t i o n so f ( 0 2 1 ) w h e nt h ev i s c o s i t y e st oz e r o sa n o t h e rm e t h o di sn u m e r i c a lm e t h o ds u c ha sd i f i e f e n c em e t h o d s ，f i n i t ee l e - m p n th 1 e t h o d s p e c t r u mm e t h o do rf i n i t ev o l u m eu m t h o de t cn u m e r i c a ls o l u t i o n sw h i c hi s c o n s t r u c t e df r o mt h en u m e r i c a ls c h e m ea p p r o x i m a t et ot h es o l u t i o n so ft h eh y p e r b o l i cc o n e r v a t i ( ) f ll a w s ( 02 1 ) a st h ed i s c r e t a t i o np a r m n e t e rg o e st oz e r o t h ea i m o ft h e s et w om e t h o d s i st oc o n s t r u c ta p p r o x i m a t es o l u t i o a sa n dt h e nt oc o n s i d et h es t a b i l i t yo fa p p r o x i m a t e s o - l u t i o n s ( i et h eu p p e rb o u n do fa p p r o x i m a t es o l u t i o n s i nt h es u i t a b l en o r m s ，e s p e c a l l yf o r t h a ti n d e p e n d e n to ft i l ea p p r o x i m a t ep a r a m e t e r s ) u s i n gt h ec o m p a c t n e s sf r a m e w o r k ( s u c h a sb vc o n l p a c t n e s s l 1c o m p a c t n e s sa n dc o m p e n s a t e dc o m p a c t n e s se t c ) a n dt h ef a c tt h a t t h et r u n c a t i o ni ss m m l ，t h ea p p r o x i m a t ef l l n c t i o nc o n s q u e n e ea p p r o c ht oaf u n c t i o nw h i c h i sp x a c t l vt h es o l u t i o n so ff 0 21 1i ns o m es e n s eo fd e f i n i t o n d u et ot h ep o o rr e g u l a r i d 。fs o l u t i o n sa t1 a r g et i i n e ( 021 ) c a un o td e f i n e di nc l a s s i c a lw a yi ，e t h e d e f i n i t i o no ft h e d e f t l 口t i fe s a t a n yp o i n t sh a s a ns e n s es oi tm a yb er a t h e rd i f f i c u l ti n t h er e s e a r c ho f c l a s s i c a lw a 、a n dm u s tb ed e f i n e di nw e a ks e n s ei n o r d e rt og u a r a n t e et h eu n i q u e n e s so f n p a ks o l u t i o n s 、ac o n d i t i o n ( e n t r o p 3 i n e q u a l i t y ) m u s tb en e e dt op i c ko u t g o o d s o l u t i o n ( e u t r o d ys n l u t i ) n s l i nt h ef i e l d so ff l u i dd y n a m i c s e n t r o p yi n e q n a l i t yr e f l e c t s t i l es e c o n d 1 a n ( ) ft h e r n l o d y n a n f i c si e e n t r o p yn n l s ti n c r e a s ea c r o s ss h o c k 砌v e s ( ak i n do fd i s c o n t i n u i t y ) a l lk i n do fa p p r ( ) x i m a t es c h e m e ss h o u l dr e f l e c tt i l ef a c tt h a ti t m u s ts a t i s f i e ss o m ek i n d ，：、【 o fd i s c r e t ee n t r o p yi n e q u a l i t y ) f r o mt i l ev i e wo fp r a c t i c a lc o m p u t a t i o n s t a b i l i t ya n dt h e e - r e t i c a le r r o ro fa n yk i n dd i s c r e t es c h e m e sa l l d e p e n d e n do ft h es m o o t h n e s so ft h es o l u t i o n o f ( 0 21 ) g e n e r a l l y ，t h ea p p r o x i m a t es o h l t i o nh a v eg o o ds t a b i l i t ym i dt h e o r e t i a le r r o ri nt h e a r e aw h e r et h es o l u t i o n sh a v em o r er e g u l a r i t ya n dp o o rs t a b i l i t ya n dt h e o r e t i a l e r r o ri n o t h e ra r e af o rt h ep r a c t i c a lc o m p u t a t i o no f ( 02 1 ) ，u s u a la p p r o x i m a t es c h e m e sh