線性代數(shù)精華總結(jié)難記公式匯總(考試必備).pdf

- 1 - 線性代數(shù) 1. 上（下）三角形行列式的值為對(duì)角線元素的乘積。 2. 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 3. 互換行列式的兩行（列） ，行列式變號(hào)。 4. 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) k 等于用數(shù) k 乘以此行列式。 5. 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 6. 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。 7. 在 n 階行列式中，把元素 aij所在的第 i 行和第 j 列劃去后，留下來(lái)的 n-1 階行列式叫做元 素 aij的余子式余子式，記作 Mij； ij ji ij MA ) 1(，叫做元素 aij的代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 8. 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。 9. 行列式某一行（列）的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。 10. 數(shù)與矩陣 A 的乘積等于乘以 A 中的所有元素。 11. 矩陣 nmnssm CBA TT AA)( TTT ABAB)( 12. 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣：AAT 元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。 13. 方陣：AA n BAAB BAAB 14. 矩陣 A 的伴隨矩陣伴隨矩陣： 行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 ij A所構(gòu)成的矩陣 A*（橫求豎寫(xiě)） 。 EAAAAA * 15. n 階矩陣：AB=BA=E，B 稱為 A 的逆矩陣逆矩陣；記作 1 AB。 16. 若矩陣 A 可逆A0。 17. 逆矩陣的性質(zhì)： A A A * 1 ， 111 )( ABAB ， A A 1 1 ， 1 1 1 AA 18. A0 時(shí)的矩陣稱為奇異矩陣奇異矩陣，否則稱非奇異矩陣非奇異矩陣?？赡婢仃囀欠瞧娈惥仃?。 19. 分塊對(duì)角矩陣： s AAAA 21 1 1 2 1 1 1 0 0 s A A A A 20. A 的轉(zhuǎn)置矩陣 AT的秩)()(ARAR T 。 21. 可逆矩陣的秩等于階數(shù)，又稱滿滿秩矩陣秩矩陣（非奇異矩陣） ；而奇異矩陣又稱降秩矩陣降秩矩陣。 - 2 - 22. 對(duì)角矩陣 m 左乘 A 等于 A 的每一行乘以中與該行對(duì)應(yīng)的對(duì)角元。 T mm T T T m T T m nmm A 22 11 2 1 2 1 23. 對(duì)角矩陣 m 右乘 A 等于 A 的每一列乘以中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元。 ),(),( 2211 2 1 21nn n n aaaaaaA 24. 克拉默法則克拉默法則：如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D0，則方程組有唯一解。 25. 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D0，則齊次線性方程組只有零解。 26. 如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式 D=0。 27. 如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式 D=0。 28. n 元齊次線性方程組0 xA nm 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩nAR)(。 29. n 元非齊次線性方程組bxA nm 有解的充分必要條件是)()()(BRbARAR。 當(dāng))()(BRAR時(shí)，方程組無(wú)解； 當(dāng)nBRAR)()(時(shí)，方程組沒(méi)有自由未知量，只有唯一解； 當(dāng)nrBRAR)()(時(shí)，方程組有 n-r 個(gè)自由未知量，有無(wú)限多解。 30. 方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)有非零解。 31. 由單位矩陣 E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣。 32. 對(duì) nm A 實(shí)施一次初等行變換，相當(dāng)于左乘 m 階初等矩陣；對(duì) nm A 實(shí)施一次初等列變換， 相當(dāng)于右乘 n 階初等矩陣。 33. 可逆矩陣等于有限個(gè)初等矩陣的乘積。 34. 求BAX ，BAX 1 )()(XEBA 求BXA ， TTT BXA )()( TTT XEBA TT XX)( 35. 向量 b 能由向量組 A 線性表示的充分必要條件是)()(bARAR，。 36. 