高等光學(xué)教程-第4章參考答案.pdf

第四章第四章 標(biāo)量衍射理論基礎(chǔ)標(biāo)量衍射理論基礎(chǔ) 4 1 證明 4 21 式所示的索末菲輻射條件成立 證明 球面是中心位于面上的發(fā)散球面波的波面 假定面 上的光場(chǎng)分布表示為 2 S 1 S 2 S r jkr 式中 exp Ur表示產(chǎn)生發(fā) 散球面波的點(diǎn)光源到球面 2 S上任意一點(diǎn)的距離 1 exp cos cos rj jk nrnrrr UUU n rn r kr 當(dāng)時(shí) 有 R r 所以這時(shí)有 1 cos rn 2 exp exp 1 r jkr jk r jkr r jkjk n UU U 當(dāng)時(shí) 上式分母中的 Rr可用R來(lái)代替 于是 2 exp 1 limlimlim cossin RRR jkr RjkRkrjkr nRR U U lim0 jkr R e R 4 2 參考圖 4 8 考慮在瑞利 索末菲理論中采用下式所表示的格林函數(shù) 即 0101 1 0101 exp exp jkrjkr P rr G 1 證明 G的法線方向的導(dǎo)數(shù)在孔徑平面上為零 2 利用這個(gè)格林函數(shù) 求出用孔徑上的任意擾動(dòng)來(lái)表示 0 pU的表達(dá)式 要得到這個(gè)結(jié) 果必須用什么樣的邊界條件 3 利用 2 的結(jié)果 求出當(dāng)孔徑被從 2 P點(diǎn)發(fā)散的球面波照明時(shí) 0 pU的表達(dá)式 證明 下面是教材中圖 4 8 1 1 由兩項(xiàng)迭加而成 它們分別表示從互為鏡像的點(diǎn)和 1 P G 0 P 0 P發(fā)出的兩個(gè)初相位相 同的單位振幅的球面波 孔徑平面上任一點(diǎn)的 1 S 1 P G值為 01 01 01 01 1 exp exp r rjk r jkr P G P4 2 1 1 P G的法向?qū)?shù)為 01 01 01 01 01 01 01 01 exp 1 cos exp 1 cos r r r rnrn Gjk jk r jkr r jk n P4 2 2 對(duì)于互為鏡像點(diǎn)的和 0 P 0 P來(lái)說(shuō) 有 cos cos 0101 rnrn 0101 rr P4 2 3 將以上關(guān)系式代入 P4 2 2 式 得到 0 n G P4 2 4 2 根據(jù) 4 22 式 觀察點(diǎn)的光擾動(dòng)可以用整個(gè)平面上的光擾動(dòng)U和它的法向?qū)?shù) 來(lái)表示 0 P 1 S 1 d 4 1 0 S s nn P G UG U U P4 2 5 由 得 0101 rr 01 01 1 exp 2 r jkr P G P4 2 6 將上式和 P4 2 4 式一同代入 P4 2 5 式 得到 11 d exp 2 1 d 4 1 01 01 0 SS s r jkr n sG n P UU U P4 2 7 為了將上式所表示的結(jié)果進(jìn)一步簡(jiǎn)化 根據(jù)孔徑 上的場(chǎng)去計(jì)算點(diǎn)的復(fù)振幅分布 只需要規(guī)定如下兩個(gè)邊界條件 0 P 0 PU a 在孔徑上 場(chǎng)分布的法向?qū)?shù) nU 與不存在衍射屏?xí)r的值完全相同 b 在面上除去孔徑外的其余部分 即位于衍射屏的幾何陰影區(qū)的那一部分上面 1 S 0n U 2 根據(jù)上述邊界條件 01 0 01 exp 11 dd 42 jkr Ps nnr UU UGs P4 2 8 3 參考教材中圖 4 5 孔徑 由位于點(diǎn)的發(fā)散球面波照明 即 2 P exp 21 21 1 jkr r A P U 21 21 2121 exp 1 cos jkr Ajk nr U n r r 因?yàn)?21 r 即 21 1 r k 因此有 21 21 21 exp cos jkr Ajk nr U n r 