（理論物理專業(yè)論文）自旋費米化的研究.pdf

摘要 摘要 在這篇文章中，我們首先介紹了一維自旋5 2 j o r d a n w i g n e r 變換，接著介紹了 一維自旋1 2j o r d a n w i g n e r 變換在一自旋鏈模型中的應(yīng)用和一維自旋 3 2 j o r d a n w i g n e r 變換。然后由一維推向二維，介紹了二維自旋1 2j o r d a n w i g n e r 變換。最后討論了二維自旋1 2 j o r d a n w i g n e r 在兩種自旋模型中的應(yīng)用。 第一章：首先介紹了用費米予表述的自旋5 2 j o r d a n - w i g n e r 變換，該變換將 自旋模型轉(zhuǎn)變?yōu)闊o自旋費米子模型，接著，基于無自旋費米子表象，我們討論了 自旋算符所遵循的統(tǒng)計關(guān)系。然后介紹了一維自旋5 2j o r d a n w i g n e r 變換在一維 各向異性刪模型中的應(yīng)用。 第二章：在自旋為3 2 的自旋算符和雙費米子之間構(gòu)建出了一種新的 j o r d a n w i g n e r 變換?；陔p費米子表象，我們討論了自旋值為3 2 的自旋算符所 遵循的統(tǒng)計關(guān)系。 第三章；在一維變換的基礎(chǔ)上，分別討論了m a z z o u z 和y r w a n g 關(guān)于自 旋1 2 j o r d a n w i g n e r 變換在二維中的延伸。 第四章：介紹了二維自旋1 2 j o r d a n w i g n e r 變換在兩種模型中的應(yīng)用。首先 詳細(xì)討論了各向同性x y 模型中的j o r d a n - w i g n e r 費米子平均場近似處理，然后 單獨給出了用費米子描述的考慮了易辛項在內(nèi)的海森伯模型。 關(guān)鍵詞：自旋算符，一維，二維，j o r d a n w i g n e r 變換。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h et h e s i sw ef i r s t l yi n t r o d u c eo n e d i m e n s i o n a l s p i nv 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o n t h e nt h ea p p l i c a t i o nt h a to n e d i m e n s i o n a ls p i n1 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o ni su s e df o ro n es p i nc h a i nm o d e li sd i s p l a y e da n do n e d i m e n s i o n a l s p i n3 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o ni sd i s c u s s e d f r o mo n e d i m e n s i o n a lt o t w o - d i m e n s i o n a l ，w ed i s c u s st w o d i m e n s i o n a ls p i nl 2j o r d a n w i g n e rt r a n s f o r m a t i o n a tl a s t ，t w om o d e l si nw h i c ht w o d i m e n s i o n a ls p i nl 2j o r d a n - w i g n e rt r a n s f o r m a t i o n h a v eb e e na p p l i e da r ep r e s e n t e d c h a p t e r l ：f i r s t l y ，o n e d i m e n s i o n a ls p i n1 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o nt h a t m a p st h es p i no p e r a t o r si n t of e r m i o n si si n t r o d u c e d ，w h i c hm a p ss p i nm o d e li n t o s p i n s l e s sf e r m i o n sm o d e l n e x t ，w ed i s c u s st h es t a t i s t i c a lr e l a t i o n so fs p i no p e r a t o r sb y m e a n s o ft h i s m a p p i n g t h e n t h e a p p l i c a t i o n t h a to n e - d i m e n s i o n a l s p i n l 2j o r d a n - w i g n e rt r a n s f o r m a t i o ni su s e df o ro n e d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cx