2014年國慶高中數(shù)學競賽班型知識點梳理2

2014 年 國慶 高中數(shù)學競賽班型知識點梳理 （第 二 次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。 本 班型導學共由 4 份 書面資料構(gòu)成。 清北學堂集中培訓課程知識點梳 理 （ 2014 年 國慶 集中培訓課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-1-2 2014-9-20 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 國慶 高中數(shù)學競賽班型知識點梳理 (幾何 部分 ) 目錄 知識結(jié)構(gòu) . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 平面幾何 . 5 1. 基礎(chǔ)定理 . 5 2. 三角形的心 . 6 3. 多點共圓問題 . 7 4. 面積問題面積方法 . 7 5. 面積的等積變換 . 9 二、 立體幾何 . 10 1. 基礎(chǔ)定理 . 10 2. 多面體與旋轉(zhuǎn)體 . 11 3. 空間角和距離的計算 . 14 三、 解析幾何 . 16 1. 圓錐曲線 . 16 2. 直線 . 17 3. 圓 . 19 4. 向量 . 19 四、 幾何不等式 . 20 1. 證明不等問題的公理和定理 . 20 2. 幾個著名的幾何不等式 . 21 3. 證明幾何不等式常用方法 . 21 例題選講 . 23 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 知識結(jié)構(gòu) 平面幾何 基礎(chǔ)定理 梅捏勞斯定理 賽瓦定理 托勒密定理 西姆松定理 其它定理 三角形的心 五心概念及性質(zhì) 多點共圓問題 證明 面積 問題面積方法 面積公式 面積定理 立體幾何 基礎(chǔ)定理 基礎(chǔ)定理 118 多面體與旋轉(zhuǎn)體 棱柱與棱錐 長方體與正方體 四面體與直四面體 面積與體積 幾何體截面 球與多面體切接 空間角和距離的計算 角的計算 距離的計算 解析幾何 圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 直線 直線方程 到角公式 位置關(guān)系及距離 圓 圓的方程 切線方程 位置關(guān)系 向量 重要定理 幾何不等式 證明不等問題的公理和定理 證明線段不等 證明角不等 圓中有關(guān)不等量的知識 著名幾何不等式 托勒密定理推廣 歐拉定理 艾爾多斯 -莫迪爾不等式 外森比 克不等式 費馬問題 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 重點難點 幾何部分在數(shù)學聯(lián)賽中有兩部分體現(xiàn)， 一試 中主要以高考大綱中 立體幾何 與 解析幾何 為重點，知識點一般不會超出高考大綱，但難度較高考有所提高。 二試 中主要以競賽大綱較高考考綱新補充的 平面幾何 與 幾何不等式 為重點。特別是新補充的 四大定理 是聯(lián)賽幾何題目中的難點。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 知識梳理 一、 平面幾何 基礎(chǔ)定理 （ 1） 梅捏勞斯（ Menelaus）定理（梅式線） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 或其延長線上有點 P、 Q、 R，則 P、 Q、 R 共線的充要條件 是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說明： 恰當選擇三角形的截線或作出截線，是應用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵，其逆定理常應用于證明三點共線問題。 （ 2） 賽瓦（ Ceva）定理（塞瓦點） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上有點 P、 Q、 R，則 AP、 BQ、CR 三線共點的充要條件是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說明： 對較復雜的問題，要注意梅涅勞斯定理和塞瓦定理的聯(lián)合應用。 （ 3） 托勒密 (Ptolemy)定理 四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積 （如圖，即AB C D BC DA AC BD ） 的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。 