將上式代入 P4 2 8 式 得到點(diǎn)光場(chǎng)的復(fù)振幅 0 P s r jkr r jkr AjkPd exp exp cos 2 1 01 01 21 21 210 rnU s rr rrjk j A d cos exp 21 0121 0121 rn 4 3 考慮非單色擾動(dòng) 其中心頻率為 P tu 而帶寬為 定義 一個(gè)相關(guān)的復(fù)數(shù)值擾動(dòng) 它只是由的負(fù)頻分量 構(gòu)成 因此 P t exp 2j u P P tu 0 P tt d uU 其中 P U是的傅里葉譜 假定幾何關(guān)系如圖 p4 3 P tu 所示 證明若 01 nr v 則 圖 p4 3 01 01 01 exp 1 cos jkr P tP trds jr uun 01 式中 v 而 2 k 為介質(zhì)的折射率 為光在其中的傳播速度 nv 3 證明 根據(jù)方程 4 52 我們寫出 sePj vr r tP v r tj dd 2 2 cos 01 2 1 01 01 0 U n u tP u的中心頻率為 帶寬為 當(dāng) 2 2 時(shí) 上式中第一個(gè)積 分才不為 0 在 的條件下 變化很小 因此可以用 代替 并將它拿出積分號(hào) 之外 在vr01 的條件下用 2exp j 01 vr 代替 2exp 01 vrj 因此有方程 201 0011 01 cos 1 exp dd jt P tjkrPes jr n r uU 當(dāng)點(diǎn)在之外時(shí) 上式改寫為 1 P 0 1 tPu s r rk j tP j tPd cos exp 1 01 01 01 0 rnuu 式中 v 2 k 4 4 1 一個(gè)半徑為 1cm 的圓孔用 500nm 的單色平面波垂直照明 希望在垂直于光軸平 面上 1cm 的觀察區(qū)內(nèi)觀察菲涅耳衍射 求觀察距離至少為多少 2 有一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 5cm 的正方形孔徑 若要觀察夫瑯和費(fèi)衍射 求觀察距離至少為多少 解答 1 運(yùn)用 4 109 式 代入數(shù)據(jù) 得 2 22 3 max 0 25 4 xy m 取 得 33 2 5zm 1 36zm 2 運(yùn)用 4 118 式 22 max 2 2 z 代入數(shù)據(jù) 得 1636zm 4 5 用單位振幅的單色平面波垂直照明下列衍射屏 分別求出衍射屏后表面復(fù)振幅的角譜 1 直徑為 d 的圓孔 2 直徑為 d 的不透明圓屏 3 寬度為的單縫 a 4 直徑為的金屬細(xì)絲 a 解答 1 22 22 1 coscos 2 coscos cos cos ddJ At 4 2 22 22 1 coscos 2 coscos cos coscos cos ddJ At 3 coscos sinc cos cosa aAt 4 coscos sinc cos coscos cosa aAt 以上運(yùn)用了巴比涅原理 4 6 有一單位振幅的單色平面波垂直照明如圖p4 6 所示的雙縫 縫關(guān)于 軸對(duì)稱 縫長(zhǎng) 為X 縫寬為Y 中心相距 設(shè)光波波長(zhǎng)為 雙縫所在的平面與觀察平面相距di 求 屏上夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布 圖 p4 6 解答 透射光波場(chǎng) YXYX 2 rectrect 2 rectrect 0 tUU exp exp sinc sinc yyyx fjfjYfXfXY UF 2sincsinccos iii XxYy XY dd y d 夫瑯和費(fèi)衍射圖樣 22 1 exp exp 2sincsinccos 2 iiiii jkXxYy x yjkzxyXY y j dddd U d 光強(qiáng)分布 2 2 222 2 sincsinccos iiii XYXxYy Ix y ddd U y d 4 7 