定積分的計(jì)算方法研究畢業(yè)論文

學(xué)士學(xué)位論文 Bachelors Thesis 論文題目 定積分的計(jì)算方法研究 作者 姓名 施莉 學(xué)號(hào) 2009111010110 所 在 院 系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 學(xué)科 專業(yè)名稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 導(dǎo) 師 及 職 稱 許紹元教授 論文答辯 時(shí)間 2013年 5 月 25日 編號(hào) 2013110110 研究類型 理論 研究 分類號(hào) O17 湖北師范學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 誠(chéng)信承諾書(shū) 中文題目： 定積分的計(jì)算方法研究 外文題目： Research on integration techniques 學(xué)生姓名 施莉 學(xué) 號(hào) 2009111010110 院系專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 0901 學(xué) 生 承 諾 我承諾在畢業(yè)論文活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，本人畢業(yè)論文 內(nèi)容除特別注明和引用外，均為本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況。如有違規(guī)行為，我愿承擔(dān)一切責(zé)任，接受學(xué)校的處理。 學(xué)生（簽名）： 年 月 日 指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文 活動(dòng)中遵 守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī) 范，經(jīng)過(guò)本人核查，該生畢業(yè)論文 內(nèi)容除特別注明和引用外，均為該生本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。 指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日 目 錄 1.定積分的產(chǎn)生背景及定義 . 1 1.1曲邊梯形面積 . 1 1.2定義 1 . 1 1.3定義 2 . 1 2.定積分的幾種計(jì)算方法 . 2 2.1定義法 . 2 2.2換元法求定積分 . 2 2.3牛頓萊布尼茲公式 . 6 2.4利用對(duì)稱原理求定積分 . 8 2.5利用奇偶性求函數(shù)積分 . 10 2.6利用分 部 積分法計(jì)算定積分 . 12 2.7歐拉積分在求解定積分中的應(yīng)用 . 13 3.結(jié)論 . 17 4.參考文獻(xiàn) . 17 定積分的計(jì)算技巧研究 施莉（指導(dǎo)老師：許紹元） （湖北師范學(xué) 院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 中國(guó) 黃石 435002） 摘 要： 定積分在微積分中占有極為重要的位置，它與微分相比，難度大、方法靈活 如果單純的按照積分的定義來(lái)計(jì)算定積分，那將是十分困難的 因此，我們 要研究定積分的計(jì)算方法 常用的方法有定義法、萊布尼茲公式法、分步積 分法、換元法以及其他的特殊方法下面我們將探討一下定積分的計(jì)算技巧 本文主要根據(jù)定積分的定義、性質(zhì)、被積函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性、以及某些 具有特征的函數(shù)總結(jié)了牛頓萊布尼茲公式、換元法、分部積分、湊微分 目 前，對(duì)于定積 分的求法和應(yīng)用的研究是比較全面和完 善的 我們要學(xué)會(huì)總結(jié) 歸納定積分的一般性求法以及具有特殊特征的函數(shù)的求法 同時(shí)，將定積分 應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解中以及物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際問(wèn)題中是非常必要的 關(guān)鍵詞： 定積分；求法；應(yīng)用 中圖分類號(hào)： O17 Research on integration techniques Shi Li (Instructor： Xu Shaoyuan) (college of mathematics and statistics , Hubei Normal University, Huangshi 435002, China) Abstract: Definite integral calculus occupies a very important position, it is compared with the differential, difficult, flexible method. If you simply in accordance with the definition of the integral to calculate the definite integral, it will be very difficult, It would be very difficult. Therefore, we need to study the method of calculating the definite integral. Commonly used methods are defined in law, the Leibniz formula