y m o d e li sd i s p l a y e d c h a p t e r 2 ：n e wj o r d a n w i g n e r - t y p et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e ns p i n 3 2a n df e r m i o n s o ft w ot y p ei ss h o w n b yu s i n gt h ed o u b l e f e r m i o nr e p r e s e n t a t i o n ，w ed i s c u s st h e s t a t i s t i c a lr e l a t i o n so f t h es = 3 2s p i no p e r a t o r c h a p t e r 3 ：b a s e du p o no n e d i m e n s i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，w ed i s c u s st h ee s t e n s i o n s f o rt w od i m e n s i o n ss u g g e s t e db ym a z z o u za n dy r w a n g c h a p t e r 4 ：t h ea p p l i c a t i o n t h a tt w o d i m e n s i o n a l s p i n1 2j o r d a n - w i g n e r t r a n s f o r m a t i o na l eu s e df o rt w o s p i n c h a i nm o d e l sa r ed i s p l a y e d f i r s t l y ，t h e m e a n - f i e l d l i k et r e a t m e n to ft h ej o r d a n w i g n e rf e r m i o n sf o rt h ei s o t r o p i cx ym o d e l i sd i s c u s s e di nd e t a i l t h e nt h ec o n s i d e r a t i o no fh e i s e n b e r gm o d e lw i t hi s i n gt e r mi n f e r m i o n i cl a n g u a g ei sg i v e ns e p a r a t e l y 些! ! 堅! k e y w o r d s ：s p i n o p e r a t o r ，o n e - d i m e n s i o n a l ，t w o d i m e n s i o n a l ，j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o n 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得 的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包 含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得安徽大學(xué)或其他 教育機構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的 任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意 學(xué)位論文作者簽名：李長嶺簽字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解安徽大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有 權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和 借閱本人授權(quán)安徽大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫 f 進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：李長嶺導(dǎo)師簽名：婁平 簽字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日簽字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日 學(xué)位論文作者畢業(yè)去向：無 工作單位：無電話：13 85 6 0 7 6 959 通訊地址：安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院0 3 級研究生郵編：23 0 0 3 9 緒論 緒論 變量變換的方法在眾多物理問題的求解過程中，得到了廣泛的應(yīng)用。無論 在經(jīng)典力學(xué)還是在量子力學(xué)中這些變換都能進(jìn)行，有時候它們的應(yīng)用可以簡化對 所研究問題的分析。 