（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專(zhuān)題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性（含解析） 新人教A版.doc

五、周期（循環(huán)）數(shù)列（擴(kuò)展）的運(yùn)用對(duì)于數(shù)列an，如果存在一個(gè)常數(shù)t,對(duì)于任意整數(shù)nn，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有ai=a(i+t)成立，則稱(chēng)數(shù)列an是從第n項(xiàng)起的周期為t的周期數(shù)列。典型例題：例1.數(shù)列滿(mǎn)足，則的前60項(xiàng)和為【 】（a）3690 （b）3660 （c）1845 （d）1830【答案】d?！究键c(diǎn)】分類(lèi)歸納（數(shù)字的變化類(lèi)），數(shù)列?！窘馕觥壳蟪龅耐?xiàng)：由得， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）。，的四項(xiàng)之和為（）。設(shè)（）。則的前項(xiàng)和等于的前15項(xiàng)和，而是首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列，的前項(xiàng)和=的前15項(xiàng)和=。故選d。例2.對(duì)于，將n表示為,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=.；（2）記cm為數(shù)列bn中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考點(diǎn)】數(shù)列問(wèn)題。【解析】（1）觀察知；依次類(lèi)推；，；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值為。例3.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，記（），即為中的最大值，并稱(chēng)數(shù)列是的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫(xiě)出所有的（4分）（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿(mǎn)足（為常數(shù)，），求證：（）（6分）（3）設(shè)，常數(shù)，若，是的控制數(shù)列，求（8分）【答案】解：（1）數(shù)列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。 （2）證明：，。，即。 。 （3）對(duì)，； ；。 比較大小，可得。 ，即； ，即。 又，。 = = =。 【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)題意，可得數(shù)列。（2）依題意可得，又，從而可得，整理即證得結(jié)論。（3）根據(jù)，可發(fā)現(xiàn)，；。通過(guò)比較大小，可得，而，從而可求得的值。六、數(shù)列特征方程的應(yīng)用：所謂數(shù)列的特征方程，實(shí)際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)列而引入的一些等式，常用的有以下幾種形式：1. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則是公比為的等比數(shù)列 。2. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則 當(dāng)時(shí), ，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出；當(dāng)時(shí)，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出。3. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則 當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列。典型例題：例1.函數(shù)。定義數(shù)列如下：是過(guò)兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！敬鸢浮拷猓海?），點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。 由所給出的兩點(diǎn)，可知，直線斜率一定存在。直線的直線方程為。令，可求得，解得。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，由得，即，。也成立。綜上可知對(duì)任意正整數(shù)恒成立。下面證明：，由得，。即。綜上可知恒成立。 （2）由得到該數(shù)列的一個(gè)特征方程即，解得或。 ，。兩式相除可得。而數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列。【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用，不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法?！窘馕觥浚?）先從函數(shù)