method, step-by-step integration method, by substitution and other special methods. Here we will explore the definite integral calculation skills. According to the definition of the definite integral, nature, the integrand parity and symmetry, as well as some function of the characteristics are summarized Newton Leibniz formula, by substitution, integration by parts, the Minato differential. At present, the method for finding the definite integral and applications is more comprehensive and perfect. We must learn to summarize the general method of finding the definite integral, and has a special characteristic function method. Meanwhile, the definite integral applied to the mathematical problem solving practical problems in physics and economics is very necessary. Key words: integration； solution； application.湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 1 定積分的計(jì)算技巧研究 1.定積分的產(chǎn)生背景 及定義 1.1 曲邊梯形面積 設(shè) f為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且由曲線直線以及軸所圍成的平面圖形，成為曲邊梯形 11 ( ) ( )iiini x x i iiS f x x 變力做功： 11 ( ) ( )iiini x x i iiW f x x 定積分的意義： 定義 1：設(shè)閉區(qū)間上有 1n 個(gè)點(diǎn)，依次為：0 1 2 1nna x x x x x b ,它們把 ,ab 分成 n 個(gè)小區(qū) 間 i = 1,iixx ， 1, 2, 3, ,in 這些分點(diǎn)或者這些閉子區(qū)間構(gòu)成 ,ab 的一個(gè)分割，記為： 0 1 1, , , ,nnT x x x x 或者 12, , , n ，小區(qū)間 i 的長(zhǎng)度記為ix=ix-1ix，并記： T =max ix,稱為 T 的模 注：由于ix T ， 1, 2, 3, ,in ，因此 T 可用來(lái)反映 ,ab 被分割的細(xì)密程度另外，分割一旦給出， T 就隨之而確定；但是，具有同一細(xì)度的分割卻有無(wú)限多 1.2 定義 1 設(shè) f 是定義在 ,ab 上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于 ,ab 的一個(gè)分割 12, , , nT ，任取ii， 1, 2, 3, ,in ，并作和式1()iin ixif ， 稱此和式為 f 在上的積分和，也是黎曼和 顯然積分 既和 分割 T 有關(guān)，又與所選的點(diǎn)集 i有關(guān) 1.3 定義 2 設(shè) f 是定義在上的一個(gè)函數(shù)， J 是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任一分割 T ，以及在其上任選的點(diǎn)集，只要 T 就有1() iin ixifJ ，湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 2 則稱 f 在 , ab 上可積或者黎曼可積記作 J = ()ba f x dx 其中， f 稱為被積函數(shù)， x 為積分變量，為積分區(qū)間， ab為積分的下限和上限 幾何意義：設(shè) ()fx為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，定積分的值由曲線 ()y f x 在 x 軸上方部分所有曲邊梯形的證面 積和下方所有曲邊梯形的負(fù)面積的代數(shù)和 2.定積分的幾種計(jì)算方法 2.1 定義法 通過(guò)對(duì)積分區(qū)間作等分分割，并取適當(dāng)點(diǎn)集，把定積分看作是對(duì)應(yīng)的積分和的極限，來(lái)計(jì)算下列定積分 : 1 30xdx. 解：i in 則 1 30xdx= 311lim ( )inn iinn = 23 3 3 2441 1 1l i m (1 2 ) l i m ( 1 )44nnnnnnn . 另外，在求數(shù)列極限時(shí)，有時(shí)也可根據(jù)定積分的意義 定義化成求定積分的運(yùn)算。 例：3 3 341l i m (1 2 )n nn . 解：3 3 341l i m (1 2 )n nn = 311lim ( )inn iinn = 1 30xdx= 4140x=14. 2.2 換元法求定積分 利用換元法求定積分時(shí)，要注意換元的條件，要滿足在積分區(qū)間上單調(diào)切具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。在做變量替換的同時(shí)，應(yīng)相應(yīng)替換積分的上 限和下限。