人們經(jīng)常通過相互作用的量子自旋來描述在磁體中各種不同種類的磁序狀 態(tài)( 如鐵磁序、反鐵磁序以及鐵淦氧磁序等) 。然而量子自旋行為很怪異，它既 不同于單純的玻色子，也不同于單純的費米子，因此，給人們對其的研究帶來了 諸多的不便。為了克服這些困難，人們開始考慮是否可以用其他形式來表述這一 怪異的量子自旋行為，美國物理學(xué)家p j o r d a n 和e w i g n e r 在這方面率先得到了 行之有效的變量變換方法即“j o r d a n w i g n e r ”變換。 關(guān)于變量變換，在量子多體理論中存在許多不同的變量變換，運用它們可 以將量子自旋體系變換到粒子體系。其中最為人所熟知并且得到廣泛應(yīng)用的有玻 色子變換和費米子變換兩類。玻色子變換中有：適用于任意自旋s 的 “h o l s t e i n p r i m a k o f f ”玻色予變換i ”，“s c h w i n g e r ”玻色子表述，以及 “d y s o n m a l e e v ”玻色子表述。費米子變換中有：適合于自旋s = 1 2 磁體的 “j o r d a n - w i g n e r ”費米子變換以及費米子表述i “。玻色子變換是在玻色子的表 象下描述自旋體系，可是自旋體系的相位空間是有限維的，而玻色子體系的相位 空間是無限維的，因此給我們運用這一類變換方法帶來了困難，我們必須考慮到 用某些局域約束條件去固定或限制( 例如“h o l s t e i n p r i m a k o f f ”玻色子變換中 對自旋偏離量子數(shù)”的限制：，? 2 s ) 所涉及粒子體系中的玻色子的數(shù)目。這一 因素大大限n t 玻色子變換方法的應(yīng)用。 費米子變換則不同于玻色子變換，它在一維情況下處于相同格點的j = l 2 的自旋算符和無自旋費米子算符之間建立了聯(lián)系，即一維“j o r d a n w i g n e r ”變 換?！癹 o r d a n w i g n e r ”變換是可逆的并且不需要任何限制，因而被廣泛的應(yīng)用。 這種變換方法是研究量子自旋鏈的統(tǒng)計力學(xué)性質(zhì)的手段之一( 近年來，一些學(xué)者 基于傳統(tǒng)的熱力學(xué)b e t h e 方案積分方程方法也可以用來研究自旋鏈的統(tǒng)計力學(xué) 性質(zhì)，結(jié)果證明兩種方法的結(jié)果符合的相當(dāng)好) 。這種變換方法最早是在1 9 2 8 年 被美國物理學(xué)家p j o r d a n 和e w i g n e r 所提出，并且在以后的時間多次被提及， 自旋費米化的研究 應(yīng)用和發(fā)展。1 9 6 1 年到1 9 6 3 年，美國物理學(xué)家e l i e b ，t s c h u l t z 和d m a t t i s 運用“j o r d a n w i g n e r ”變換先后將自旋算符變換為費米子算符叭電子變換成 為“硬核”( h a r dc o r e ) 玻色子 4 1 、硬核”玻色子變換為費米子【5 l 。從這些變 換中人們發(fā)現(xiàn)，雖然“j o r d a n - w i g n e r ”變換的形式比較復(fù)雜，但將它應(yīng)用到若 干模型中后，卻帶來了若干精確的求解結(jié)果。1 9 6 1 年，e l i e b 等人對自旋1 2 肼 鏈模型求解得到了較精確的解。1 9 6 4 年他們又運用“j o r d a n w i g n e r ”變換對二 維易辛( i s i n g ) 模型的轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行變換并得到了二維易辛( i s i n g ) 模型的熱 力學(xué)量的精確解 6 】。鑒于“j o r d a n w i g n e r 變換在一維體系中的成功應(yīng)用，近 來人們又做了很多努力來總結(jié)二維1 7 - 1 7 】a n = 維，】的費米化過程。首先是1 9 8 9 年，美國物理學(xué)家e d u a r d of r a d k i n 對于“s p i n o n e h a lf ”量子體系在二 維格點上建立了“j o r d a n w i g n e r 變換p 】：智利物理學(xué)家l u i sh u e r t a 和j o r g e z a n e l l i 于1 9 9 3 年建立了推廣到三維( 或更高維) 的“j o r d a n w i g n e r ”變換 1 8 j ， 當(dāng)然這些變換都是圍繞著自旋1 2 體系建立起來的。 由于自然界中自旋有可能非常大( n 卿j 上i g ns ：1 5 2 的自旋都存在) 1 2 0 】， 因此僅滿足于對自旋為1 2 的體系所取得的成功是不夠的，應(yīng)轉(zhuǎn)向研究自旋大于 1 2 的自旋體系。于是人們開始嘗試在高自旋體系與費米予之間建立聯(lián)系，構(gòu)建 一種新的沒有玻色子表述之缺點的表述，來推廣針對于高自旋的 “j o r d a n - w i g n e r ”變換。2 0 0 1 年，美國物理學(xué)家c d b a t i s t a 和g 0 r t i z l 2 , j 對 于生成s u ( 2 ) 群代數(shù)的任意自旋s 引入一種全新的自旋一費米表述，雖然這種表 述構(gòu)建了自旋s = 1 2 的“j o r d a n w i g n e r ”變換的一種自然的推廣結(jié)果。