2013年秋北師大版七年級上冊數(shù)學期末復習復習提綱

第一章豐富的圖形世界 1、幾何圖形 從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。 立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。 平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。 2、點、線、面、體 （ 1）幾何圖形的組成 點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。 線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。 面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。 體：幾何體也簡稱體。 （ 2）點動成線，線動成面，面動成體。 3、常見的幾何體及其特點 長方體：有 8 個頂點， 12 條棱， 6 個面，且各面都是長方形（正方形是特殊的長方形），正方體是特殊的長方體。 棱柱：上下兩個面稱為棱柱的底面，其它各面稱為側面，長方體是四棱柱。 棱錐：一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形。 圓柱：有上下兩個底面和一個側面（曲面），兩個底面是半徑相等的圓。圓柱的表面展開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。 圓錐：有一個底面和一個側面（曲面）。側面展開圖是扇形，底面是圓。 球：由一個面（曲面）圍成的幾何體 4、棱柱及其有關概念： 棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。 側棱：相鄰兩 個側面的交線叫做側棱。 n 棱柱有兩個底面， n 個側面，共（ n+2）個面； 3n 條棱， n 條側棱； 2n 個頂點。 5、正方體的平面展開圖： 11 種 6、截一個正方體： （ 1）用一個平面去截一個正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。 注意： 、正方體只有六個面，所以截面最多有六條邊，即截面邊數(shù)最多的圖形是六邊形 、長方體、棱柱的截面與正方體的截面有相似之處 （ 2）用平面截圓柱體，可能出現(xiàn)以下的幾種情況 （ 3）用平面去截一個圓錐，能截出圓和三角形兩種截面 (還有其他截面，初中 不予研究 ) （ 4）用平面去截球體，只能出現(xiàn)一種形狀的截面 圓 （ 5）需要記住的要點： 幾何體 截面形狀 正方體 三角形、正方形、長方形、梯形、五邊形、六邊形 圓 柱 圓、長方形、（正方形）、 圓 錐 圓、三角形、 球 圓 7、三視圖 物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。 主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。 左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。 俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。 第二章有理數(shù)及其運算 1、有理數(shù)的概念及分類 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 注意：因為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分數(shù)，所以把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作 分數(shù) 2、數(shù)軸： 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。 3、相反數(shù)： 只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零。 注意： 在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側，且與原點的距離相等 . 相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)。 4、 絕對值： （ 1）在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（ |a|0）。 0 和正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)。 零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若 |a|=a，則 a0；若 |a|=-a，則 a0。 也可表示為： 絕對值的問題經常分類討論； （ 2）絕對值的有關性質 對任意有理數(shù) a，都有 |a|0； 若 |a|=0，則 a=0； 若 |a|=|b|，則 a=b 或 a= b； 若 |a|=b（ b0），則 a= b； 若 |a| |b|=0，則 a=0 且 b=0； 對 任意有理數(shù) a，都有 |a|=| a|. 5、有理數(shù)大小的比較法則： 在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大（大數(shù) -小數(shù) 0，即右邊的數(shù) -左邊的數(shù) 0）； 正數(shù)都大于 0，負數(shù)都小于 0，正數(shù)大于一切負數(shù)； 兩個負數(shù)，絕對值大的反而小 . 6、倒數(shù)： 如果 a 與 b 互為倒數(shù)，則有 ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是 1 和 -1。零沒有倒數(shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。 倒數(shù)還可以說成是： 1 除以一個數(shù) (除數(shù)不等于 0)的商叫做這個數(shù)的倒數(shù)，如 a0， a 的倒數(shù)為 7、有理數(shù)加法法則： 同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加。 異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為 0；絕對值不等時取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。 一個數(shù)同 0 相加，仍得這個數(shù)。 一些巧算方法： a、互為相反的兩個數(shù)，可以先相加； b、符號相同的數(shù)，可以先相加； c、分母相同的數(shù)，可以先相加； d、幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。 8、有理數(shù)減法法則： 減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。 有理數(shù)的加減法混合運算的步驟： 寫成省略加號的代數(shù)和。在一個算式中，若有減法，應由有理數(shù)的減法法則轉化為加法，然后再省略加號和括號； 可以利用加法則，加法交換律、結合律簡化計算。 9、有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。 任何數(shù)與 0 相乘，積仍為 0。 如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為 1。（如： -2 與 、 等） 乘法的交換律、結合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。 有理數(shù)乘法運算步驟： 先確定積的符號； 求出各因數(shù)的絕對值的積。 10、有理數(shù)除法法則： 兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。 