被積函數(shù) f(x)、積分上、下限 ,ab 、積分變?cè)奈⒎?dx 三者同時(shí)替換。換元后不必?fù)Q成原定積分的變量，直接利用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算。 定理：設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 ,ab 上連續(xù)，函數(shù) ()xt ，滿足條件： (1) ( ) , ( )ab ； (2) ()t 在 , 和 , 具 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 且 其 值 域aR= ,ab ，則( ) ( ( ) ) ( )ba f x d x f t t d t 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 3 稱為定積分的換元公式。 常用的幾種代換： （ 1） 三角代換：若被積函數(shù)中含有 22ax ， 可令 x= sinat或 x= cosat；若被積函數(shù)中含有 22ax ， 則可令 x= tanat或者 x= cotat；若被積函數(shù)中含有 22xa ，則可令 x= secat或者 x= cscat根式代 換：若被積函數(shù)中含有 n ax b ， 則可令t= n ax b ； 若被積函數(shù)中含有 ax bncx d， 則可令 t= ax bncx d， 若被積函數(shù)中含有 n ax b和 max b ， 則可令 t= p ax b ， p= ,mn （ 2） 倒代換：一般用于分母次數(shù)較高的情況 如： 1711( 2 )dxxx ， 令 1tx 在具體解題時(shí)，還必須具體問(wèn)題具體分析，靈活處理 例 1：求 3220a dxax 解：令 x= tana ， 30, 原式 =332200( t a n ) 1 1 .s e c 3 3d a t da a a a 例 2、求 10 1x dxx 解：令 t = x ,則 2xt 2112002()ttd t d t 1012 ( 1 )1t d tt 112 0 02 2 l n 1t t t 1 2 ln 24 例 3：計(jì)算定積分20 1 sindx x 解：令 t =tan2x，21dtdx t ， 22sin 1 tx t 20 1 sindx x = 2212 101 ttdttt 0 21()2 1( ) 8dt tt t 0112 a r c t a n2 2 2 2t t 22 例 4：求 I = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x 解：令 t =-x 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 4 I = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x = 1 19971 ( ) (1 ) ( ) ( )ttt t e e d t = 1 19971 (1 ) ( ) ( )ttt t e e d t = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x =2 11 ()xxx e e dx 112 ( )xxd e e 11 11 12 ( ) 2 ( ) 4 (x x x xx e e e e d x e e ） 1 112 ( ) 8xxe e e 換元法求定積分應(yīng)用廣泛，但是極易出現(xiàn)錯(cuò)誤 變換被積函數(shù)，自變量必須在原區(qū)間連續(xù) 例 1：計(jì)算 12111 dxx . 誤解：令 1xt 21 1 12 2 2 21 1 111()1 1 1t dtd x d xx t t x 12111 dxx =0 解顯然是錯(cuò)誤的，換元設(shè) 1xt t=0 時(shí) , x 無(wú)意義 ， 1t在 1,1 上無(wú)界，不可導(dǎo)，不滿足換元的基本條件 故不可設(shè) 1xt 正解：根據(jù) 定積分換元法的常用公式計(jì)算，若 ()fx在 ,ab 上連續(xù)且為偶函數(shù)，則： 0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 即： 112210112d x d xxx 102 a r c t a n 2x。 換元在區(qū)間上必須滿足換元的條件： 例：計(jì)算 220 ( 0 )a dx ax a x 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 5 誤解：設(shè) sinx a t ， 則 cosdx a tdt 當(dāng) 0x 時(shí) 0t ； xa 時(shí)2t 原式 = 20c o ss i n c o sata t a t dt 20c o ss i n c o st dttt 20c o s ( c o s s i n )( s i n c o s ) ( c o s s i n )t t t d tt t t t 201 1 c o s 2 s i n 22 c o s 2ttdtt 誤因分析：被積函數(shù)中含有二次根式，通過(guò)換元法消去二次根式，設(shè) sinx a t 雖然4t 0,2但 cos sintt 在4t 處為 0，故這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的 正解：令 sinx a t 原式 =20c o ss i n c o sa td ta t a t 20c o ss i n c o st dttt 201 s i n c o s c o s s i n2s i n c o st t t tdttt 2 200( s i n c o s ) 1s i n c o s 2 4d t ttt 積分區(qū)間特殊的函數(shù)積分： 例 ： 計(jì)算 24401s i n c o sn dxx x 解：原式 =2n0441s i n c o s dxxx2 2 2 2 2012 ( s i n c o s ) 2 s i n c o sn x x x x dx =0 22 11 s i n ( 2 )2dxnx220( 2 )2 2 c o s 2 s i n 2dxn xx t a n 22 ( a r c t a n ) 02 oxn 誤因分析：被積函數(shù)大于 0 且積分上限大于積分下限，積分值應(yīng)大于 0.