但在隨 后的2 0 0 3 年，俄羅斯物理學(xué)家s t a n i s l a vvd o b r o v l 2 2 】發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果中包含著嚴(yán) 重的不一致并給以證明，對他們的公式給出了另外的解釋，并在自旋s = 3 2 和 雙費米子之間明確地構(gòu)造出了真正的“j o r d a n w i g n e r ”類型的變換，同時對自 旋費米化的一般條件給以公式化。 緒論 針對于自旋為1 2 的自旋體系，本文將主要討論如何在一維和二維中運用 “j o r d a n w i g n e r ”變換方法將自旋體系變換到無自旋費米子體系中去以及該變 換方法分別在若干自旋模型中的應(yīng)用，同時簡要討論了自旋為3 2 的 “j o r d a n w i g n e r ”變換。第一章將詳細(xì)介紹運用“j o r d a n w i g n e r ”變換將一維 自旋1 2 體系變換到無自旋費米予體系中去，另外給出了該變換在一維各向異性 朋7 模型中的應(yīng)用。第二章簡要討論了自旋為3 2 的一維“j o r d a n w i g n e r ”變換； 在第三節(jié)里分別討論了m a z z o u z 和y r w a n g 關(guān)于自旋1 2j o r d a n w i g n e r 變換在 二維中延伸。第四章分別介紹了二維自旋1 2 “j o r d a n w i g n e r ”變換在各向同性 冊7 模型和海森伯模型中的應(yīng)用。 自旋費米化的研究 第一章一維自旋1 , 2j o r d a n w i g n e r 變換 及其應(yīng)用 第一節(jié)一維白旋1 2j o r d a n w i g n c r 變換 我們知道量子自旋的行為很怪異，它既不同于單純的玻色子，也不同于單 純的費米子，因此給人們在研究這一課題時帶來很多困難。但是，在一維情況 下s ：1 2 的單自旋的行為和費米子很類似。那么能否用費米子來描述量子自旋 呢? 1 9 2 8 年，美國物理學(xué)家p j o r d a n 和e w i g n e r 發(fā)現(xiàn)，一個單獨自旋向上或 自旋向下的狀態(tài)可以認(rèn)為是一個被單個電子占據(jù)或空的、未被占據(jù)的費米子態(tài)。 為此我們做如下描述： 1 1 、) - - = c + i o ) ，i o ) = 1 0 ) ( 1 1 t 1 ) c + 代表費米子產(chǎn)生算符，用c 表示費米子消滅算符，它們遵循反對易關(guān)系： c + ，c _ 1 ，扛+ ，c + _ t ，c = 0 ( 1 1 t 2 ) 目旋算符的= 個分螢s 、s 、s 。( h = 1 ) 用塏利矩阡衣不力： 圭( 褂止戈丹小三( ， 很顯然： b 。，s ，j - i s 2 ，b ，s ：j - i s 。，b 。，s 5 | - 捃， ( 1 1 4 ) 8 = 丟p ，j = 吉缸肛，z ) ( 1 1 5 ) 這里我們引進(jìn)兩個互為厄密共軛的自旋上升算符s + 和自旋下降算符s 一，表示 為： c + = s + = j 。+ 捃7 = ( ： 第一章一維自旋1 2j o r d a n - w i g n e r 變換及其應(yīng)用 c = s 一= s 。一括7 = ?： c - 6 ， 在這里： i 2 = g 。) 2 + g ，) 2 + g 。) 2 ( 1 m 1 由對易關(guān)系式( 1 1 4 ) 可得： 【j2 ，j 8j = 0 ， = 矗y ，z ) ( 1 1 8 ) 依據(jù)( 1 1 6 ) 式和( 1 1 8 ) 式，我們得到： p2 ，s + j = b2 ，s j - 0 ( 1 1 9 ) 用算符s + ，s 一，s 2 可以完全地確定矢量算符；，且更便于代數(shù)變換。 由式( 1 1 6 ) 可以得到 j 。= 丟g + + j 一) = 吉g + + c ) s ，= 去g + 一s 一) = 土2 i g + 一c ) ( - o ) 代入( 1 1 4 ) 式得到： s ：c + c 一曇 ( 1 1 1 1 ) 這樣自旋算符s 的x ，y ，z 的分量形式分別用費米子算符c 和c + 表示出來，現(xiàn) 在我們來看一下它們遵循的統(tǒng)計關(guān)系： i t , s - j - b 。+ 捃y ，s 。一j = b 。，s 。j + ，s 。j 一，s ，j - b ，西叫 = 一2 啦。，s ，j = 2 s ：( 1 1 1 2 ) b 。，s + j = k + c 一 ，c + j = c + c c + 一 c + 一c + c + c + c + ( 1 1 1 3 ) 自旋費米化的研究 同理口 推得： b ：，s j - 一s 一 ( 1 1 1 14 ) 同樣它們遵循費米對易規(guī)則： + ，s 一) = t + ，c = l ，矗+ ，s + = 冬一，s 一 = 0 ( 1 1 1 5 ) 前面我們所討論的是單自旋態(tài)，當(dāng)所討論的問題是非單自旋時，就要對這 種表述進(jìn)行修改。因為相互獨立的自旋算符對易，而相互獨立的費米子算符卻 反對易，解決這一問題辦法是給算符乘上一個稱為“弦算符”的相位因子。 