電磁學(xué)第二版習(xí)題答案第六章.pdf

習(xí) 題 6 2 1 在無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管內(nèi)放一圓形小線圈 圓平面與螺線管軸線垂直 小線圈有 100 匝 半徑為 1cm 螺線管單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為 200cm 1 設(shè)螺線管的電流在 0 05 s 內(nèi) 以勻變化率從 1 5 A 變?yōu)?1 5 A 1 求小線圈的感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì) 2 在螺線管電流從正直經(jīng)零值到負(fù)值時(shí) 小線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方 向是否改變 為什么 解答 1 螺線管單位長(zhǎng)度的匝數(shù) n 200 cm 1 小線圈半徑 R 2 10 m 匝數(shù) 100 N 若選擇電動(dòng)勢(shì)的正方向與電流的正方向相同 螺線管內(nèi)小 線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為 107 4 22 0 VNRnNN dt dI dt SdB dt d 0 表明電動(dòng)勢(shì)的方向與設(shè)定的方向相同 2 螺線管電流從正值經(jīng)零值到負(fù)值時(shí) 小線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向都不變 因?yàn)殡娏饕约按磐慷家韵嗤淖兓首髯兓?6 2 2 邊長(zhǎng)分別為 a 0 2 m 和 b 0 1 m 的兩個(gè)正方形按附圖所示的方式結(jié)成一個(gè)回路 單 位的電阻為 5 10 2 10 m 回路置于按sin m BBt 規(guī)律變化的均勻磁場(chǎng)中 2 10 m B T 100 1 s 磁場(chǎng) B 與回路所在平面垂直 求回路中感應(yīng)電流的最 大值 解答 在任一瞬時(shí) 兩個(gè)正方形電路中的電動(dòng)勢(shì)的方向相反 故電路的總電動(dòng)勢(shì)的絕對(duì)值 為 2222 coscos dd dB mmdtdtdt ababBtt 大小 因回路單位長(zhǎng)度的電阻 2 5 10 m 故回路電阻為 2 46 10Rab 回路中感應(yīng)電流的最大值為 0 5 m mR I A 6 2 3 半徑分別為 R 和 r 的兩個(gè)圓形線圈同軸放置 相距為x 見(jiàn)附圖 已知rx 因 而大線圈在校線圈內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)可視為均勻 及Rx 設(shè)x以勻速 dx dt v 隨時(shí)間t 而變 1 把小線圈的磁通 表為x的函數(shù) 2 把小線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 絕對(duì)值 表為x的函數(shù) 3 若0v 確定小線圈內(nèi)感應(yīng)電流的方向 解答 1 滿足條件Rx 下 載流大線圈在面積 S 為的小線圈的磁通量為 2 0 3 2 2 IR x BSr 2 小線圈的磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 絕對(duì)值 為 2222 00 4 34 2 2 3 Ir RIr R ddx dtdt x xv 3 若時(shí) 小線圈內(nèi)感應(yīng)電流與大線圈的電流的方向相同 6 2 4 在無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管外套一個(gè)合金圓環(huán) 圓心在軸線上 圓平面與軸線垂直 見(jiàn)附 圖 管內(nèi)系統(tǒng)隨時(shí)間以常變化率2 增大 電流表經(jīng)開(kāi)關(guān)接到環(huán)上的 P Q 兩點(diǎn)連線過(guò)環(huán) 心 1 求開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)下列情況的 PQ U a 兩個(gè)半圓的電阻都為 R b 左半環(huán)電阻為 R 右半環(huán)電阻為 2R 2 設(shè)電流表所在支路電阻為零 