高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對值不等式一不等式3三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式學(xué)案.docx

3三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1.探索并了解三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式的證明過程2.會用平均不等式求一些式子或函數(shù)的最大(小)值3會用平均不等式解決實際中的應(yīng)用問題,學(xué)生用書P9)1三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式(定理3)如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立2基本不等式的推廣對于n個正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任意n個數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值()(2)只對n2和n3的情形適用()(3)算數(shù)幾何平均不等式是針對n個正數(shù)而言的，否則不一定成立()答案：(1)(2)(3)2若a，b，c都是正數(shù)且abc6，則abc的最大值為()A2B27C8 D3解析：選C.因為a0，b0，c0，abc6，所以abc8，當(dāng)且僅當(dāng)abc2時“”成立3函數(shù)y2x2(xR)的最小值為()A6 B7C8 D9答案：A用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明不等式學(xué)生用書P9已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd，求證：.【證明】因為abcd，所以ab0，bc0，cd0，ad0，所以(ad)(ab)(bc)(cd)339，即，當(dāng)且僅當(dāng)abbccd時，等號成立證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子的結(jié)構(gòu)特點及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件若滿足即可利用平均不等式證明(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個正數(shù)的平均不等式的式子 1.已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明：因為x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3.證明：因為x0，y0，xy0，所以2x2y2(xy)(xy)(xy)33，等號成立的條件是xy，即xy1.所以2x2y3.利用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式求最值學(xué)生用書P10求函數(shù)yx(x1)的最小值【解】因為x1，所以x10，yx(x1)(x1)1314，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x1)，即x3時等號成立即ymin4.用平均不等式求最值的注意點(1)應(yīng)用平均不等式，要注意三個條件，即“一正、二定、三相等”同時具備時，方可取得最值其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如配系數(shù)、拆項、分離常數(shù)、平方變形等 (2)當(dāng)不具備使用平均不等式的條件時，求函數(shù)的最值可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性若x0，求函數(shù)y4x2的最小值解：因為x0，所以y4x24x23 3.當(dāng)且僅當(dāng)4x2(x0)，即x時，取“”，所以當(dāng)x時，y4x2(x0)的最小值為3.應(yīng)用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式解決實際問題學(xué)生用書P10如圖所示，在一張半徑是2米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈眾所周知，燈掛得太高，桌子邊緣處的亮度就??；掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的由物理學(xué)知道，桌子邊緣一點處的燈光亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角的正弦成正比，而和這一點到光源的距離r的平方成反比，即Ek.這里k是一個和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？【解】因為r，所以Ek(00，y0，z0，且4(xyz)72，即xyz18.所以體積Vxyz216.當(dāng)且僅當(dāng)xyz6時，Vmax216.因此當(dāng)長方體的長、寬、高均為6 cm時，其體積最大，最大值為216 cm3.2已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時，圓柱的體積最大？并求出這個最大的體積解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得，所以r(Hh)所以V圓柱r2h(Hh)2h(0h0，b0，c0，等號成立的條件是abc.(2)與都是的特例，它們統(tǒng)稱為均值不等式因此與基本不等式的應(yīng)用是一樣的(3)將不等式a3b3c33abc中的a，b，c分別以，代替就可得到.2定理3的兩個推論(1)當(dāng)abc為定值時：abc3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號(2)當(dāng)abc為定值時：abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號3用定理3求最值時的關(guān)注點一“正”：項或因式為正二“定”：項(因式)的和或積為定值三“相等”：各項相等或各因式相等時等號成立1正實數(shù)x，y，z滿足xyz2，則()Axyz的最大值是3Bxyz的最大值是3Cxyz的最小值是3Dxyz的最小值是3解析：選D.由三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，得xyz33，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時，xyz取得最小值3.2設(shè)a，bR，且ab3，則ab2的最大值為()A2B3C4 D6解析：選C.因為ab24a444134，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立即ab2的最大值為4.3已知0x，則x2(12x)的最大值為_解析：因為0x，所以12x0，則x2(12x)xx(12x).當(dāng)且僅當(dāng)x12x，即x時等號成立故x