說明： 托勒密定理可作如下推廣：在凸四邊形 ABCD 中，有AB C D BC DA AC BD ，等號成立的充要條件是 ABCD 為圓的內(nèi)接四邊形，稱為廣義托勒密定理。 （ 4） 西姆松 (Simson)定理（西姆松線） 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 （ 5） 其它定理 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 i. 余弦定理推論 推論 1：平行四邊形兩對角的平方和等于四邊平方和。 推論 2：設(shè) ABC 三邊長分別為 a， b， c，對應邊上的中線分別為 ma， mb， mc，則： 2 2 21 222am b c a ； 2 2 21 222bm a c b ； 2 2 21 222cm a b c ii. 斯德瓦特定理 如圖， ABC 的 BC 邊上有一點 P，則可滿足下列關(guān)系： 2 2 2A B P C A C B P A P B C B P P C B C iii. 張角定理 由 P 點 出 發(fā) 的 三 條 射 線 ,PAPB PC ，設(shè) APC ， CPB ，180APB ，則 ,ABC 三點共線的充要條件是： s in s in s in ( )PB PA PC 三角形的心 三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心 。 （ 1） 外心 三角形中垂線的交點，三角形外接圓的圓心，簡稱外心 .與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理 。 （ 2） 重心 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心 .掌握重心將每條中線都分成定比 2:1 及中線長度公式，便于解題 。 （ 3） 垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四個等 (外接 )圓三角形，給我們解題提供了極大的便利 。 （ 4） 內(nèi)心 三角形角平分線的交點，三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心 .對于內(nèi)心，要掌握張角公式 。 （ 5） 旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心 .旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切 。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 多點共圓問題 （ 1） 利用圓的定義證明 即要證 A、 B、 C、 D 四點共圓，只需要找到一點 P，證得 PA=PB=PC=PD 即可 。 （ 2） 利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的逆定理 i. 若四邊形的兩個對角互補，則四點共圓 。 ii. 若四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，則四點共圓 。 （ 3） 利用圓周角定理的逆定理證明 即兩三角形有公共底邊，且在公共底邊同側(cè)又有相等的頂角，則四頂點共圓 。 （ 4） 利用圓冪定理的逆定理證明 即 i. 若二線段 AB 和 CD 相交與 E，且 AE EB CE ED 則 A、 B、 C、 D 四點共圓。 ii. 若相交于 P 點的二線段 PB、 PD 上各有一點 A、 C，且 ,PA PB PC PD 則 A、B、 C、 D 四點共圓。 （ 5） 利用托勒密定理的逆定理證明 即 如果四邊形 ABCD 的兩組對邊乘積的和等于它的兩條對角線的乘積：,A B C D B C D A A C B D 則 A、 B、 C、 D 四點共圓 。 （ 6） 利用位似變換證明 如果兩個幾何圖形 F 和 F的任意一對對應點 A 和 A的連線都通過同一定點 O，且OA K OA （其中 K 是常數(shù)），那么這兩個圖形叫做位似圖形 ， O 叫做位似中心， K 叫做位似系數(shù) 。 通常把從圖形 F 到 F得變換叫做位似變換 ， 如通過位似變換，圖形 F 中共線的點在圖形 F中仍然共線，反之亦成立 。 （ 7） 多點（大于 4 點）共圓 i. 通常先證其中四點共圓，再證其余點中一一與共圓四點組中的三點共圓。 