0 除以任何非 0 的數(shù)都得 0。 0 不可作為除數(shù)，否則無意義。 11、乘方的概念 （ 1）求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，即 在 中， a 叫做底數(shù)， n 叫做指數(shù)， 叫做冪 （ 2） a2 是重要的非負數(shù)，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0； （ 3）據(jù)規(guī)律 底數(shù)的小數(shù)點移動一位，平方數(shù)的小數(shù)點移動二位 . 注意： 一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如 5=51； 當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。 （ 4）乘方的運算性質： 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)； 負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)； 任何數(shù)的偶數(shù) 次冪都是非負數(shù)； （除 0 以外任何數(shù)的 0 次方都得 1） 1 的任何次冪都得 1， 0 的任何次冪（除 0 次）都得 0； -1 的偶次冪得 1； -1 的奇次冪得 -1； 在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。 12、有理數(shù)的運算順序 先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。 運算律 加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配律 第三章整式的加減 1、代數(shù)式 字母可以表示任何數(shù)。 用運算符號把 數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。 規(guī)定：單獨的一個數(shù)字或字母也是代數(shù)式。 注意： 代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號； 代數(shù)式中不含有 “=、 、 、 ”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數(shù)式； 代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。 代數(shù)式的書寫格式： 代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如 vt； 數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應寫在字母前面，如 4a； 帶分數(shù)與字母相 乘時，應先把帶分數(shù)化成假分數(shù)后與字母相乘，如 應寫作 ； 數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用 “”號，即 “”號不省略； 在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分數(shù)的寫法來寫，如 4 （ a-4）應寫作 ；注意：分數(shù)線具有 “”號和括號的雙重作用。 在表示和（或）差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如 平方米 2、單項式 由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)或一個字母也叫單項式。 （ 1）單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù) . （ 2）如果只是 一個數(shù)字，系數(shù)是本身 (3)單項式的次數(shù)：一個單項式中 ,所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。 （ 4）單獨一個非零數(shù)的次數(shù)是零。 3、多項式 幾個單項式的和叫做多項式。 在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項 .一個多項式有幾項就叫做幾項式。 多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù) . 一般說幾次幾項式。 4、整式 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。整式是代數(shù)式的一部分，在代數(shù)式中可以包含加，減，乘，除四種運算，但在整式中除數(shù)不能含有字母。 5、同類項 所含字母相同，并且相 同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。 注意 : 兩個相同 :字母相同；相同字母的指數(shù)相等 . 兩個無關 :與系數(shù)無關 ；與字母順序無關 . 3、合并同類項 把幾個同類項合并成一項，叫做合并同類項。 合并同類項法則： （ 1）找同類項 （ 2）合并 各同類項的系數(shù)相加作為新的系數(shù)， 字母以及字母的指數(shù)不變 （ 3）不同種的同類項間，用 “+”號連接 （ 4）沒有同類項的項，連同前面的符號一起照抄 4、去括號法則 （ 1）括號前是 “+”，把括號和它前面的 “+”號去掉后，原括號里各項的符號都不改變。 （ 2）括號 前是 “ ”，把括號和它前面的 “ ”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。 5、整式的運算： 整式的加減法：（ 1）去括號；（ 2）合并同類項。 6、代數(shù)式求值 -用數(shù)值代替字母，按照代數(shù)式指明的運算進行計算 化簡，求值 - 先化為最簡的代數(shù)式； 再用數(shù)值代替字母，按照代數(shù)式指明的運算進行計算 第四章基本平面圖形 1、線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段。線段有兩個端點。 2、射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線有一個端點。 3、直線：將線段 向兩個方向無限延長就形成了直線。直線沒有端點。 4、點、直線、射線和線段的表示 在幾何里，我們常用字母表示圖形。 一個點可以用一個大寫字母表示。 一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點的大寫字母表示。 一條射線可以用一個小寫字母表示或用端點和射線上另一點來表示（端點字母寫在前面）。 一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點的兩個大寫字母來表示。 5、點和直線的位置關系有兩種： 點在直線上，或者說直線經過這個點。 點在直線外，或者說直線不經過這個點。 6、直線的性質 （ 1）直線公理：經過兩個點有且只有一條直線（兩點確定一條直線）。 （ 2）過一點的直線有無數(shù)條。 （ 3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。 （ 4）直線上有無窮多個點。 （ 5）兩條不同的直線至多有一個公共點。 7、線段的性質 （ 1）線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。 （ 2）兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。 （補充類比： 點到直線的距離：點到直線垂線段的長； 平行線間的距離：平行線間垂線段的 長） （ 3）線段的中點到兩端點的距離相等。（點 M 把線段 AB 分成相等的兩條相等的線段 AM與 BM，點 M 叫做線段 AB 的中點。） （ 4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。 