小學(xué)奧數(shù)著名問(wèn)題之——一筆畫(huà)問(wèn)題習(xí)題集.doc

一筆畫(huà)問(wèn)題（教師必備）一、歐拉的一筆畫(huà)原理是： (1)一筆畫(huà)必須是連通的(圖形的各部分之間連接在一起)；(2)沒(méi)有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫(huà)，畫(huà)時(shí)可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)；(3)只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫(huà)，畫(huà)時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形不是一筆畫(huà)。利用一筆畫(huà)原理，七橋問(wèn)題很容易解決。因?yàn)閳D中A，B，C，D都是奇點(diǎn)，有四個(gè)奇點(diǎn)的圖形不是一筆畫(huà)，所以一個(gè)散步者不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。二、順便補(bǔ)充兩點(diǎn)：(1)一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。因?yàn)閳D形中的每條線都有兩個(gè)端點(diǎn)，所以圖形中所有端點(diǎn)的總數(shù)必然是偶數(shù)。如果一個(gè)圖形中奇點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)，那么這個(gè)圖形中與奇點(diǎn)相連接的端點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)(奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù))，與偶點(diǎn)相連的線的端點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)(任意個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù))，于是得到所有端點(diǎn)的總數(shù)是奇數(shù)，這與前面的結(jié)論矛盾。所以一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。(2)有K個(gè)奇點(diǎn)的圖形要K2筆才能畫(huà)成。例如：下頁(yè)左上圖中的房子共有B，E，F(xiàn)，G，I，J六個(gè)奇點(diǎn)，所以不是一筆畫(huà)。如果我們將其中的兩個(gè)奇點(diǎn)間的連線去掉一條，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)都變成了偶點(diǎn)，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個(gè)奇點(diǎn)變成兩個(gè)，那么新圖形就是一筆畫(huà)了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個(gè)奇點(diǎn)(見(jiàn)右下圖)，這個(gè)圖形是一筆畫(huà)，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即(62)筆畫(huà)成。一個(gè)K(K1)筆畫(huà)最少要添加幾條連線才能變成一筆畫(huà)呢？我們知道K筆畫(huà)有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)。如左下圖中的B，C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)。所以只要在K筆畫(huà)的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫(huà)。三、到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何判斷一筆畫(huà)和多筆畫(huà)，以及怎樣添加連線將多筆畫(huà)變成一筆畫(huà)，看下面的例題：1.下列圖形分別是幾筆畫(huà)？怎樣畫(huà)？2.能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？3.從A點(diǎn)出發(fā)，走遍右上圖中所有的線段，再回到A點(diǎn)，怎樣走才能使重復(fù)走的路程最短？4.下圖是國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)標(biāo)，能一筆畫(huà)嗎？如果能，請(qǐng)你把它畫(huà)出來(lái)。 數(shù)學(xué)趣聞集錦之歐拉與哥尼斯堡七橋問(wèn)題拓?fù)鋵W(xué)起源于公元1736年一個(gè)著名問(wèn)題哥尼斯堡七橋問(wèn)題的解決哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含兩個(gè)島嶼及連接它們的七座橋該河流經(jīng)城區(qū)的這兩個(gè)島島與河岸之間架有六座橋，另一座橋則連接著兩個(gè)島星期天散步已成為當(dāng)?shù)鼐用竦囊环N習(xí)慣，但試圖走過(guò)這樣的七座橋，而且每橋只走過(guò)一次卻從來(lái)沒(méi)有成功過(guò)但直至引起瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler，17071783)注意之前，沒(méi)有人能夠解決這個(gè)問(wèn)題那時(shí)，歐拉正在圣彼得堡為俄國(guó)女皇凱瑟琳服務(wù)在解決該問(wèn)題的過(guò)程中，歐拉創(chuàng)立了一個(gè)數(shù)學(xué)分支，即后來(lái)人們所熟知的拓?fù)鋵W(xué)他在解哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)，采用了今天人們稱(chēng)之為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)，歐拉證明了要走過(guò)哥尼斯堡的七座橋且每橋只通過(guò)一次是不可能的這一問(wèn)題及歐拉對(duì)“七橋問(wèn)題”的研究是圖論研究的開(kāi)始，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個(gè)初等的例子。它開(kāi)創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)研究的先河拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)相對(duì)較新的領(lǐng)域19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才開(kāi)始對(duì)它以及其他的非歐幾何開(kāi)展研究論述拓?fù)鋵W(xué)的第一篇論文，寫(xiě)于1847年一個(gè)網(wǎng)絡(luò)基本上可以看成是一個(gè)問(wèn)題的圖樣哥尼斯堡七橋問(wèn)題的網(wǎng)絡(luò)可以圖解如下一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由頂點(diǎn)和弧線組成一個(gè)可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)是指它可以準(zhǔn)確一次地穿經(jīng)所有的弧線，但頂點(diǎn)卻可以通過(guò)任意次數(shù)哥尼斯堡七橋問(wèn)題的網(wǎng)絡(luò)頂點(diǎn)，有如上圖所示的A，B，C，D注意每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的弧線數(shù)A為3，B為5，C為3，D為3由于這些數(shù)全是奇數(shù)，這類(lèi)頂點(diǎn)我們稱(chēng)之為奇頂點(diǎn)或奇點(diǎn)如果一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的弧線數(shù)為偶數(shù)，我們則稱(chēng)之為偶頂點(diǎn)或偶點(diǎn)歐拉發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)，其奇、偶點(diǎn)具有許多性質(zhì)特別地，歐拉注意到：一個(gè)奇頂點(diǎn)在這種遍歷式的旅行中，要么是起點(diǎn)，要么是終點(diǎn)由于一個(gè)遍歷的網(wǎng)絡(luò)只能有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，因而這種網(wǎng)絡(luò)的奇點(diǎn)數(shù)不能多于兩個(gè)然而在哥尼斯堡七橋問(wèn)題的網(wǎng)絡(luò)中卻有四個(gè)奇點(diǎn)，因