ii. 直接 利用位似變換 證明。 面積問題面積方法 （ 1） 面積公式 由于平面上的凸多邊形都 可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式。它形式多樣，應在不同場合下選擇最佳形式使用。 設(shè) ABC ， ,abc分別為角 ,ABC 的對邊， ah 為 a 的高， R 、 r 分別為 ABC 外接圓、內(nèi)切圓的半徑， 1 ()2p a b c 則 ABC 的面積有如下公式： i. 12ABC aS ah 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 ii. AbcSABC sin21 iii. ( ) ( ) ( )ABCS p p a p b p c iv. 1 ()2ABCS r a b c p r v. 4ABC abcS R vi. 22 s in s in s inABCS R A B C vii. 2 sin sin2 sin( )ABC a B CS BC viii. 1 ()2ABC aS r b c a ix. 21 (si n 2 si n 2 si n 2 )2ABCS R A B C （ 2） 面積定理 i. 共邊比例定理 若 PAB 和 QAB 的 公 共 邊 AB 所 在 直 線 與 直 線 PQ 交于 M ，則:P A B Q A BS S P M Q M 。 這是一個極為重要的定理，可以說是面積法的頂梁柱，雖然看起來是很普通的事，實則它有著極為深刻的內(nèi)含：等式左邊是一個和 M 根本無關(guān)的式子，而右邊卻可以得到一個確定 M 位置的式子 .用這個式子就好像使用狙擊槍一樣，可以在根本不需要接近對手的時候就把對手搞定 。 要注意的還有一點，即選擇 A 和 B 的時候盡量不要讓 A 和 B 在直線 PQ 上，否則會大大影響共邊定理的效用 。 ii. 定比分點定理 M 是線段 PQ 上一點，滿足 :MP MQ ，則 圖 1 - 1( 4 )( 3 )( 2 )( 1 )MPAQBPA BPAQPA MMQ MB QB圖 1 -2PA BQM清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 1AP B AQ BAM B SSS 特別的，當 1 時， 2AP B AQ BAM B SSS 這個定理是對共邊定理中處理面積計算所不夠強大的一面的一個補充， M 可能是一個感覺上懸空的點，用這個式子可以把和 M 有關(guān)的面積轉(zhuǎn)化一下 。 iii. 共角比例定理 在 ABC 和 ABC 中，若 AA 或 180AA ，則 ABCABCS AB ACS A B A C 。 其實共角定理就是 1 sin2S ab c的一個簡單推論，我們可以考慮用正弦定理來代替之 。 面積的等積變換 等積變換是處理有關(guān)面積問題的 重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉(zhuǎn)換證（解）題。 面積法是一個很強大的工具，它可以讓你在看不清應該如何去算的時候，提供一個有力的方法，尤其在處理線段比例上，它有著很強大的功能 .在后面很多地方都會用到面積的比例來轉(zhuǎn)化邊的比例，這也正是面積法的真正作用所在 。 我們先來熟悉一下這些定理，比如先證明在右圖 的圖形中要 證 明 AH AFHB BF， 就 可 以 由 AGE AGEBGE ABESSAHHB S S，ABEBGES DG ACS BC CG得到：只要證明 1DG AC BFBD CG AF 即可，這即是以 ABG 關(guān)于直線 DCF 的梅氏定理 .于是我們要證明的東西就出來了，其中用到的只有共邊定理，再加上梅氏定理作為一個輔助的工具 。 面積法決不是那種能獨當一面的方法，它一定是作為配角來使用的，而在證明過程中起到一個過渡的作用 。 圖 1 - 3C C A A B ( B ) C B ( B )AAC圖 1 - 4GCA FEBDH清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 二、 立體幾何 基礎(chǔ)定理 （ 1） 定理 1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直 。 （ 2） 定理 2 兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行 。 （ 3） 定理 3 若兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也和這個平面垂直 。 （ 4） 定理 4 若 d 為平面。的一條斜線， b 為它在平面 a 內(nèi)的射影， c 為平面 a 內(nèi)的一條直線，若 cb，則 c a逆定理：若 c a，則 c b。 （ 5） 定理 5 直線 d 是平面 a 外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線 b 平行，則它與平面 a 平行 。 （ 6） 定理 6 若直線 a 與平面 平行，平面 經(jīng)過直線 a 且與平面 交于直線 b，則 a/b。 （ 7） 定理 7 如 果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個角相等 。 （ 8） 定理 8 平面 內(nèi)有兩條相交直線 a， b 都與平面 平行，則 /。 （ 9） 定理 9 平面 與平面 平行，平面 =a, =b ，則 a/b 。 （ 10） 定理 10 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直 。 （ 11） 定理 11 如果兩個 平面垂直，過第一個平面內(nèi)的一點作另一個平面的垂線在第一個平面內(nèi) 。 （ 12） 定理 12 如果 兩個平面垂直，過第一個子面內(nèi)的一點作交線的垂線與另一個平面垂直 。 （ 13） 定理 13 設(shè)多面體的頂點數(shù)為 V，棱數(shù)為 E，面數(shù)為 F，則 V+F-E=2。 （ 14） 定理 14 如果球心到平面的距離 d 小于半徑 R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直 。 設(shè)截面半徑為 r，則 d2+r2 R2過球心的截面圓周叫做球 大圓 。 經(jīng)過球面兩點的球大圓夾在兩點間劣弧的長度叫兩點間球面距離 。 （ 15） 定理 15 夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等 。 （ 16） 定理 16 從空間一點出發(fā)的不在同一個平面內(nèi)的三條射線共組成三個角其中任意兩個角之和大于另一個，三個角之和小于 3600。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 （ 17） 定理 17 若一個球的半徑為 R，則它的表面積為 2S =4 R表 。若一個圓錐的母線長為 l，底面半徑為 r，則它的側(cè)面積 S = rl側(cè) 。 （ 18） 定理 18 半徑為 R 的球的體積為 34V= R3 ；若棱柱（或圓柱）的底面積為 s，高 h，則它的體積為 V=sh ；若棱錐（或圓錐）的底面積為 s，高為 h，則它的體積為 V= .31sh 。 （ 19） 定理 19 四面體 ABCD 中，記 BDC=， ADC=， ADB=， BAC=A， ABC=B， ACB=C。DH 平面 ABC 于 H。 i. 射影定理： c o s =A B D A B HSS ，其中二面角 D AB H為 。 ii. 正弦定理： s in s in s ins in s in s inA B C 。 iii. 余弦定理： c o s = c o s c o s + s i n s i n c o s Ac o s A = - c o s B c o s C + s i n B s i n C c o s 。 多面體與旋轉(zhuǎn)體 （ 1） 棱柱與棱錐的性質(zhì) 棱柱與棱錐的性質(zhì)可以從 側(cè) 面的性質(zhì)、 平行于底面的截面的性質(zhì)、幾何體諸元素之間相互關(guān)系三方面加以考慮 。 其中，要重視棱錐中平行于底面的截面所具有的性質(zhì)，以及正 棱錐中的四個直角三角形，它們溝通了正棱錐中諸元素之間的相互關(guān)系 。 （ 2） 長方體與正方體的性質(zhì) i. 長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。 ii. 長方體的一條對角線與一個頂點上的三條棱所成的角分別是 ， ， ，則 2 2 2c o s c o s c o s 1 iii. 長方體的一條對角線與過一個頂點的三個面所成的角分別是 1 2 3, ，則 2 2 21 2 3s in s in s in 1 iv. 正方體的對角線與不相交的面對角線垂直；正方體過同一條對角線的三個對角面兩兩所成的小于 090 的二面角都等于 060 。 （ 3） 四面體與直四面體的性質(zhì) i. 連接四面體對棱中點的線段交于一點，且這點平分這些線段 。 ii. 