原因在于 t=tan2x在 0, 上不滿足積分的條件 正解：原式 =4n 12 4401s i n c o s dxxx=4n2 220( 2 )2 c o s 2 s i n 2dxxx =408 t a n 2a r c t a n22nx 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 6 =2 2 n 。 誤區(qū)分析：用換元法計(jì)算定積分時(shí)，雖然反復(fù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算過(guò)程中的有關(guān)細(xì)節(jié)，但是有出現(xiàn)一些思維上的錯(cuò)誤，本文在定理 1的基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)例進(jìn)行剖析，以使學(xué)生更好的掌握利用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分 的思維方向，從而避免一些思維上的錯(cuò)誤 2.3 牛頓萊布尼茲公式 牛頓萊布尼茲公式不僅為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法，而且也在理論上把定積分和不定積分聯(lián)系了起來(lái) 定理：若函數(shù) f 在上連續(xù)，且存在原函數(shù) F ，即 ()Fx= ()fx ,x ,ab ,則 f 在上可積，且 ()ba f x dx ( ) ( )F b F a ,此公式即為牛頓萊布尼茲公式 也寫作： ( ) ( )b baa f x d x F x 注 1：在應(yīng)用萊布尼茲公式時(shí) ,F(x)可由積分法求得 注 2：定理?xiàng)l件可適當(dāng)減弱，例如： (1) 對(duì) F 的要求可減弱為： 在 ,ab 上連續(xù)，在 ,ab 內(nèi)可導(dǎo)，且 ()Fx= ()fx , ,x a b ； (2) 對(duì) f 的要求可減弱為：在 ( , )ab 上可積（不一定連續(xù)）； (3) 后來(lái)證得了連續(xù)函數(shù)均有原函數(shù)之后，本定理中對(duì) F 的假設(shè)便是多余的。 在定積分的計(jì)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)像計(jì)算定積分1I= 214111x dxx，2I= 20 2 cosdx x 等類型的題目 這類題目看似容易，但學(xué)生一動(dòng)手就會(huì)出錯(cuò) 因?yàn)椋?2411x dxx= 222111x dxxx21()1( ) 2dx xx x 2 11 a r c t a n22x cx 但卻不能運(yùn)用牛頓 萊布尼茲公式來(lái)計(jì)算 1I= 221 1142-1112 a r c t a n 02xxdxxx x 但這是錯(cuò)誤的 這是因?yàn)楸环e函數(shù) ()gx = 2421xxx在區(qū)間 1,1 上連續(xù)且恒正 所以它在區(qū)間 1,1 上的積分應(yīng)該大于 0.其錯(cuò)誤原因在于函數(shù) ()Gx = 2 12 a rc ta n2xx 在區(qū)間湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 7 1,1 上不連續(xù)， x =0 為 ()Gx的第一類間斷點(diǎn) 不難求得： G （ 0-0） = 201l i m a r c t a n2 2 2xxx G （ 0+0） = 201l i m a r c t a n2 2 2xxx 從而在點(diǎn) x =0 處 ()Gx g(x) G (x)并不是 ()gx在 1,1 上的一個(gè)原函數(shù)，我們稱這種函數(shù)為分段原函數(shù)。 再如函數(shù) ()hx = 12 cos x 2 cosdx x 2 22 a r c t a n ( )3 33d t t ct 21a r c t a n ( t a n )233 x c 函數(shù) ()Hx= 21a r c t a n ( t a n )233 x在 x 有第一類間斷點(diǎn)， 即 ( 0)H = 21l i m a r c t a n ( t a n )23 3 3x x ( 0)H = 21l i m a r c t a n ( t a n )23 3 3x x ()Hx是被積函數(shù) ()hx 的一個(gè)分段原函數(shù) 對(duì)于積分 22 0 2 c o sdxI x 我們也不能簡(jiǎn)單應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式求值 為了利用分段函數(shù)求原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分，必須推廣牛頓萊布尼茲公式 定理：若 ()Fx為連續(xù)函數(shù) ()fx在區(qū)間 ,ac 和 ,cb 上的分段原函數(shù)，為其第一類間斷點(diǎn)，則： ( ) ( ) ( )b c ba a cf x d x f x d x f x d x = ( 0)Fc - ()Fa + ()Fb - ( 0)Fc = ()Fb - ()Fa + ( 0)Fc - ( 0)Fc 廣義牛頓萊布尼茲公式 . 