a sp o o r c o m p u t a t i o nr e s u l t si nt i l e a r e ao fp o o rr e g u l a r i t ys u c ha sd i s c o n t i n u i t i e sf i r s t l y t h el o c a - t i o no fa i _ e a so fp o o rr e g u l a r i t yi sr a t h e rd i f f i c u l ts e c o n d l y ，a p p r o x i m a t i o ni n s u c ha r e ai s p o o rf o re x a m p l e ，s i m u l a t i o no fp h y s i c a lo s s e i a t i o ni sad i f f i c u l tt a s k a l lf a c t sr e f l e c t st h a t t h el a c k n e s so fs m o o t h n e s so fs o l u t i o nc a u s e sd i f f i c u i t i e si nn u m e r i c a l lr e s e a r c h d ( m b l ev a r i a b l et e c h n i q u ei su s e db yk r u z k o vi n7 0 st oo b t a i nt h e e x i s t e n c e u n i q u e n e s s a n dr e g u l a r i t yo fe n t r o p ys o l u t i o nt o ( 0 2 1 ) f o rt h es c a l a rc a s e ，e s p e c i a l l yt h ec o n t r a c t i v e p r o p e r i t yo fe n t r o p ys o l u t i o n k u z n e t s o va p p l i e dt h i st e c h n i q u et oa p p r o x i m a t i o no fs c a l a r h y p e r h u l i cc o n s e r v a t i n nl a w s ( 0 2 1 ) i n1 9 7 6 a p a r a b o l i cr e g u l a r i t y ( v i s c o s i t ym e t h o d ) a n d d i f f e r e n c es c h e m e si nt h er e c t a n g l ei n e s bi sc o n s t r u c t e da n dc o n v e r g e n c er a t ai so b t a i n e di n t i l ei l o r n l 1 h i sa p p r o x i m a t i o nm e t h o di sl a t e l yc a l l e dk u z n e t s o va p p r o x i m a t i o nt h e o r y i n 1 9 8 9 ，k u z n e t s o va p p r o x i m a t i o nt h e o r yw a ng e n e r a l i z e db yb o u h c h e ta n dp e r t h a m e 5 】t ot h e a p p r o x i m a t i o no f ( 02 1 ) w i t hn o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i cp r o b l e ma n dt h eu p p e rb o u n d o ft h ee r r o rb e t w e e ne n t r o p ys o l u t i o nt on o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i cp r o b l e ma n d e n t r o p y s o l u t i o nt o ( 0 - 2 1 ) i so b t a i n e de x p l i c i t l y l a t e l yc o c k b u r na n dg r i p e n b e r g 1 2 】i n1 9 9 9a p p l i e dd o u b l ev a r i a b l et e c h n i q u et on o n l i n e a rn o n d e g e n e r a t ec o n s e r v a t i v ep a r a b o l i cp r o b l e m a n do b t a i n e dt h ee x p l i c i te s t i m a t ef o rt h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c ei n ”【o ，卅，l 1 ( r 4 ) ) o f s o l u t i o n st on o n l i n e a rd e g e n e r a t ec o n s e r v a t i v ep a r a b o l i cp r o b l e mi nt h es e n s eo fs e n t i g r o u p w i t h r e s p e c tt ot h en o n l i n e a rs m o o t hd i f f u s i o na n dc o n v e c t i o nf l u xa n di n i t i a ld a t a t h i s k i n do fs o l u t i o ni se x a c t l yt h ee n t r o p ys o l u t i o ni ao n ed i m e n s i o n b u ti tr e m a i n su n k n o w ni n s e r e r a ld j m e n s i o n s + r h en u t a t i o no fn l e a s u r e d v a l u e de n t r o p ys o l u t i o nt ot h es c a l a rc o n s e r x n t i o nl a w ( o21 ) i sd e f i n e db yd i p e r n ai n1 9 8 5a n dh eu s e dt h i s t e c h n i q u e t oo b t a i nt h e u n i q u e n e s so f m e a s u r e d v a l u e de n t r o p ys o l u t i o na