連接四面體對棱中點的線段交于一點 G ，且這點將所在線段分成的比為 3： 1， G 稱清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 為四面體重心 。 iii. 四面體的二面角的平分面分對棱所成的比等于形成這個二面角的兩個側(cè)面的面積之比 。 iv. 每個四面體都有內(nèi)切球，球心 I 是四面體的各個二面角的平分面的交點，此點到各面的距離等于球半徑 。 設(shè)四面體四個面的面積分別為 1S 、 2S 、 3S 、 4S ， V 表示它的體積， r 表示內(nèi)切球的半徑， 1h 、 2h 、 3h 、 4h 分別表示各頂點到對面所作的高，有 1 2 3 43Vr S S S S ，1 2 3 41 1 1 1 1r h h h h v. 每個四面體都有外接球，球心 O 是各條棱的中垂面的交點，此點到各個頂點的距離等于球半徑 。 vi. 直角四面體中，不含直角的面是銳角三角形，其面積 2 2 2 2 2 212S a b b c c a ，其中 ,abc為互相垂直的三條棱長 。 vii. 直角四面體六條棱長的和 l 為定值時，直角四面體的體積的最大值為 35 2 7162 l。 viii. 直角四面體的內(nèi)切球半徑為 1 2 3 4 3S S S S Vr a b c S 其中 4S 表示銳角三角形的面積， 1S 、 2S 、 3S 表示三個直角三角形的面積， S 表示表面積 。 ix. 直角四面體的外接球半徑為 2 2 212R a b c 。 x. 直角四面體的對棱中點連線長相等，且等于外接球半徑 。 xi. 四棱柱 底 面 是 平 行 四 邊 形 平行六面體 側(cè) 棱 與 底 面 垂 直 直平行六面體 底 面 是 矩 形 長方體 底 面 是 正 方 形 正四棱柱 側(cè) 面 是 正 方 形 正方體 xii. 四面體是立體幾何中最基本，也是最重要的幾何體， 其地位相當于三角形在平面幾何中的地位，它有許多性質(zhì)，應熟練掌握 。 （ 4） 折疊與展開的方法 要準確畫出原來的圖形和折疊或展開后的圖形，對照平面圖形與立體圖形的對應元素的位置關(guān)系、大小、形狀，確定哪些是不變量，哪些是變量，不變量是解題的基礎(chǔ) 。 （ 5） 面積與體積 面積： i. 柱體側(cè)面積 S c l側(cè) （ c 為直截面周長， l 為側(cè)棱或母線長） ii. 正棱錐的側(cè)面積 12S c h側(cè)（ c 為底面周長， h 為斜高） iii. 圓錐的側(cè)面積 :S rl側(cè) （ r 為底面周長， l 為母線長） 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 iv. 正棱臺的側(cè)面積公式： 1 2S c c h（ c 、 c 分別是上、下底面周長， h 是斜高） v. 圓臺的側(cè)面積公式： 1 2S c c l（ c 、 c 分別是上、下底面周長， l 是母線長） vi. 球的表面積 : 24SR vii. 面積射影定理 在二面角的一個半平面上的任意多邊形的面積 S 與這個二面角的度數(shù) 的余弦的乘積，等于這個多邊形在二面角的另一個半平面上射影多邊形的面積 S ，即 cosSS 。 體積： i. 半徑為 R 的球的體積為 34V= R3 ii. 若棱柱（或圓柱）的體積為 V Sh （ S 為底面積， h 為高）；若棱錐（或圓錐）的體積為 13V Sh （ S 為底面面積， h 為高） iii. 四面體的體積公式 13V DHSABC = 2 2 21 1 c o s c o s c o s 2 c o s c o s c o s6 abc 11 sin6aa d a32 sinABD ACDSS （ 其中 d 是 a1， a 之間的距離， 是它們的夾角 。 為二面角 BADC 的平面角） iv. 臺體的體積公式： 1 3V S SS S h （ S 、 S 分別是上、下底面面積， h 是高） 多面體的體積計算 ： 特別是四面體的體積計算，是競賽試題中常見的問題，其常用方法有： 直接法 ； 換底法 ； 割補法 ； 等積變換法 ； 比例法 ； 向量法 等 。 （ 6） 幾何體的截面 用平面截幾何體，平面在幾何 體內(nèi)的部分稱為這個幾何體的截面，截面問題包括作圖和計算兩個方面 。 處理截面問題 一般分為定位、定形、定量三個步驟，其中定位是解決此類問題的關(guān)鍵 。 錐體的平行于底面的截面性質(zhì) : 231 1 1 1,S h V hSVhh。 （ 7） 球與多面體的切接問題 設(shè)半徑為 R 的球上有兩點 M 、 N ，它們的緯度差為 ，經(jīng)度差為 ，則 MN 的球面距清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 離為 2 arcs in co s s in2lR 。 