證：有定積分的可加性知： ( ) ( ) ( )b c ba a cf x d x f x d x f x d x = l i m ( 0 ) ( ) l i m ( ) ( 0 )x c x cF c F a F b F c =+ ( ) ( 0 )F b F c = ( ) ( )F b F a + ( 0)Fc (0Fc） 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 8 利用公式 計(jì)算1I和2I 211 42-1 1 (1 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 2xI d x G G G Gxx 22 0 ( 2 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2 c o sdxI H H H Hx =0-0+3 -（ -3 ） =23 。 例： ()fx = 23( 1) ( 1)( 2 )xxxx,求 34 21()1 ( )fxI d xfx 。 解： 4 ( 3 ) ( 1 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 2 0 ) ( 2 0 )I F F F F F F 32a r c t a n 227 。 2.4 利用對(duì)稱原理求定積分 對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的定積分和一類費(fèi)對(duì)稱 區(qū)間上的定積分，均可用對(duì)稱原理進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算 1、 結(jié)論：設(shè) ()fx在 ,ab 上連續(xù)，求證： ()ba f x dx ()ba f a b x d x 證明：令 t a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a b ba b a af x d x f a b t d a b t f a b t d t f x d a b x d x 進(jìn)而： ()ba f x dx 1 ( ) ( )2ba f x f a b x d x 例 1：求 I = 236c o s( 2 )x dxxx 解：6a ，3b ()fx = 2cos( 2 )xxx 在 ,63上連續(xù) 2s i n()2 ( 2 )xfxxx 2236c o s s i n112 ( 2 ) ( 2 ) 2xxI d xx x x x 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 9 336 61 2 1 2 l n 2( ) ( l n )2 2 2dxx x x 對(duì)于 式，若將積分區(qū)間 ,ab 用對(duì)稱區(qū)間 ,aa 代入 則有： 1( ) ( ) ( )2aaf x d x f x f x d x 2、 利用這個(gè)結(jié)論計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的非奇非偶函數(shù)的定積分，只要 ()fx比 ()fx + ()fx的定積分簡(jiǎn)單即可 。 例 2：求 I = 211 1 xx dxe 解： 22( ) , ( )11xxxxf x f xee I = 2 3 111 1 1 1( ) ( )2 2 6 3f x f x d x x d x x 例 3、求 I =32s i n a r c t a n 2 xx d x 解： ()fx = sinx arctan 2 x dx 1a r c t a n 2 a r c t a n 2x x 1a r c t a n 2 a r c t a n s i n2x xx 從而 I =321 s i n2 2 2x d x 3、 若 ()fx為奇函數(shù)，則 ( ) 0aa f x dx ； 若 ()fx為偶函數(shù)，則0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 利用上面的性質(zhì)并結(jié)合定積分的分項(xiàng)運(yùn)算與分段運(yùn)算可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。當(dāng)被積分中含有奇偶函數(shù)或者積分區(qū)間含有對(duì)稱區(qū)間時(shí)，可以考慮直接用上面的結(jié)論化簡(jiǎn)定積分 例 4、求 11 ()xx x e d x 解：原式 = 11 xxe dx+ 11 xxe dx=2012 (1 )xx e d x e 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 10 例 5、求 21 xxe dx 解：原式 = 11 xxe dx+ 21 xxe dx= 1223ee 4、 如果把 ,ab 換成 0,2 ，于是有： ()fx在 0,2 上連續(xù)，則001( ) ( ) ( ) 2aaf x d x f x f a x d x 例 6、求 I =20s i ns i n c o sx dxxx 解： ()fx = sinsin cosxxx ， ()2fx = cossin cosxxx ()fx + ()fx =1 I = 20 4dx 更一般的，2200s i n c o s4s i n c o s s i n c o snnn n n nxxd x d xx x x x 例 7、求 I =401 l n (1 t a n )2 x dx 解： I =4 401 ( l n (1 t a n ) l n (1 t a n ( ) ) l n 228x x d x 2.5 利用奇偶性求函數(shù)積分 定理 1：函數(shù)的奇偶性在定積分的 