立體幾何解答題中的二面角問題[文檔資料]

立體幾何解答題中的二面角問題 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 在高考數(shù)學(xué)理科試題中每年有 80%的試卷考查二面角的求解問題，雖然難度不算大，但是真正得滿分的也只有 40%左右比例的考生，主要原因是考生找不到二面角的平面角或計(jì)算錯(cuò)誤 .下面介紹一些求解二面角的常用策略 . 策略 1：定義法 例 1 （ 2013 年高考山東理科卷第 18題）如圖 1 所示，在三棱錐 P-ABQ 中， PB 平面 ABQ， BA=BP=BQ， D， C，E， F 分別是 AQ， BQ， AP， BP 的中點(diǎn)， AQ=2BD， PD與 EQ交于點(diǎn) G， PC 與 FQ 交于點(diǎn) H，連接 GH. （ ）求證： ABGH ； （ ）求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 難度系數(shù) 0.60 分析 第（ ）問要證明線線平行，可先證明線面平行；由（ ）可知 ABGH ，而 AB 平面 PBQ，從而 GH 平面PBQ，于是根據(jù)二面角的定義，我們很容易找到二面角的平面角 . （ ）證明：由于 D， C， E， F 分別是 AQ， BQ， AP， BP的中點(diǎn)，所以 EFAB ， DCAB. 所以 EFDC. 由 于 EF？埭平面 PCD， DC？奐平面 PCD，所以 EF 平面 PCD. 由于 EF？奐平面 EFQ，平面 EFQ 平面 PCD=GH，所以EFGH. 又 EFAB ，所以 ABGH. （ ）解：在 ABQ 中， AQ=2BD， AD=DQ，所以ABQ=90 ，即 ABBQ. 由于 PB 平面 ABQ，所以 ABPB. 由于 BPBQ=B ，所以 AB 平面 PBQ. 由（ ）可知 ABGH ，所以 GH 平面 PBQ.又 FH？奐平面 PBQ，所以 GHFH. 同理可得 GHHC. 所以 FHC 為二面角 D-GH-E 的平面角 . 設(shè) BA=BQ=BP=2，連接 FC. 在 RtFBC 中，由勾股定理可得 FC= ；在 RtPBC中，由勾股定理可得 PC= . 又 H 為 PBQ 的重心，所以 HC= PC= ，同理有 FH= . 在 FHC 中，根據(jù)余弦定理可得 cosFHC= = - ，即二面角 D-GH-E 的余弦值為 - . 小結(jié) 本題主要考查線面平行、線線平行的相互關(guān)系以及二面角的求法 .用定義法求二面角時(shí)，首先觀察公共棱是否垂直兩個(gè)平面內(nèi)與二面角的公共棱交于同一點(diǎn)的兩條直線組成 的平面，或者說兩個(gè)平面內(nèi)是否有兩條直線垂直于公共棱 .如果有，一般用定義法求解，找出該角組成的三角形，然后解三角形 .本題的主要扣分點(diǎn)是許多考生沒有先證明 ABBQ ，特別是在用向量法求解二面角時(shí)，若題中沒有明顯的三線兩兩互相垂直的關(guān)系，一般要先證明垂直關(guān)系 .本題要用到平面幾何的兩個(gè)主要性質(zhì)： 若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這邊所對(duì)的角是直角； 重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的 2 倍 . 策略 2：向量法 例 2 （ 2013 年高考陜西理科卷第 18題）如圖 2，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 為底面中心，A1O 平面 ABCD， AB =AA1= . （ ）證明： A1C 平面 BB1D1D； （ ）求平面 OCB1 與平面 BB1D1D 的夾角 的大小 . 難度系數(shù) 0.60 分析 第（ ）問將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來證明 .由于正方形的對(duì)角線相互垂直，又 A1O 平面 ABCD，有明顯的建立坐標(biāo)系的條件，用定義法求解不好找，所以選擇用向量法求解 . （ ）證明：由于 A1O 平面 ABCD，且 BD？奐平面ABCD，所以 A1OBD. 在正方形 ABCD 中， ACBD ，且A1OAC=O ，所以 BD 平面 A1AC.又 A1C？奐平面 A1AC，所以A1CBD. 在正方形 ABCD 中， AO=1；在 RtA1O A 中， A1O=1. 