若多面體有內(nèi)切球，則內(nèi)切球的半徑 r ，表面積 S ，體積 V 之間有關(guān)系式 13V Sr。 一 般通過作截面，把立體圖形平面化，然后用平面幾何的相關(guān)知識來解決 。 多球相切問題由于球多，圖形復雜，難以作圖， 因此要求解題者具有較強的空間想象能力與分析問題、解決問題的能力 。 空間角和距離的計算 （ 1） 角的計算 i. 求異面直線所成的角 a. （平移法）過 P 作 /aa， /bb，則 a 與 b 的夾角就是 a 與 b 的夾角 b. 證明 ab （或 /ab），則 a 與 b 的夾角為 090 （或 0 ） c. 求 a 與 b 所成的角（ 0, ），再化為異面直線 a 與 b 所成的角（ (0, 2 ） ii. 求直線與平面所成的角 a. （定義法）若直線 a 在平面 內(nèi)的射影是直線 b ，則 a 與 b 的夾角就是 a 與 的夾角 b. 證明 a （或 /a ），則 a 與 的夾角為 090 （或 0 ） c. 求 a 與 的法向量 n 所成的角 ，則 a 與 所成的角為 090 或 090 iii. 求二面角 a. （直接計算）在二面角 AB的半平面 內(nèi)任取一點 P AB ，過 P 作AB的垂線，交 AB于 C，再過 P作 的垂線，垂足為 D，連結(jié) CD，則 CD AB ，故 PCD 為所求的二面角 b. （面積射影定理）設(shè)二面角 AB的大小為 （ 090 ），平面 內(nèi)一個平面圖形 F的面積為 1S ， F在 內(nèi)的射影圖形的面積為 2S ，則 21cosSS .（當 為鈍角時取 “ ”） c. （異面直線上兩點的距離公式） : 2 2 2 2 2 c o sE F d m n m n ，其中 是二面角 AB的平面角， EA 在半平面 內(nèi)且 EA AB 于點 A， BF 在半清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 15 頁 平面 內(nèi)且 FB AB 于 B，而 AB d ， EA m ， FB n d. （三面角的余弦定理），三面角 S ABC 中， BSC ， CSA ，ASB ，又二面角 B SA C ，則 c o s c o s c o sc o s s in s in e. （法向量法）平面 的法向量 1n 與平面 的法向量 2n 所成的角為 ，則所求的二面角為 （同類）或 （異類） （ 2） 距離的計算 i. 求兩點 A， B 間距離 a. 構(gòu)造三角形進行計算 b. 導面直線上兩點間的距離公式 c. 求 AB ii. 求點到直線的距離 a. 構(gòu)造三角形進行計算 b. 轉(zhuǎn)化為求兩平行紅色之間的距離 iii. 求點到平面的距離 a. 直接計算從點到平面所引垂線段的長度 b. 轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離 c. （體積法）轉(zhuǎn)化為求一個棱錐的高 3Vh S ，其中 V 為棱錐體積， S 為底面面積， h 為底面上的高 d. 在平面上取一點 A，求 AP 與平面的法向量 n 的夾角的余弦 cos ，則點 P 到平面的距離為 cosd AP iv. 求異面直線的距離 a. （定義法）求異面直線公垂線段的長 b. （體積法）轉(zhuǎn)化為求幾何體的高 c. （轉(zhuǎn)化法）轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離 d. （最值法）構(gòu)造異面直線上兩點間距離的函數(shù)，然后求函數(shù)的最小值 e. （射影法）如果兩異面直線 ,ab在同一平面內(nèi)的射影分別是一個點 P 和一條直線 l ， 則 a 與 b 的距離等于 P 到 l 的距離 f. （公式法） 2 2 2 2 2 c o sd E F m n m n v. 求平行的線線，線面，面面之間的距離 通常是轉(zhuǎn)化為求點與線或點與面之間的距離 。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 16 頁 三、 解析幾何 圓錐曲線 （ 1） 圓錐曲線基礎(chǔ)定義和公式 圓錐曲線的基本內(nèi)容列于下表，便于比較及掌握。 