n dm o r ep r o f o u n dc o n c l u s i o n ：t h ex a l u eo fm e a s u r e d v - a l l l e ( t e n t r o p ys o l u t i o nt ot h es c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w ( 0 2 1 ) a t ( f ，t ) i se x a c t l yt h ed i r a c l n a s 8a tt i l ev a l u eo f e n t r o p ys o l u t i o nt o ( 0 21 ) a t ( t t ) u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a tm e a s u r e d 一 、, - a h l 、de n t r o p ys o l u t i o n st ot h es c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w ( 0 21 、s a t i s f e sa v e r a g el 1b o u n da n d t h ec o m p a t i b i l i t yw i t ht h ei n i t i a ld a t at h i sr e s u l ti sa l s oc a l l e dd i p e r n au n i q u e n e s sr e s u l t w h i c hd i s c o v e r e dt h er e l a t i o nb e t w e e ne n t r o p ys o l u t i o na n dm e a s u r e d v a l u e de n t r o p ys i ) - l u t i o ni n1 9 8 3t a r t a rc l a i m p ( it h a tw e a ks t a rl h n i to fc o m p o s i t eb e t w e e na n yc o n t i n n o u s l i l f 、t i o na n du n i f o u ml 。s e q u e a c ei se x p r e s s e db yt h ea c t i o nb e t w e e ns o r t i e 、b u n gm e s a u r e a n dt i l e ( o n t i n u o u sf u n c t i o n ( t h i sy o u n gn l e s a u r ei sc a l l e dt h ea e - s o c i a t ey o u n gn l e a s n r ew i t h t h eu n i f o u m 。s e q u e n c e ) m o r e o v e rh ea l s oo b t a i n e dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e e t lt h a tt h e r e a r es u b s e q u e n c eo fu n i f o u ml ”s e q u e n c ew h i c hc o n v e r g e sa l m o s te v e r w h e r ea n d t t l a tt 1 1 e a s s o c i a t ey o u n gm e a s u r ew i t ht h i su n i f o u ml ”i se x a c t l yd i r a cm a s s t h i sc o n e u s i o na n d d i p e r n au n i q u e n e s sr e s u l tg i v eag e n e r a lc o n v e r g e n c ef r a m e w o r ko fa p p r o x i m a t es o l u t i o nt o t h ee n t r o p ys o l u t i o no fs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w ( o 2 1 ) ： 1 u ：c o n s t r u c ta p p r o x i m a t es c h e m e st ot h es c a l a rc o n s e r v a t i o nl a wf 02 1 】a n do b t a i n t h es e q u e n c eo fa p p r o x i n a t es o l u t i o n sa n dt h e np r o v et h eu n i f o u ml 。p r o p e r t yo ft h e s e q u e n c eo fa p p r o x i n a t es o l u t i o n s 2 0 ：y o u n gm e a s u r ea s s o c i a t e dw i t ht h en n i f o u m 三”s e q u e n c eo fa p p r o x i n a t es o l u t i o n s s a t i s f i e dt h ec o n d i t i o n so fd i p e r n au n i q u e n e s sr e s i l 】t 3 0 ：t h e r ee x i s ts u b s e q u e n c e so fu n i f o u ml 。s e q u e n c eo fa p p r o x i n a t es o l u t i o n sw h i c h c o n v e r g e sa l m o s te v e r w h e r et ot h ee n t r o p ys o l u t i o no ft h es c a l a l - c o n s e r v a t i o nl a w ( 02 1 1b y d i p e r n au n i q u e n e s sr e s u l ta n dt a r t a rc o n c l u s i o n 。 w ec a nn o to b t a i nl ( u ) c o n v e r g e sw e a ks t a r l yt o ，( ) f o ra n ys m o o t hf u n c t i o ni f u c o n v e r g e sw e a k l ys t a rt o “t h i si sc a u s e db yt h el a c k n e s so fc o m p a c t n e s so fu n i f o u m l 加s e q u e n c e “ e