若用一個(gè)單位振幅的單色平面波垂直照明 5 1 圖 p4 7 a 所示的方形環(huán)帶 圖中所示的兩正方形中心重合 對(duì)應(yīng)邊平行 大小兩 正方形的邊長(zhǎng)分別為和2 0 2L i L 2 圖 p4 7 b 所示的環(huán)狀孔徑 圖中所示的兩正方形中心重合 大小兩圓的直徑分別 為和2 0 2L i L 設(shè)光波波長(zhǎng)為 孔徑到觀察平面的距離為 z 試導(dǎo)出該方形環(huán)帶和環(huán)狀孔徑的夫瑯 和費(fèi)衍射圖樣的表達(dá)式 圖 p4 7 a 圖 p4 7 b 解答 解答 1 00 rectrectrectrect 2222 ii LLLL t 2 2 22 00 22224 sincsincsincsinc ii oi L xL yL xL y I x yLL zzzz z 2 0 i rr rcirccirc LL t 不計(jì) 4 8 8 式中的指數(shù)因子 z kr j jkze e 2 2 得到 0101 0 2 2 ii L JLW JL r aa UU tF r z 2 rxy 2 2222 2 01010101 22222222 00 2 2 2 2 2 iiii ii L JLL JLL L JLJL I LLL L U 4 8 設(shè)光沿z方向傳播 在計(jì)算菲涅耳衍射時(shí) 一種方法是先從平面上的孔徑開始 計(jì)算與相距并垂直于 1 P 0 0 1 zz軸的二維平面上的場(chǎng)分布 再由處計(jì)算到處 最 后計(jì)算到觀察平面上的場(chǎng)分布 另一種計(jì)算方法是由孔徑 1 P 1 P 2 P n P 0 出發(fā)直接一次按 計(jì)算到觀察平面 證明上述兩種方法是等價(jià)的 式中為平面 n zz 1 z z2 n P i z 1i P 6 至平面間的距離 i 1 2 3 i P n 解答 設(shè)孔徑上的場(chǎng)分布為 0 U 垂直于的面上由菲涅耳公式得到場(chǎng)分布 1 P 1 dd 101 yxyxhU U U 即 10 yxyxyxhU 2 exp 22 11 1 1 yx z jk zj e jkz h yx exp exp 22 1111yx ffzjjkz hHF U yx F 1 100 HUhUyxyxyxyxFFF 2 U 21 yxyxyhU x 所以 21021 HHUHUyxyxyFFF 2 U x nn yHHUU 0 FF x yx H 12 exp exp exp 22 21210yxnn ffzzzjjkzjkzy UFexp xjkz exp 22 0yx ffzjy UFexp F n U x x jkz x 00 yxyxyhUHUFF 所以 0 yxyxyhU 結(jié)論成立 4 9 有一波長(zhǎng)為 的點(diǎn)光源 位于直角坐標(biāo)系中的 0 0 0 z 點(diǎn) 0 0 z xoy平面上球面波的相位分布 1 求在 2 若以軸為光軸 求該球面波相位因子的二次曲面近似 z 3 在使用了上述二次曲面近似以后 與嚴(yán)格球面波的相位比較 相位是超前還是落后 請(qǐng)說(shuō)明理由 解答 發(fā)散球面波的一般表達(dá)式為 krtj e r A 1 在xoy平面上 222 0 jk 近似表達(dá)式為 22 0 2 0 xy jk jkzz ee xyz ee jkr 2 發(fā)散球面波指數(shù)因子的一般表達(dá)式為 7 22 222 0 00 2 xy jk jkxyz zjk z zz zjkr eeee 3 krt 1 22 20 0 2 xy tk zz zz 當(dāng)b為一小量時(shí)有展開式 22 1 8 1 2 1 1 1 bbb 因此有 bb 2 1 1 1 2 1 所以 22 210 0 0 2 xy k zzkr zz 所以相位落后 4 10 有一波長(zhǎng)為 朝著點(diǎn)會(huì)聚的球面波 0 0 0 z 0 0 z 1 求在xoy平面上球面波的相位分布 2 若以軸為光軸 求該球面波相位因子的二次曲面近似 