如圖( 1 ) 所示，對于一維情況下的自旋鏈，定義處在格點膽上的自旋算符 為： s ：= c ；e ( 1 1 1 6 ) j ：= e - i c 。 ( 1 1 1 7 ) 相位算符丸為包含所有的小于格點1 1 的費米子占據(jù)態(tài)之和： 丸= 萬 ， ( 1 1 1 8 ) l n 其中，= c j c ，為無自旋費米子的粒子數(shù)算符且： 茸= c ：c ic ：c i = c ：q c ：cj ) cj = c j q = 卉j( 1 1 1 9 ) 圖1 一維j o r d a n w i g n e r 變換 f i g1 t o w a r d st h ej o r d a n w i g n e rt r a n s f o r m a t i o ni no n ed i m e n s i o n 這樣對于多自旋的完備的j o r d a n w i g n e r 變換被定義為： s ：= c ：e x p ( i z c ) j n 第一章一維自旋i 2j o r d a n - w i g n e r 變換及其應(yīng)用 s t , = e x p ( 一f 萬c j c ) c 。 s ：= c ：c ，一； ( i 1 2 0 ) 處在格點”上的無自旋費米子的產(chǎn)生和湮滅算符c ：與“滿足反對易關(guān)系 t j = 占 。f = k c i ：0 由( 1 1 2 0 ) 式可以得到 s 2 s 2 = c + e “e 叫。c n = c ：c ， 這樣得到j(luò) o r d a n - w i g n e r 變換的逆變換式為 另外 c ：= s 2 e x p ( 一，7 r 5 j j j ) c 。= e x p ( i 萬s 簿) s 2 我們先證明用來簡化算符c ：、o 和弦算符之間計算的下面的等式 e + ：l 一2 h ：l f 廄一去萬2 卉2 千去f 萬3 3 + 土丌t 二t l i 丌 h5 一 2 1 31 4151 叫“加去療干芻礦i + 去以三二一 娟“，癰一芻而干三i + 去橢擊i 一 娟一擴五十去萬4 ) ( ，癰一擊卉專揣) 一 = 卉( ，一芻萬2 + 嗇廳4 一一) 歷( 萬一壺，石3 + 壺，廳5 一一) 一j 搴+ t = l 一2 存 e 2 噸= ( 1 - 2 h 戌1 2 h j ) 7 ( 1 1 2 2 ) ( 1 1 2 3 ) ( 1 1 2 4 ) 、j 菥 任 ，一剮 。 ： = 明 嘶 證 礦 自旋費米化的研究 = 1 4 而，+ 4 卉； = l( 1 1 2 5 ) 接下來，我們利用上面等式，再來證明相同格點上的費米子產(chǎn)生或湮沒算符與 e + 。商一的關(guān)系： 2 而- ，c ： = ( 1 2 卉) c ：+ c ：( 1 2 卉) = c ：一2 c ：c 。c ：+ c ：一2 c ：c ：c 。 = 2 c ：一2 c ：( c 。c ：+ c ：c 。) = 0( 1 1 2 6 ) “一，c 。 = 2 c 。一2 ( c ：c 。+ c 。c ：) c = 2 c 。一2 6 , ，。c 。 = 0 ( 1 1 2 7 ) 由上兩式，可以發(fā)現(xiàn)：“在相同格點上的費米子產(chǎn)生或湮沒算符與e i 礬均為反 對易關(guān)系?！?由于曩，i ：，也二。彼此問相互對易，因此有： i x t l p “= p ?！?。e t 赫lp 。_ ：e 7 d i = ( 1 2 h 。) ( 1 2 j ；2 ) ( 1 2 h 。一1 ) ( 1 1 2 8 ) 現(xiàn)在我們來證明“弦算符”e “與費米子產(chǎn)生或湮沒算符之間的統(tǒng)計關(guān)系： ( 1 ) 當(dāng)m 2n 時， k “一，j = ( 1 - 2 h 。) ( 1 2 而2 ) - - - ( 1 2 h 。一1 ) c 。一c m ( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 h 。一i ) = ( 1 2 h ，) ( 1 2 h 2 ) - ( c 。一2 c 二i c 。一l c 。) 一c ，( 1 2 i ) ( 1 - 2 h 2 ) ( 1 - 2 h 。一i ) 由反對易關(guān)系： c ，) = 0 = ，c n - i c 。= 一c h 第一章一維自旋i 2j o r d a n - w i g n e r 變換及其應(yīng)用 可推出 疊二，c 。 = 甌吐。= 0 ：c 二，c 。= 一c ，c 二 c 。一2 c 二l c 。一i c 。= c 。一2 c m c 二l c 。一l = c 。( 1 2 c 二1 c 。一1 ) 所以，e “ 與費米子湮滅算符c 。的對易關(guān)系為 p 一，c 。j = ( 1 2 h t ) ( 1 2 h 2 ) c 。( 1 2 c 二t c ，1 ) 一c m ( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) - ( 1 2 h 。1 ) = c 。( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 c ：l c 。一1 ) 一c 。( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 h 。