求開(kāi)關(guān)接通時(shí)電流表在上問(wèn)的 a b 情況下的電 流 A I 大小和方向 3 若座半環(huán)電阻為 R 有半環(huán)電阻為kR 其中0 k 試證開(kāi)關(guān)接通時(shí) A I與k值 無(wú)關(guān) 解答 1 館內(nèi)磁通隨時(shí)間以常變化率 2增大時(shí) 在開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí) 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 為 2 dt d a 兩個(gè)半環(huán)的電阻都為 R 時(shí) 等效電阻如圖 6 2 4 a 所示 0 222 R R U QPPQ b 左半環(huán)電阻為 R 右半環(huán)電阻為 2R 時(shí) 等效電路如圖 6 2 4 b 所示 有 363 2 2 2 3 R R U QPPQ 2 電流表開(kāi)關(guān)接通時(shí) a 兩個(gè)半環(huán)的電阻都為 R 時(shí) 等效電路利用戴維南定理如圖 6 2 4 c 所示 有 右半環(huán)的支路于電流表支路組成的閉和回路中沒(méi)有磁場(chǎng) 亦沒(méi)有磁通的變化 因此該回路的 總電動(dòng)勢(shì)為 0 已知右半環(huán)的支路上的電動(dòng)勢(shì)為 因此電流表支路的電動(dòng)勢(shì)亦為 由圖 6 2 4 c 可見(jiàn) 通過(guò)電流表的電流為 2 22 AA A R I RR 方向向上 b 左半環(huán)電阻為 R 右半環(huán)電阻為 2R 時(shí) 利用戴維南定理等小電路如圖 6 2 4 d 所示 等效電源的電動(dòng)勢(shì)等于開(kāi)路電壓 PQ U 2 2 32363 ePQQP UUR R 等效電阻為 22 23 e RRR R RR 等效電路如圖 6 2 4 d 右圖所示 因等效電動(dòng)勢(shì)0 e 故將其極性相反 求得通過(guò) 電流表的電流大小為 2 32 2 3 e A e I R RR 方向向上 3 左半環(huán)電阻為 R 右半環(huán)電阻為kR 電流表開(kāi)關(guān)接通時(shí) 利用戴維南定 理等效電路如圖 6 2 4 e 所示 等效電源的電動(dòng)勢(shì)為 1 11 ePQQP k UkR k Rk 等效電阻為 11 e R kRkR R k Rk 等效電路如圖 6 2 4 e 右圖所示 按等效電動(dòng)勢(shì) e 的方向 極性如圖所示 求得通過(guò)電流 表的電流大小 1 2 12 1 e A e k k I kR RR k 方向向上 證明開(kāi)關(guān)接通時(shí)的 A I與 k 無(wú)關(guān) 6 3 1 直徑為 D 的半圓形導(dǎo)線置于與它所在平面垂直的均勻磁場(chǎng) B 見(jiàn)附圖 當(dāng)導(dǎo)線 繞著過(guò) P 點(diǎn)并與 B 平行的軸以勻角速度 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 求其動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) PQ 解答 在輔助線 PQ 與圓弧PQ 構(gòu)成閉合回路 當(dāng)繞著 P 點(diǎn)以勻角速度 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 封 閉曲線的面積不變 因而閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)0 QP PQQPPQ 沿圓弧的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 為 2 0 2 QQQD QPPQ PQ PPP BD vB dvBdlBldlBldll i 6 3 2 平行金屬導(dǎo)軌上放一金屬桿 其 EF 段長(zhǎng)度為l 電阻為 R 見(jiàn)附圖 導(dǎo)軌兩端分 別連接電阻 1 R和 2 R 整個(gè)裝置放在均勻磁場(chǎng) B 中 B 與導(dǎo)軌所在的平面垂直 設(shè) 金屬桿以v速度勻速向右平動(dòng) 忽略導(dǎo)軌的電阻和回路的自感 求桿中的電流 解答 當(dāng)金屬桿以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí) 