z 3 在使用了上述二次曲面近似以后與嚴(yán)格球面波的相位比較 相位是超前還是落后 請(qǐng) 說(shuō)明理由 解答 會(huì)聚球面波的一般表達(dá)式為 krt e r A 1 在xoy平面上 2 0 22 zyxjk jkr ee 近似式為 0 22 0 2z yx jk jkz ee 2 會(huì)聚球面波指數(shù)因子的一般表達(dá)式為 2 0 22 0 2 0 22 zz yx jk zzjkzzyxjkjkr eeee 3 krt 1 2 0 22 02 zz yx zzkt 當(dāng)b為一小量時(shí) 有展開式 22 1 8 1 2 1 1 1 bbb 因此有 bb 2 1 1 1 2 1 所以 0 2 0 22 012 kr zz yx zzk 所以相位超前 4 11 在圖 4 17 中設(shè)衍射孔徑的寬度為 亮區(qū)和暗區(qū)之間為過(guò)渡區(qū) 證明過(guò)渡區(qū)的邊界W2 8 由拋物線或來(lái)描述 zxW 4 2 zxW 4 2 證明證明 圖 p4 11 教材 4 7 6 式所表示的衍射積分中主要貢獻(xiàn)來(lái)自于圖 4 17 中 平面上寬度為4 z的正方 形部分 該正方形的中心點(diǎn)位于 y x和 面積與成正比 表示觀察點(diǎn) 與zz x y 平面之間的距離 觀察點(diǎn)的三維坐標(biāo)直接決定了 x y z 平面上對(duì)積分有貢獻(xiàn)的正方形的 中心和邊長(zhǎng) 在圖 p4 11 中共有 4 條曲線 分別用 1 2 3 4 編號(hào) 畫曲線 1 2 時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)x 0 曲線 1 是亮區(qū)與過(guò)渡區(qū)的交界線 對(duì)于亮區(qū)來(lái)說(shuō)要求積分區(qū)域全部在孔徑平面上透光的范圍 之內(nèi) 因此由邊長(zhǎng)為的正方形確定 1 x2 W 1 4z2 Wx 所以 2 1 4Wxz 曲線 2 是暗區(qū)與過(guò)渡區(qū)的交界線 對(duì)于暗區(qū)來(lái)說(shuō)要求積分區(qū)域全部在孔徑平面上不透光 的范圍之內(nèi) 因此由邊長(zhǎng)為的正方形確定 2 2 Wx 2 2 4xWz 所以 2 2 4Wxz 代替 1 x或 2 x 將曲線方程表示為 x考慮一般情況 用 2 4Wxz 曲線 3 曲線 4 與曲線 1 曲線 2 不同之處在于坐標(biāo)x取負(fù)值 對(duì)于曲線 3 來(lái)說(shuō)長(zhǎng)度差 33 Wx4Wxz 2 3 4Wxz 曲線 4 44 4xWWxz 2 4 4Wxz 或 4 x 將曲線方程表示為 2 4Wxz 3 xx考慮一般情況 用代替 綜上所述 過(guò)渡區(qū)的邊界由拋物線或來(lái)描述 zxW 4 2 zxW 4 2 9 4 12 在圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中設(shè)觀察平面上的決光能流為E 半徑為W的圓面內(nèi)所分布 的光能流占總光能流的百分比為L(zhǎng) W0 試求出L W0 的表達(dá)式 解答 設(shè)衍射圓孔的半徑為W 由 4 129 式 夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布為 z kWr z kWr J zj A eer z kr j jkz 1 2 2 2 U 觀察平面上光強(qiáng)分布為 2 1 0 2 z kWr z kWr J IrI 式中 2 0 zAI r為觀察平面上從光斑中心量起的徑向坐標(biāo) 若以 0 Wr 為半徑畫一個(gè) 圓 用代表落在此圓內(nèi)的能量百分?jǐn)?shù) 則有 0 WL 00 0 2 1 2 0 0 000 2 1 d d2d WW w kWr J E Iz L WI r r rr r kWr EEE z 令 kwr z 則 0 0 