計(jì)算中有如下結(jié)論： 若 ()fx在 ,aa 上連續(xù)，當(dāng) ()fx為奇函數(shù)時(shí)， ( ) 0aa f x dx ；當(dāng) ()fx為偶函數(shù)時(shí)，0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 例：計(jì)算積分 I = 321 2621s i n ( 2 )31xx x x d xxx 解： I 321621s in31xx dx 1 21 ( 2 )xxdx 定理 2、當(dāng)被積函數(shù)無(wú)奇偶性時(shí)，0( ) ( ) | ( ) aaa f x d x f x f x d x 或者對(duì)分析被積函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行變形時(shí)、拆項(xiàng)，化成奇函數(shù)或者偶函數(shù) 當(dāng)被積函數(shù)不具有奇偶性或者積分區(qū)間不為對(duì)稱區(qū)間時(shí) ， 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 11 定理 3、設(shè)函數(shù) f 在 ,ab 上可積，則 ( ) ( )bbaaf x d x f a b x d x 類型 1：直接利用奇偶性求定積分： 例 1、 計(jì)算 I =22 2c o s 2 s i n 21 x x d xx 解： 被積函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù) I =22 2c o s 2 s i n 21 x x d xx =0 例 2、2s in1 c o sx dxx 解：2s in1 c o sx dxx 2200s i n s i n221 c o s 1 c o sx xd x d xxx 20 12 ( c o s )1 c o s dxx 02 a r c t a n ( c o s )x 類型 2：間接利用奇偶性來(lái)求定積分： 1、 區(qū)間對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù)或偶函數(shù) 例 3、計(jì)算 3 ln (1 )a xa x e d x 解 ：原式 = 3 ln (1 )a xa x e d x 330 l n (1 ) l n (1 )a xxx e x e d x 33001 (1 )l n l n1 (1 )x x xaax x xe e ex d x x d xe e e 55400a axax d x 2、 函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)但是區(qū)間不對(duì)稱 當(dāng)函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，但區(qū)間不對(duì)稱時(shí)，可以通過(guò)變量代換的方法變換成對(duì)稱區(qū)間 例 4、求 I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （之值 分析：觀察可知，積分區(qū)間不對(duì)稱 ，被積函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以此題可以將被積函數(shù)展開(kāi)然后再求積分，但是這種求法比較繁瑣。由觀察可以發(fā)現(xiàn)，若令 2tx，原積分就轉(zhuǎn)化成了區(qū)間對(duì)稱的定積分，也可以用定理 3 求解。 解法 1： I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （ 令 2tx 0x 時(shí) ， 2t ； 4x 時(shí) ， dx dt 則 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （= 2 52 ( s in )t t dt 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 12 5 sintt 是奇函數(shù) 0I 解法 2： I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （ = 4 50 4 2 ) s i n 4 ( 2 ) x x d x （ = 445500) s i n ) 2 ) s i n ( 2 ) x x d x x x d x I （ 2 （ 2 （ 0I 例 5、求 I =23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx 之值 分析：觀察可知該定積分的積分 區(qū)間不對(duì)稱，但函數(shù)是奇函數(shù)，所以拆分區(qū)間使該定積分比較容易計(jì)算 解： I =23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx = 33 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx + 23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx =0+2233223 3 s i n 4c o s 2 4 c o s 2xx dx =2233 12223 3 s i n 4c o s 2 4 c o s 2xx d x I Ixx 2331 23 ( t a n 2 ) t a n 2 t a n 2 2I x d x x x x d x dx 22332 23 s i n 4 3 t a n 24 c o s 2 2xI d x x d xx I = 12II = 32 2.6 利用分 部 積分法計(jì)算定積分 分部積分公式 設(shè)函數(shù) )(xu 、 )(xv 在區(qū)間 ba, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 bababa vduuvudv.