（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）脈沖微分方程的穩(wěn)定性和有界性.pdfVIP

摘要 x 6 6 3 4 31 本文研究脈沖微分方程的穩(wěn)定性及有界性。在第一章，研究脈沖 微分方程的穩(wěn)定性，建立了脈沖常微分方程零解的指數(shù)穩(wěn)定性定理 和脈沖泛函微分方程零解的l i p s c h i t z 穩(wěn)定性定理，得到的結(jié)果推廣 或改進(jìn)了前人的有關(guān)結(jié)果第二章，研究了脈沖常微分方程及脈沖 泛函微分方程的有界性，得到了方程解的一致有界及最終一致有界 的幾個(gè)充分條件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h es t a - b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n de s t a b l i s ht h ee x - p o n e n t i a ls t a b i l i t yt h e o r e m so fz e r os o l u t i o n so ft h ei m p u l s i v e o r d i n a r yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h el i p s c h i t zs t a b i l i t yt h e o r e i n so fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e o r e m s e x t e n do ri m p r o v et h ef o r m e rr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d y t h eb o u n d e d n e s so f i m p u l s i v eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do b t a i ns o m en e w s u 瓶c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r m l yb o u n d e d n e s sa n d u n i f o r m l y u l - t i m a t eb o u n d e d n e s s 前言 上個(gè)世紀(jì)，俄羅斯著名數(shù)學(xué)家李雅普諾夫首創(chuàng)的運(yùn)動穩(wěn)定性的一 般理論受到了各國學(xué)者的高度重視。事實(shí)上，穩(wěn)定性理論已成功地 應(yīng)用到力學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、系統(tǒng)控制和信息學(xué)等領(lǐng)域，這使得對微 分系統(tǒng)的穩(wěn)定性、有界性的深入研究既有理論意義又有實(shí)際意義。 半個(gè)多世紀(jì)以來，穩(wěn)定性理論不斷發(fā)展，新的課題、方法不斷出現(xiàn) ( 見文獻(xiàn)1 1 ，1 8 ，2 9 ，3 5 ，4 3 5 0 1 ) ；常微分方程中的李雅普諾夫穩(wěn)定性已推 廣到了用差分方程、微分差分方程、微分積分方程、隨機(jī)微分方程和偏 微分方程等數(shù)學(xué)模型描述的各種系統(tǒng)( 見文獻(xiàn) 1 1 ，2 2 ，2 8 ，4 2 ，6 0 ，6 1 ) 。 隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)脈沖微分方程較之相應(yīng)的不帶 脈沖的微分方程能更準(zhǔn)確地描繪現(xiàn)實(shí)生活中的某些現(xiàn)象，如在生物 學(xué)、醫(yī)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)、光學(xué)控制、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中出現(xiàn)的變量狀態(tài)的突變 就可通過帶脈，中擾動的模型來更準(zhǔn)確地描述；這些都使得對脈沖微 分系統(tǒng)的研究更具現(xiàn)實(shí)意義 脈沖微分方程的早期工作可追溯到1 9 6 0 年m i l m a n 和m y s h k i s 的研究( 1 4 】) 。近二十年來，脈沖常微分方程、脈沖泛函微分方程被 大量地研究。