22 1 0 0 8d kWW z w zJ EI kW 22 1 0 0 8d zJ EI kW 利用貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式 d d 1 1 1 xJxxJx x n n n n 取 并乘以 再利用貝塞耳函數(shù)另一遞推關(guān)系式 0 n 1 xJ d d 1 xJxxJx x n n n n 得到 d d 2 1 d d 2 1 2 01 1 10 2 1 xJxJ x xJ x xJ xJxJ x xJ 將此式代入和E 0 w E的表達(dá)式 并利用1 0 0 J 0 0 1 J最后得到 z kWW J z kWW JWL 02 1 02 00 1 10 4 13 有一薄的周期光柵 它的振幅透過(guò)率函數(shù)由下面復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)給出 k L k j kA eCt 2 式中為光柵的周期 而系數(shù) L 2 2 2 d 1 L L L k j Ak et L C 1 證明光柵第階的衍射效率為 k 2 kk C 2 又設(shè)有一個(gè)透過(guò)率函數(shù)為 L tA cos 的周期光柵 計(jì)算第一級(jí)衍射光的效率 解答 1 由傅氏變換的公式 得振幅透過(guò)率函數(shù)的傅里葉變換為 2 afe x axj F 2 n j L AKnx nn n tC F eCf L F n 階的空間頻率為 x n f L 假定有一單位振幅的單色平面波垂直照明 所得任一衍射級(jí)的 光強(qiáng)度正比于該級(jí)傅里葉展開系數(shù)的平方 更一般地說(shuō) 對(duì)于任意強(qiáng)度的照明光波 某級(jí)的 衍射效率等于該級(jí) 函數(shù)的傅里葉系數(shù)的平方 這就是說(shuō)衍射效率為 2 kk C 2 先求下述振幅透過(guò)率函數(shù)的傅里葉展開式的系數(shù) cos A t L 系數(shù) 2 2 2 11 cos k Lj L k L Ced LLL Fcos x fk L rect LL 111 sinsin 222 x xx fk L Lc LfLc Lf LLL 12121 sinsin 222 kk cc 第級(jí)的衍射效率為 k 2 212121 sinsin 422 kk kk Ccc 11 所以第一級(jí)的衍射效率為 2 2 2 11 2 1131 224 sinsin4 5 422439 Ccc 4 14 有一薄的方波吸收光柵 振幅透過(guò)率函數(shù) t如圖 p4 14 所示 一單色平面波垂直照 明該光柵 求以下部分占總?cè)肷涔鈴?qiáng)的比例 1 入射光為光柵所吸收的部分 2 入射光為光柵所透過(guò)的部分 3 透射光中第一級(jí)衍射光部分 圖 p4 14 解答 在區(qū)間2L 圖 p4 14 中的振幅透過(guò)率函數(shù)表示為 1 2 22 Amm ttrectt rect LL 根據(jù)上式求振幅透過(guò)率函數(shù) A t 的傅里葉展開式系數(shù) 與上題中求系數(shù)所用的方法相 同 得到 k C 2 2 2 11 2 22 n Lj L nmm L Ctrectt recte LLL d 11 2 22 x mm fn L trectt rect LLL F 1 sin sin 22 mm n tc ntc 1 入射光為光柵所吸收的部分等于 1 減去 2 x t 在一個(gè)周期內(nèi)的空間平均 它就是 22 2 2 2 2 1111 1 1 22224 L Amm L LL tdtt LL 3 m t 2 入射光為光柵所透過(guò)的部分等于 1 減去吸收的部分 即 12 22 31 1 44 mm tt 3 透射光中第一級(jí)衍射光部分可由的表達(dá)式求出 令 n C1n 得 1 211 sin 1 sin 22 m mm t Ctctc 第一級(jí)衍射光部分的相對(duì)份額為 2 2 1 2 4 m