常微分方程考研講義

第一章 緒論 教學(xué)目標(biāo) 1 理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。 2 掌握將實(shí)際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。 3 理解積分曲線和方向場的概念。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)微分方程 的基本概念 ，難點(diǎn)是積分曲線和方向場。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間 4 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場； 建立 常微分方程 模型 的具體方法。 考核目標(biāo) 常微 分方程及其解的概念，會(huì)建立常微分方程模型。 1 微分方程模型 1、 微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展 常微分方程有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn) 生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分析問題與解決問題的強(qiáng)有力工具。 該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科， 是 學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動(dòng)控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。 300 多年前， Newton 與 Leibniz 奠定微積分基本思想的同時(shí) ,就正式提出了微分方程的概念 . 17世紀(jì)末到 18世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達(dá)式 . 19世紀(jì)末到 20世紀(jì)處 ,主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題 . 20世紀(jì)進(jìn)入新的階段 ,定性上升到理論 ,進(jìn)一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法 . 解析方法 :是把微分方程的解看作是依靠這個(gè)方程來定義的自變量的函數(shù) . 幾何方法 :(或定性方法 )把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族 . 數(shù)值方法 :求微分方程滿足一定初始條件 (或邊界 )條件的解的近似值的各種方法 . 微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時(shí)候，就討 論過微分方程的近似解。 牛頓 在建立微積分的同時(shí)，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 貝努利、 歐拉 、法國數(shù)學(xué)家 克雷洛、 達(dá)朗貝爾 、 拉格朗日 等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 常微分方程的形成與發(fā)展是 和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利 用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。 2、 微分方程模型 微分方程是 數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際問題的重要渠道之一 ,將實(shí)際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家做的 ,而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會(huì)學(xué)家完成的。 例 1 物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型 將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻 0t 時(shí)，測得 它的溫度 為0 150u ， 10 分鐘后 測得溫度為1 100u .確定物體的溫度與時(shí)間的關(guān)系 ,并計(jì)算 20 分鐘后物體的溫度 .假定空氣的溫度保持為24au . 解 設(shè)物體在 時(shí)刻 t 的溫度為 ()u u t ,由牛頓 (Neweon)冷卻定律可得 ( ) ( 0 , )aadu k u u k u udt (1.1) 這是關(guān)于未知函數(shù) u 的一階微分方程 ,利用微積分的知識將 (1.1)改為 adu k d tuu (1.2) 兩邊積分 ,得到 l n ( ) au u k t c c 為任意常數(shù) 令 cec ,進(jìn)而 ktau u ce (1.3) 根據(jù)初始條件 , 當(dāng) 0t 時(shí) , 0uu, 得常數(shù)0 ac u u 于是 0()ktaau u u u e (1.4) 再根據(jù)條件 10t 分鐘時(shí) ,1uu,得到 1010() kaau u u u e 011 ln10 aauuk uu 將011 5 0 , 1 0 0 , 2 4au u u 代入上式 ,得到 1 1 5 0 2 4 1l n l n 1 . 6 6 0 . 0 5 11 0 1 0 0 2 4 1 0k 從而 , 0 .0 5 12 4 1 2 6 tue (1.5) 由方程 (1.5)得知 ,當(dāng) 20t 分鐘時(shí) ,物體的溫度2 70u ,而且 當(dāng) t 時(shí) , 24u . 溫度與時(shí)間的關(guān)系也可通過圖形表示出來 .如圖 (1.1). 可解釋為：經(jīng)過一段時(shí)間后，物體的溫度和空氣的溫度將會(huì)沒有什么差別了 .事實(shí)上，經(jīng)過 2 小時(shí)后，物體的溫度已變?yōu)?24 ，與空氣的溫度已相當(dāng)接近 .法律破案判斷尸體的死亡時(shí)間就是用這一冷卻過程的函數(shù)關(guān)系來判斷的 . 實(shí)際問題的信息 數(shù)學(xué)模型 抽象 、簡化 數(shù)學(xué)模型解 答答 求解 實(shí)際問題 驗(yàn)證 解釋 例 2 動(dòng)力學(xué)問題 物體由高空下落 ,除受重力作用外 ,還受到空氣阻力的作用 ,空氣的阻力可看作與速度的平方成正比 ,試確定物體 下落過程所滿足的關(guān)系式 . 解 設(shè)物體質(zhì)量為 m ，空氣阻力系數(shù)為 k ，又設(shè)在時(shí)刻 t 物體的下落速度為 v ,于是在時(shí)刻 t 物體所受的合外力為 2F m g kv,建立坐標(biāo)系 ,取向下方向?yàn)檎较?,根據(jù)牛頓第二定律得到關(guān)系式 2dvm m g k vdt (1.6) 而且 , 滿足初始條件 0t 時(shí) , 0v (1.7) 例 3 電力學(xué)問題 在 如圖 (1.2)所示 的 R L C 電路 ,它包 括 電感 L 、 電阻 R 和電容 C .設(shè) R 、 L 、 C 均為常數(shù) ,電源()et 是時(shí)間 t 的已知函數(shù) ,建立 當(dāng)開關(guān) K 合上后 ,電流 I 應(yīng)滿足的微分方程 . 解 經(jīng)過電感 L 、電阻 R 和電容 C 的電壓降分別為： dILdt、 RI 和 QC，其中 Q 為電量，由基爾霍夫第二定律得到 () d I Qe t L R Id t C （ 1.8） 因?yàn)?dQIdt，于是有 221 ( )d I R d I I d e td t L d t L C L d t （ 1.9） 這就是電流 I 應(yīng)滿足的微分方程 .如果 ()et =常熟，得到 22 0d I R d I Id t L d t L C （ 1.10） 如果又有 0R ，則得到 22 0d I Id t L C （ 1.11） 例 4 人口模型 英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（ Malthus）在 1798 年提出了聞名于世的 Malthus 人口模型的基本假設(shè)是：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記此常數(shù)為 r （生命系數(shù)） . 在 t 到 tt 這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量 ()N N t 的增長量為 ( ) ( ) ( )N t t N t r N t t （ ( ) ( )1,()N t t N ttr Nt ） 于是 ()Nt 滿足微分方程 dN rNdt （ 1.12） 將上式改寫為 dN rdtN 于是變量 N 和 t 被“分離”，兩邊積分得 ln N rt c rtN ce （ 1.13） 其中 cce 為任意常數(shù) .（因?yàn)?0N 也是方程（ 1.17）的解 . 如果設(shè)初始條件為 0tt時(shí) ,0()N t N （ 1.14） 代入上式可得 00 rtc N e， .即方程（ 1.17）滿足初值條件（ 1.19）的解為 0()0() r t tN t N e （ 1.15） 如果 0r ，上式說明人口總數(shù) ()Nt 將按指數(shù)規(guī)律無限增長 .將時(shí)間 t 以 1 年或 10 年離散化，那么可以說，人口數(shù)是以 re 為公比的等比數(shù)列增加的 . 當(dāng)人口總數(shù)不大時(shí)，生存空間、資源等極充裕，人口總數(shù)指數(shù)的增長是可能的 .但當(dāng)人口總數(shù)非常大時(shí)，指數(shù)增長的線性模型則不能反映這樣一個(gè)事實(shí)；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以Malthus 模型在 ()Nt 很大時(shí)是不合理的 . 荷蘭生物學(xué)家 Verhulst 引入常數(shù)mN（環(huán)境最大容納量）表示自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對增長率為 ()1mNtrN，即凈相對增長率隨 ()Nt 的增加而減少，當(dāng) ()mN t N時(shí)，凈增長率 0 . 按 此假定，人口增長的方程應(yīng)改為 1md N NrNd t N （ 1.16） 這就是 Logistic 模型 .當(dāng)mN與 N 相比很大時(shí)， 2mrNN與 rN 相比可以忽略，則模型變?yōu)?Malthus 模型；但mN與 N 相比不是很大時(shí)， 2mrNN這一項(xiàng)就不能忽略，人口增長的速度要緩慢下來 .我們用 Logistic 模型 .來預(yù)測地球未來人數(shù)，某些人口學(xué)家估計(jì)人口自然增長率為 0.029,r 而統(tǒng)計(jì)得世界人口在 1960 年為 29.8 億，增長率為 1.85%，由 Logistic 模型 .（ 1.21），有 82 9 . 8 1 00 . 0 1 8 5 0 . 0 2 9 1mN ，可得 8 2 .3 1 0mN ，即世界人口容量 82.3 億，以（ 1.21）式右端為二項(xiàng)多項(xiàng)式，以2mNN 為頂點(diǎn)，當(dāng)2mNN時(shí)人口增長率增加；當(dāng)2mNN時(shí)人口增長率減少，即人口增長到 84 1 .1 5 1 02mN 時(shí)增長率將逐漸減少 .這與人口在20 世紀(jì) 70 年代為 40 億左右時(shí)增長率最大的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相符 . 小結(jié)：從以上的討論可以看出，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型這一事實(shí)，這正是許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據(jù) .