（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一類混沌系統(tǒng)的混沌廣義同步探討.pdf

擅要 摘要 混沌學(xué)的誕生使不同科學(xué)領(lǐng)域得到了飛速的發(fā)展，尤其在生物學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng) 用?；煦缤皆诠こ碳夹g(shù)、軍事等各方面的重大價(jià)值及其良好的應(yīng)用前景，近些年來一 直是非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)。本文主要研究三種群食物鏈模型的混沌同步及廣義同步， 主要工作和成果如下： 簡(jiǎn)單闡述了混沌學(xué)的發(fā)展，描述了生物學(xué)中三種群食物鏈混沌模型及種群間的同步 概念和物種之間的相互關(guān)系，介紹了目前混沌同步的主要分類、有關(guān)專著和論文中應(yīng)用 的數(shù)學(xué)理論和方法，主要說明了混沌同步及廣義同步在食物鏈模型中的應(yīng)用及其意義。 三種群食物鏈模型是根據(jù)對(duì)魚類養(yǎng)殖業(yè)研究而得出的動(dòng)力學(xué)方程，是研究同一物種 中三變量之間的食物競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，是研究整個(gè)生態(tài)鏈中各物種間的關(guān)系的基礎(chǔ)。種群間的 同步是指兩個(gè)不同地方( 或不同名種) 的同一個(gè)種群放在同一個(gè)魚塘中發(fā)生的現(xiàn)象。應(yīng) 用某種控制方法就可以使得食物鏈系統(tǒng)中各變量同步的增加或是減少，并從同步現(xiàn)象來 說明物種之間的食物競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。 完全同步是指當(dāng)時(shí)間變量趨于無窮大時(shí)，兩個(gè)初始值不同的相同混沌系統(tǒng)的軌道距 離趨于零。我們?cè)谡撐闹兄饕捎脝?、雙向線性耦合的方法，來獲得食物鏈系統(tǒng)中各變 量之間的同步。 廣義同步是指當(dāng)時(shí)間變量趨于無窮大時(shí)，兩個(gè)不同的混沌系統(tǒng)的軌道之間存在某種 映射關(guān)系。論文中對(duì)于線性耦合食物鏈模型，我們?cè)谡撐闹兄饕捎脝蜗蚓€性耦合的方 法，來獲得食物鏈系統(tǒng)中各變量之間的廣義同步。) 給出了所要研究的三種群食物鏈模型，采用比較定理，嚴(yán)格證明了三種群食物鏈系 統(tǒng)及其耦合系統(tǒng)的有界性，并研究了食物鏈系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。探討了兩個(gè)初始 條件不同、相同食物鏈混沌系統(tǒng)間的同步化問題。利用線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論 及線性耦合方法獲得兩個(gè)食物鏈系統(tǒng)間的全局同步的穩(wěn)定性定理，并討論了噪音對(duì)生物 種群及其同步化的影響。 研究了兩個(gè)不同食物鏈混沌系統(tǒng)間的廣義同步化問題。利用l y a p u n o v 穩(wěn)定性理論 及線性耦合方法獲得兩個(gè)食物鏈系統(tǒng)間的廣義同步定理，經(jīng)過大量的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，給 出了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，驗(yàn)證了理論的正確性和所提方法有效性，從而實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)食物鏈 混沌系統(tǒng)間各個(gè)變量間的同步與廣義同步化，并簡(jiǎn)單分析了生物物種間的食物競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系 及其生物學(xué)意義。 關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)，非線性控制，完全同步，廣義同步流形，食物鏈模型，線性耦 合方法 址s t r a c t a b s t r a c t d i f f e r e n td i s c i p l i n ef i e l d sh a v eo b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n ts i n c et h eb i r t ho fc h a o s ， e s p e c i a l l yi nt h ef i e l do fb i o l o g yw h e r eh a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s t h eg r e a tv a l u e sa n d g o o dp r o s p e c t so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni ne n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g y ，m i l i t a r ya n do t h e r a r e a sh a v eb e e nah o ts p o to fn o n - l i n e a rs c i e n c ei nr e c e n ty e a r s t h ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n a sw e l la sg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni nt h r e es p e c i e sf o o dc h a i nm o d e li ss t u d i e di nt h i s p a p e r , t h em a i nw o r k sa n da c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： s i m p l yt od e s c r i b et h ed e v e l o p m e n to ft h ec h a o t i c ，b r i e f l yt oi n t r o d u c et h et h r e es p e c i e s f o o dc h a i nm o d e li nb i o l o g ya n dt h ec o n c e p to fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e ns p e c i e sa n d t h e r e l a t i o n s h i pa m o n gt h es p e c i e s , w ei n t r o d u c et h em a i nc l a s s i f i c a t i o n so fc h a o s s y n c h r o n i z a t i o na n dt h em a t h e m a t i