在穩(wěn)定性、有界性、振動性、比較原理和周期解的存在 性等領(lǐng)域的研究相當(dāng)活躍( 詳見文獻(xiàn) 1 - 9 ，1 1 1 7 ，2 6 3 0 ，5 3 5 9 ) ；而 對于脈沖微分方程零解的穩(wěn)定性研究來說，早期的工作有a n o k h i n 的 2 1 ，g o p a l s a m y 和z h a n g 的 1 6 】和l i u 的【3 】；近期的工作( 如 y u 的【6 ， a o l ；s h e n 的 i i i ， 2 0 ， 5 9 1 ；y a n 和s h e n 的 8 】及f e n g 和c h e n 的【5 4 1 等) 越來越注重揭示脈沖對穩(wěn)定性的影響，如脈沖 擾動能使不穩(wěn)定的系統(tǒng)變得穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定甚至一致漸 近穩(wěn)定；或者使原本穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定等。 作者在大量查閱近年來的文獻(xiàn)后發(fā)現(xiàn)，脈沖微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn) 定性、l i p s c h i t z 穩(wěn)定性及有界性等方面的研究還相對較少。如在 指數(shù)穩(wěn)定性方面，大多數(shù)文獻(xiàn)致力于非線性微分積分方程、時(shí)滯微 3 分方程、中立型泛函微分方程和線性時(shí)變微分方程等系統(tǒng)零解的指 數(shù)穩(wěn)定性的研究( 見文獻(xiàn) 2 4 ，6 0 6 4 ) ；在l i p s c h i t z 穩(wěn)定性方面， 現(xiàn)有的文獻(xiàn)多致力于非線性常微分方程、泛函微分方程等系統(tǒng)零解 的l i p s c h i t z 穩(wěn)定性的研究( 見文獻(xiàn)f 9 ，6 5 6 7 ) ；在有界性方面，較 多的文獻(xiàn)致力于非線性微分積分方程和泛函微分方程有界性的研究 ( 如文獻(xiàn) 5 5 5 8 ) ，脈沖有界性方面的工作有l(wèi) i u 和s h e n 的【3 6 】及 l u o 和s h e n 的5 1 1 等。 本文受到文 7 - 9 ，1 8 ，3 6 的啟發(fā)，發(fā)展和運(yùn)用了文獻(xiàn) 7 ，8 ，2 0 ，2 4 ，3 6 的某些方法，考慮了脈沖常微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性、有界性和脈沖泛 函微分方程的l i p s c h i t z 穩(wěn)定性、有界性，建立并推廣了l i a p u n o v 函數(shù)法的幾個(gè)指數(shù)穩(wěn)定和l i p s c h i t z 穩(wěn)定性及有界性定理，其中對 脈沖時(shí)滯微分方程運(yùn)用了r a z u m i k h i n 方法，所得結(jié)果推廣或改進(jìn) 了前人的結(jié)果 本文盡量減弱現(xiàn)有文獻(xiàn)中穩(wěn)定性及有界性定理所要求的條件， 如大多數(shù)文獻(xiàn)中要求l i a p u n o v 函數(shù)y 沿著方程的導(dǎo)數(shù)y 7 負(fù)定或 常負(fù)( 如文獻(xiàn) 1 ，1 8 ，1 9 ，3 5 等) ，而本文中v 7 可為正；本文力求反映 脈沖對穩(wěn)定性、有界性的影響，如脈沖能使不穩(wěn)定或不指數(shù)穩(wěn)定的 系統(tǒng)變得指數(shù)穩(wěn)定以及脈沖能使無界的系統(tǒng)變得一致有界和一致最 終有界等，文中舉例顯示了上述特點(diǎn)。 4 第一章脈沖微分方程的穩(wěn)定性 1 1引言 本章討論了脈沖常微分方程和脈沖泛函微分方程零解的穩(wěn)定性。 考慮脈沖常微分方程 篆群礎(chǔ)枷乏n 崢如 q u ) i 茹( t 吉) = ( z ( t ) ) ，南 、。 和脈沖泛函微分方程 磊! 鐮。氣翟n 臀 地， 【z ( t ) = 以( z ( t i ) ) ， 克 ， ” 其中，：i r “_ r n ，f ：ixp c 斗釅，以：r “- r “，i = t o ，0 0 ) ，p c = p g ( 【一7 - ，o 】，艫) = 西： 一7 - ，o - r n ，中( t ) 除了 在有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)i 外都連續(xù)，咖( ) 和圣( 產(chǎn)) 均存在且 垂( 礦) = 西( i ) ) ，s ( p ) = z r “：izi p ) ，t o t 1 t 2 - 靠 如+ 1 ，當(dāng)尼_ 時(shí)，如o o 。 z 他) 對( 1 1 1 ) 和 ( 1 1 2 ) 分別指z ( t ) 的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 對于每個(gè)t t o ，規(guī)p c 定義為x t ( s ) = o ( t + s ) ，一7 _ s 0 。