8、角： 有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊。 或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的。 9、平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角。 10、角的表示 角的表示方 法有以下四種： 用數(shù)字表示單獨的角，如 1， 2， 3等。 用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如 ， ， ， 等。 用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如 B， C等。 用三個大寫英文字母表示任一個角，如 BAD， BAE， CAE等。 注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。 11、角的度量 角的度量有如下規(guī)定：把一個平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，單位是度，用 “”表示，1 度記作 “1”， n 度記作 “n”。 把 1的 角 60 等分，每一份叫做 1 分的角， 1 分記作 “1”。 把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角， 1 秒記作 “1”。 1=60， 1=60” 直角三角板（ 45,45,90），（ 30,60,90）可畫出的角除以上角，還有15,75,105,120,135,150 這些角都是 15 的倍數(shù)。 12、角的性質 （ 1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。 （ 2）角的大小可以度量，可以比較 （ 3）角可以參與運算。 時針問題： 時針每小時 300，每分鐘 0.50；分針每分鐘 60；時針與分針每分鐘差 5.50. 時針與分針夾角 =分 5.50-時 300 （分針靠近 12 點） 時針與分針夾角 =時 300-分 5.50（時針靠近 12 點） 若結果大于 1800，另一角度用 3600 減這個角度。 經過多少時間重合、垂直、在一條線上，用求出的重合、垂直、在一條線上的時間減去現(xiàn)在的時間。追及問題還可用追及度數(shù) /5.5。 13、角的平分線 從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。 14、多邊形 由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，叫做多邊形。 從一個 n 邊形的 同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個 n 邊形分割成（ n-2）個三角形。 n 邊形內角和等于（ n-2） 1800，正多邊形（每條邊都相等，每個內角都相等的多邊形）的每個內角都等于（ n-2） 1800 / n 過 n 邊形一個頂點有（ n-3）條對角線， n 邊形共（ n-3） n / 2 條對角線 . 15、圓、弧、扇形 圓：平面上一條線段繞著固定的一個端點旋轉一周，另一個端點形成的圖形叫做圓。固定的端點稱為圓心 ?。簣A上 A、 B 兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。 扇形：由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的 圖形叫做扇形。 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。 第五章一元一次方程 1、方程 含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 3、等式的性質 （ 1）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數(shù)式，所得結果仍是等式。 （ 2）等式的兩邊同時乘以同一個數(shù)（或除以同一個不為 0 的數(shù)），所得結果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是 1 的（整式）方程叫做一元一次方程。 5、解一元一次方程的一般步驟： （ 1）去分母（ 2）去括號（ 3）移項（把方程中的某一項 改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫移項。）（ 4）合并同類項（ 5）將未知數(shù)的系數(shù)化為 1。 6、列一元一次方程解應用題步驟： 找等量關系，設未知數(shù)，列方程，解方程，檢驗解的正確性，作出回答 7、找等量的方法： （ 1）讀題分析法 : 多用于 “和，差，倍，分問題 ” 仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套 -”，利用這些關鍵字列等量關系式。 （ 2）畫圖分析法 : 多用于 “行程問題 ” 利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學 中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找等量關系是解決問題的關鍵。 （ 3）常用公式也可作為等量關系 8、列方程解應用題的常用公式： （ 1）行程問題： 距離 =速度 時間 ； （ 2）工程問題： 工作量 =工效 工時 ； （ 3）比率問題： 部分 =全體 比率； （ 4）順逆流問題： 順流速度 =靜水速度 +水流速度，逆流速度 =靜水速度 -水流速度； （ 5）商品價格問題： 售價 =定價 折 ，售價 =進價 （ 1+提高率）， 利潤 =售價 -成本，利潤 =利潤率 成本； （ 6）本息和 =本金 +利息， 利息 =本金 利率 期數(shù) （ 7）原量 （ 1+增長率） =現(xiàn)量； 原量 （ 1-下降率） =現(xiàn)量 （只有 1 次增減） （ 8）周長、面積、體積問題： C 圓 =2R， S 圓 =R2， C 長方形 =2(a+b)， S 長方形 =ab， C 正方形 =4a， S 正方形=a2， S 環(huán)形 =(R2-r2),V 長方體 =abc ， V 正方體 =a3， V 圓柱 =R2h ， V 圓錐 = R2h. 第六章數(shù)據(jù)的收集與整理 1、普查和抽樣調查 （ 1）從事一個統(tǒng) 計活動大致要經歷確定任務，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)等過程。 我們經常通過調查、試驗等方式獲得數(shù)據(jù)信息。項目很大時，還可以通過查閱報紙、相關文獻或上網(wǎng)的方式。 （ 2）為某一特定目的而對所有考察對象進行的全面調查叫做普查。 所要考察的對象的全體稱為總體。 組成總體的每一個考察對象稱為個體。 （ 3） 總體的個數(shù)數(shù)目較多，普查的工作量較大； 有時受客觀條件的限制，無法對所有個體進行普查； 有時調查具有破壞性，不允許普查。 人們往往從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查。 抽樣調查時，從總體 中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。 樣本容量：樣本含有個體的數(shù)目。 （ 4）隨機調查，就是按機會均等的原則進行調查，即總體中每個個體被選中的可能性都相等。隨機調查不是調查方法。 （ 5）抽樣調查的優(yōu)點是調查范圍小，節(jié)省時間、人力、物力和財力。缺點是調查結果往往不如普查得到的結果準確。抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性（隨機性，真實性）。 2、扇形統(tǒng)計圖及其畫法： （ 1）扇形統(tǒng)計圖：利用圓與扇形來表示總體與部分的關系，即圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比