桿上有電動(dòng)勢(shì)vBl 附圖的等效電路圖如圖 6 3 2 所示 桿中的電流大小為 12 12 1212 12 vBl RR I R R R RRRR R RR 6 3 3 半無(wú)限長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿 其 PQ 段的長(zhǎng)度為l 見(jiàn)附圖 導(dǎo)軌的一端連接電阻 R 整個(gè)裝置放在均勻磁場(chǎng) B 中 B 與導(dǎo)軌所在的平面垂直 設(shè)桿以初速度 0 v向右運(yùn)動(dòng) 忽略導(dǎo)軌和桿的電阻及其間的摩擦力 忽略回路自感 1 求金屬桿所能通過(guò)的距離 2 求此過(guò)程中電阻 R 所發(fā)的焦耳熱 3 試運(yùn)用能量守恒定律分析上述結(jié)果 解答 1 當(dāng)金屬桿以速度v沿 x 軸正方向 平行于軌道向右 運(yùn)動(dòng)時(shí) 桿上的電動(dòng) 勢(shì)vBl 電路的電流為ivBl R 從而受到的電磁力大小為 2 22 2 vB lB l dx FiBl RRdt 此電磁力與運(yùn)動(dòng)方向相反 根據(jù)牛頓第二定律 有 2 2 B l dxdv F Rdtdt 得 2 2 mR dxdv B l 設(shè)桿的起始位置為 x 0 金屬桿所能移過(guò)的距離為 0 0 0 2 22 2 v mRmR xdvv B lB l 2 此過(guò)程中電阻所發(fā)的焦耳熱為 0 2 2 22 2 0 22 0 2 2 000 1 2 x v vBlB lB lmR Qi RdtRdtvdxvdvmv RRRB l 3 從能量受恒定律進(jìn)行分析 起始情況 金屬桿以速度 0 v運(yùn)動(dòng)具有的動(dòng)能為 2 0 1 2 mv 由于受到電磁阻力的作用桿的速度最終減至 0 金屬桿的動(dòng)能全 部轉(zhuǎn)化為電路所消耗的焦耳熱 6 3 4 上題中如果用一向右的恒力 F 拉金屬桿 并把初速度改為 0 求證桿的速率隨時(shí)間 變化的規(guī)律為 1 t F v te ma 其中 2 2 2 B l mR 證明 當(dāng)金屬桿以速度v運(yùn)動(dòng) 時(shí) 電路中電流為 I 金屬桿所受的電磁力大小為 2 2 m vBlB l FBilBlv RR 根據(jù)牛頓第二定律 金屬桿所受的合力與加速度的關(guān)系為 2 2 B ldv Fvm Rdt 經(jīng)整理 得 2 2 dvFB l v dtmmR 令 2 2 B l mR 得 dvF v dtm 分離變量得 F dv m dt F v m 積分后得 ln F vtC m 式中 C 為待定系數(shù) 由初始條件 t 0 v 0 0 得 ln F C ma 故 ln F v m t F m 即 t F v m e F m 證得桿的速率隨時(shí)間變化的規(guī)律為 1 t F v te ma 6 3 5 長(zhǎng)度各為 1m 電阻各為4 的兩根均勻金屬棒 PQ 和 MN 放在均勻穩(wěn)恒磁場(chǎng) B 中 2BT 方向垂直紙面向外 見(jiàn)附圖 兩棒分別以速率 1 4vm s 和 2 2vm s 沿 導(dǎo)軌向左勻速平動(dòng) 忽略導(dǎo)軌的電阻及回路自感 求 兩棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小 并在圖中標(biāo)出方向 2 PQ U和 MN U 3 兩棒中點(diǎn)和的電勢(shì)差 解答 1 PQ 桿的電動(dòng)勢(shì)的方向由 Q 指向 P 大小為 11 8 P QP Q vB dlv BlV i MN 桿的電動(dòng)勢(shì)的方向由 N 指向 M 大小為 22 4 M MN N vB dlv BlV i 2 設(shè)電路的電流為順時(shí)針?lè)较?