對于每個(gè)p c ，的范數(shù)定義為l l i l = s u p 一， 0 ，j 6 ( ) 0 ，使得對任意 的o 和2 0 0 ，當(dāng)l z o i 0 和m = m ( 丁7 ) 0 ， 使得i x ( t ，盯，西) i a m - i i 對所有t 盯及| | s 卵成立，則稱方 程( 1 1 2 ) 過( 盯，) 【亡o ，o o ) xp c 的零解是一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定 的；若叼= o o ，則稱零解是全局一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定的。 定義1 1 3 函數(shù)v ( t ，z ) ：【t o ，) 艫- - + r + 屬于集合，如果： ( a 1 ) v 在每個(gè)集合口一1 ，t k ) xl s ( 彩上連續(xù)，且對于所有z s ( 和七e n ，l i m ( t ，) _ + ( ，。) w ( t ，可) = 礦( 壇，z ) 存在 ( a 2 ) v ( t ，茁) 在口s ( p ) 上是局部l i p s c h i f z 的，且對于所有 t t o ，v ( t ，0 1 三0 定義1 1 4 函數(shù)v ( t ，z ) ： t o ，o o ) x 艫- r + 屬于集合，如果： ( a 3 ) y 在每個(gè)集合( t k i ，t 女 s ( p ) 上連續(xù)，且對于所有z s ( p ) 和七n ，f i m ( t ，”) - ( t ：，：) w ( t ，可) = y 0 吉，z ) 存在 ( a 4 ) v ( t ，z ) 在z s ( p ) 上是局部l i p s c h i t z 的，且對于所有 t t o ，w ( t ，0 ) 三0 。 定義1 1 5 令v ( 或k ) ，對于任意( t ，z ) ( t k 一1 ，t k ) s ( p ) ，v 沿著方程( 1 1 1 ) ( 或( 1 1 2 ) ) 的解z ( t ) 的上右導(dǎo)數(shù)v ( t ，z ( t ) ) 定義 為： y 7 ( t ，z ( t ) ) = 1 i r 6 f + l s o + u p 丟( v + 6 ，。+ 巧) ) 一y ，z ( t ) ) ) 定義1 1 6 若函數(shù)u c ( r + ，r + ) 嚴(yán)格單調(diào)增加且u ( o ) = 0 ，則稱 u 屬于k 類函數(shù)，記為u k 。 定義1 1 7 設(shè)l ，2 k ，若存在p 0 ，v r 0 ，糾，了七1 0 ，七2 0 使得 h 咖1 ( r ) a 2 ( r ) 七2 咖1 ( r ) 6 則稱1 ，妒2 具局部同級增勢，若v r 【0 ，0 0 ) ，上式成立，則稱1 ，咖2 具全局同級增勢。 在整篇論文中，我們將集合g h ，k + ，k ”，q 及q + 定義為： g h = ( t ，。) ：t 0 ， o 時(shí)，妒( s ) o 時(shí)，日( s ) 0 ) q 4 = u ( t ，u ) ：u c ( “一1 ，“) xr + ，r + ) ，k ；對于每個(gè)茁r + k n ，l i m c t ，。) - + ( 壇，。) u 0 ，讓) = u ( t i ，茁) 存在) 1 2 脈沖常微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性 定理1 2 1 設(shè)在g h 上存在函數(shù)v ( t ，z ) 及正常數(shù)m ，艦，l ，三1 ，q c ，1 8 ，非負(fù)數(shù)列d k ，憊= l ，2 ，使得： ( 1 ) 且彳i z1 l v ( t ，茹) 矗i 。i l l ， ( 2 ) v 心，z ) c v ( t ，z ) ，t t a ， ( 3 ) y ( 磚，以( z ) ) e - d k v ( t k ，寫) ， ( 4 ) l i r a i n f n - + o o 景者= 盧 c 則方程( 1 1 1 ) 的零解指數(shù)穩(wěn)定。 證明：令v ( t ) = v ( t ，茹( t ) ) ，其中z ( t ) = 茁( t ，t o ，x o ) 是方程( 1 1 1 ) 過( t o ，z o ) 的解。由條件( 2 ) ，( 3 ) 及文 1 中定理1 4 1 知 v ( t ) y ( t o ) e 。p 一。) i ie 一出，t t o ，( 1 2 1 ) t o r 1 c 。由( 4 ) 知，存在自然數(shù)n ，當(dāng)n n 時(shí)有芒譬_ r 1 ，則有 e d n 一1 o ( 6 日) ，使當(dāng)i 。