一1 ) = 0( 1 1 2 9 ) 同理可推得： p “，c ：j = 0 ( 1 1 3 0 ) ( 2 ) 當(dāng)m k ，則： b ；，s ：j = c k c j e 一，e ?！癹 + p j 。一，c j “ = c ；c ；k 。 ，e + “j + c ；i j ，e 。“ + c j # 一，c ：_ “一 c j ，c ：k 。一e i “ = 0 ( 2 ) 若_ ， k ，則 k ，s i 】_ c 如e ，e 1 “j + k e ，刊一 = c 。c j k 。一，e l “j + c k 【c j ，e 。“ + c j # , c k 一，“一 c j , c k 。 e 一“ = 0 ( 2 ) 若， - 2 c o s c ；f 。+ 要( c 。s 尼+ fs i n 女) c jc 二 + 姜( c o s k 一s i n k ) c 一女q 1 ( 1 2 1 5 ) 、，j 我們運用格林函數(shù)運動方程法來求解該模型的準(zhǔn)粒子能譜，頻率表象中的格林 函數(shù)運動方程式： h c o ( 珊) = 矗 + ( 甜) ( 1 2 1 6 ) 在上式中，- ，b 。下標(biāo)中的正號對應(yīng)于費米子系統(tǒng)，負(fù)號對應(yīng)于玻色子系統(tǒng)。取 a = c 。，b = c ：，代入( 1 2 1 6 ) ，由于唧和c 為費米子算符，因此阻，b 】的下標(biāo)取 “+ ”，于是我們得到下述方程： h c o ( 緲) = + ( ) ( 1 2 1 7 ) 利用費米子算符的反對易關(guān)系： 第一章一維自旋1 2j o r d a n - w i g n e r 變換及其應(yīng)用 k l = ( 1 2 1 8 ) 以及： k ，以】_ c o s k c 女+ i 7s i n k c + _ , ( 1 2 1 9 ) 代入式( 1 2 1 7 ) ，得到： ( h c o c o s k ) ( 國) = 向氣+ i y s i n k ( 國) ( 1 2 2 0 ) 上式中出現(xiàn)了奇異格林函數(shù) ( ) 。 接下來，我們來求奇異格林函數(shù) ) 所滿足的運動方程。同上我 們?nèi) = c 二，b = c ：，代入( 1 2 1 6 ) 式可得： h c o ( ) = + ( 甜) ( 1 2 2 1 ) 利用費米子算符的反對易關(guān)系： k 二，c 扎= 0 ( 1 2 2 2 ) 以及： 【c - ，h j - 一c o s k c _ * 。一i 7 s i n k c 。 ( 1 2 2 3 ) 代入式( 1 2 2 1 ) ，得到： ( 卉出+ c o s k ) ( ) = 一i y s i n k ( ) ( 1 2 2 4 ) 聯(lián)立式( 1 2 2 0 ) 和( 1 2 2 4 ) 式我們可求得單粒子格林函數(shù)： g 艏( 功) = ( 功) 2 6 屯_ h 2 c 0 2 自+ c o s k c o s 2k 一，2s i n 2k 1 +! ! ! ! = 扛c 裂籌蒜 1 一! ! ! ! +竺絲蘭壘堡壘1 ( 1 2 2 5 ) h c o + c o s 2 k + y 2s i n2 k 從上式中，我們能清晰地看出格林函數(shù)g 。 ) 存在兩個極點，它們分別對應(yīng)著該 模型的兩支準(zhǔn)粒子能譜： e ( ) ：五萬i 壓贏 ( 1 2 2 6 ) 自旋費米化的研究 在運用j o r d a n w i g n e r 變換將一維各向異性姍7 模型的哈密頓量變換成用無自 旋費米子表述的形式后，對其的求解除了可以采取上面格林函數(shù)運動方程法之外還 可以利用b o g o l i u b o v v a l a t i n 變換法，求得的結(jié)果與用格林函數(shù)運動方程法求得的 結(jié)果是一樣的，在此略過。 第二章一維自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 變換 第二章一維自旋3 2j o r d a n w i g n e r 變換 在第一章里我們詳細(xì)討論了一維自旋為1 2 的“j o r d a n w i g n e r ”變換，將其應(yīng)用 到各向異性x y 模型求出了該模型的的準(zhǔn)粒子能譜。在這一章里我們將簡要討論一 下自旋為3 2 的“j o r d a n w i g n e r ”變換。文獻(xiàn)【2 2 】中講到，對于自旋值s 0 的自旋 體系的費米化( 不管有無限制) 所需要的費米子的最少數(shù)量必須遵守以下規(guī)則： 2 ”一1 1 的自旋體系費米化所需費米子的最少數(shù)量明顯少 于文獻(xiàn)【2 2 中b a t i s t a 和o r t i z 所用到的2 s 個。這樣，對于自旋值s 1 的自旋體系， 就能用相比于文獻(xiàn)中更少的費米子來構(gòu)造更為簡單的自旋費米變換。而且，對于某 些自旋，這些變換將是無約束的j o r d a n - w i g n e r 類型的變換。 從( 2 1 ) 式能夠看出，當(dāng)自旋值s = 3 2 時，n = 2 才能滿足不等式的要求。因 此，要將自旋值為3 2 的自旋體系變換到無自旋費米子表象下，必須在自旋算符與 雙費米子之間構(gòu)建。 