若 nssmnm BAC ，則矩陣 C 的列向量組能由矩陣 A 的列向量組線性表示，B 為系數(shù)矩 - 3 - 陣；同時(shí)，C 的行向量組能由 B 的行向量組線性表示，A 為系數(shù)矩陣。 37. 設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等變換變成矩陣 B，則 B 的每個(gè)行向量都是 A 的行向量組的線性組合，即 B 的行向量組能由 A 的行向量組線性表示。 38. 給 定 向 量 組 m aaaA, 21 ：， 如 果 存 在 不 全 為 零 的 數(shù) m kkk, 21 ， 使 0 2211 mma kakak，則稱向量組 A 是線性相關(guān)線性相關(guān)的。否則稱線性無(wú)關(guān)。 39. 向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān)，就是在向量組 A 中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表示。 40. 向量組 m aaaA, 21 ：線性相關(guān)的充分必要條件是：mAR)(（m 為向量個(gè)數(shù)） ；向量組 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：mAR)(。 41. 若向量組 m aaaA, 21 ：線性相關(guān)，則向量組 121 , mm aaaaB：也線性相關(guān)；反之， 若向量組 B 線性無(wú)關(guān)，則向量組 A 也線性無(wú)關(guān)。 42. 若向量 aj添上一個(gè)行分量后得向量 bj：若向量組 m aaaA, 21 ：線性無(wú)關(guān)，則向量組 m bbbB, 21 ：也線性無(wú)關(guān)。反言之，若向量組 B 線性相關(guān)，則向量組 A 也線性相關(guān)。 43. m 個(gè) n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個(gè)數(shù) m 時(shí)一定線性相關(guān)。 44. 設(shè)向量組 m aaaA, 21 ：線性無(wú)關(guān)，而向量組baaaB m, , 21 ：線性相關(guān)，則向量 b 必 能由向量組 A 唯一線性表示。 45. 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。 46. 設(shè)向量組 B 能由向量組 A 線性表示，則)()(ARBR。 47. 設(shè)向量組 B 是向量組 A 的部分組，若向量組 B 線性無(wú)關(guān)，且向量組 A 能由向量組 B 線 性表示，則向量組 B 是向量組 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組。 48. 設(shè) nssmnm BAC ，則)()(ARCR，)()(BRCR。 49. 設(shè) V 為 n 維向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 對(duì)于加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，就 稱集合 V 為向量空間向量空間。n 維向量的全體 Rn是一個(gè)向量空間。 50. 由向量組 m aaa, 21 所生成的向量空間生成的向量空間為 ,| 212211 RaaaxV mmm 51. 設(shè)有向量空間 21 VV 及，若 21 VV ，就稱 21 VV 是的子空間子空間。 52. 設(shè) V 為向量空間，如果 r 個(gè)向量 r aaa, 21 且滿足： - 4 - r aaa, 21 線性無(wú)關(guān)； V 中的任一向量都可由 r aaa, 21 線性表示； 那么，向量組 r aaa, 21 就稱為向量空間 V 的一個(gè)基基，r 稱為向量空間 V 的維數(shù)，并稱 V 為 r 維向量空間維向量空間。 53. 向量組 r aaa, 21 的最大無(wú)關(guān)組就是V的一個(gè)基， 向量組 r aaa, 21 的秩就是V的維數(shù)。 54. 解空間的基稱為基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系。個(gè)數(shù)：nr，即自由未知量的個(gè)數(shù)。 55. 設(shè) 21 xx及都是非齊次方程組的解，則 21 x為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。 56. 設(shè)x是非齊次方程組的解，x是齊次方程組的解，則x仍是非齊次線性方程 組的解。 57. nny xyxyxyx 2211 ,稱為向量 x 與 y 的內(nèi)積內(nèi)積。 58. x 與 y 都是列向量時(shí)yxyx T ,。內(nèi)積性質(zhì)：,yxyx 59. n 維向量向量 x 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度（或范數(shù)） ： 22 2 2 1 , n xxxxxx。當(dāng)1x時(shí)，稱 x 為單單 位向量位向量。 60. 施瓦茨不等式施瓦茨不等式：向量的內(nèi)積滿足, 2 yyxxyx。 61. 設(shè) n 維向量 r eee, 21 是向量空間)( n RVV的一個(gè)基，如果 r eee, 21 兩兩正交，且都 是單位向量，則稱 r eee, 21 是 V 的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基。 