大小為 21 0 5 PQNM I RR A PQ 桿之間的電壓為 1 6 PQQP UIRV MN 桿之間的 電壓為 2 6 MNNM UIRV 3 PQ 桿中點(diǎn) 1 O與 2 O之間的電壓為 1 1 3 22 QP O Q IR U V MN 桿中點(diǎn) 2 O與 N 之間的電壓為 2 2 3 22 NM O N IR U V 因 Q 點(diǎn)與 N 點(diǎn)等勢(shì) 故 1 O與 2 O間的電壓為 1212 0 O OO QO N UUU V 6 3 6 半圓形剛性導(dǎo)線在搖柄驅(qū)動(dòng)下在均勻磁場(chǎng) B 中作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) 見(jiàn)附圖 半圓形的 半徑為 0 1m 轉(zhuǎn)速為3000minr 求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的頻率和最大植 解答 只有半圓弧的運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)有貢獻(xiàn) 沿旋轉(zhuǎn)軸 即直徑 作一輔助線 與半圓弧 連成一封閉曲線 設(shè) t 0 時(shí) 半圓面的位置如附圖所示 選取半圓面的法線方向垂直向外 t 時(shí)刻通過(guò)半圓面的磁通量為 2 cos 2 R B SBt i 封閉曲線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向沿順時(shí)針 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大 小為 2 sin 2 dR B t dt 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的變化頻率為 1 3000 50 60 N fs t Hz 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的圓頻率為 2100frad s 電動(dòng)勢(shì)的最大值為 2 2 7 2 m B R m 6 3 6 半徑為 R 的圓形均勻剛性線圈在均勻磁場(chǎng) B 中以角速度 作勻勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)軸垂 直于 B 見(jiàn)附圖 軸與線圈交于 A 點(diǎn) 弧長(zhǎng) AC 占1 4周長(zhǎng) M 為 AC 弧的 中 點(diǎn) 設(shè)線圈的自感可以忽略 當(dāng)線圈平面轉(zhuǎn)至與 B 平行時(shí) 求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) AM 及 AC 2 A M 哪點(diǎn)電勢(shì)高 解答 1 線圈上一元段的電動(dòng)勢(shì)為 sindvB dlrBdl i 由圖 6 3 7 得 22 sinsinsindRBRdBRd AM 間的電動(dòng)勢(shì)為 4 222 0 1 sin 84 AM BRdBR AC 間的電動(dòng)勢(shì)為 2 222 0 1 sin 4 AC BRdBR 2 A C 間的電動(dòng)勢(shì)差為 4 0 4 AC CAACACAC R UIR R A M 間的電動(dòng)勢(shì)差為 22 411 0 8484 AC MAAMAM R UIRBRBR R PM 0 MQ 6 4 4 電子感應(yīng)加速器的軌道半徑為 0 4m 電子能量的增加率為 160eV 周 1 求軌道內(nèi)磁場(chǎng)的平均值B的時(shí)間變化率 dt Bd 2 欲使電子獲得 16MeV 的能量 需轉(zhuǎn)多少周 共走多長(zhǎng)路程 解答 1 電子轉(zhuǎn) 1 周得到的能量為 160 e eV 電子運(yùn)行的圓周軌道的電動(dòng)勢(shì) 2 R dt Bd 解得軌道內(nèi)磁場(chǎng)的平均值B的時(shí)間變化率 dt Bd 為 sT Rdt Bd 2 2 1018 3 2 電子獲得 16MeV 的能量轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)為 5 5 10 160 10160 eV eV N 因軌道半徑 R km 4 104R 故電子共走的路程為 2512 RNL km 6 5 1 在長(zhǎng)為 0 6m 直徑為 5cm 的空心紙筒上密繞多少匝導(dǎo)線才能得到自感為 6 0 3 106 0 H 的線圈 解答 線圈的自感為 2 2 0 2 0 lR l N VnL 所繞的匝數(shù)為 1208 1 0 Ll R N 6 5 2 空心密繞螺繞環(huán)的平均半徑 即中心圓的半徑 為 0 1m 橫截面積為 6 2 cm 總匝 數(shù)為 250 求其自感 若螺繞環(huán)流過(guò) 3A 的電流 求其自感磁鏈以及每匝的磁通 解答 