t C 4 15 正弦型振幅光柵的振幅透過(guò)率函數(shù) t 0 1 cos 2 22 m frectrect ll 0 f 為光柵的空間頻率 為物平面上的坐標(biāo) 求上述光柵的線色散 dx d 和分辯本 領(lǐng) x為像平面上的坐標(biāo) 解答 1 參考 4 137 式 有 0 yxI sin 4 sin 4 sinsin 2 0 2 2 0 2 2 22 2 2 zfx z l c m zfx z l c m z lx c z ly c z l 2 圖 p4 15 由次極大點(diǎn)的x坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式0 0 zfx 得到線色散 0 ddzfx 分辨本領(lǐng)的 求法如下 設(shè) 1 和 11 是按照瑞利判據(jù)恰好能分開的兩個(gè)波長(zhǎng) 它們1 級(jí)最大值的位置對(duì)應(yīng) 為和 1 xlzx1 1 將它們分別代入0 0 zfx 得方程組 0 0 011 1 1 011 zf l z x zfx 13 解之得 Nlf 0 1 為光柵的總線條數(shù) N 4 16 將兩個(gè)正弦形振幅光柵G G 按條紋方向垂直地緊密地迭放在一起 設(shè)它們的振幅透 過(guò)率函數(shù)分別是 G 010 cos 2 x t xttf x G 010 cos 2 y t yttfy 當(dāng)用單位振幅的單色平行光垂直照明時(shí)求夫瑯和費(fèi)衍射斑的方向角 解答 入射的單位振幅的單色平面波的復(fù)振幅為1 i U 設(shè)兩正交重疊光柵后方的光場(chǎng)的復(fù) 振幅為 則有 t U ytxtyx it UU 由 4 119 式 exp exp 22 yxFffzj zj jkz ff tyxyx UU 2 exp exp 1 0 10 00 22 yyxyxyx fff tt ffttffzjjkz zj 2 2 0 0 0 10 yxxyyx fff tt fff tt 4 4 00 11 00 11 yyxxyyxx ffff tt ffff tt 4 2 00 11 0 01 yyxxyxx ffff tt fff tt 4 00 11 yyxx ffff tt 2 yx ffyxIU 結(jié)果有 9 項(xiàng)對(duì)應(yīng)于 9 個(gè)不同的方向 這 9 個(gè)不同方向所對(duì)應(yīng)的方 向余弦列于下表之中 x f y f 0 0 x f 0 x f 0 0cos 0cos 1cos 0 cos x f 0cos 2 0 2 1cos x f 0 cos x f 0cos 2 0 2 1cos x f 14 0cos 0 cos y f 2 0 2 1cos y f 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0y f 0cos 0y cosf 2 0 2 1cos y f 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0y f 4 17 單位振幅的單色平面波垂直照明如圖 p4 17 所示的 N 個(gè)全同狹縫 縫寬為 周期為 d 證明其夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布為 a x sin sin sin 2 2 22 y xd y Nxd y ax ca I 式中x為觀察平面上的坐標(biāo) y為觀察平面與狹縫所在平面的距離 為光波波長(zhǎng) 圖 p4 17 解答 振幅透過(guò)率函數(shù) a dN a d a d a t 1 rect 2 rectrectrect 1 0 rect n n a nd 不計(jì) 4 119 式中傅里葉變換式前的系數(shù)得到該光柵夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅為 0 tFfx x UU 運(yùn)用傅里葉變換的相似性定理和相移定理 