首先我們考慮單個自旋的情況，然后再將其所得的解推廣到多自旋的情況。我 們知道，無論自旋值為多少，自旋角動量分量算符j 。，s ，和s 。總滿足對易關(guān)系 ( 方= 1 ) ： b 。，s ，j = fs ：，b ，s ：j = ，s 。，b ：，s j = f s v ( 2 2 ) 對于自旋升降算符s 1 = s 。i s ，它們之間滿足以下統(tǒng)計關(guān)系： b + ，s j _ 2s ：，l s - , r j - - + s 2 ， ( 2 3 ) + ，j 一 = 2s + 1 ) 一2 ( sz ) 2 ( 2 4 ) 這里我們發(fā)現(xiàn)( 2 4 ) 式與第一章針對于自旋s = 1 2 的( 1 1 4 5 ) 中第一式形式不同， 其實( 2 4 ) 是針對于所有自旋值的通式，當(dāng)j = 1 2 時我們發(fā)現(xiàn)： 自旋費米化的研究 ( s d 2 = 抄，s _ = i ( s * s - s * s - - - s * s - s - s + - - s - s + s + s - + s - s + s - s + ) = 三 ( 1 一s s + ) s + s 一+ ( 1 - - s + s - ) s s + = i 1 ( s + s 一+ j s + ) l 4 ( 2 5 ) 將( 2 5 ) 式代入( 2 4 ) 得( s 取3 2 ) ： 一) = 吾一掃 s ， 顯然式( 2 6 ) 就是式( 1 1 4 5 ) 中的第一式。當(dāng)然在這一章里我們討論的是s = 3 2 的 情況。同樣我們引進(jìn)費米子算符c i ：和c 1 2 ，滿足以下反對易規(guī)則： c 。，c 口 = 0 ，k ，c ； = 0 ，# 。，c ； = ，( 口，盧= 1 ，2 ) ( 2 7 ) 且無自旋費米子的粒子數(shù)算符為= c ：吒。 自旋態(tài)空間的基矢由- 3 2 ) ，f - 1 2 ) ，1 1 2 ) 和1 3 2 ) 四個矢量組成，這些基矢也 是算符的本征矢量，而雙費米子的相位空間也是四維的，其基矢為： o ) ，1 1 ) = c f o ) ，1 2 ) = c ； o ) ，1 1 ，2 ) = o ；c ；i o ) ?，F(xiàn)在我們將在自旋算符與作用在費米子空 聞的算符之間建立聯(lián)系。 由量子力學(xué)可知，這些算符的矩陣表示為： 且 又 0 打 0 0 0 0 o0 00 20 0 壓 0o s 一= ( s + ) + = ( s + ) 7 = i 3000 000 00 一 0 0 00一 0 0 0 壓02 0 2 0 00 壓 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章維自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 變換 o ooo 鏟匕 0 0 0 0 0 0 01o o 且c i 2 = ( c 啦) + = ( c u ) 7 ，很明顯 鏟；| ；| s + = 4 3 c ；+ 2 c ? c 2 ( 2 1 0 ) s 一= - c 2 + 2 c ；c l j2 = 一曇+ 2 珂1 + ”2( 2 1 1 ) 2 1 由上( 2 1 1 ) 可推得： b 。，s + j = ( 一。3 + 2 n + n 2 x 4 3 c ；+ 2 c ? c ：) 一( 4 5 c ；+ 2 c c ：) ( 一蘭+ 2 n i + n 2 ) = 2 f f 3 c ；c l c ；+ 4 c i c l c i c 2 + 弱c 2 c ；+ 2 c ；c 2 c c 2 2 x 3 c ；c ；c l 一蟊；c ；c 2 4 c c 2 c i q 一2 c c 2 c ；c 2 = 4 ( 1 一q f ? ) f c 2 + 4 3 0 一f 2 f ；) c ；一2 c ? 0 一c ；c 2 ) f 2 = 4 c c 2 + 砬一2 c c 2 = 五；+ 2 c c ： = s + ( 2 1 2 ) 同理： b2 ，s j _ 一s 一 ( 2 1 3 ) 又： b + ，s j _ ( 4 3 c ；+ 2 c i 島) ( 佤。+ 2 c 一( 壓：+ 2 c ( 扛；+ 2 c c 。 = 3 c ；c ，+ 4 c c ，c ；c l 一3 c ，c ；4 c ；c l c c ， = 3 n 2 + 4 n l ( i n 2 ) 一3 ( 1 一i 2 ) 一4 n 2 ( 1 一n 1 ) = 一3 + 4 n 1 + 2 n 2 = 2 s ： 2 1 ( 2 1 4 ) 自旋費米化的研究 s , s - - ( , t i c ；+ 2 c c ：) ( 虱：+ 2 c ；c ) + ( _ c ：+ 2 c ；c ，) ( 4 9 c ；+ 2 c i c ：) = 3 + 4 n l ( 1 一 2 ) + 4 n 2 ( 1 一, 7 1 ) = 3 + 4 n l + 4 n 2 8 n l ”2 ( 2 1 5 ) 因為s = 3 2 ，所以有： 2 + 1 ) - 2 ( 2 = 萼- 2 ( 2 ”叫( 一吾+ 2 n + 1 2 ) ：等- 2 ( 曇砌?？保? 4 n 。