螺繞環(huán)的自感為 5 2 0 2 0 105 7 2 2 RS R N VnL H 當(dāng)通入線圈的電流 I 3 A 時(shí) 自感磁鏈為 4 1025 2 LI Wb 每匝磁通為 7 109 N Wb 6 5 3 設(shè)同軸電纜內(nèi)外半徑分別為 1 R和 2 R 見(jiàn)教材圖 6 27 試導(dǎo)出其單位長(zhǎng)度的自 感 L 的表達(dá)式 解答 圖 6 5 3 為同軸電纜的截面圖 半徑為 r 的磁場(chǎng)為 B r 根據(jù)安培環(huán)路定律 有 IrrB 0 2 求得 r I rB 2 0 通過(guò)長(zhǎng)度為 l的橫截面為 S 的磁通為 2 100 ln 22 1 2 1 2R R l I drl r I drlrB R R R R 故單位長(zhǎng)度的自感為 2 10 ln 2R RI Il L 6 6 1 兩個(gè)共軸圓線圈 半徑分別 R 和 r 匝數(shù)分別為 1 N和 2 N相距為l 見(jiàn)附圖 設(shè) rl 以至大線圈在小線圈所在處的磁場(chǎng)可以視為均勻的 求兩線圈之間的互感系數(shù) 解答 1 N匝的大線圈在小線圈所在處的磁場(chǎng)大小為 2 0 11 1 3 22 2 2 I R N B lR 小線圈所在處的磁通大小為 2 22 0 11 121 3 22 2 2 I R N Brr lR 小線圈所在處的磁鏈為 22 210 122121 3 22 2 2 N Nr R NI lR 兩線圈之間的互感系數(shù) 22 21012 3 22 1 2 2 N Nr R M I lR 6 6 2 附圖所示的兩個(gè)同軸密繞細(xì)長(zhǎng)螺線管長(zhǎng)度為 半徑分別為 1 R和 2 R 細(xì)長(zhǎng) 蘊(yùn)含 1 Rl 2 Rl 匝數(shù)分別 1 N和 2 N 求互感系數(shù) 12 M和 21 M 并由此驗(yàn)證 1221 MM 解答 線圈 1 通有電流 1 I時(shí)管內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為 1 10101 N BnII l 線圈 1 對(duì)線圈 2 中 1 匝產(chǎn)生的磁通為 2 2 0121 1221 NR I R B l 線圈 1 對(duì)線圈 2 產(chǎn)生的磁鏈 2 0121 12212 NR I N l 線圈 1 對(duì)線圈 2 互感系數(shù) 2 012212 12 1 N NR M Il 線圈 2 通有電流 2 I時(shí)管內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為 2 20202 N BnIl l 線圈 2 對(duì)線圈 1 中 1 匝產(chǎn)生的磁通只與線圈 2 的面積有關(guān) 即 2 2 0222 2122 NR I R B l 線圈 2 對(duì)線圈 1 產(chǎn)生的磁鏈 2 01222 21121 N NR I N l 線圈 1 對(duì)線圈 2 互感系數(shù) 2 012221 12 2 N NR M Il 對(duì)比和的數(shù)值 證得 1221 MM 6 6 3 以代表兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù) 1 L和 2 L代表各自的自感系數(shù) 試證在無(wú)漏磁 情況下有 12 ML L 無(wú)漏磁是指滿足 1211 及 2122 即完全偶合 解答 自感系數(shù)和分別定義為 11111 1 11 N L II 22222 2 22 N L II 111222 21 1 2 NN L L I I 由于兩個(gè)線圈完全偶合 滿足條件 1211 及 2122 故 2 111222212121 211221 1 212 NNNN L LM MM I III 因而證得 12 ML L 6 8 1 設(shè)附圖所示的 RL 電路的電流在5 0s 內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 1 3 求這個(gè)電路的時(shí)間常數(shù) 解答 因 RL 電路的電流隨時(shí)間變化的關(guān)系為 0 1 t iIe 根據(jù)題設(shè)條件 5 00 1 1 3 t IIe 得 5 2 3 t e 即 52 ln 3 s 解得 12 s 6 8 2 設(shè)習(xí)題 6 8 1 幅圖中的 R 