o i 6 時(shí) v ( t o ，x o ) e l ( t k - t o ) 一( d 1 + h 卜毗一- )sm 1 iz ol 工l e r l ( t k 一如) 一( d 1 + + d ) n ) 時(shí) y ( t ) m e l e 。( t - t o ) - n ( t , - t n ) 1 ( 如一如) m e l e c ( t t o ) 一r l o t o ) 再由條件( 1 ) 可得： m i z ( t ) i l v ( t ) 0 ) 即f 。( 茚f e e 一 ( 卜t o ) ，t ( 如一1 ，如】。 即當(dāng)l x o j 5 時(shí)有i 茁( t ) ； e e 一魯( t - t o ) ，t ( t 。一l ，t 。 。 對于t ( t 。，t 。+ 1 】的情形類似可證；故當(dāng)l 茁o l 0 使得： v ( t ，z ) ) 一咖3 ( i z 0 ) i ) 一尼1 曲2 ( i z ( t ) i ) 一k l v ( t ，z 0 ) ) ( 1 2 4 ) 當(dāng)t t o ，t 1 時(shí)，由( 1 2 4 ) 式有： v ( t ，。( t ) ) v ( t o ，x o ) e - 。1 ( t - t o )( 1 2 5 1 當(dāng)t ( t l ，t 2 】時(shí)，由( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 式有： v ( t ，z ( t ) ) v ( q ，z ( 對) ) e - k l ( t - t - ) 妒1 ( y ( t l ，。( t 1 ) ) ) e - k l ( t - t 1 ) 妒1 ( y ( t o ，。( t o ) ) e - k l ( 。一如) ) e - k l ( t - h ) 妒1 ( y ( t o ，z ( t o ) ) ) e - k l ( t - t o ) 當(dāng)t ( t 2 ，t 3 時(shí)，由( 1 2 4 ) 及上式得： v ( t ，z ( t ) ) sv ( q ，。( t 手) ) e - k l ( t - t 。) 妒2 ( y ( t 2 ，z ( t 2 ) ) ) e “1 ( t - t 2 ) 妒2 ( 妒1 ( y ( t o ，。o ) ) e - k l ( t 2 - t o ) ) e - k 1 ( t - t 。) 妒2 ( 妒1 ( y ( t o ，z o ) ) ) e 一- ( t - t o ) 由類似的方法及簡單的歸納可得，當(dāng)t ( t m ，t m + 1 ( m = 1 ，2 ，) 時(shí)有 v ( t ，z ( t ) ) ( 一1 ( ( 妒1 ( y ( 。o ) ) ) ) ) e “( t - t o ) ( 1 2 6 ) 由條件( 3 ) 和( 1 2 6 ) 得： v ( t ，z ( t ) ) h l y ( t o ，x o ) e - k l ( t - t o ) t t 。 則由條件( 1 ) 得： 咖1 ( 1 。0 ) i ) v ( t ，z 0 ) ) s 日1 2 ( 1x 01 ) e 一。1 ( 。一如) 由于1 ，2 - 5 o 具有全局同級增勢，故存在1 1 0 ，f 2 0 使得： f l j 。( ) i 。1 ( 1 。( t ) i ) v ( t ，z ( t ) ) h 1 2 2 i x o l 。e 一2 1 0 一。) 即 m 馴s ( 半) v 。e 一，( 1 2 7 ) 此式說明了方程( 1 1 1 ) 的零解指數(shù)穩(wěn)定。 1 3 脈沖泛函微分方程的l i p s c h i t z 穩(wěn)定性 定理1 3 1 假設(shè)存在函數(shù)y 及u 1 ，0 ) 2 k 使得 ( i ) y ( t ， ( 。) ) ：冬( 1 + b k ) v ( t ；，z ) ，七n 其中b k 0 且茫1 b k 0 及m = m ( r ) 0 使得l zl 0 及v ( t + s ，z ( 礦+ s ) ) v ( t 。，。( 擴(kuò)) ) ， y t s 0 。由條件( i i i ) 可得v 也+ ，2 ( ) ) 0 。矛盾! 因此( 1 3 1 ) 成立。由( 1 3 1 ) 和條件( i ) 可得 v ( t m ) = v ( t 。，。7 m ( z ( t 二) ) ) ( 1 + 6 。) v ( t 二) ( 1 + 6 。) u 2 ( 1 l 妒1 1 ) ( 1 3 2 ) 由與( 1 3 1 ) 及( 1 3 2 ) 的證明相類似的方法可得 v ( t ) ( 1 + 6 m ) 2 ( 1 l j ) ，t 。t 0 成立，其中u f l 是u l 的反函數(shù)。 ( i i i ) 對方程( 1 1 2 ) 的任意解z ( t ) ，v ( t + s ，z + s ) ) v ( t ，z ( t ) ) ，一下s s 0 ，蘊(yùn)涵 v ( t ，。( t ) ) g ( t ，u ( t ) ) 如果帶脈) 中的標(biāo)量方程： i ；9 ( t ，u ) ，t t o ， u ( t k ) = 妒( u i ) ) ，南n ，( 1 3 3 ) 【u ( t o ) = u o 0 的零解一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定，其中u 0 = m a 一，! 。9 y ( s ) ) ，則方 程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定。 證明：由條件( i ) ，( i i i ) 及文( 1 3 】中引理3 1 知 v ( t ，茹) 讓( t ，t o ， u 0 )( 1 3 4 ) 其中u ( ，t o ，亂o ) 為方程( 1 3 3 ) 的最大解。 因?yàn)榉匠? 1 3 3 ) 的零解一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定，所以存在不依賴于礦 的叩 0 ，m = m ( 叩) 0 使得 “1 ( t ，t o ，u o ) sm 讓o( 1 3 5 ) 其中1 ( t ，t o ，u o ) 是方程( 1 3 3 ) 的解，u l ( t o ，t o ，札o ) = “o 。 取m 如) 1 使得當(dāng)【西l l 叩時(shí)有 u 0 m l i | |( 1 3 6 ) 由不等式( 1 3 4 ) 一( 1 3 6 ) 可得 u 1 ( 1z 0 ) i ) v ( t ，z ( t ) ) u 0 ，t o ，l l 0 ) m z z 0 m 2 f f f 4 由條件( i i ) 可得 i 。( 亡) 1 w f l ( m 2 i l 1 1 ) q ( m 2 ) l i 憶q ( m 2 ) 芝l 因此方程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定。 定理1 3 3 假設(shè)存在函數(shù)v v o ，0 j 1 ，0 3 2 k ，h q 和妒k + 使得 ( i ) u 1 ( i 。1 ) v ( t ，z ) u 2 ( i 衛(wèi)i ) 且存在叼 0 及m = m ( ? 7 ) 0 使得i zi 0 麗d u h ( u 危9 ( s ) d s j p17 ，| l7 、。7 則方程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 穩(wěn)定。 證明；令y ( t ) = v ( t ，。( t ) ) ，其中z ( t ) = z ( t ，盯，) 是方程( 1 1 2 ) 過( 盯，) ，盯【t m _ 1 ，t 。) ，m n 的解。則當(dāng)盯一7 _ t 盯時(shí)有 u - ( z ( t ) 1 ) y ( t ，。) u 2 ( i 。( t ) i ) u z ( i i i i ) 妒一1 ( u 2 ( i l l j ) ) 可證 v 0 ，茁) 妒一1 ( u 2 ( | | i ) ) ， 盯t 妒一1 ( “恐( 1 1 ；1 ) ) 2 ( 1 1 毋i i ) y ( 盯) 這意味著存在t + ( 盯，刁使得 v ( t + ) = 砂一1 ( u 2 ( i l | i ) ) ，v ( t ) 妒一1 ( u 2 ( | 1 西1 1 ) ) ，盯一7 - sts t + 及存在t t + ) 使得 y ( 薊= 覘( i i ； ) ，y 0 ) “2 ( 1 i 毋，圭ts t + 因此，對于所有t 【古】t + 】， v ( t + s ) 妒一1 ( “挖( 1 | i i ) ) 砂一1 ( y ( t ) ) ，一下s 0 由條件( i i i ) 得y 7 ( 亡；z ) ) g ( t ) h ( v ( t ，。( t ) ) ) ，tst t + 。 于是 舒高和s ) d s 仁。9 ( s ) 弧 即 戍黜訓(xùn)”嵩j t 。9 ( s ) 瓠兒刪刪)口億1 一。一t ” 矛盾! 于是( 1 3 7 ) 成立。由( 1 3 7 ) 及( i i ) 可得 v ( t m ) = v ( t m ，。7 矗( z ( t 二) ) ) 妒( y ( t 二) ) u 2 ( 1 l i i ) ( 1 3 8 ) 與( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 的證明類似可得 v ( t ) 妒一1 ( u 2 ( | l i i ) ) ，t 。t z 。+ 1 ，v ( t 。+ 1 ) u 2 ( 1 l 1 1 ) 由簡單歸納及s 0 可證 v ( t ) 妒一1 ( “也( j f 1 1 ) ) ，f 。