以上我們只舉出了常微分方程的一些簡單的實(shí)例 ,其實(shí)在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微分方程問題 .所以說，社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉 .此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn) .例如，幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具 . 考慮到常微分方程是一門與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們自 然應(yīng)該注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用； .而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們又應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上 .因此，在學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉的實(shí)際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實(shí)際問題的初步能力 .但是，按照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程的重點(diǎn)，也是我們解決實(shí)際問題的必要工具 .而解決的過程為：（ 1）建立方程 ；（ 2）求解方程 ；（ 3）分析問題 .關(guān)鍵的是第一步，即對所研究問題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微 分方程和相應(yīng)的初始條件 .如果指出了由微分方程所確定的未知函數(shù)的求法，那么未知量間的關(guān)系便找到了 .尋求微分方程所確定的未知函數(shù)是微分方程理論的基本問題 . 2 基本概念 1、 常微分方程和偏微分方程 微分方程：將自變量、未知函數(shù)以及它 的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式 . 常微分方程： 只含一個(gè)自變量的微分方程 . 偏微分方程：自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程 . 方程 22 ()d y d yb c y f td t d t （ 1.17） 2 0d y d ytyd t d t （ 1.18） 22 s i n 0d y g yd t l （ 1.19） 是常微分 方程的例子， y 是未知函數(shù)， 僅含一個(gè)自變量 t . 方程 2222 2 2 0TTTx y z （ 1.20） 224TTxt （ 1.21） 是偏微分方程的例子， T 是未知函數(shù)， , , ,x y z t 是自變量 . 微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) . 例如 ，方程（ 1.17）、（ 1.19）是二階的常微分方程，而方程（ 1.20）、（ 1.21）是二階的偏微分方程 . 一般的 n 階微分方程具有形式 ( , , , , ) 0nnd y d yF x y d x d x （ 1.22） 這里 ( , , , , )nnd y d yF x y d x d x是 x 、 y 、 dydx 、 nndydx 的已知函數(shù)，而且一定含有 nndydx ； y是未知函數(shù)， x 是自變量 . 2、線性和非線性 如果微分方程對于未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式的整體而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程 .如： 22d y d yytd t d t （ 1.23） 是非線性微分方程 ，而（ 1.17）是一個(gè)二階的線性微分方程 . 一般的 n 階線性微分方程具有形式 1111( ) ( ) ( ) ( )nnnnd y d y d ya x a x a x y f xd x d x d x （ 1.24） 這里12( ) , ( ) , , ( ) , ( )na x a x a x f x是 x 的已知函數(shù) . 3、解和隱式解 微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解 .即若函數(shù) ()yx 代入式 （ 1.22） 中 ，使其成為恒等式，稱 ()yx 為 方程（ 1.22） 的解 . 例如容易驗(yàn)證 cosyx 是方程 2 22 0dy ydx 的解 如果關(guān)系式 ( , ) 0xy決定的 隱函數(shù) ()yx 為方程 （ 1.22）的解 ，稱 ( , ) 0xy是方程 （ 1.22） 的隱式解 .例如，一階微分方程 dy xdx y 有解 21yx 和 21yx ；而關(guān)系式 221xy 是方程的隱式解 . 4、通解和特解 通解：具有 n 個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)12, , , nc c c的解12( , , , , )ny x c c c稱為方程 （ 1.22）的通解 . 注：所謂函數(shù)12( , , , , )ny x c c c含有 n 個(gè)獨(dú)立常數(shù)，是指存在12( , , , , )nx c c c的某一鄰域，使得行列式 1212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120nnn n nnc c cc c cc c c 其中 () kkkx . 特解： 方程滿足 特 定條件的解 . 定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題 .定解條件分為初始條件和邊界 條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題 . 一般地， 初 值問題為 ()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 0 0( , , , , ) 0( ) , ( ) , , ( )nnnF x y y yy x y y x y y x y 特解可以通過初始條件限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到 ,如例 1 中，含有一個(gè)任意常數(shù) c 的解 ktau u ce 就是一階方程（ 1.1）的通解；而 0()ktaau u u u e 就是滿足初始條件 00,t u u 的特解 . 5、積分曲線和方向場 一階微分方程 ( , )dy f x ydx （ 1.25） 的解 ()yx 是 xy 平面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線 ；而 方程 （ 1.20） 的通解 ( , )y x c 對應(yīng)于 xy 平面上的一族曲線，稱為方程的 積分曲線族 ；滿足初始條件00()y x y的特解就是通過點(diǎn)00( , )xy的一條積分曲線 . 方程（ 1.25）的積分曲線上每一點(diǎn) ( , )xy 的切線斜率 dydx剛好等于函數(shù) ( , )f x y 在這點(diǎn)的值，也就是說，積分曲線的每一點(diǎn) ( , )xy 及這點(diǎn)上的切線斜率 dydx恒滿足方程（ 1.25）；反之，如果一條曲線 上 每點(diǎn) 的 切線斜 率剛好等于函數(shù) ( , )f x y 在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程（ 1.25）的積分曲線 . 設(shè)函數(shù) ( , )f x y 的定義域?yàn)?D ，在 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( , )xy 處 ，畫上一小線段，使其斜率 恰好 為 ( , )f x y ，將這種帶有小線段的區(qū)域 D 稱為由方程 （ 1.25） 所規(guī)定的方向場 . 在方向場中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線 .微分方程 （ 1.25） 的等斜線方程為 ( , )f x y k （ 1.26） 例 5 2dy xdx 解 積分曲線族是 2y x c， 20yx，即 0x 是極值線， 2 ( 0 , 1 , )y x k k 是等斜線 . 例 6（習(xí)題 7）微分方程 2 2 2 34x y y x y，證明其積分曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) (0,0) 成中心對稱的曲線，也是微分方程的積分曲線 . 證 設(shè) : ( ) , , L y f x x a b是微分方程的一條積分曲線，則滿足 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) , , x f x f x x f x x a b (1.27) 而 L 關(guān)于 (0,0) 成中心對稱曲線 : ( ) ( ) , , , , L y f x F x x b a x a b ， 所以有 ( ) ( )F x f x, , x b a 當(dāng) , x b a , , x a b ,由 (1.27)式可知 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) ( )x f x f x x f x 即 2 2 2 34 ( ) ( ) ( )x F x F x x F x 所以 ()Fx滿足微分方程，故 ()Fx為微分方程的積分曲線 .并且相對于 L 關(guān)于原點(diǎn) (0,0) 成中心對稱曲線 . 第二章、 一階微分方程的初等解法 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。 2. 理解一階線性微分方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰當(dāng)方程的類 型，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡單積分因子的求法。 4. 理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是一階微分方程的各類初等解法 ，難點(diǎn)是積分因子的求法以及隱式方程的解法。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間 14 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方程類型，一階線性微分方程及其常數(shù)變易法，伯努利方程，恰當(dāng)方程及其積分因子法，隱式方程。 考核目標(biāo) 1.一階微分方程的初等解法 ： 變量分離 法、一階線性微分方程的 常數(shù)變易法 、 恰當(dāng)方程與 積分因子法 、 一階隱方程 的參數(shù)解法 。 2.會(huì)建立一階微分方程并能求解。 1 變量分離方程與變量變換 1、 變量 分離方程 1) 變量分離方程 形如 ( ) ( )dy f x g ydx (或1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x N y d x M x N y d y) （ 2.1） 的方程，稱為 變量分離方程 ，其中函數(shù) ()fx和 ()gy分別是 ,xy的連續(xù)函數(shù) . 2) 求解方法 如果 ( ) 0gy ，方程 (2.1)可化為， ()()dy f x d xgy 這樣變量就分離開了 ,兩邊積分 ,得到 ()()dy f x d x cgy （ 2.2） 把 , ( )()dy f x d xgy分別理解為 1 , ( )()fxy的某一個(gè)原函數(shù) . 容易驗(yàn)證由（ 2.2）所確定的隱函數(shù) ( , )y x c 滿足方程（ 2.1） .因而（ 2.2）是（ 2.1）的通解 . 如果存在0y使0( ) 0gy，可知0yy也是（ 2.1）的解 .可能它不包含在方程的通解（ 2.2）中，必須予以補(bǔ)上 . 3) 例題 例 1 求解方 程 dy xdx y 解 將變量分離，得到 ydy xdx 兩邊積分，即得 222 2 2y x c 因而，通解為 22x y c 這里的 c 是 任意的正常數(shù) . 