4 L 20 H 合下瞬間的電流增長(zhǎng)率為 5A s求 1 電流的電動(dòng)勢(shì) 2 電流為 10A 時(shí)的電流增長(zhǎng)率及此事的電感所儲(chǔ)存的磁能 注 自感為 L 電流為i 的線圈所儲(chǔ)存的磁能為 2 1 2 m WLi 推導(dǎo)見(jiàn)教材 6 11 解答 1 因 RL 電路的電流隨時(shí)間變化的關(guān)系為 1 Rt L ie R 得 Rt L di e dtL 在0t 時(shí)刻 有 0 5 t di A s dtL 解得 100V 3 設(shè) 1 tt 時(shí)電流為 10A 即 1 110 Rt L eA L 求得 1 0 6 Rt L e 1 tt 時(shí)刻的變化率為 1 1 3 t L di A tte s dtL 此時(shí)電感所儲(chǔ)存的詞能為 2 1 1 1000 2 m WLitJ 6 8 3 設(shè)習(xí)題 6 8 1 附圖中的 求下列各量在開(kāi)關(guān)接通后的值 1 線圈所儲(chǔ)存的磁能的增長(zhǎng)率 2 電阻 R 上消耗焦耳熱的功率 3 電源輸出的功率 解答 1 因電感線圈儲(chǔ)存的磁能與時(shí)間有關(guān) 即 2 1 2 m WLit 由此可見(jiàn) 磁能是從零開(kāi)始的逐漸增大 與電流增長(zhǎng)情況不同 線圈所儲(chǔ)存的磁能的增長(zhǎng) 率為 2 1 RtRtRt m LLL dWdi Liieee dtdtR 在開(kāi)關(guān)接通后 t 0 1s 時(shí) 上式代入數(shù)據(jù) 得 0 123 m dW ts dt W 2 在開(kāi)關(guān)接通 0 1 s 后 電阻 R 上消耗的焦耳熱的功率為 2 2 0 110 140 Rt L P ti R tsets R W 3 電源輸入的功率為 2 1 Rt L Ptie R 源 將 t 0 1 s 及有關(guān)數(shù)據(jù)代入得 0 163Ps 源 W 6 8 4 求附圖電路合閘后 1 i 2 i和i隨時(shí)間變化的規(guī)律 解答 由戴維南定理 附圖電路可表示為圖 6 8 4 圖中等效電源的電動(dòng)勢(shì) e 大小即 是附圖中將電感支路斷開(kāi)后的開(kāi)路電壓 即左側(cè)回路電阻 R 兩端的電壓 0 2 e R U RR 等效電阻 即左側(cè)回路除源后開(kāi)路兩端的電阻 2 e R R 由圖 6 8 4 可見(jiàn) 電阻值 2 R 與電感 L 組成典型電路 利用初始條件 00i 求得 2 i隨時(shí)間變化的 規(guī)律為 22 2 2 11 2 RR tt LL iee RR 電感線圈的兩端電壓為 2 2 2 2 R t L di uLe dt 隨時(shí)間變化的規(guī)律為 2 2 1 2 R t L u ie RR 固隨時(shí)間變化的規(guī)律為 2 12 2 2 R t L iiie R 6 8 5 在附圖所示的電路中 1 求開(kāi)關(guān) S 閉合后 t 時(shí)刻的線圈電流 i t 2 若10 V 1 5R 2 10R 求t 時(shí)間常數(shù) 時(shí)的 AB U 解答 1 S 閉合前流過(guò) 2 R的是恒定電流 其大小為 0 12 I RR S 閉合后 2 R被短路 回路方程為 1 di iRL dt 分離變量后得 1 1 1 diRR dt iRL 積分得 1 1 ln R iRtK L K 為待定系數(shù) 帶入初始條件 12 01 1212 lnlnln RR KI R RRRR 得 12 1 12 lnln RR iRt LRR 經(jīng)整理得開(kāi)關(guān) S 閉合后時(shí)刻的線圈電流大小為 1 2 112 1 R t L R ie RRR 2 因 1AB Ui t R 在t 時(shí)刻 帶入數(shù)據(jù)得 1 2 1 112 17 5 AB R URe RRR V 6 8 6 附圖中兩線圈的自感分別為 和 電阻為零 兩者之間無(wú)互感偶合 電源的電阻 已計(jì)入中 設(shè)開(kāi)關(guān)閉合前各支路無(wú)電流 求開(kāi)關(guān)閉合后和 隨時(shí)間變化的規(guī)律 解答 因 12 iii 1 得 12 dididi dtdtdt 2 寫(xiě)出兩個(gè)回路電路的方程 1 1 di iRL dt 3 2 2 di iRL dt 4 將 2 式帶入 3 式 得 2 1 didi iRL