ct h e o r i e sa n dm e t h o d su s e di nt h em o n o g r a p h sa n d p a p e r s , m a i n l yd e s c r i b et h es i g n i f i c a n c eo fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o ni n b i o l o g y t h r e e s p e c i e sf o o dc h a i nm o d e li sad y n a m i c a le q u a t i o nb a s e do nas t u d yo ft h ef i s h c u l t u r ei n d u s t r y , w h i c hs t u d i e st h ef o o dc o m p e t i t i o no ft h r e ev a r i a b l e sb e t w e e nt h es a m e s p e c i e s i ti saf o u n d a t i o nt h a tr e s e a r c h e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed i f f e r e n ts p e c i e si nt h e w h o l e e c o l o g i c a lc h a i n s y n c h r o n i z a t i o na m o n gt h es p e c i e sr e f e r st ot h ep h e n o m e n o nt h a tt h e f f a t l n et w os p e c i e so ft w od i f f e r e n tp l a c e s ( o rd i f f e r e n ts p e c i e s ) i nt h e 野a n l ef i s hp o n d s o m e c o n l 扣l m e t h o dc a nm a k et h ev a r i a b l e so f f o o dc h a i ns y s t e mi n c r e a s eo rr e d u c e s i m u l t a n e o u s l y , a n dt h er e l a t i o n s h i po f f o o dc o m p e t i t i o na m o n gs p e c i e si si l l u s t r a t e df r o mt h e s y n 婦l l i z a t i o nb e t w e e nt h et w o f o e d c h a i ns y s t e m s ( c s ) c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o nm e a n st h a tw h e nt h et i m ev a i l a b l et e n d st oi n f i n i t y , t h e t r a c ed i s t a n c ew i t ht w od i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e sb e t w e e nt h es a m et w oc h a o t i cs y s t e m st e n d st o z e r o ，n l em e t h o do fl i n e a r l ya n db i d i r e c t i o n a l l yc o u p l e da r eu s e di nt h i sp a p e rt og e tt h e s y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nv a r i a b l e so ft h es a m et w of o o dc h a i ns y s t e m s ( g s ) g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nr e f e r st o ：w h e nt h et i m ev a r i a b l et e n d st oi n f i n i t y , t h e r e i sam a p p i n gr e l a t i o n s h i p b e t w e e nt r a c e so ft w od i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m s i nt h i sp a p e r , t h e m e t h o do fl i n e a r l yc o u p l e di su s e dt og e tt h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h e v a r i a b l e so ft w od i f f e r e n tf o o dc h a i ns y s t e m s t h et h r e ef o o dc h a i nm o d e li sg i v e ni nt h i sa r t i c l et os t u d y , t h eb o u n d e d n e s so ft h et h r e e s p e c i e sf o o dc h a i na n di t sc o u p l e rs y s t e mw e r ep r o v e dt ob ee f f e c t i v eb a s e do nt h e c o m p a r i s o nt h e o r e m a n dw es t u d yt h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mw i t ht w od i f f e r e n ti n i t i a l c o n d i t i o n sb e t w e e nt h es a m et w of o o dc h a i nc h a o t i cs y s t e m s t h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni s a t t a i n e df r o mt h et h e o r yo ft i m e - v a r y i n gs y s t e m sa n dl i n e a rc o u p l e rb e t w e e nt w of o o dc h a i n s y s t e m s ，a n dt h en o i s eo nt h ei m p a c to fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o na n di t ss y n c h r o n i z a t i o nw e r e d i s c u s s e di nt h i sp a p e r w es t u d yt h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mb