設(shè) B1D1 的中點(diǎn)為 E1，則四邊形 A1OCE1 為正方形，所以 A1CE1O. 又 BD？奐平面 BB1D1D， E1O？奐平面 BB1D1D，且BDE1O=O ，所以由上可得 A1C 平面 BB1D1D. （ ）解：如圖 3，以 O 為原點(diǎn)，以 OA為 x 軸的正方向，以 OB為 y 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有 B（ 0， 1， 0） ， C（ -1， 0， 0）， A1（ 0， 0， 1）， A（ 1， 0，0）， =（ -1， 1， 0）， =（ -1， 0， -1）， = ， = + = + =（ -1， 1， 1） . 由（ ）可知，平面 BB1D1D 的一個(gè)法向量 n1 = =（ -1， 0， -1）， =（ -1， 1， 1）， =（ -1， 0， 0） . 設(shè)平面 OCB1 的法向量 n2 =（ x， y， z），則n2 =0 ， n2 =0 ，于是有 -x+y+z=0， -x=0，解得 x=0， y=-z.取 y=1，得 z=-1，故 n2=（ 0， 1， -1） . 所以 cos= = = . 由圖 3 可知，平面 OCB1 與平面 BB1D1D 的夾角為銳角，所以所求的夾角為 . 小結(jié) 用向量法求解二面角時(shí)，其基本步驟是： 建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，一個(gè)平面只需寫出不共線的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) . 找出兩個(gè)平面的法向量，若不能直接找到，則可以建立方程組求解 .在高考試卷中，兩個(gè)平面的法向量一般是一找一求 . 求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦值 . 根據(jù)圖形判斷二面角的大小與法向量夾角大小的關(guān)系，從而確定二面角的大小 .考試中許多考生直接將法向量的夾角當(dāng)成二面角的夾角的大小而丟分，法向量的夾角與二面角的大小 是相等或互補(bǔ)關(guān)系，一般要通過圖形來確定 .本題最大的難點(diǎn)是 B1點(diǎn)的坐標(biāo)寫不出 .當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接求解時(shí)，我們可以通過向量相等或向量的加減法來得到，這是一種常用的方法 . 策略 3：三垂線法 例 3 （ 2013 年高考遼寧理科卷第 18題）如圖 4， AB是圓的直徑， PA垂直圓所在的平面， C 是圓上的點(diǎn) . （ ）求證：平面 PAC 平面 PBC； （ ）若 AB=2， AC=1， PA=1，求二面角 C-PB-A 的余弦值 . 難度系數(shù) 0.65 分析 第（ ）問要證明面面垂直，可將 其轉(zhuǎn)化為證明線面垂直來實(shí)現(xiàn) .解答第（ ）問時(shí)，由圖 5，過點(diǎn) C 容易作出平面 PAB 的垂線，所以用三垂線法求二面角比較簡(jiǎn)便 . （ ）證明：由 AB是圓的直徑，得 ACBC. 由 PA 平面 ABC， BC？奐平面 ABC，得 BCPA. 又 PAAC=A ， PA？奐平面 PAC， AC？奐平面 PAC，所以 BC 平面 PAC.由于 BC？奐平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PAC. （ ）解：如圖 5，過點(diǎn) C 作 CMAB 于點(diǎn) M.由于 PA平面 ABC， CM？奐平面 ABC，所以 PACM ，則 CM 平面 PAB.過點(diǎn) M 作 MNPB 于點(diǎn) N，連接 NC.由三垂線定理得 CNPB ，所以 CNM 為二面角 C-PB-A 的平面角 . 在 RtABC 中， AB=2， AC=1，得 BC= ， CM= ， BM= . 在 RtPAB 中，由 AB=2， PA=1，得 PB= .由于BNMBAP ，所以 = ，即 MN= . 在 RtCNM 中， CN= ，則 cosCNM= ，所以二面角 C-PB-A 的余弦值為 . 小結(jié) 三垂線法是求二面角最常用的方法之一，其步驟是： 過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，然后過垂足作出公共棱的垂線， 從而得到一個(gè)直角三角形 . 求出所得