或解出顯式形式 2y c x 例 2 解方程 2 cosdy yxdx 并求滿足初始條件：當(dāng) 0x 時(shí) . 1y 的特解 . 解 將變量分離，得到 2 cosdy xdxy 兩邊積分，即得 1 sin xcy 因而，通解為 1siny xc 這里的 c 是任意的常數(shù) .此外，方程還有解 0y . 為確定所求的特解，以 0x . 1y 代入通解中確定常數(shù) c ，得到 1c 因而，所求的特解為 11 siny x 例 3 求方程 ()dy P x ydx （ 2.3） 的通解，其中 ()Px是 x 的連續(xù)函數(shù) . 解 將變量分離，得到 ()dy P x dxy 兩邊積分，即得 l n ( )y P x d x c 這里的 c 是任意常數(shù) .由對數(shù)的定義，即有 ()P x dx cye 即 ()P x d xcy e e 令 cec，得到 ()P x dxy ce （ 2.4） 此外， 0y 也是 （ 2.3）的解 .如果在（ 2.4）中允許 0c ，則 0y 也就包括在（ 2.4）中，因而，（ 2.3）的通解為（ 2.4），其中 c 是任意常數(shù) . 注 : 1.常數(shù) c 的選取保證 (2.2)式有意義 . 2.方程的通解不一定是方程的全部解 ,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 .此時(shí)，還應(yīng)求出不含在通解中的 其它解 , 即將遺漏的解要彌補(bǔ)上 . 3.微分方程的通解表示的是一族曲線，而特解表示的是滿足特定條件00()y x y的一個(gè)解，表示的是一條過點(diǎn)00( , )xy的曲線 . 2、可化為變量分離方程的類型 1） .形如 dy ygdx x （ 2.5） 的方程，稱為齊次方程，這 里的 ()gu 是 u 的連續(xù)函數(shù) . 另外 , )對于方程 ( , )( , )d y M x yd x N x y 其中函數(shù) ( , )M x y 和 ( , )N x y 都是 x 和 y 的 m 次齊次函數(shù)，即對 0t 有 ( , ) ( , )mM t x t y t M x y ( , ) ( , )mN t x t y t N x y 事實(shí)上，取 1tx，則方程可改寫成形如 (2.5)的方程 . ( 1 , ) ( 1 , )( 1 , ) ( 1 , )mmyyx M Mdy xxyydx x N Nxx )對 方程 ( , )dy f x ydx 其中右端 函數(shù) ( , )f x y 是 x 和 y 的零次齊次函數(shù)，即對 0t 有 ( , ) ( , )f t x t y f x y 則方程也可改寫成形如 (2.5)的方程 (1, )dy yfdx x 對齊次方程（ 2.5）利用變量替換可化為變量分離方程再求解 . 令 yux （ 2.6） 即 y ux ，于是 dy duxudx dx （ 2.7） 將（ 2.6）、（ 2.7）代入（ 2.5），則原方程變?yōu)?()dux u g udx 整理后，得到 ()d u g u ud x x （ 2.8） 方程（ 2.8）是一個(gè)可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原方程（ 2.5）的解 . 例 4 求解方程 d y y ytgd x x x 解 這是齊次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，則原方程變?yōu)?dux u u t g udx 即 du tgudx x （ 2.9） 分離變量，即有 dxctgudux 兩邊積分， 得到 ln s i n lnu x c 這里的 c 是任意的常數(shù)，整理后，得到 sinu cx （ 2.10） 此外，方程（ 2.9）還有解 0tgu ,即 sin 0u . 如果（ 2.10）中允許 0c ，則 sin 0u 就包含在（ 2.10）中，這就是說，方程（ 2.9）的通解為（ 2.10） . 代回原來的變量，得到原方程的通解為 sin y cxx 例 5 求解方程 2 ( 0 ) .dyx x y y xdx 解 將方程改寫為 2 ( 0 )d y y y xd x x x 這是齊次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，則原方程變?yōu)?2duxudx （ 2.11） 分離變量，得到 2du dxxu 兩邊積分，得到（ 2.11）的通解 ln ( )u x c 即 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )u x c x c (2.12) 這里的 c 是任意常數(shù) .此外，（ 2.11）還有解 0u 注意，此解不包括在通解（ 2.12）中 . 代回原來的變量，即得原方程的通解 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )y x x c x c 及解 0y . 原方程的通解還可表為 2 l n ( ) , l n ( ) 0 ,0,x x c x cy 它定義于整個(gè)負(fù)半軸上 . 注： 1.對于齊次方程 dy ygdx x 的求解方法關(guān)鍵的一步是令 yux后，解出 y ux ，再對兩邊求 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)得 dy duuxdx dx，再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于 ,ux的可分離方程 . 2.齊次方程也可以通過變換 xvy而化為變量分離方程 .這時(shí) x vy ，再對兩邊求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)得d x d vvyd y d y ，將其代入齊次方程 dx xfdy y 使方程變?yōu)?,vy的可分離方程 小結(jié)：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變量法和齊次方程的 dy ygdx x 形狀的解法 .而這一齊次方程通過變量替換任然可化為可分離方程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法 . 2）形如 1 1 12 2 2a x b y cdyd x a x b y c （ 2.13） 的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c均為常數(shù) . 分三種情況來討論 （ 1）120cc情形 . 這時(shí)方程（ 2.13）屬齊次方程，有 1122a x b yd y ygd x a x b y x 此時(shí)，令 yux，即可化為變量可分離方程 . （ 2） 11220abab ，即 1122ab 的情形 . 設(shè)1122abk，則方程可寫成 2 2 1 222 2 2() ()k a x b y cdy f a x b yd x a x b y c 令22a x b y u，則方程化為 22()du a b f udx 這是一變量分離方程 . （ 3） 1112220,ab ccab 及 不全為零的情形 . 這時(shí)方程（ 2.13）右端的分子、分母都是 ,xy的一次式，因此 1 1 12 2 200a x b y ca x b y c （ 2.14） 代表 xy 平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為 ( , ) . 顯然， 0 或 0 ，否則必有120cc，這正是情形（ 1）（只需進(jìn)行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點(diǎn) (0,0)移至 ( , ) 就行了，若令 XxYy （ 2.15） 則（ 2.14）化為 112200a X b Ya X b y 從而（ 2.13）變?yōu)?1122a X b Yd Y Ygd X a X b Y X （ 2.16） 因此，得到這種情形求解的一般步驟如下： (1)解聯(lián)立代數(shù)方程（ 2.14），設(shè)其解為 ,xy； (2)作變換（ 2.15）將方程化為齊次方程（ 2.16）； (3)再經(jīng)變換 YuX將（ 2.16）化為變量分離方程； (4)求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程（ 2.13）的解 . 上述解題的方法和步驟也適用于比方程（ 2.13）更一般的方程類型 1 1 12 2 2a x b y cdy fd x a x b y c 此外，諸如 ()dy f a x b y cdx ( ) ( ) 0y x y d x x g x y d y 2 ()dyx f xydx 2d y yxfd x x 以及 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0M x y x d x y d y N x y x d y y d x （其中 ,MN為 ,xy的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程 . 例 6 求解方程 13d y x yd x x y （ 2.17） 解 解方程組 1030xyxy 得 1, 2.xy 令 12xXyY 代入方程（ 2.17），則有 dY X YdX X Y （ 2.18） 再令 YuX 即 Y uX 則（ 2.18）化為 2112d X u duX u u 兩邊積分，得 22l n l n 2 1X u u c 因此 22( 2 1 ) cX u u e 記1,cec并代回原變量，就得 2212Y X Y X c 1( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )y x y x c 此外，易驗(yàn)證 2 2 1 0uu 即 2220Y X Y X 也就是（ 2.18）的解 .因此方程（ 2.17）的通解為 222 6 2y x y x y x c 其中 c 為任意的常數(shù) . 3、 應(yīng)用舉例 例 7 電容器的充電和放電如圖（ 2.1）所示的 RC 電路，開始時(shí)電容 C 上沒有電荷，電容兩端的電壓為零 .把開關(guān) K 合上“ 1”后，電池 E 就對電容 C 充電，電容 C 兩端的電壓Cu逐漸升高，經(jīng)過相當(dāng)時(shí)間后，電容充電完畢，再把開關(guān) K 合上“ 2”，這時(shí)電容就開始放電過程，現(xiàn)在要求找出充、放電過程中，電容 C 兩端的電壓Cu隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律 . 解 對于充電過程，由閉合回路的基爾霍夫第二定理， cu RI E （ 2.19） 對于電容 C 充電時(shí)，電容上的電量 Q 逐漸增多，根據(jù)CQ Cu，得到 () CC dud Q dI C u Cd t d t d t （ 2.20） 將（ 2.20）代入（ 2.19），得到cu滿足的微分方程 ccduR C u Edt （ 2.21） 這里 R 、 C 、 E 都是常數(shù) .方程（ 2.21）屬于變量分離方程 .將（ 2.21）分離變量，得到 CCdu dtu E R C 兩邊積分，得到 11ln Cu E t cRC 即 1 112ttc R C R CCu E e e c e 這里 12 cce為任意常數(shù) . 將初始條件： 0t 時(shí)， 0Cu 代入，得到2cE. 所 以 1(1 )tRCCu E e （ 2.22） 這就是 RC 電路充電過程中電容 C 兩端的電壓的變化規(guī)律 .由（ 2.22）知道，電壓Cu從零開始逐漸增大，且當(dāng) t 時(shí)，CuE，在電工學(xué)中，通常稱 RC 為時(shí)間常數(shù)，當(dāng) 3t 時(shí)， 0.95CuE，就是說，經(jīng)過 3 的時(shí)間后，電容 C 上的電壓已達(dá)到外加電壓的 95%.實(shí)用上，通常認(rèn)為這時(shí)電容 C 的充電過程已 基本結(jié)束 .易見充電結(jié)果CuE. 對于放電過程的討論，可以類似地進(jìn)行 . 例 8 探照燈反射鏡面的形狀 在制造探照燈的反射鏡面時(shí)，總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地射出去，以保證照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀 . 解 取光源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，而 x 軸平行于光的反射方向，設(shè)所求曲面由曲線 ()0y f xz （ 2.23） 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面的問題歸結(jié)為求 xy 平面上的曲線 ()y f x 的問題 ,僅考慮 0y 的部分 ,過曲線 ()y f x 上任一點(diǎn) ( , )M x y 作切線 NT ，則由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 12 從而 OM ON 注意到 2d y M PtgdxNP 及 22,O P x M P y O M x y 就得到函數(shù) ()y f x 所應(yīng)滿足的微分方程式 22d y ydx x x y （ 2.24） 這是齊次方程 .由 2.12 知引入新變量 xuy可將它化為變量分離方程 .再經(jīng)直接積分即可求得方程的解 . 對于方齊次方程（ 2.24）也可以通過變換 xvy而化為變量分離方程也可由 x yv 得 d x d vvyd y d y代入（ 2.24）得到 2s g n 1dvv y v y vdy 于是 2s g n 1d y d vyyv （ 2.25） 積分（ 2.25）并代回原來變量，經(jīng)化簡整理，最后得 2 ( 2 )y c c x （ 2.26） 其中 c 為任意常數(shù) . （ 2.26）就是所求的平面曲線，它是拋物線，因此，反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面 22 ( 2 )y z c c x （ 2.27） 小結(jié) : 本節(jié)我們主要討論了一階可分離微分方程和齊次微分方程的求解問題 .將各種類型的求解步驟記清楚的同時(shí)要注意對解的討論 . 2 線性方程 與常數(shù)變易法 1、一階線性微分方程 ( ) ( ) ( ) 0dya x b x y c xdx 在 ( ) 0ax 的區(qū)間上可以寫成 ( ) ( )dy P x y Q xdx （ 2.28） 對于 ()ax有零點(diǎn)的情形分別在 ( ) 0ax 的相應(yīng)區(qū)間上討論 .這里假設(shè) ( ), ( )P x Q x 在考慮的區(qū)間上是 x 的連續(xù)函數(shù) . 若 ( ) 0Qx ，（ 2.28）變?yōu)?()dy P x ydx （ 2.3） 稱為一階齊線性方程 . 若 ( ) 0Qx ，（ 2.28）稱為一階非齊線性方程 . 2、常數(shù)變易法 （ 2.3）是變量分離方程，已在例 3 中求得它的通解為 ()P x dxy ce （ 2.4） 這里 c 是任意的常數(shù) . 下面討論一階非齊線性方程（ 2.28）的求解方法 . 方程 (2.3)與方程 (2.28)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別 ,設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系 ,在 (2.4)中 c 恒為常數(shù)時(shí) ,它不可能是 (2.28)的解 ,要使 (2.28)具有形如 (2.4)的解 , c 不再是常數(shù) ,將是 x 的待定函數(shù) ()cx ,為此令 ()() P x d xy c x e （ 2.29） 兩邊微分，得到 ( ) ( )() ( ) ( )P x d x P x d xd y d c x e c x P x ed x d x （ 2.30） 將（ 2.29）、（ 2.30）代入（ 2.28），得到 ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x d x P x d x P x d xd c x e c x P x e P x c x e Q xdx 即 ()() () P x d xd c x Q x edx 積分后得到 ()( ) ( ) P x d xc x Q x e d x c （ 2.31） 這里 c 是任意的 常數(shù) .將（ 2.31）代入（ 2.29），得到 ( ) ( )( ) ( ) ( )() = ( )P x d x P x d xP x d x P x d x P x d xy e Q x e d x cc e e Q x e d x （ 2.32） 這就是方程（ 2.28）的通解 . 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常稱為常數(shù)變易法 .實(shí)際上常數(shù)變易法也是一種變量變換的方法 .通過變換（ 2.29）可將方程（ 2.28）化為變量分離方程 . 注 : 非齊線性方程的通解是它對應(yīng)的齊線性方程的通解與它的某個(gè)特解之和 . 例 1 求方程 1( 1 ) ( 1 )xndyx n y e xdx 的通解，這里的 n 為常數(shù) . 解 將方程改寫為 ( 1 )1 xnd y n y e xd x x （ 2.33） 先求對應(yīng)的齊次方程 01d y n yd x x 的通解，得 ( 1)ny c x 令 ( )( 1) ny c x x （ 2.34） 微分之，得到 () ( 1 ) ( 1 ) ( )nd y d c x x n x c xd x d x （ 2.35） 以（ 2.34）、（ 2.35）代入（ 2.33），再積分，得 () xc x e c 將其代入公式（ 2.34），即得原方程的通解 ( 1 ) ( )nxy x e c 這里 c 是任意的常數(shù) . 例 2 求方程22dy ydx x y 的通解 . 解 原方程改寫為 2dx xydy y （ 2.36） 把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量，這樣，對于 x 及 dxdy來說，方程（ 2.36）就是一個(gè)線性方程了 . 先求齊線性方程 2dx xdy y 的通解為 2x cy （ 2.37） 令 2()x c y y ,于是 2() 2 ( )d x d c y y c y yd y d y 代入（ 2.36），得到 ( ) lnc y y c 從而，原方程的通解為 2 ( ln )x y c y 這里 c 是任意的常數(shù) ,另外 0y 也是方程的解 . 特別的，初值問題 00( ) ( )()dy P x y Q xdxy x y 的解為 0 0 00( ) ( ) ( )= ( )x x sx x xP d P d P dxxy c e e Q s e d s 例 3 試 證 （ 1）一階非齊線性方程（ 2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（ 2.3）之解； （ 2）若 ()y y x 是（ 2.3）的非零解，而 ()y y x 是（ 2.28）的解，則（ 2.28）的通解可表為( ) ( )y c y x y x，其中 c 為任意常數(shù) . （ 3）方程（ 2.3）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（ 2.3）的解 . 證 （ 1）設(shè)12,yy是非齊線性方程的兩個(gè)不同的解，則應(yīng)滿足方程使 1122( ) (1 )( ) ( 2 )dy p y Q xdxdy p y Q xdx （ 1） （ 2）有 1212() ()d y y p y ydx 說明非齊線性方程任意兩個(gè)解的差12yy是對應(yīng)的齊次線性方程的解 . （ 2）因?yàn)?( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )d c y x y x d y x d y xc p c y p y Q x p c y y Q xd x d x d x 故結(jié)論成立 . （ 3）因?yàn)?1 2 1 21 2 1 2( ) ( )() ( ) , ( ) , ( )d y y d y yd c y p c y p y y p y yd x d x d x 故結(jié)論成立 . 3、 Bernoulli 方程 形如 ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx （ 0,1 ） （ 2.38） 的方程，稱為伯努利（ Bernoulli ）方程，這里 ( ), ( )P x Q x 為 x 連續(xù)函數(shù) .利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程來求解 .事實(shí)上，對于 0y ，用 ny 乘（ 2.38）兩邊，得到 1 ( ) ( )nndyy y P x Q xdx （ 2.39） 引入變量變換 1 nzy （ 2.40） 從而 (1 ) nd z d ynyd x d x （ 2.41） 將（ 2.40）、 2.41）代入（ 2.39），得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )dz n P x z n Q xdx （ 2.42） 這是線性方程，用上面介紹的方法求得它的通解，然后再代回原來的變量，便得到（ 2.38）的通解 .此外，當(dāng) 0n 時(shí)，方程還有解 0y . 例 4 求方程 26d y y xyd x x的通解 解 這是 2n 時(shí)的伯努利方程，令 1zy ,得 2dz dyydx dx 代入原方程得到 6dz zxd x x 這是線性方程，求得它的通解為 26 8cxz x 代回原來的變量 y ，得到 2618cxyx 或者 688xxcy 這是原方程的通解 . 此外，方程還有解 0y . 例 5 求方程331dyd x x y x y 的解 解 將方程改寫為 33dx y x y xdy 這是一個(gè)自變量為 y ，因變量為 x 的伯努利方程 .解法同上 . 例 6 求方程23ydy e xdx x 的通解 這個(gè)方程只要做一個(gè)變換，令 ,yyd u d yu e ed x d x，原方程改寫為 22231d u x uud x x x 便是伯努利方程 . 小結(jié) ；這次主要討論了一 階線性微分方程的解法 .其核心思想是常數(shù)變易法 .即將非齊線性方程對應(yīng)的齊線性方程解的常數(shù)變易為待定函數(shù)，使其變易后的解函數(shù)代入非齊次線性方程，求出待定函數(shù) ()cx ，求出非齊次方程的解 .我們還討論了伯努利方程，求解過程為，先變換，將原方程化為非齊線性方程，再求解 . 3 恰當(dāng)方程與積分因子 1、 恰當(dāng)方程的定義 將 一階微分方程 ( , )dy f x ydx 寫成微分的形式 ( , ) 0f x y d x d y 把 ,xy平等看待，對稱形式的一階微分方程的一般式為 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y （ 2.43） 假設(shè) ( , ), ( , )M x y N x y在某區(qū)域 G 內(nèi) 是 ,xy的連續(xù)函數(shù)，而且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) . 如果存在可微函數(shù) ( , )u x y ,使得 ( , ) ( , )d u M x y d x N x y d y (2.44) 即 ( , ) , ( , )uuM x y N x yxy (2.45) 則稱方程 (2.43)為恰當(dāng)方程 ,或稱全微分方程 . 在上述情形 ,方程 (2.43)可寫成 ( , ) 0du x y ,于是 ( , )u x y C 就是方程 (2.43)的隱式通解 ,這里 C 是任意常數(shù) (應(yīng)使函數(shù)有意義 ). 2、 恰當(dāng)方程的判定準(zhǔn)則 定理 1 設(shè) ( , ), ( , )M x y N x y在某區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)可微 ,則方程 (2.43)是恰當(dāng)方程的充要條件是 , ( , )MN x y Gyx (2.46) 而且當(dāng) (2.46)成立時(shí) ,相應(yīng)的原函數(shù)可取為 000( , ) ( , ) ( , )xyu x y M s y d s N x t d t (2.47) 或者也可取為 000( , ) ( , ) ( , )yxu x y N x t d t M s y d s (2.48) 其中00( , )x y G是任意取定的一點(diǎn) . 