62. 施密特規(guī)范正交化過(guò)程： 正交化： 11 ab ； 1 11 21 22 , , b bb ab ab； 2 22 32 1 11 31 33 , , b bb ab b bb ab ab 1 11 1 2 22 2 1 11 1 , , r rr rrrr rr b bb ab b bb ab b bb ab ab。 單位化： 1 1 1 1 b b e ， 2 2 2 1 b b e ， r r r b b e 1 。 63. 若 n 維向量 r aaa, 21 是一組兩兩正交的非零向量，則 r aaa, 2 , 1 線性無(wú)關(guān)。 64. 如果 n 階矩陣 A 滿足)( 1TT AAEAA 即，則稱 A 為正交矩陣正交矩陣。 65. 方陣 A 為正交矩陣地充分必要條件是 A 的列（行）向量都是單位向量，兩兩正交。 - 5 - 66. 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果數(shù)和 n 維非零列向量 x 使關(guān)系式xAx（即0)(xEA）成 立，那么，這樣的數(shù)稱為方陣 A 的特征值特征值；非零向量 x 稱為 A 的對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值的特的特 征向量征向量。 67. 方陣 A 的特征方程有非零解的充分必要條件是：系數(shù)行列式0 EA。 68. 特征值性質(zhì)： nnn aaa, 221121 A n 21 若是 A 的特征值，則 kk A是的特征值 69. 設(shè) m , 21 是方陣 A 的 m 個(gè)特征值， m ppp, 21 是與之對(duì)應(yīng)地特征向量。如果 m , 21 各不相等，則 m ppp, 21 線性無(wú)關(guān)。 70. 設(shè) A，B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P，使BAPP 1 ，則稱 B 是 A 的相似矩陣相似矩陣。 71. 若 n 階矩陣 A 與 B 相似，則 A 與 B 的特征多項(xiàng)式相同，從而 A 與 B 的特征值亦相同。 72. 若 n 階矩陣 A 與對(duì)角矩陣 n 2 1 相似， 則 n , 21 是 A 的 n 個(gè)特征值。 73. 把方陣 A 對(duì)角化對(duì)角化：對(duì) n 階矩陣 A，求相似變換矩陣 P，使 APP 1 為對(duì)角矩陣。 74. n 階矩陣 A 與對(duì)角矩陣相似（即 A 能對(duì)角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特 征向量。 75. 如果 n 階矩陣 A 的 n 個(gè)特征值互不相等，則 A 與對(duì)角矩陣相似。 76. 設(shè) 21, 是對(duì)稱矩陣 A 的兩個(gè)特征值， 21, p p是對(duì)應(yīng)的特征向量。若 21 ，則 21 pp 與正 交。 77. 設(shè) A 是 n 階對(duì)稱矩陣，是 A 的特征方程的 r 重根， 則矩陣EA的秩rnEAR)(， 從而對(duì)應(yīng)特征值恰有 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 78. 設(shè) A 是 n 階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣 P，使 APP 1 ，其中是以 A 的 n 個(gè)特征值 為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。 79. 含有 n 個(gè)變量 n xxx, 21 的二次齊次函數(shù)，稱為二次型二次型?？捎涀鰽xxf T nnnnnnnn xxaxxaxxaxaxaxaxxxf 1, 131132112 22 222 2 11121 222),( - 6 - 80. 只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式） 。 22 22 2 11nny kykykf 81. 任給一個(gè)二次型，就唯一確定一個(gè)對(duì)稱矩陣。 82. 任給可逆矩陣 C， 令A(yù)CCB T ， 如果 A 為對(duì)稱矩陣， 則 B 亦為對(duì)稱矩陣， 且)()(ARBR。 83. 任 給 二 次 型)( 1, jiij n ji jiij aaxxaf ， 總 有 正 交 變 換Pyx ， 使 f 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 型 22 22 2 11nny yyf，其中 n , 21 是 f 的矩陣)( ij aA的特征值。 84. 設(shè)有實(shí)二次型Axxf T ，它的秩為 r，有兩個(gè)實(shí)的可逆變換Cyx 及Pzx 使 )0( 22 22 2 11 irr kykykykf及)0( 22 22 2 11 irrz zzf， 則 r kkk, 21 中 正數(shù)的個(gè)數(shù)與 r , 21 中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等。慣性定理慣性定理 85. 設(shè)有實(shí)二次型Axxf T ，如果對(duì)于任何0x，都有)0)0(0)(fxf顯然，則稱 f 為正 二次型，并稱對(duì)稱矩陣 A 是正定的正定的；如果對(duì)于任何0x，都有0)(