+ i t t i n + t + 1 ，i = 0 ，1 ，2 1 4 再由( 1 3 7 ) 知 u 1 ( 1 。i ) v ( t ) s 妒一1 ( u 2 ( 1 i 1 1 ) ) u 1 ( m i i 妒1 1 ) ，t2 盯 因此定理得證 注1 3 1 ：注意到方程( 1 1 2 ) 是一個(gè)不帶脈沖的泛函微分方程， 當(dāng)且僅當(dāng)以( z ) = 。對所有七n 成立。令v ( t ，以( 。) ) = y ( t i ，z ) ，妒( s ) = s ，妒女( s ) = s ，七n ，9 ( t ) 三0 及日( y ( t ，z ( t ) ) ) q 為任意函數(shù)，則定理1 3 2 和定理1 3 3 變成文獻(xiàn)f 9 1 中相應(yīng)的 l i p s c h i t z 穩(wěn)定性定理。 1 4例子與注記 例1 4 1 考慮脈沖常微分方程 墓：雩，?？?4 其中0 a ( t ) 1 ，可驗(yàn)證方程( 1 4 1 ) 的零解是指數(shù)穩(wěn)定的事實(shí) 上，t k = 南，以( z ( 如) ) = 。( 缸) ，七= 1 ，2 ，取v ( t ，z ) = z 4 ，易 知定理1 2 j 中的條件( 1 ) ( 2 ) 滿足，取c = 4 ，d k = 5 ，南= 1 ，2 ， 可證當(dāng)i 。1 l ( 日g h = 1 ) 時(shí) y ( t 吉) _ e - d t y ( t 女) = ；z ( 七) 4 一e 一5 2 4 ( 尼) c = 4 ，即定理1 2 1 中的條件( 4 ) o n l 一1 、7 滿足，則由定理1 2 1 可知：方程( 1 4 1 ) 的零解是指數(shù)穩(wěn)定的。 注1 4 1 ：方程( 1 4 1 ) 未加脈) 中擾動時(shí)的方程為z = 口( z ，( 0 n ( ) 1 ) ，其解為z ( t ) = e j 幻a ( s ) d s 顯然其零解不穩(wěn)定，但加上適當(dāng) 1 5 的脈沖擾動后，該方程的零解可以是指數(shù)穩(wěn)定的，這表明脈沖可以 使不穩(wěn)定的非脈沖方程指數(shù)穩(wěn)定。 例1 4 2 考慮方程 ：翟，：贏，k 嘗n 。 ( 1 4 _ 2 ) iz ( t 者) = 。( k ) ， 卜一叫 其中t o = o ，。( 培) = x o ，0 t l t 2 壇當(dāng)斃_ o 。時(shí)， t k - - yo 。 取v ( t ，z ( t ) ) = y ( 。) = z 2 ，易知定理1 2 2 中條件( 1 ) ，( 2 ) 滿足。取 饑( s ) = 擔(dān)則有 y ( t 去，z ( t 毒) ) = 寧1 ( t t ) 2 = 三v ( t k , x ( 靠) ) = 魄( y ( t k ，z ( 如) ) ) 取日1 = 1 ，則有 妒。( 一1 ( ( 妒1 ( s ) ) ) ) s = 4 一“l(fā) = 玩，m = 1 ，2 ， 即定理1 2 2 中的條件( 3 ) 滿足。則由定理1 2 2 可知：方程( 1 4 2 ) 的零解是指數(shù)穩(wěn)定的。 注1 4 2 ：方程( 1 4 2 ) 未加脈沖擾動時(shí)的方程為z 7 = 一轤，其解 為x ( t ) = 。o 再醞網(wǎng)1 jz 1 ，其零解為一致漸近穩(wěn)定卻不是指數(shù)穩(wěn)定 的( 詳見文獻(xiàn) 1 8 ) ，但加上適當(dāng)?shù)拿}) 中擾動后，該方程的零解可以 是指數(shù)穩(wěn)定的，這表明脈沖可以使不指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。 例1 4 3 考慮方程 三器二：饕；竺；茲繁耋n j 邳 4 劫 l 。( t k ) 一z ( ) = 工( 霉( 蝠) ) ， 南 r 叫 其中0 f 1 屯 0 ，b ( t ) b ，i k ( x ) c ( n ，r ) 假設(shè) a b 且( 1 茁+ “( z ) 1 ) 2s ( 14 - b k ) x 2 ，其中b o 且憊1b k o o 因?yàn)?( i ) 取v ( t ，z ( t ) ) ：v ( x ) = z 2 ，則 v ( t k ，z ( t ) ) = 吉( k + 最( z ( t i ) 1 ) 2 去( 1 + 靠) ( z ( z i ) ) 2 一 、 n ，、 ， = ( 1 十b k ) v ( t ；，z ) ( i i ) 取w 1 ( 。1 ) = u 2 ( 1 2 1 ) = i 1 。2 ，m = l = 芒1 ( 1 + b k ) ，則 1m l u 2 ( h ) = 去( 1 + b 女) z 2 o k = l 曼去 ( 1 + k ) 2 z 2 = u 1 ( m 蚓) ( i i i ) 對于滿足y ( t + 8 ，z ( 亡+ s ) ) v ( t ，z ( t ) ) ，一r s 0 的方程 ( 1 4 3 ) 的解x ( t ) 有j z ( 亡一7 - ) i l 。