證明 先證必要性 .因?yàn)?(2.43)是恰當(dāng)方程 ,則有可微函數(shù) ( , )u x y 滿足 (2.45), 又知 ( , ), ( , )M x y N x y是連續(xù)可微的 ,從而有 22M u u Ny y x x y x 下面證明定理的充分性 ,即由條件 (2.46),尋找函數(shù) ( , )u x y ,使其適合方程 (2.45).從 (2.47)可知 ( , )u N x yy 000000( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , )yyyxyyyyuM x y N x t d txxM x y N x t d tM x y M x t d t M x y 即 (2.45)成立 ,同理也可從 (2.48)推出 (2.45). 例 1. 解方程 2 1( ) 02xx y d x d yy (2.49) 解 這里 2 1, = ( )2xM x y Ny,則yxM x N,所以 (2.49)是恰當(dāng)方程 .因?yàn)?N 于 0y 處無意義 ,所以應(yīng)分別在 0y 和 0y 區(qū)域上應(yīng)用定理 2.3,可按任意一條途徑去求相應(yīng)的原函數(shù) ( , )u x y . 先選取00( , ) (0 ,1)xy,代入公式 (2.47)有 22011( ) l nxy xxu x d x d y y yy 再選取00( , ) ( 0 , 1)xy ,代入公式 (2.47)有 22011( ) ( ) l n ( )xy xxu x d x d y y yy 可見 不論 0y 和 0y ,都有 2 ln | |2xu y y 故方程的通解為 2 ln | |2x y y C. 3、恰當(dāng)方程的解法 上 述定理已給出恰當(dāng)方程的解法 ,下面給出恰當(dāng)方程的另兩種常用解法 . 解法 1. 已經(jīng)驗(yàn)證方程為恰當(dāng)方程 ,從 ( , )xu M x y出發(fā) ,有 2( , ) ( , ) ( ) ( )2xu x y M x y d x y y y (2.50) 其中 ()y 為待定函數(shù) ,再利用 ( , )yu N x y,有 221()xxyy 從而 1()yy 于是有 ( ) ln | |yy 只需要求出一個(gè) ( , )u x y ,因而省略了積分常數(shù) .把它代入 (2.50)便得方程的通解為 2 l n | |2xu y y C 解法 2. 分項(xiàng)組合的方法 對 (2.49)式重新組合變?yōu)?2 1( ) 02xx y d x d y d yy 于是 2( ) l n | | 02xd y d y 從而得到方程的通解為 2 ln | |2x y y C 4、積分因子的定義及判別 對于微分形式的微分方程 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y （ 2.43） 如果方程（ 2.43）不是恰當(dāng)方程，而存在連續(xù)可微的函數(shù) ( , ) 0xy，使得 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y (2.51) 為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù) ( , )v x y ，使 ( , ) ( , )M x y d x N x y d y d v 則稱 ( , )xy 是方程（ 2.43）的積分因子 .此時(shí) ( , )v x y C 是 (2.51)的通解，因而也就是（ 2.43）的通解 . 如果函數(shù) ( , ) , ( , )M x y N x y和 ( , )xy 都是連續(xù)可微的 ,則由恰當(dāng)方程的判別準(zhǔn)則知道 , ( , )xy 為(2.43)積分因子的充要條件是 MNyx 即 ()MNNMx y y x (2.52) 5、積分因子的求法 方程 (2.52)的非零解總是存在 的，但這是一個(gè)以 為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程，求解很困難，我們只求某些特殊情形的積分因子 . 定理 2 設(shè) ( , ) , ( , )M M x y N N x y和 ( , )xy 在某區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，則方程（ 2.43） 有形如 ( ( , ) )xy 的積分因子的充要條件是：函數(shù) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )yxxyM x y N x yN x y x y M x y x y （ 2.53） 僅是 ( , )xy 的函數(shù)，此外，如果（ 2.53）僅是 ( , )xy 的函數(shù) ( ( , ) )f f x y ，而 ( ) ( )G u f u d u ，則函數(shù) ( ( , )G x ye （ 2.54） 就是方程（ 2.43）的積分因子 . 證明 因?yàn)槿绻匠蹋?2.43）有積分因子 () ，則由（ 2.52）進(jìn)一步知 ( ) ( )d M NNMd x y y x 即 yxxyMNd dNM 由 () 可知左端是 的函數(shù)，可見右端 yxxyMNNM也是 的函數(shù)，即 ()yxxyMN fNM ， 于是，有 ()d fd ， 從而 () ()fd Gee 反之，如果（ 2.53）僅是 的函數(shù)，即 ()yxxyMN fNM ，則函數(shù)（ 2.54）是方程（ 2.52）的解 .事實(shí)上，因?yàn)?()( ) ( ) ( )Gx y y xN M N M f e M Nxy 因此函數(shù)（ 2.54）的確是方程（ 2.43）的積分因子 . 為了 方便應(yīng)用這個(gè)定理，我們就若干特殊情形列簡表如下： 例 2. 解22( 3 1 ) ( ) 0y x y d x x y x d y 解 這里 223 1 ,M y x y N x y x ,注意 yxM N y x 所以方程不是恰當(dāng)?shù)?,但是 1yxMNNx 它僅是依賴與 x ，因此有積分因子 1 dxxex 給方程兩邊乘以因子 x 得到 2 2 2 3( 3 ) ( ) 0x y x y x d x x y x d y 從而可得到隱式通解 2 2 3 21122u x y x y x C 例 3. 解方程 2( ) ( 1 ) 0x y y d x x y y d y 解 這里 2 ,1M x y y N x y y 方程不是恰當(dāng)?shù)?.但是 類型 條件 積分因子 ()x ()yxMN fxN ()f x dxe ()y ()yxMN fyM ()f y dye ()xy 111 ()yxMN f x yx N y M x y () |f u du u x ye ( ( , )xy ( ( , ) )yxxyMN f x yNM () ( , )|f u d u u x ye 1yxMNMy 它有僅依賴于 y 的積分因子 1 1dyyey 方程兩邊乘以積分因子 1y得到 1( ) ( 1 ) 0x y d x x d yy 從而可得到隱式通解 21 l n | |2u x x y y y C 另外，還有特 解 0y .它是用積分因子乘方程時(shí)丟失的解 . 例 4. 解方程 2 2 3( 2 ) ( ) 0y x y d x x y x d y 解 這里 2 2 32,M y x y N x y x ，不是恰當(dāng)方程 .設(shè)想方程有積分因子 ()xy ，其中 ， 是待定實(shí)數(shù) .于是 21 1 21 1 1( ) ( 2 )yxMN yxx N y M x y y x x y x y 只須取 3, 2.由上述簡表知原方程有積分因子 32xy 從而容易求得其通解為： 4 4 6 313u x y x y C 六、 積分因子的其他求法 以例 4 為例，方程的積分因子也可以這樣來求：把原方程改寫為如下兩組和的形式： 2 2 3( ) ( 2 ) 0y d x x y d x x y d x x d y 前一組有積分因子11y ，并且 21 ( ) ( )y d x x y d y d x yy 后一組有積分因子2 1x ，并且 2 3 21 ( 2 ) ( )x y d x x d y d x yx 設(shè)想原方程有積分因子 211( ) ( )x y x yyx 其中 ， 是待定實(shí)數(shù) .容易看出只須 3, 2，上述函數(shù)確實(shí)是積分因子，其實(shí)就是上面找到一個(gè) . 例 5. 解方程 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x M y d x N x N y d y 其中1M，2M，1N，2N均為連續(xù)函數(shù) . 解 這里12( ) ( )M M x M y，12( ) ( )N N x N y.寫成微商形式就形式上方程是變量可分離方程，若有0y使得20( ) 0My，則0yy是此方程的解；若有0x使得10( ) 0Nx，則0xx是此方程的解；若21( ) ( ) 0M y N x ，則有積分因子 211( ) ( )M y N x 并且通解為 12( ) ( )( ) ( )M x N yu d x d yN x M y 例 6、 試用積分因子法解線性方程（ 2.28） . 解 將（ 2.28）改寫為微分方程 ( ) ( ) 0P x y Q x d x d y （ 2.55） 這里 ( ) ( ) , 1M P x y Q x N ，而 ()MNyx PxN 則線性方程只有與 x 有關(guān)的積分因子 ()P x dxe 方程（ 2.55）兩邊乘以 ()P x dxe ，得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0P x d x P x d x P x d x xP x e y d x e d y Q x e d x （ 2.56） （ 2.56）為恰當(dāng)方程，又分項(xiàng)分組法 ( ) ( )( ) ( ) 0P x d x P x d xd y e Q x e d x 因此方程的通解為 ( ) ( )()P x d x P x d xy e Q x e d x c 即 ( ) ( ) ( ) P x d x P x d xy e Q x e d x c 與前面所求得的結(jié)果一樣 . 注：積分因子一般不容易求得可以先從求特殊形狀的積分因子開始，或者通過觀察法進(jìn)行“分項(xiàng)分組”法求得積分因子 . 4 一階隱方程與參數(shù)表示 1、一階隱方程 一階隱式微分方程的一般形式可表示為 : ( , , ) 0F x y y 如果能解出 ( , )y f x y ,則可化為顯式形式 ,根據(jù)前面的知識求解 . 例如方程 2( ) ( ) 0y x y y x y ,可化為 yx 或 yy 但難以從方程中解出 y ,或即使解出 y ,而其形式比較復(fù)雜 ,則宜采用引進(jìn)參數(shù)的方法求解 .一般隱式方程分為以下四種類型 : 1) ( , )y f x y 2) ( , )x f y y 3) ( , ) 0F x y 4) ( , ) 0F y y 2、求解方法 ） 可以解出 y （或） x 的方程 1) 討論形如 ( , )y f x y （ 2.57） 的方程的解法，假設(shè)函數(shù) ( , )f x y 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,引進(jìn)參數(shù) yp ,則方程 (2.57)變?yōu)?( , )y f x p (2.58) 將 (2.58) 的兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) ,得到 f f d ppx y d x (2.59) 方程 (2.59)是關(guān)于 ,xp的一階微分方程 ,而且屬于顯式形式 . 若求得 (2.59)的通解形式為 ( , )p x c ,將其代入 (2.58),于是得到 (2.57)通 解為 ( , ( , )y f x x c 若求得 (2.59)的通解形式為 ( , )x p c ,于是得到 (2.57)的參數(shù)形式的通解為 ( , )( ( , ) , )x p cy f p c p 其中 p 為參數(shù) , c 是任意常數(shù) . 若求得 (2.59)的通解形式為 ( , , ) 0x p c,于是得到 (2.57)的參數(shù)形式的通解為 ( , , ) 0( , )x p cy f x p 其中 p 為參數(shù) , c 是任意常數(shù) . 