n 2 ) 2、4 1 7 = 3 + 4 n l + 4 n 2 8 n l i 1 2 ( 2 1 6 ) 由式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 即得： b + ，j 一 = 2sp + 1 ) 一2 ( j 。) 2 ( 2 1 7 ) 很顯然，依據(jù)( 2 1 1 ) 所推導(dǎo)出來的單自旋情況下算符所遵循的統(tǒng)計關(guān)系( 2 1 2 ) 、 ( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 完全吻合于( 2 3 ) 和( 2 4 ) 兩式。 對于多個自旋的問題，要涉及到作用在不同格點上的所有自旋算符之間的對易 關(guān)系，為此我們引進(jìn)弦算符, ，對于一維格點情況，弦算符： 驢叫，- ，r 酚，w = e x p i ，r ( n 1 1 + 1 1 2 1 ) 】e x p i z r ( n 1 2 + 胛2 2 ) 】e x p i t r ( n l 一l + 肝2 ，i ) j = e x p ( i n n l l ) e x p ( i n n 2 1 ) e x p ( i n n l 2 ) e x p ( i n n 2 2 ) e x p ( i n n 一1 ) e x p ( i n n 2 h ) 2 ( 1 2 n 1 1 ) ( 1 2 n 2 1 ) ( 1 2 n 1 2 ) ( 1 2 n 2 2 ) ( 1 2 n 1 ，1 ) ( 1 2 n 2 ，1 ) ( 2 1 8 ) 同理有： 強+ = e x p 慷，m ，) = ( 1 2 n 1 1 ) ( 1 2 n 2 1 ) ( 1 2 n 1 2 ) ( 1 2 n 2 2 ) ( 1 2 n l h ) ( 1 2 n 2 h ) ( 2 1 9 ) 由上面兩式可以得到： l ：，】_ 0 ， b i _ 0 ，k ? ，c i j - 0 ( 2 2 0 ) 第二章一維自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 變換 引進(jìn)弦算符后式( 2 1 1 ) 麗曲式寫為： s , - = _ c 2 ，“，+ 2 c 2 , c i ， s ? = 孔? c ；+ 2 c l + j c a ( 2 2 1 ) 將( 2 2 1 ) 代入( 2 1 4 ) 得： s ；= 曇b ? ，s = 曇【( 4 3 7 c ：+ 2 c ：c ：，) ( 4 3 c ：一+ 2 c ；c ，) 一( 4 3 c ：，“，+ 2 c ：4 - c 。，) ( 4 3 ? c j + 2 c ：c ：，) 】 = 一曇+ 2 l ，+ ”2 ( 2 2 2 ) 同樣我們再來推導(dǎo)一下它們所遵循的統(tǒng)計關(guān)系： b j ，s ? j = ( 一曇+ 2 ”。，+ ”：，) ( 4 3 c ；+ 2 c ：c ：) 一( 五j c ；+ 2 c 以) ( 一委+ 2 啊，+ ”：，) = 2 以啊，? c 2 , 4 - ，+ 壓”2 ，? c ：一2 4 3 “? c ：一，+ 2c jc 2 ， = c + ( 22 3 ) 同理： b j ，s i j - 一s , - ( 2 2 4 ) 又： ? ，s 一= ( 屆? c 寺+ 2 c 瓶) ( 佤：，峨+ 2 c 軌) + ( 虱：，坼+ 2 c 瓶) ( 五? c ；+ 2 c ；c 2 ，) = 3 + 4 竹1 ，+ 4 胛2 ，一8 n l ，月2 = 3 + 4 門“+ 4 門2 ，一8 n h 門2 ， = 2 s ( s + 1 ) 一2 ( s j ) 2 ( 2 2 5 ) 顯然，與前所述相同，依據(jù)多自旋情況下的定義式( 2 2 1 ) 所導(dǎo)出的上述統(tǒng)計關(guān) 系同樣吻合于式( 2 t 3 ) 中的統(tǒng)計關(guān)系。 眾所周知，相互獨立的自旋算符相互對易，下面我們來看一下由定義式( 2 2 1 ) 自旋費米化的研究 所導(dǎo)出的多目旋情況p 小f 列格點的目旋算符之間的統(tǒng)計關(guān)系是否同樣滿足這一規(guī) 律? b ? ，町i ；= ( 拈“? c j + 2c jc ：，) ( 以c 2 “，+ 2c 玉c 。，) 一( 拈c 2 ju j + 2c 赫川以? c ；+ 2c c , c ：，) = 3 “jc ic ：，“，+ 2 訂“? c 去c 毛c ，+ 2 訂c ic ：，c ：，”， - 3 c ：，“，“? c ；一2 4 5c ：，“，c jc ：，一2 括c 玉q ，”? c j ( 1 ) 如果f _ ，則：缸? ，c ：， = o ，量? c l ， = 0 眩，c ；】= 0 ，k ，c i _ 0 b j ，s 土= 一3c jc ：，“j “，+ 2 拈c ：c ：4 - ，c 。，“2 拈c jc 2 1c 2 j ”， 一3 c 2 jc i “，“? 一2 了c ：，c jc ：，“，一2 4 5c 玉c 。，c j “j = 0 ( 2 ) 如果f ，則：b ? ，c ：一= 0k j , c i j - o ，0 ，c j = 0 ，0 ，c i = 0 b ? ，s j l 。，= 3c ic ：，“? “，+ 2 括c ic 軌“? + 撕c 托c 2 j “， + 3c ：，c ；“，“? 一2 西c ：，c 池“，一2 以c ；：，c 】，c 玉”j = 0 由此得到： b ? ，s j l 。，= 0 (