( t ) i ，因此 v 7 ( t ，z 0 ) ) = 一o ( t ) z 2 0 ) + 6 ( t ) z ( t ) z 0 一r ) ( 一a + b ) z 2 0 ) 墨0 則定理1 3 1 的條件( i ) 一( i i i ) 滿足，即方程( 1 4 3 ) 的零解為一致 l i p s c h i t z 穩(wěn)定。 1 7 第二章脈沖微分方程解的有界性 2 1引言 本章討論了脈沖常微分方程和脈沖時(shí)滯微分方程解的有界性。 考慮脈沖常微分方程 ：篇三徽梨x 芝0 n ( 2 工- ) 【茁( t ) = 以( 茁( t i ) ) ，庇 。7 和脈沖泛函微分方程 x(t)-：f(t,x繃t),z(tk j k) ，。讒n ( 2 1 2 ) 【) =( z ( 壇) ) ， 憊 r 其中f ：i 毋幫，f ：i p c - 形，以：形形，i = t o ，o o ) ，p c = p c ( - - ，o ，r ”) = 圣：【一7 - ，0 - - - + r ”，西( t ) 除了在 有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)i 外都連續(xù)，( p ) 和圣( 礦) 存在且西( _ + ) = 西( _ ) ) ，s ( p ) = 。卯：izl j 9 ) ，t o t l t 2 t k t + 1 一，當(dāng)k - o o 時(shí)，靠一o 。訛) 指x ( t ) 的右導(dǎo)數(shù)。 對于每個(gè)t2t o ，釓p c 定義為x t ( s ) = x ( t + s ) ，- - tss 0 。對于每個(gè)p c ，妒的范數(shù)定義為i l | | = s u p 一， 0 ，使得當(dāng) t t o ，i x o i b 1 時(shí)有i x ( t ，t o ，。o ) l b 2 成立。 ( s 2 ) 最終一致有界的，若對任意實(shí)數(shù)b 3 0 ，存在t 0 ，b 0 ， 使得當(dāng)t t o + t ， x 0 lsb 3 時(shí)有 z ( t ，t o ，x o ) 墨b 成立。 1 8 定義2 1 2 脈沖泛函微分方程( 2 1 2 ) 的解被稱為是 ( s 1 )一致有界的，若對任意實(shí)數(shù)b t 0 ，存在b 2 0 ，使得當(dāng) t 盯( 盯t o ) ，l l i isb 1 時(shí)有l(wèi) 。( t ，盯，) l b 2 成立。 ( s 2 ) 最終一致有界的，若對任意實(shí)數(shù)b 3 0 ，存在t 0 ，b 0 ， 使得當(dāng)t 芝盯+ t ( 盯t o ) ) l l l l b a 時(shí)有j z ( t ，盯，多) ls b 成立。 2 2脈沖常微分方程解的有界性 定理2 2 1 假設(shè)在g 日上存在函數(shù)v ，1 ，0 2 2 k ，妒+ 和 g q ，g 不減，使得 ( i ) u 1 ( 1 。i ) sv ( t ，z ) u 2 ( iz1 ) ( i i ) 存在常數(shù)h 0 ，使得對于方程( 2 1 1 ) 的任意解z ( t ) = z ( t ，t o ，& t o ) 有： v 7 0 ，z ) ) 9 ( t ) c ( v ( t ，茁o ) ) ) ，若v ( t ，。 ) ) 1 4 其中夕：j - - + r + 局部可積 ( i i i ) 對所有免z + 及茁r n 有： y ( 靠，j k ( z ( 扎) ) ) 妒( y ( t i ，z ( t i ) ) ) ( i v ) 存在常數(shù)a 1 0 ，a 2 0 和a 0 ，使得對于所有庇n 及任 意p 0 有 坯鏟址z 虬，層m 嵩一e 。9 ( s ) d s a 則方程( 2 1 1 ) 的解是一致有界且最終一致有界的。 證明：首先證明( 2 1 1 ) 的解一致有界。設(shè)b 1 之u i l ( ) ，x 0 s ( b 1 ) ，令z ( 亡) = z ( t ，t o ，。o ) ，v ( t ) = v ( t ，。( t ) ) ，u 1 ( b 2 ) = 妒一1 ( u 2 ( b 1 ) ) 則 u 1 ( 1 o1 ) sv ( t o ，x 0 ) u 2 ( i 。oi ) 墨( b 1 ) 叫2 ( b 1 ) v ( t o ) 這意味著存在f ( t o ，使得 y ( 句= 妒一1 ( 蛾( b 1 ) ) ，v ( t ) 砂一1 ( 叫2 ( b 1 ) ) ，t o t ； 及存在善 t o ，句使得 v f f ) = 忱( b 1 ) ，v ( t ) w 2 ( b 1 ) ，菩t # 因此，對于所有t 瞄司有v ( t ) 日 由條件( i i ) 得y 0 ，z 0 ) ) sg ( t ) a ( v ( t ，z ( t ) ) ) ，吾st 于是有 滕嵩加s ) d s j v ( o 勻嵩a ( u j y ( 的g ( u ) 兒 1 ) g ( “) 二_ j 如，、。