例 1 求方程 3( ) 2 0d y d yxyd x d x 的解 解 令 dy pdx,于是有 3 2y p xp (2.60) 兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) ,得到 23 2 2d p d pp p x pd x d x 即 23 2 0p d p x d p p d x 當(dāng) 0p 時(shí) ,上式有積分因子 p ,從而 323 2 0p d p x p d p p d x 由此可知 4 234p xp c 得到 4 2223344cp cxppp 將其代入 (2.60),即得 43342 ( )cpyp p 故參數(shù)形式的通解為 22334 ( 0 ) 212cxpppcypp 當(dāng) 0p 時(shí) ,由 (2.60)可知 0y 也是方程的解 . 例 2 求方程 22()2d y d y xyxd x d x 的解 . 解 令 dy pdx,得到 222xy p x p (2.61) 兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) ,得到 2 d p d pp p x p xd x d x 或 ( 2 ) ( 1 ) 0dppxdx 由 10dpdx,解得 p x c ,于是得到方程的通解為 2 22xy c x c (2.62) 由 20px ,解得2xp,于是得到方程的一個(gè)解為 24xy (2.63) 特解 (2.63)與通解 (2.62)中的每 一條積分曲線均相切 ,因此稱為方程的 奇解 . 2) 討論形如 ( , )dyx f ydx (2.64) 的方程的求解方法 ,方程 (2.64)與方程 (2.57)的求解方法完全類似 ,假定函數(shù) ( , )f y y 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 引進(jìn)參數(shù) dy pdx,則 (2.64) 變?yōu)?( , )x f y p (2.65) 將 (2.65) 的兩邊對 y 求導(dǎo)數(shù) ,得到 1 f f d pp y x d y (2.66) 方程 (2.66)是關(guān)于 ,yp的一階微分方程 ,而且屬于顯式形式 .設(shè)其通解為 ( , , ) 0y p c 則 (2.64)的通解為 ( , , ) 0( , )y p cx f y p ） 不顯含 y （或） x 的方 程 3) 討論形如 ( , ) 0F x y (2.67) 的方程的解法 . 記 dypydx,此時(shí) ( , ) 0F x p 表示的是 xp 平面上的一條曲線 ,設(shè)曲線用參數(shù)形式表示為 ()xt , ()pt (2.68) 由于 dy pdx ,進(jìn)而 ( ) ( )d y t t d t 兩邊積分 ,得到 ( ) ( )y t t d t c 于是得到方程 (2.67)參數(shù)形式的解為 ()( ) ( )xty t t d t c c 是任意常數(shù) . 例 3 求解方程 3330x y x y 解 令 y p tx ,則由方程得 331 tx t , 2331 tp t 于是 23339 (1 2 )(1 )ttd y d tt 積分得到 2 3 33 3 3 29 (1 2 ) 3 1 4(1 ) 2 (1 )t t ty d t c ctt 故原方程參數(shù)形式的通解為： 3332313 1 42 (1 )txttyct 4) 討論形如 ( , ) 0F y y (2.69) 的方程 ,其解法與方程 (2.67)的求解方法類似 . 記 dypydx,此時(shí) ( , ) 0F y p 表示的是 yp 平面上的一條曲線 ,設(shè)曲線用參數(shù)形式表示為 ()yt , ()pt 由關(guān)系式 dy pdx 可知 ( ) ( )t d t t d x ,于是 0p 時(shí) ,有 ()()tdx dtt, ()()tx d t ct 故方程 (2.69)的參數(shù)形式的通解 ()()()tx d t ctyt c 是任意常數(shù) . 此外 ,不難驗(yàn)證 ,若 ( , 0) 0Fy 有實(shí)根 yk ,則 yk 也是方程的解 . 例 4 求解方程 22(1 ) ( 2 )y y y . 解 令 2 y yt ,則 有 2 2 2(1 )y y y t 由此可以得 21yt ， 1ytt 代入 1dx dyp，得到 2 2 21 1 1( 1 )1d x d t d tt t t 積分 ,得到 1xct 故原方程參數(shù)形式的通解為 11xctytt 其中 c 是任意常數(shù) .此外 , 當(dāng) 0y 時(shí)原方程變?yōu)?2 4y ,于是 2y 也是方程的解 . 例 5 求解方程 21x y y 解 令 yp ,則 有 21x p p,取 , ( , )22p t g t t ,則2 s i ns e c1p t g txttp 由 dy pdx 得到 c o s s i nd y t g t t d t t d t 所以 cosy t c 故原方程參數(shù)形式的通解為 sinc o sxty t c 其中 c 是任意常數(shù) . 第三章 一 階微分方程解的存在定理 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。 2. 了解解的延拓定理及延拓條件。 3. 理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。 教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間 12 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。 考核目標(biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、 結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。 2.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯 得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。 例如方程 2dy ydx 過點(diǎn) (0,0) 的解就是不唯一，易知 0y 是方程過 (0,0) 的解，此外，容易驗(yàn)證 ， 2yx 或更一般地，函數(shù) 20 0( ) c 1xcyx c x 都是方程過點(diǎn) (0,0) 而且定義在區(qū)間 01x上的解，其中 c 是 滿足 01c的任一 數(shù)。 解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于 能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。 1 存在性與唯一性定理 ： （ 1）顯式一階微分方程 ),( yxfdxdy （ 3.1） 這里 ),( yxf 是在 矩形域：00: | | , | |R x x a y y b （ 3.2） 上連續(xù) 。 定理 1：如果函數(shù) ),( yxf 滿足以下條件： 1）在 R 上連續(xù)： 2）在 R 上關(guān)于變量 y 滿足李普希茲 （ Lipschitz）條 件 ， 即 存 在 常 數(shù) 0L ， 使 對 于 R 上任何一對點(diǎn)1(, )xy，2( , )xy均 有 不 等 式1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y 成立， 則 方程（ 3.1）存在唯一的解 ()yx ， 在區(qū)間0|x x h上 連續(xù)，而且滿足初始條件 00()xy （ 3.3） 其中,m i n ( , ) , m a x ( , )x y Rbh a M f x yM,L 稱為 Lipschitz 常數(shù) . 思路： 1） 求解 初值問題 (3.1)的解等價(jià)于積分方程 00 ( , )xxy y f x y d x 的連續(xù)解。 2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 ( )n x 任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)0()x，使得00| ( ) |x y b ，替代上述積分方程右端的 y ，得到 01 0 0( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 如果10( ) ( )xx，那么0()x是積分方程的解，否則，又用1()x替代積分方程右端的 y ，得到 02 0 1( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 如果21( ) ( )xx，那 么1()x是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 001( ) ( , ( ) )xnnxx y f x x d x （ 3.4） 于是得到函數(shù)序列 ( )n x. 3） 函數(shù)序列 ( )n x在區(qū)間00 , x h x h上一致收斂于 ()x ，即 lim ( ) ( )nn xx 存在，對 (3.4)取極限 ,得到 00010l i m ( ) l i m ( , ( ) ) = ( , ( ) ) xnnxnnxxx y f x x d xy f x x d x 即00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x . 4) ()x 是積分方程00 ( , )xxy y f x y d x在00 , x h x h上的連續(xù)解 . 這種一步一步求出方程解的方法 逐步逼近法 .在定理的假設(shè)條件下 ,分五個(gè)命題來證明定理 . 為了討論方便 ,只考慮區(qū)間00x x x h ,對于區(qū)間00x h x x 的討論完全類似 . 命題 1 設(shè) ()yx 是方程 (3.1)定義于區(qū)間00x x x h 上 ,滿足初始條件 00()xy （ 3.3） 的解 ,則 ()yx 是積分方程 00 ( , )xxy y f x y d x 00x x x h (3.5) 的定義于00x x x h 上的連續(xù)解 .反之亦然 . 證明 因?yàn)?()yx 是方程 (3.1)滿足00()xy 的解 ,于是有 () ( , ( ) )dx f x xdx 兩邊取0x到 x 的積分得到 00( ) ( ) ( , ( ) )xxx x f x x d x 00x x x h 即有00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 00x x x h 所以 ()yx 是積分方程00 ( , )xxy y f x y d x定義在區(qū)間00x x x h 上的連續(xù)解 . 反之 ,如果 ()yx 是積分方程 (3.5)上的連續(xù)解 ,則 00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x 00x x x h （ 3.6） 由于 ),( yxf 在 R 上連續(xù) ,從而 ( , ( )f x x 連續(xù) ,兩邊對 x 求導(dǎo) ,可得 () ( , ( ) )dx f x xdx 而且 00()xy , 故 ()yx 是方程 (3.1)定義在區(qū)間00x x x h 上 ,且滿足初始條件00()xy 的解 . 構(gòu)造 Picard的逐次逼近函數(shù)序 列 ( )n x. 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h ( 1, 2, )n （ 3.7） 命題 2 對于所有的 n ， （ 3.6）中的函數(shù) ()n x在00x x x h 上有定義，連續(xù)且滿足不等式 0| ( ) |n x y b （ 3.8） 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng) 1n 時(shí)，01 0 0( ) ( , )xxx y f y d ，顯然1()x在00x x x h 上有定義、連續(xù)且有 001 0 0 0 0| ( ) | | ( , ) | | ( , ) | ( )xxx y f y d f y d M x x M h b 即命題成立 . 