dtdt 5 由 4 式得 2 22 diR i dtLL 帶入 5 式 經(jīng)整理得 12 12 L Ldi iR LLdt 令 12 12 L L L LL 利用初始條件 00i 得 12 1 2 11 R LLt Rt L L L i tee RR 6 將 6 式帶入 3 式 得 1 1 Rt L di LiRe dt 積分得 2 1 12 Rt L L i teK R LL 利用初始條件 00i 確定積分常數(shù)為 2 12 L K R LL 故解得 12 1 2 2 1 12 1 R LLt L L L i te R LL 7 將 7 式帶入 1 式 解得 12 1 2 1 2 12 1 R LLt L L L ite R LL 6 8 7 在附圖所示的電路中 在開(kāi)關(guān) 2 S斷開(kāi)的情況下合上開(kāi)關(guān) 1 S 合閘時(shí)刻選為 0 在時(shí)刻 1 t再 合上開(kāi)關(guān) 2 S 以后保持接通 求從 0 開(kāi)始至t 的時(shí)段內(nèi)電流i隨時(shí)間的變化規(guī)律 并 大致畫(huà)出 i t的曲線 解答 現(xiàn)分兩個(gè)過(guò)程討論 在 1 0tt 時(shí)間區(qū)段 電流的變化規(guī)律為 12 12 1 RRt L i te RR 在 1 tt 時(shí) 電流i的通解為 21 1 Rt t L i ttKe 而在 1 tt 時(shí)刻 有 12 1 12 1 RRt L i te RR 求得積分常數(shù) 12 1 12 1 RRt L Ke RR 因此在 1 tt 時(shí) 電流i的變化規(guī)律為 12 121 1 12 1 RRtRt t LL i ttee RR 從 0 開(kāi)始至t 的時(shí)段內(nèi)電流i隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖 6 8 7 所示 6 8 8 在長(zhǎng)為l 半徑為 b 匝數(shù)為 N 的細(xì)長(zhǎng)密繞螺線管軸線的中部放置一個(gè)半徑為 a 的導(dǎo) 體圓環(huán) 圓環(huán)平面法線與軸線的夾角固定為45 見(jiàn)附圖 已知環(huán)的電阻為 1 R 螺線管的電阻為 2 R 電源的電動(dòng)勢(shì)為 內(nèi)阻為零 忽略圓環(huán)的自感及它對(duì)螺線管 提供的互感電動(dòng)勢(shì) 1 求開(kāi)關(guān)合上后圓環(huán)的磁通隨時(shí)間的變化規(guī)律 2 求開(kāi)關(guān)合上后環(huán)內(nèi)電流隨時(shí)間的變化規(guī)律 3 試證圓環(huán)受到的最大力矩為 42 0 2 12 8 a M b R R l 解答 1 電源接入含電阻和自感的螺線管可看作 2 R L串聯(lián)電路 開(kāi)關(guān)合上后電流 2 i隨時(shí) 間的變化規(guī)律為 2 2 2 1 R t L ie R 式中 自感系數(shù)為 22 2 0 0 Nb Ln V l 細(xì)長(zhǎng)密繞螺線管軸線的中部的磁場(chǎng)大小為 2 22 0 0 0 2 1 R lt Nb N Bni te R l 開(kāi)關(guān)合上后通過(guò)螺線管內(nèi)圓環(huán)的磁通隨時(shí)間的變化規(guī)律為 2 2 22 0 222 00 22 22 cos4511 22 R lt R t Nb L NN taaeae R lR l 2 開(kāi)關(guān)合上后螺線管內(nèi)圓環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 正方向與磁通成右手關(guān)系 大小為 2 2 2 2 2 2 R t L da e dtNb 求得圓環(huán)內(nèi)電流隨時(shí)間的變化規(guī)律為 2 2 2 1 2 1 2 2 R t L a ie RNb 3 小線圈的磁矩為 2 4 2 1 2 2 R t L m a Pe Nb R 圓環(huán)受到的力矩也是時(shí)間的函數(shù) 2 2222 244 00 22 1212 21 sin451 22 R tR tR tR t LLLL m Naa pBeeee Nb RRb R R l M 力矩 M 是兩項(xiàng)的乘積 磁矩 m p隨時(shí)間指數(shù)衰減 磁場(chǎng) B 隨時(shí)間指數(shù)增加 