7 ) 矛盾! 于是( 2 2 1 ) 成立由( 2 2 1 ) 及條件( i i i ) 可得 y ( 。1 ) 矽( y ( 車，z ( 圩) ) ) = 妒( y ( 百) ( 2 2 2 ) 0 2 2 ( b 1 ) r 類似可得 v ( t ) 矽一1 ( “忽( b 1 ) ) ，t l t 0 ，所以存在最小的正整數(shù)使得： 妒一1 ( “挖( b 3 ) ) 妒( u 1 ( b ) ) + a g ( 妒( u l ( b ) ) )( 2 2 4 ) 令五= 一1 ，嘲，i = 1 ，2 ，因?yàn)?v ( t k ) = v ( t k ，以( z ( t i ) ) ) 妒( y ( t i ) ) y ( t i ) ， 憊n 所以s u p v ( t ) ：t 厶 _ = 厶存在且厶= y ( 如一1 ) 或厶= v w ) ， 其中n ( 屯一1 ，嘲；若t i 島，則v ( r 7 ) = v ( n ) 不妨設(shè)厶= y ( r f ) ，i = l ，2 ，對于l i = v ( 屯一1 ) ，j = 1 ，2 ，一，的情形 類似可證，從略 令t = n a 2 ，下證( 2 2 3 ) 成立。為此先證，如果對于某一i 1 ，2 ，) 有 y ( r f ) 妒( u l ( b ) )( 2 2 5 ) 成立，則 v ( t ) u l ( b ) ，t t n 事實(shí)上，由( 2 2 5 ) 可得； v ( t ) 妒( u 1 ( b ) ) u 1 ( b ) ，t i 一1 t 莖t i 下證： v ( t ) u 1 ( b ) ，t i t u 1 ( b ) 妒( u 1 ( b ) ) y ( 島) 這意味著存在( t i ，刁使得 礦( d = u 1 ( b ) ，v ( t ) su 1 ( b ) ，t i t t 于是存在等陬，句使得 y ( 妁= 妒( 叫i ( 口) ) ，v ( t ) 妒( u 1 ( b ) ) ，5 ts 因此若st ，則v ( t ) h 由條件( i i ) 可得 v ( t ) 9 ( t ) g ( y ( t ) ) ，f t 由此可得： r鬻麗dujvf 9 ( s ) d sg f u 、_ 二j f “ 此f t t i + l9 ( s ) d s + a ，“1 ( 口) d u 如( 。( b ) ) 萌面 一，( d d u 一打( i ) g ( u ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 矛盾! 因此( 2 2 8 ) 成立由( 2 2 8 ) 及條件( i i i ) 可得； g ( t i + 1 ) 妒( y ( t i l ) ) 妒( u 1 ( b ) ) 由簡單 ；納可證： v ( t ) 莖u 1 ( b ) ，t i + k5t 妒( u 1 ( b ) ) 成立。為導(dǎo)出 矛盾，我們先證： y ( r f ) y ( r i ) 一i a g ( 妒( u l ( b ) ) ) ，i = o ，1 ，2 ，- ，( 2 2 1 0 ) i 其中v ( r 6 - ) = 妒- 1 ( 眈( b 3 ) ) 顯然( 2 2 1 0 ) o 成立?，F(xiàn)假設(shè)( 2 2 1 0 ) j 對某個(gè)j ( o j n ) 成立， 我們證明( 2 2 1 0 ) j + 1 成立。先證 y ( 啊1 ) 5y ( r j ) ( 2 2 1 1 ) 事實(shí)上，v ( t ) y ( 百) ，t j 一1 t ，而 v ( t j ) 妒( y ( 與) ) 妒( y ( 百) ) 與( 2 2 9 ) 的證明類似可得 v ( t ) y ( 百) ，t j + k t t j + k + l 及 v ( t j + k + 1 ) 妒( y ( r f ) ) ，而= 0 ，1 ，2 ， 于是( 2 2 1 1 ) 成立 下面考慮兩種可能的情形： 情形l ： 妒( u 1 ( b ) ) y ( 巧1 1 ) 妒( y ( 哼) ) 這時(shí)由( i v ) 可得： 川妒- 制t ( v 嘛j 南a 于是 y ( 晴1 ) 咖- 1 ( y ( r l l ) ) 一a g ( 咖( u 1 ( b ) ) ) y p ；_ ) 一a g ( 妒( u ( b ) ) ) y ( 百) 一0 + 1 ) a g ( 妒( u 1 ( b ) ) ) 情形2 ： 妒( y ( 可) ) y ( 丐_ + 1 ) y ( 百) 設(shè)r j + 1 ( + ，t i + k + j ，七n u o ) ，則對k = 0 的情形，我們有 v (