見(jiàn)附錄 A 得到 1 0 1 0 0 2exp sinc 2exp sinc N n xx N n xxx ndfjafandfjafaf U 15 sin sin 1 exp sinc df dNf dfNjafa x x xx sin sin sinc 2 2 222 00 df dNf afaffIxI x x xxx U 將 zxfx 代入上式得到 z xd z Nxd z xa axI 2 2 22 sin sin sinc 4 18 正弦型相位光柵的振幅透過(guò)率函數(shù) 0 expsin 2 2 m tjfrectrect ll 證明上述光柵的分辯本領(lǐng)為 式中為貝塞耳函數(shù)的階數(shù) 0 qlfqNq 證明 參考教材中 4 150 式 衍射光強(qiáng)分布為 q q z ly zqfx z lm J z l yxI 2 0 22 2 2 sinc sinc 2 由上式可以看出 波長(zhǎng)為 1 的光所產(chǎn)生的級(jí)衍射分量的峰值偏離衍射圖樣中心的距離為q zqfx 10 波長(zhǎng)為 1 的光所產(chǎn)生的q級(jí)衍射分量的第一個(gè)零點(diǎn)位置滿足 1 20 2 zqfx z l 即應(yīng)有 zqf l z x 20 2 根據(jù)瑞利判據(jù) 我們認(rèn)為波長(zhǎng)為 1 的光產(chǎn)生的q級(jí)譜線峰值與波長(zhǎng)為 2 的光產(chǎn)生的 級(jí)譜線的第一個(gè)零點(diǎn)相重疊時(shí)兩條譜線剛好分辨 于是 q 1 0201 z qfzqfz l 1 021 z qf z l 令 21 整理后得到 1 0 qlfqM 16 式中M為光柵空間周期條紋的總數(shù) 4 19 圖 p4 19 a 為一菲涅耳直邊衍射的示意圖 圖 p4 19 b 為在觀察平面上的光強(qiáng)分布圖 它是由圖 p4 19 c 所示的考紐蜷線得到的 請(qǐng)畫出在確定圖 p4 19 b 中 A B C D 四點(diǎn) 的光強(qiáng)值時(shí)在考紐蜷線上所作的線段 并寫出對(duì)應(yīng)線段的名稱 線段及相應(yīng)字母標(biāo)圖 p4 19 c 上 注明該線段與圖 p4 19 b 中哪一點(diǎn)相對(duì)應(yīng) 圖 p4 19 解答 觀察屏上某點(diǎn)的光強(qiáng)計(jì)算公式 2 2 1 線段長(zhǎng)度 I b 圖中 A 點(diǎn) CQ B 點(diǎn) CR C 點(diǎn) CB D 點(diǎn) OC 4 20 有一圓對(duì)稱的物體 在范圍上無(wú)限 其振幅透過(guò)率函數(shù) 4 4 2 2 00 rJrJrtA 式中是第一類零階貝塞耳函數(shù) 0 Jr為二維平面上的半徑 設(shè)有一單位振幅的單色平面波 垂直照明物體 假設(shè)近軸條件成立 在該物體之后什么距離上除了一個(gè)復(fù)常數(shù)因子外 我 們能夠得到與物分布形式上相同的場(chǎng)分布 解答 該問(wèn)題具有圓對(duì)稱性 將 2 0 rJ F表示成 2 0 rJB 1 2 1 2 0 rJB 式中 z r 2 1 1 22 1 2 2 4 00 rJBrJB 10 yxhyxUyxU 110yx ffHyxUyxhyxUyxUFFFF 由 4 7 10 式 exp exp 2 zjjkz H 所以 exp exp 4 4 2 2 2 00 zjjkzrJrJffyx yxii FFFHUU 17 exp exp 2 4 1 2 zjjkz 2 4 1 exp 4 zjzj eejkz 4 4 2 2 exp 0 4 0 1 rJerJejkz zjzj ii UUFF 所以 3cos 4 2 16 4 4 2 2 00 22 0 2 0 zrJrJrJrJ i U 令 mz23 得到 3 2m z 式中 2 1 0 m 4 21 1 設(shè)有一個(gè)一維周期性物體 其振幅透過(guò)率為 2 sint X 其中X 為周期性 