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第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1(2015九江模擬)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()a(,2) b(0,3) c(1,4) d(2,)解析函數(shù)f(x)(x3)ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,得當(dāng)f(x)0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時(shí)由不等式f(x)(x2)ex0,解得x2.答案d2函數(shù)yxex的最小值是()a1 be c d不存在解析yexxex(1x)ex,令y0,則x1,因?yàn)閤1時(shí),y0,x1時(shí),y0,所以x1時(shí),ymin.答案c3.(2013浙江卷)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是()解析由yf(x)的圖象知,yf(x)的圖象為增函數(shù),且在區(qū)間(1,0)上增長速度越來越快,而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢答案b4設(shè)ar,若函數(shù)yexax,xr有大于零的極值點(diǎn),則()aa1 ba1ca da解析yexax,yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點(diǎn),則方程yexa0有大于零的解,x0時(shí),ex1,aex1.答案a5(2014青島模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(1,2) b(,3)(6,)c(3,6) d(,1)(2,)解析f(x)3x22ax(a6),由已知可得f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,4a243(a6)0,即a23a180.a6或a3.答案b二、填空題6已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間3,3上的最大值與最小值分別為m,m,則mm_.解析由題意,得f(x)3x212,令f(x)0,得x2,又f(3)17,f(2)24,f(2)8,f(3)1,所以m24,m8,mm32.答案327(2015廣州模擬)已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0,則ab_.解析由題意得f(x)3x26axb,則解得或經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a1,b3時(shí),函數(shù)f(x)在x1處無法取得極值,而a2,b9滿足題意,故ab7.答案78若函數(shù)f(x)x3x22ax在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則a的取值范圍是_解析對f(x)求導(dǎo),得f(x)x2x2a22a.當(dāng)x時(shí),f(x)的最大值為f2a.令2a0,解得a.所以a的取值范圍是.答案三、解答題9設(shè)f(x)a(x5)26ln x,其中ar,曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)(1)確定a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解(1)因?yàn)閒(x)a(x5)26ln x,故f(x)2a(x5).令x1,得f(1)16a,f(1)68a,所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y16a(68a)(x1),由點(diǎn)(0,6)在切線上,可得616a8a6,解得a.(2)由(1)知,f(x)(x5)26ln x(x0),f(x)x5.令f(x)0,解得x12,x23.當(dāng)0x3時(shí),f(x)0,故f(x)的遞增區(qū)間是(0,2),(3,);當(dāng)2x3時(shí),f(x)0,故f(x)的遞減區(qū)間是(2,3)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln 2,在x3處取得極小值f(3)26ln 3.10(2014湘潭檢測)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在點(diǎn)p(1,f(1)處的切線方程為y3x1.(1)若函數(shù)f(x)在x2時(shí)有極值,求f(x)的解析式;(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間2,0上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)b的取值范圍解f(x)3x22axb,函數(shù)f(x)在x1處的切線斜率為3,所以f(1)32ab3,即2ab0,又f(1)1abc2得abc1.(1)函數(shù)f(x)在x2時(shí)有極值,所以f(2)124ab0,解得a2,b4,c3,所以f(x)x32x24x3.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間2,0上單調(diào)遞增,所以導(dǎo)函數(shù)f(x)3x2bxb在區(qū)間2,0上的值恒大于或等于零,則得b4,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是4,)能力提升題組(建議用時(shí):35分鐘)11函數(shù)f(x)x33x1,若對于區(qū)間3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,則實(shí)數(shù)t的最小值是()a20 b18 c3 d0解析因?yàn)閒(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0得x1,可知1,1為函數(shù)的極值點(diǎn)又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1,所以在區(qū)間3,2上f(x)max1,f(x)min19.由題設(shè)知在區(qū)間3,2上f(x)maxf(x)mint,從而t20,所以t的最小值是20.答案a12(2015杭州質(zhì)量檢測)若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間上有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a. b.c. d.解析若函數(shù)f(x)在區(qū)間上無極值,則當(dāng)x時(shí),f(x)x2ax10恒成立或當(dāng)x時(shí),f(x)x2ax10恒成立當(dāng)x時(shí),yx的值域是;當(dāng)x時(shí),f(x)x2ax10,即ax恒成立,a2;當(dāng)x,f(x)x2ax10,即ax恒成立,a.因此要使函數(shù)f(x)在上有極值點(diǎn),實(shí)數(shù) a的取值范圍是,故選c.答案c13已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在區(qū)間t,t1上不單調(diào),則t的取值范圍是_解析由題意知f(x)x4,由f(x)0得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3,則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t,t1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t1上就不單調(diào),由t1t1或t3t1,得0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)14設(shè)a0,函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)求函數(shù)f(x)的極值解f(x)x(a1).當(dāng)0a1時(shí),若x(0,a),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(a,1),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(1,),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa是f(x)的極大值點(diǎn),x1是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a.極小值是f(1).當(dāng)a1時(shí),f(x)0,所以函數(shù)f(x)在定義域(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn),故無極值當(dāng)a1時(shí),若x(0,1),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(1,a),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(a,),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn),xa是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(1).極小值是f(a)a2aln a.綜上,當(dāng)0a1時(shí),f(x)的極大值是a2aln a,極小值是;當(dāng)a1時(shí),f(x)沒有極值;當(dāng)a1時(shí),f(x)的極大值是,極小值是a2aln a.15(2014安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3,其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0,1時(shí),求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值解(1)f(x)的定義域?yàn)?,),f(x)1a2x3x2.令f(x)0,得x1,x2,x1x2,所以f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng)xx1或xx2時(shí),f(x)0;當(dāng)x1xx2時(shí),f(x)0.故f(x)在(,x1)和(x2,)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍0,所以x10,x20.當(dāng)a4時(shí),x21,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在x
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