假設(shè) nk 命題 2 成立，也就是在00x x x h 上有定義、連續(xù)且滿足不等式 0| ( ) |k x y b 當(dāng) 1nk時(shí)， 010( ) ( , ( ) )xkkxx y f d x 由于 ),( yxf 在 R 上連續(xù) ,從而 ( , ( )kf x x在00x x x h 上連續(xù)，于是得知1()k x在00x x x h 上有定義、連續(xù) ,而且有 01 0 0| ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xkk xx y f d M x x M h b 即命題 2對 1nk時(shí)也成立 .由數(shù)學(xué)歸納法知對所有的 n 均成立 . 命題 3 函數(shù)序列 ( )n x在00x x x h 上是一致收斂的 . 記 lim ( ) ( )nn xx ,00x x x h 證明 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 011( ) ( ) ( ) kkkx x x 00x x x h (3.9) 它的部分和為 011( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn k k nkS x x x x x 于是 ( )n x的一致 收斂性與級數(shù) (3.9)的一致收斂性等價(jià) . 為此，對級數(shù) (3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì) . 01 0 0 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xxx x f d M x x (3.10) 02 1 1 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |xxx x f f d 由 Lipschitz條件得知 002 1 1 0020| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( )2!xxxxx x L dL M x dMLxx 設(shè)對于正整數(shù) n ,有不等式 110| ( ) ( ) | ( ) !n nnnMLx x x xn 成立 ,則由 Lipschitz條件得知 ,當(dāng)00x x x h 時(shí) ,有 000111010| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( ) ! ( )( + 1 ) !xn n n nxxnnxnxnxnnx x f f dLdMLxdnMLxxn 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知 , 對所有正整數(shù) k ,有 1110| ( ) ( ) | ( ) !kkkkkkM L M Lx x x x h 00x x x h (3.11) 由正項(xiàng)級數(shù) 11 !kKkhMLk 的收斂性 ,利用 Weierstrass 判別法 ,級 數(shù) (3.9)在00x x x h 上一致收斂 .因而序列 ( )n x在00x x x h 上一致收斂 . 設(shè) lim ( ) ( )nn xx ,則 ()x 也在00x x x h 上連續(xù) ,且 0| ( ) |x y b 命題 4 ()x 是積分方程 (3.5)的定義在00x x x h 上的連續(xù)解 . 證明 由 Lipschitz條件 | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) |nnf x x f x x L x x 以及 ( )n x在00x x x h 上一致收斂于 ()x ,可知 ( , ( )nf x x在00x x x h 上一致收斂于( , ( )f x x .因此 0001l i m ( ) l i m ( , ( ) ) = l i m ( , ( ) ) xnnxnnxnx nx y f dy f d 即 00( ) ( , ( ) ) xn xx y f d 故 ()x 是積分方程 (3.5)的定義在00x x x h 上的連續(xù)解 . 命題 5 設(shè) ()x 是積分方程 (3.5) 的 定 義 在00x x x h 上的一個(gè)連續(xù)解 , 則( ) ( )xx , 00x x x h . 證明 設(shè) ( ) | ( ) ( ) |g x x x,則 ()gx是定義在00x x x h 的非負(fù)連續(xù)函數(shù) ,由于 00( ) ( , ( ) ) xxx y f d 00( ) ( , ( ) ) xxx y f d 而且 ( , )f x y 滿足 Lipschitz條件 ,可得 0000( ) | ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( )xxxxxxg x x x f f df f dL d L g d 令0( ) ( )xxu x L g d ,則 ()ux是00x x x h 的連續(xù)可微函數(shù) ,且0( ) 0ux, 0 ( ) ( )g x u x, ( ) ( )u x L g x , ( ) ( )u x L u x , ( ( ) ( ) ) 0Lxu x L u x e , 即 ( ( ) ) 0Lxu x e ,于是在00x x x h 上 , 00( ) ( ) 0LxLxu x e u x e 故 ( ) ( ) 0g x u x,即 ( ) 0gx ,00x x x h ,命題得證 . 對定理說明幾點(diǎn) : (1)存在唯一性定理中 m in ( , )bhaM的幾何意義 . 在矩形域 R 中 ( , )f x y M ,故方程過00( , )xy的積分曲線 ()yx 的斜率必介于 M 與 M 之間 ,過點(diǎn)00( , )xy分別作斜率為 M 與 M 的直線 . 當(dāng) bMa時(shí)，即 baM,（如圖 (a)所 示），解 ()yx 在00x a x x a 上有定義；當(dāng) bMa時(shí) ,即b aM ,（如圖 (b)所示），不能保證解在 00x a x x a 上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形 R 外去，只有當(dāng)00bbx x xMM 才能保證解 ()yx 在 R 內(nèi)，故要求解的存在范圍是 0|x x h. (2)、 由于 李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來代替他，即如果函數(shù) ),( yxf 在矩形域 R 上關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) ),( yxfy存在并有界， 即 ( , )yf x y L，則李普希茲條件條件成立 . 事實(shí)上 2 1 21 2 1 212( , ( ) )| ( , ) ( , ) | | | | | | |f x y y yf x y f x y y yyL y y 這里12( , ) , ( , ) , 0 1x y x y R . 如果 ),( yxfy在 R 上連續(xù)， 它 在 R 上當(dāng)然滿足李普希茲條件 .但是 ,滿足 李普希茲條件 的函數(shù) ),( yxf 不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在 .例如函數(shù) ( , ) | |f x y y 在任何區(qū)域都滿足 李普希茲條件 ,但它在 0y 處沒有導(dǎo)數(shù) . (3)、設(shè)方程 (3.1)是線性的 ,即方程為 ( ) ( )dy P x y Q xdx 易知 ,當(dāng) ( ), ( )P x Q x 在區(qū)間 , 上連續(xù)時(shí) ,定理 1的條件就能滿足 ,且對任一初值0 0 0( , ) , , x y x 所確定的解在整個(gè)區(qū)間 , 上有定義、連續(xù) . 實(shí)際上 ,對于一般方 程 (3.1),由初值所確定的解只能定義在0|x x h上 ,是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 ( )n x時(shí) ,要求它不越出矩形域 R ,此時(shí) ,右端函數(shù)對 y 沒有任何限制 ,只要取0 , m a x | ( ) ( ) |xM P x y Q x. (4)、 Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件 . 例如 試證方程 0 = 0l n | | 0 ydyyydx y 經(jīng)過 xoy 平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的 . 證明 0y 時(shí) , ( , ) ln | |f x y y y ,在 0y 上連續(xù) , ( , ) 1 l n | |yf x y y 也在 0y 上連續(xù) ,因此對 x 軸外的任一點(diǎn)00( , )xy,方程滿足00()y x y的解都是唯一存在的 .又由 ln | |dy yydx 可得方程的通解為 xceye ,其中 xceye 為上半平面的通解 , xceye 為下半平面的通解 ,它們不可能與 0y 相交 .注意到 0y 是方程的解 ,因此對 x 軸上的任一點(diǎn)0( ,0)x,只有 0y 通過 ,從而保證 xoy 平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的 . 但是 | ( , ) ( , 0 ) | | l n | | | | l n | | | | |f x y f x y y y y 因?yàn)?lim | ln | |y y ,故不可能存在 0L ,使得 | ( , ) ( , 0 ) | | |f x y f x L y 所以方程右端函數(shù)在 0y 的任何鄰域并不滿足 Lipschitz 條件 . 此題說明 Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件 . 2)考慮一階隱方程 ( , , ) 0F x y y (3.12) 由隱函數(shù)存在定理 ,若在000( , , )x y y的某一鄰域內(nèi) F 連續(xù)且000( , , ) 0F x y y ,而 0Fy ,則必可把 y 唯一地表為 ,xy的函數(shù) ( , )y f x y (3.13) 并且 ( , )f x y 于00( , )xy的某一鄰域連續(xù) ,且滿足0 0 0( , )y f x y 如果 F 關(guān)于所有變元存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,則 ( , )f x y 對 ,xy也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,并且 /f F Fy y y (3.14) 顯然它是有界的 ,由定理 1可知 ,方程 (3.13)滿足初始條件的0( ) 0yx解存在且唯一 .從而得到下面的定理 . 定理 2 如果在點(diǎn)000( , , )x y y的某一鄰域中 : ) ( , , )F x y y 關(guān)于所有變元 ( , , )x y y 連續(xù) ,且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； ）000( , , ) 0F x y y ）000( , , ) 0F x y yy 則方程（ 3.12）存在唯一的解 0( ) | | y y x x x h （ h 為足夠小的正數(shù)） 滿足初始條件 0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y （ 3.15） 1、 近似計(jì)算和誤差估計(jì) 求方程 近 似解的方法 Picard的逐次逼近法 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h 對方程的第 n 次近似解 ()n x和真正解 ()x 在0|x x h內(nèi)的誤差估計(jì)式 1| ( ) ( ) |( 1 ) !n nnMLx x hn （ 3.16） 此式可用 數(shù)學(xué)歸納法證明 . 000| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xxx x f d M x x M h 設(shè)有不等式 1110| ( ) ( ) | ( ) !nnnnnM L M Lx x x x h 成立 ,則 000110110| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ( ) ! ( )( + 1 ) ! ( + 1 ) !xnnxxnxnxnxnnnnx x f f dLdMLxdnM L M Lx x hnn 例 1 討論初值問題 22dy xydx , (0) 0y 解的存在唯一性區(qū)間 ,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過 0.05的近似解 ,其中 , : 1 1 , 1 1R x y . 解 ( , )1m a x | ( , | 2 , 1 , 1 , m i n , 2x y RbM f x y a b h a M ,由于 | | | 2 | 2f yLy ,根據(jù)誤差估計(jì)式 (3.16) 1 1| ( ) ( ) | 0 . 0 5( 1 ) ! ( 1 ) !n nnMLx x hnn 可知 3n .于是 0( ) 0x 322100( ) ( ) 3x xx x x d x 3722210( ) ( ) 3 6 3x xxx x x d x 3 7 1 1 1 522320( ) ( ) 3 6 3 2 0 7 9 5 9 5 3 5x x x x xx x x d x 3()x就是所求的近似解 ,在區(qū)間 1122x 上 ,這個(gè)解與真正解得誤差不超過 0.05. 2 解的延拓 上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng) ),( yxfdxdy 的右端函數(shù) ),( yxf 在 R 上滿足解的存在性唯一性條件時(shí) ，初值問題)(),(00 xyyyxfdxdy 的解在0|x x h上存在且唯一 . 但是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的 . 可能隨著 ),( yxf 的存在區(qū)域 的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例 1，當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)?: 2 2 , 2 2R x y 時(shí)， 218 , m i n 2 , 84Mh ，解的范圍縮小為0 1|4xx. 在實(shí)際引用中，我們也希望解的存在區(qū)間 能盡量擴(kuò) 大，下面 討論解的 延展 概念， 盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由 局部的變成大范圍的 . 1、飽和解及飽和區(qū)間 定義 1 對定義在平面區(qū)域 G 上的微分方程 ),( yxfdxdy (3.1) 設(shè) ()yx 是方程 (3.1)定義在區(qū)間1IR上的一個(gè)解 ,如果方程 (3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間2IR上的另一解 ()yx ,且滿足 (1) 12II；但是12II （ 2）當(dāng)1xI時(shí)， ( ) ( )xx 則稱1( ),y x x I是可延拓的，并稱 ()yx 是 ()yx 在2I上的延拓 .否則如果不存在滿足上述條件的解 ()yx ,則稱1( ),y x x I是方程 (3.1)的不可延拓解或飽和解 ,此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間1I稱為一個(gè)飽和區(qū)間 . 2、局部李普希茲條件 定義 2 若函數(shù) ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且對 G 內(nèi)每一點(diǎn) P ，都存在以 P 點(diǎn)為中心，完全含在 G 內(nèi)的閉矩形域pR，使得在pR上 ),( yxf 關(guān)于 y 滿足 李普希茲條件 （對于不同的點(diǎn)，閉矩形域pR的大小和 李普希茲 常數(shù) L 可能不同），則稱 ),( yxf 在 G 上關(guān)于 y 滿足局部 李普希 茲條件 . 定理 3 （延拓 定理）如果方程 ),( yxfdxdy 的 右端函數(shù) ),( yxf 在（有界或無界）區(qū)域 2GR 上連續(xù)，且 在 關(guān)于 y 滿足局部李普希茲條件，則對任意一點(diǎn)00( , )x y G，方 程 ),( yxfdxdy 以 ),(00 yx為初值的解 )(x 均可以向左右延展，直到 點(diǎn) ( , ( )xx 任意接近區(qū)域 G 的 邊界 . 以向 x 增大的一方來說，如果 ()yx 只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng) xm 時(shí)， ( , ( )xx 趨于區(qū)域 G 的邊界 。 證明 00( , )x y G，由解的存在唯一性定理，初值問題 )(),(00 xyyyxfdxdy （ 1） 存在唯一的解 ()yx ，解的存在唯一區(qū)間為00|x x h.取1 0 0x x h, 11()yx,以11( , )xy為中心作一小矩形1RG,則初值問題 11( , )()dy f x ydxy y x (2) 存在唯一的解 ()yx ，解的存在唯一區(qū)間為11|x x h. 因?yàn)?11( ) ( )xx,有唯一性定理 ,在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有 ( ) ( )xx ,即當(dāng)1 1 1x h x x 時(shí)( ) ( )xx .定義函數(shù) 0 0 0 00 0 0 0 1( ) ,()( ) ,x x h x x hxx x h x x h h 則 ()yx 是方程 (3.1)滿足 (1)(或 (2) 的 ,在0 0 1 1 , x h x h上有定義的唯一的解 .這樣 ,把方程 (3.1)滿足 (1)的解 ()yx 在定義區(qū)間上向右延伸了一段 .即把解 ()yx 看作方程 (3.1)的解 ()yx 在定義區(qū)間00|x x h的向右延拓 ,延拓到更大區(qū)間0 0 0 0 1x h x x h h .同樣的方法 ,也可把解()yx 向左延拓 .這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去 ,最后將得到一個(gè)解 ()yx ,不能再向左右延拓了 .這個(gè) 解稱為方程 (3.1)的飽和解 . 推論 1 對 定義在平面區(qū)域 G 上的初值問題 )(),(00 xyyyxfdxdy 其中00( , )x y G 若 ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿足局部 Lipschtiz 條件 ,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解 . 推論 2 設(shè) ()yx 是初值問題 )(),(00 xyyyxfdxdy 其中00( , )x y G 的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間 I 一定是開區(qū)間 . 證明 若飽和區(qū)間 I 不是開區(qū)間 ,不妨設(shè) ( , I ,則 ( , ( ) G ,這樣解 ()yx 還可以向右延拓 ,從而 ()yx 是非飽和解 , 矛盾 . 對 , )I 時(shí) , 同樣討論 , 即 x ( 或 x ) 時(shí) , ( , ( )x x G . 推論 3 如果 G 是無界區(qū)域 ,在上面解的延拓定理的條件下 ,方程 (3.1)通過00( , )xy點(diǎn)的解 ()yx 可以延拓 ,以向 x 增大 (減小 )一方的延拓來說 ,有以下兩種情況 : (1) 解 ()yx 可以延拓到區(qū)間0 , )x (或0( , x)； (2) 解 ()yx 只可延拓到區(qū)間0 , )xm(或0( , mx)，其中為有限數(shù)，則當(dāng) xm 時(shí)，或者 ()yx無界 ,或者點(diǎn) ( , ( )x x G . 例 1討論方程 2 12dy ydx 分別 通過點(diǎn) (0,0) 和點(diǎn) (ln2, 3) 的解的存在 區(qū)間 . 解 此方程 右端函數(shù) 2 1( , )2yf x y 在整個(gè) xy 平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件 .易知方程的通解為 11xxcey ce 故通過點(diǎn) (0,0) 的解為 (1 ) / (1 )xxy e e ,這個(gè)解的存在區(qū)間為 x ； 通過點(diǎn) (ln2, 3) 的解為 (1 ) / (1 )xxy e e ,這個(gè)解的存在區(qū)間為 0 x (如圖所示 ).注意 , 過點(diǎn) (ln2, 3) 的解為 (1 ) / (1 )xxy e e 向右方可以延拓到 ,但向左方只能延拓到 0 ,因?yàn)楫?dāng) 0x 時(shí) , y . 例 2討論方程 1 lndy xdx過 (1,0) 點(diǎn)的解的存在 區(qū)間 . 解 方程 右端函數(shù) ( , ) 1 lnf x y x 在右半平面 0x 上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件 .區(qū)域 G (右半平面 )是無界開域， y 軸是它的邊界 . 易知問題的解為 lny x x ,它于區(qū)間 0 x 上有定義、連續(xù)且當(dāng) 0x 時(shí) , 0y ,即所求 問題的解向右方可以延拓到 ,但向左方只能延拓到 0 ,且當(dāng) 0x 時(shí)積分曲線上的點(diǎn) ( , )xy 趨向于區(qū)域 G 的邊界上的點(diǎn) . 例 3 考慮方程 ),()( 22 yxfaydxdy ,假設(shè) ( , )f x y 和 ),( yxfy在 xoy 平面上連續(xù)，試證明：對于任意0x及 ay 0，方程滿足00 )( yxy 的解都在 ),( 上存在 . 證明 根據(jù)題設(shè) ,易知方程右端函數(shù)在整個(gè) xoy 平面 上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件 .又 ya 為方程在 ( , ) 上的解 ,由延拓 定理可知 ,對00,| |x y a,滿足00)( yxy 的解()y y x 應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn) ,但是 ,由解的唯一性 , ()y y x 又不能穿過直線 ya ,故只能向兩側(cè)延拓 ,而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn) ,從而解應(yīng)在 ( , ) 存在 . 注 : 如果函數(shù) ( , )f x y 于整個(gè) xoy 平面 上定義、連續(xù)和有界 ,同時(shí)存在關(guān)于 y 的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程 (3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間 x . 練習(xí) 試證對任意0x，0y，方程1222 yxxdxdy 滿足初始條件 00 )( yxy 的解都在 ),( 上存在 . 3 解對初值的連續(xù)性和可微 性定理 在初值問題)(),(00 xyyyxfdxdy 中我們都是把初值 ),(00 yx看成是固定的數(shù)值，然后再去 討論方程),( yxfdxdy 經(jīng)過點(diǎn) ),( 00 yx 的解 .但是 假如 00( , )xy 變動(dòng)， 則相應(yīng)初值問題的 解也 隨之變動(dòng) ， 也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量 x ,還依賴 于初值00( , )xy.例 如 ： yyxf ),( 時(shí) ,方程 yy 的解是xcey ,將初始條件 00 )( yxy 帶入 ,可得 00 xxeyy .很顯然 它 是自變量 x 和初始條件 00( , )xy 的函數(shù) .因此將 對初值問題)(),(00 xyyyxfdxdy 的 解 記 為 ),(00 yxxy ,它滿足0 0 0 0( , , )y x x y. 當(dāng) 初值發(fā)生變化時(shí)，對應(yīng)的解是如何變化的？ 當(dāng) 初始