物的空間周期 物體所在平面垂直于 z 軸 并位于 z 0 處 試計(jì)算在任一平面 z 處 菲涅耳衍射的場(chǎng)分布和強(qiáng)度分布 2 z 取什么值時(shí)重現(xiàn)原物體 解答 運(yùn)用 4 7 11 式 注意本題是一維問(wèn)題 1 0 2 sint X UU 設(shè)單位振幅的平面波垂直照明 即 0 1 U 運(yùn)用求菲涅耳衍射的公式 得 22 exp 2 expd expexp 22 jkzkxk xjj j zzzz jx UU 22 exp exp exp 22 jkzkxk jFj j zz z U 2 2 exp exp 2 k j z jkzkx jFF e j zz U 其中 F U可查表 2 2 expexp 2 x k Fjj zjzf z 最后得到 xfzfje z j x jkz 0 2 0 2sin exp U 式中 X f 1 0 xf z xxI 0 22 2sin 1 U 18 2 在任一常數(shù)的面上都可以看到物體的象 z 4 22 利用菲涅耳衍射積分 4 103 求圓形孔徑的菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強(qiáng)度分布 設(shè)單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑 解答 圓形孔徑的透過(guò)率函數(shù) 22 circ t 孔徑受到單位振幅的單色平面波垂直照明 孔徑平面上透射光場(chǎng)分布為 22 0 circ ttUU 由菲涅耳衍射積分 4 103 式 2222 exp 2 exp exp exp d d 22 z jkzkk x yjxyjjxy j zzzz UU 當(dāng) 時(shí) 得到軸上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布 0 x0 y 2222 exp 0 0 circexp d d 2 z jkzk j j zz U P4 23 1 上式積分得到軸上不同點(diǎn)的復(fù)振幅分布 z 0 0 exp 1expexp expexpexp 244 z kkk jkzjjkzjjj zzz U 4 k z z k z k jjkzj 4 sin 4 exp exp 2 光強(qiáng)度分布 222 0 0 0 0 4sin4sin 42 zz k I zz U 由此可見(jiàn) 圓孔菲涅耳衍射圖樣隨著距離的增大中心有亮暗的變化 這一結(jié)論與用波 帶法作出的解釋是一致的 z 4 23 一單位振幅的單色平面波垂直照明如圖 p4 23 所示的圓環(huán)形 孔徑 求菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強(qiáng)度分布 圖 p4 23 解答 圓環(huán)形孔徑的振幅透射率函數(shù) 19 1 0 11 22 a a t 其它地方 同單位振幅的單色平面波垂直照明 孔徑平面上透射光場(chǎng)分布為 0 tt UU 在極坐標(biāo)系中計(jì)算菲涅耳衍射積分 得到軸上不同的復(fù)振幅分布 z 21 22 0 exp 0 0 dexpdexp expexp 22 z a 2 jkzkjkk jrr rjkzaj j zzz z U 強(qiáng)度分布 22 0 0 0 0 2exp 1 exp 1 22 zz kk 2 Ijaja zz U 1 2 sin4 1 2 cos22 222 a z a z k 由上式看到 當(dāng)逐漸增大時(shí) 衍射圖樣有亮暗的變化 z 當(dāng) na z 1 2 2 即 2 1 n n a z 2 1 2 時(shí) 0 0 0 z I 為極小值 當(dāng) 2 12 1 2 2 na z 時(shí) 2 1 n 即 12 1 2 n a z時(shí) 為極大 值 0 0 4 z I 本題中圓環(huán)形孔徑的振幅透射率函數(shù)可以表示為 a r rrtcirc circ 求出 rtU 以后 代入菲涅