反映管內(nèi) 磁場(chǎng)由于螺線管的自感存在而使電流 從而使磁場(chǎng) 由 0 逐漸增加的規(guī)律 因此需要 通過(guò)求極值的方法求出最大的力矩 M 令 22 24 02 2 12 1 2 R tR t LL aRdM ee dtb R R lL 解得當(dāng) 21 2 R t L e 即 2 ln2 L t R 時(shí) 力矩 M 取極值 求對(duì) T 時(shí)間 t 的二階導(dǎo)數(shù)后 將 2 ln2 L t R 代入 得 2 2 2 ln2 0 時(shí)間區(qū)段 電容器的電壓的通解是 1 ln c utK RC 利用初始條件定出積分常數(shù) 21 1212 lnln RR K RRRR 代入上式整理后得 1 12 t RC c R ue RR 從開(kāi)關(guān)斷開(kāi)起電容器 C 的電壓 c u隨時(shí)間變化的關(guān)系為 1 1 12 1 t R C c R ue RR 代入數(shù)據(jù)及2t 即從開(kāi)關(guān)斷開(kāi)起2 時(shí)電容器 C 的電壓為 9 46 c u V 2 開(kāi)關(guān)斷開(kāi)并達(dá)到穩(wěn)態(tài)后電容 C 上電壓等于 電容 C 上儲(chǔ)存的電場(chǎng)能 24 1 5 10 2 e WCJ 6 9 6 附圖中 124 5RRRk 3 10Rk 10cF 當(dāng)電容電壓為10 CD UV 時(shí) 接通開(kāi)關(guān) S 電容的放電電流經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后下降到 0 01mA 解答 為便于解題首先將附圖中的電路簡(jiǎn)化 電阻 1 R 2 R 3 R可經(jīng)串并聯(lián)后 得等效 電阻 123 123 5 RRR Rk RRR 因此 接通開(kāi)關(guān) S 后 電容通過(guò)電阻 R 和 4 R放電 電容上的電壓為 4 0 t R RC cC uUe 電容的放電電流的大小為 40 4 t R RC cC C duU iCe dtRR 設(shè) 1 tt 時(shí) 電流下降到 0 01mA 代入數(shù)據(jù) 解得 2 1 0 1ln100 46tss 6 9 7 附圖中的電容在開(kāi)關(guān)接通前電壓為零 求開(kāi)關(guān)接通后 1 i 2 i和 3 i的變化規(guī)律 解答 由戴維南定理 附圖電路可表示為圖 6 9 7 圖中等效電源的電動(dòng)勢(shì) e 的大小即 是原題附圖中將電容支路斷開(kāi)后開(kāi)路電壓 即右側(cè)回路電阻 2 R兩端的電壓 2 0 12 e R U RR 等效電阻 即左側(cè)回路除源后開(kāi)路兩端的電阻 12 12 e R R R RR 由圖 6 9 7 可見(jiàn) 電阻值 e R與電容 C 組成的典型回路 利用初始條件 00 C u 求得 C u隨時(shí)間的變化規(guī)律為 1 t R C e Ce ue 電容器的充電電流為 12 1 2 2 1 RR R R t C du iCe dtR 習(xí)題 6 9 7 附圖中流經(jīng)電阻 2 R的電流為 12 1 2 3 212 1 RR R R CtC u ie RRR 開(kāi)關(guān)接通后流經(jīng)電阻 1 R的電流為 12 1 2 2 123 121 1 RR R R Ct R iiie RRR 6 10 1 電容10 F 為的電容器充電至 100V 再接通100 的電阻和 0 4H 的電感串聯(lián)放 電 這一 RLC 電路處于什么振蕩狀態(tài) 若要使其處于臨界振蕩狀態(tài) 1 應(yīng)再串聯(lián)或并聯(lián)一個(gè)多大的電阻 2 應(yīng)再串聯(lián)或并聯(lián)一個(gè)多大的電容 解答 電容 C 與電阻 R 和電感 L 兩個(gè)元件串聯(lián)后 放電處于何種狀態(tài)取決于參數(shù) 根據(jù)題所給數(shù)據(jù) 1 125 2 R s L 因題所給數(shù)據(jù) 1 1 500s LC 故此 RLC 電路處于阻尼振蕩狀態(tài) 1 欲使該電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài) 即要求電路電阻阻值為R 使 R 2L 滿足條件 0 即 R1 2LLC 代入數(shù)據(jù) 解得 4L