（ 定積分的分部積分公式） 例 1、 計(jì)算 120 arcsin xdx 解：令 ,arcsin xu 則 ,1 2xdxdu 210 arcsin xdx 210arcsin xx 210 21 xxdx 621 )1(1 121 20 221 xdx 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 13 12 21021 x 3 112 2 例 2、 計(jì)算40 1 cos 2xdx x 解 ,cos22cos1 2 xx 40 2cos1 xxdx 40 2cos2 xxdx xdx tan240 40tan21 xx xdxtan21 40 40secln218 x ln 284 。 例 3、 計(jì)算 120ln (1 )( 2 )x dxx 。 解： 10 2)2()1ln( dxx x 10 21)1ln( xdx 102)1ln( xx 10 )1ln(21 xdx 32ln dxxx 10 1 12 1 （ xx 1 12 1 xx 2 11 1） 10)2ln ()1ln (3 2ln xx = 5 ln 2 ln 33 。 例 4、 設(shè) 21 ,sin)( x dtt txf 求 10 ()xf x dx 。 解：因?yàn)閠tsin沒(méi)有初等形式的原函數(shù)，無(wú)法直接求出 )(xf ，所以采用分部積分法 10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf 102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 21 ,s in)( x dtt txf ,0s in)1( 11 dtt tf ,s in22s in)( 22 2 x xxx xxf 10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 10 2sin221 dxxx 1022sin21 dxx 102cos21 x = 1 (cos1 1)2 2.7 歐 拉積分在求解定積分中的應(yīng)用 求解定積分在是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本技湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 14 能。求解定積分的方法一般來(lái)說(shuō)是求出原函數(shù)，然后根據(jù)牛頓萊布尼茲公式代入上下限進(jìn)行計(jì)算。這種方法一般比較實(shí)用 在實(shí)際問(wèn)題中，有許多定積分的原函數(shù)，難以計(jì)算或者計(jì)算過(guò)程非常繁雜。而如果將其進(jìn)行適量的變量代換，變?yōu)槲覀兪煜さ亩ǚe分，那么問(wèn)題就得到了很好的解決。歐拉積分恰恰是我們解決這樣問(wèn)題的一個(gè)有效工具 2.7.1 歐拉積分定義 10() xx e d x （ 0a ）我們稱之為 函數(shù) 令 2xt 是，代入上式得： 2210( ) 2 tt e d t （ 0a ） 令 1lnxt時(shí)，代入上式得： 11 10011( ) ( l n ) ( l n ) dttt （ 0a ） 2.7.2 性質(zhì) （ 1） 函數(shù)的定義域區(qū)間為 (0, ) ，在 ( 0, ) 內(nèi)閉一致收斂。 () 在區(qū)間 (0, ) 上連續(xù)，求導(dǎo)在積分號(hào)下進(jìn)行： ( ) 10( ) ( l n )n x nx e x d x （ 2）遞推公式 0a 有： ( 1 ) ( ) 這個(gè)性質(zhì)可由分部積分公式得到。 00( 1 ) ( )xxx e d x x d e 100 ()x e x e d x 特別是，當(dāng) ,n n N，有： ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ! (1 )n n n n n n n 0(1 ) 1xe d x ，即： ( 1)n = !n =0 nxx e dx （ 3）余元公式： ( ) (1 ) s i n （ 01a 2.7.3 B 函數(shù)（第一型歐拉積分） （ 1）定義： ( , )B p q = 1 110 (1 ) ( ,pqx x d x p q 0),我們稱之為 B 函數(shù)。 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2013屆學(xué)士學(xué)位論文 15 令 2cosx 時(shí)，代入上式得： ( , )B p q =2 2 2 1 2 10 c o s s i npq d 令1ux u 時(shí)，同理得： ( , )B p q = 10 (1 )ppqu duu。 （ 2）性質(zhì) 1 2 1 2: ； : ( 0 , ； 0 , )p p q q ， B 函數(shù)在 1 2 1 2: ； :p p q q上一致連續(xù)，有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù)。 對(duì)稱性： ( , ) ( , )B p q B q p 遞推公式： ( , )Bpq = 1 ( , 1 )1q B p qpq = 1 ( 1 , )1p B p qpq 特別對(duì)正整數(shù) ,mn有 ( , )B mn = ( 1) !( 1) !( 1) !nmmn 余元公式： 0 ( ,1 )B p p = sinp （ 01p） 特別是： 11( , )22B= Dirchlet 公式： ( ) ( )( , )()pqB p q p