橢圓 雙曲線 拋物線 標準方程 22221xyab (或 221xyba) 22221xyab (或 22221yxab) 2 2y px (或 2 2x py ) 參數(shù)方程 cossinxayb (或 sincosxbya ) sectanxayb (或 tansecxbya ) 222x pty pt (或222x pty pt ) 準線 2axc (或 2ay c ) 2ax c (或 2ay c ) 2px (或2py ) 漸近線 byxa (或bxya ) 焦半徑 10PF a ex20PF a ex (或 10PF a ey 20PF a ey ) 10PF ex a 20PF ex a ( 10PF ey a , 20PF ey a ), (點 P 在左或下支 ) 0 2pPF x (或0 2pPF y) （ 2） 圓錐曲線中的常用公式 i. 橢圓： 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 17 頁 a. 過橢圓上一點 P(x0, y0)的切線方程為 12020 b yya xx b. 斜率為 k 的切線方程為 2 2 2y kx a k b c. 過焦點 F2(c, 0)傾斜角為 的弦的長為 222 2c os2ca abl ii. 雙曲線： a. 焦半徑公式 ： 對于雙曲線 221xyab， F1（ -c,0） ， F2(c,0)是它的兩個焦點。設(shè) P(x,y)是雙曲線上的任一點，若 P 在右支上，則 |PF1|=ex+a， |PF2|=ex-a； 若 P(x,y)在左支上，則 |PF1|=-ex-a， |PF2|=-ex+a。 b. 過焦點的傾斜角為 的弦長是 22 2 22 cosabac iii. 拋物線 ： 若 P(x0,y0)為拋物線上任一點 ，則 a. 焦半徑 |PF|= 2px b. 過點 P 的切線方程為 y0y=p(x+x0) c. 過焦點傾斜角為 的弦長為221 cosp iv. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義： 到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù) e 的點 P，若 0e1，則點 P 的軌跡為雙曲線的一支；若 e=1，則點 P 的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為 1 cosepe 。 直線 （ 1） 直線方程的各種形式 i. 點斜式 ： 00()y y k x x ii. 斜截式 ： y kx b 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 18 頁 iii. 兩點式 ： 112 1 2 1y y x xy y x x iv. 截距式： 1( , 0)xy abab v. 一般式： 0( ,Ax By C A B 不同為零 ) vi. 參數(shù)方程： 00cos (sinx x t ty y t 為參數(shù) , 為傾斜角 ,t 表示點 (, )xy 與 00( , )xy 之間的距離 ) vii. 直線系的方程： 若已知兩直線的方程是 l1： A1x+B1y+C1=0 與 l2： A2x+B2y+C2=0，則過 l1， l2 交點的直線方程為 1 1 1 2 2 2A x + B y + C + ( A x + B y + C ) 0 ；由 l1 與 l2 組成的二次曲線方程為(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0；與 l1 平行的直線方程為 A1x+B1y+C=0(CC1)。 （ 2） 到角公式與夾角公式 i. 到角公式 ： 1l 到 2l 的到角為 ， 則 2112tan 1kkkk ( 000 180 ) ii. 夾角公式： 1l 與 2l 的夾角為 ，則 2112tan 1kkkk ( 000 90 ) （ 3） 位置關(guān)系及距離 i. 兩點間的距離公式 設(shè) 1 1 1( , )Px y ， 2 2 2( , )P x y ，則 221 2 1 2 1 2( ) ( )P P x x y y ii. 線段的定比分點坐標公式 設(shè) 1 1 1( , )Px y ， 2 2 2( , )P x y ， 點 ( , )Pxy 分 12PP 的比為 ， 則 121xxx , 121yyy ( 1) iii. 點 0 0 0( , )P x y 到直線 l ： 0Ax By C 的距離： 0022Ax By CdAB iv. 兩直線的位置關(guān)系 設(shè) 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 , : 0l A x B y C l A x B y C (或 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b )。則 ： 1 2 1 2 2 1/ 0l l A B A B 且 1 2 2 1 0AC A C(或 12kk 且 12bb ) 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 19 頁 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B (或 121kk ) 圓 （ 1） 圓的方程 i. 標準方程： 2 2 2( ) ( )x a y b R ，其中 (, )ab 為圓心坐標， R 為圓半徑。 ii. 一般方程： 22 0x y D x E y F ，其中 2240D E F ，圓心為( , )22DE， 半徑為 221 42 D E F。 iii. 參數(shù)方程 ： cossinx a Ry b R ， 其中圓心為 (, )ab ， 半徑為 R。 （ 2） 圓的切線方程 過圓 2 +2 = 2上的點 (0， 0)的切線方程為 0+0 = 2；過圓 ( )2 +()2 = 2上的點 (0， 0)的切線方程為 (0 )()+(0 )() = 2。 （ 3） 位置關(guān)系 i. 直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種，判斷方法有兩種：一種是聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)解的個數(shù)判斷；另一種是利用圓心到直線的距離 d 與圓的半徑 r 的大小關(guān)系判斷 。 相交 兩個 交 點 ii. 圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系有五種，常用圓心距 d 和半徑 1， 2之間的關(guān)系判斷 。 相離 1 +2 外切 = 1 +2 相交 |1 2| 1 +2 內(nèi)切 = |1 2| 內(nèi)含 AC，點 O是外心，兩條高 BE、 CF交于 H點，點 M、 N分別在線段 BH、 HF上，且滿足 BM=CN，求 的值。 解： 在 BE 上取 BK=CH，連接 OB、 OC、 OK 由三角形外心的性質(zhì)知 BOC=2 A=120 由三角形垂心的性質(zhì)知 BHC=180 - A=120 BOC= BHC B、 C、 HO四點共圓 2)2(2cbxcxacayaabccb 2,2 2bcaacabcbbaabcabkabacabcbcbaabck DFOB 222 222,221DFOBkk)( bxacy abcacabbcacbabcaabck OH 322 22xbca acaby 2)(2cxcayxbca acaby2222222 2,2 cbca aca b ccbca bcca 2222222 2,2 bbca ababcbbca cbba bca acabbcabcabc bcacbak MN 3)3)()( )( 222222 OHNHMHB A C E F O H K M N 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 25 頁 OBH= OCH OB=OC BK=CH BOK COH BOK= BOC=120， OKH= OHK=30 觀察 OKH KH= OH 又 BM=CN ， BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH= OH = 例 3：（ 2003 年） 過圓外一點 P作圓的兩條切線和一條割線，切點為 A, B. 所作割線交圓于C, D 兩點， C 在 P, D 之間 . 在弦 CD 上取一點 Q, 使 求證： 分析：由 PBC= CDB，若 DBQ= PAC= ADQ，則 BDQ DAQ反之，若 BDQ DAQ則本題成立而要證 BDQ DAQ，只要證 BDAD=DQAQ即可 證明： 連 AB PBC PDB， BDBC=PDPB，同理， ADAC=PDPA PA=PB， BDAD=BCAC BAC= PBC= DAQ， ABC= ADQ ABC ADQ BCAC=DQAQ BDAD=DQAQ DAQ= PBC= BDQ ADQ DBQ DBQ= ADQ= PAC證畢 例 4：（ 2005年） 如圖，在 中，設(shè) ，過 A作的外接圓的切線 .又以 A為圓心 , 為半徑作圓分別交線段 AB 于 D；交直線 于 E、 F. 證明：直線 DE、 DF分別通過 的內(nèi)心與一個旁心。（注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁心圓的圓心稱為旁心