e t w e e nt w od i f f e r e n tf o o dc h a i n c h a o t i cs y s t e m s t h et h e o r e mo fg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni sa t t a i n e df r o ml y a p u n o v t h e o r ya n dl i n e a rc o u p l e rb e t w e e nt w of o o dc h a i ns y s t e m s a f t e ra1 0 to fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n e x p e r i m e n t s ，w eg i v et h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lr e s u l t st ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h e a b s t r a c t t h e o r e t i c a lm e t h o d sa n de f f e c t i v e n e s si nt h i sd i s s e r t a t i o n s y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o na r er e a l i z e db e t w e e nt h ev a r i o u sv a r i a b l e so ft w of o o dc h a i nc h a o t i cs y s t e m s ， w ea n a l y s et h er e a l a t i o n s h i po ff o o dc o m p e t i t i o na m o n g s p e c i e si nt h ef o o dc h a i na n de x p l a i n i t sb i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c e k e y w o r d s ：c h a o t i cs y s t e m s ，n o n l i n e a rc o n t r o l ，c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d ，f o o dc h a i nm o d e l ，l i n e a r l yc o u p l e dm e t h o d 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是苓人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究5 - 作及取 得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含本人為獲得江南 大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料與我一同工作的同志 對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 簽名： 五躉 日 期：疊辜紐叢旦 ， 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本學(xué)位論文作者完全了解江南大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定： 江南大學(xué)有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允 許論文被查閱和借閱，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫 進(jìn)行檢索，- j - 以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文， 并且本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致 保密的學(xué)位論文在解密后也遵守此規(guī)定 鍪 名： 望至 導(dǎo)師簽名： 壘亟亟 e t 期： 迎拿：f ：! 玉 n 第一章緒論 第一章緒論 非線性科學(xué)是研究物理、生物、化學(xué)等許多系統(tǒng)中與非線性相關(guān)的問題。近些年來， 它一直是科學(xué)家們研究的熱點(diǎn)，混沌是其研究中的一個(gè)非常重要的部分，尤其是在混沌 同步方面。隨著混沌同步的研究與應(yīng)用的蓬勃發(fā)展，它已經(jīng)從物理學(xué)迅速發(fā)展到生物學(xué)、 化學(xué)、力學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)和保密通信等許多領(lǐng)域。由于混沌同步在工程技術(shù)，軍 事等各方面的重大價(jià)值及其良好的應(yīng)用前景，近些年來一直是非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)， 也引起了如生物學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等許多領(lǐng)域的科研工作者的廣泛的興趣。這一章我們 主要是簡(jiǎn)單介紹混沌的研究發(fā)展歷史、混沌同步的簡(jiǎn)單分類、主要數(shù)學(xué)理論、混沌同步 控制方法等。 1 1 混沌及其同步發(fā)展史簡(jiǎn)介 在古代，人們就提出了混沌一詞，但當(dāng)時(shí)人們只是簡(jiǎn)單的從字面意思來理解它，直 到2 0 世紀(jì)6 0 年代，混沌現(xiàn)象才被發(fā)現(xiàn)及研究。它是由氣象學(xué)家l o r e n z 在1 9 6 3 年研究 區(qū)域小氣候、求解其所提出的模型方程時(shí)首先發(fā)現(xiàn)的。在1 9 7 5 年，華裔數(shù)學(xué)家李天巖 q y = l i ) 和美國數(shù)學(xué)家j a y o r k e 發(fā)表了著名的“p e r i o dt h r e ek n p l i e sc h a o s ?！?，此篇文章 的發(fā)表標(biāo)志著混沌學(xué)的正式誕生，并且給出了混沌的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義式如下： 閉區(qū)間j 上的連續(xù)自映射廠( x ) 如果滿足下列條件，便可確定它有混沌現(xiàn)象【l j ： ( 1 ) f 的周期點(diǎn)的周期無上界； 1( 2 ) 閉區(qū)間j 上存在不可數(shù)子集s ，滿足 ( i ) 對(duì)v x ，y s ，當(dāng)x y 時(shí)，有u m s u p l f ( 曲一“( y ) j 0 ； 仃，w ( i i ) 對(duì)v x ，y s ，當(dāng)z y 時(shí)，有l(wèi) ”( 功一廠4 ( y ) l = ；_ i m i n f l f 0 ，w ( i i i ) 對(duì)比s 和f 上的任一周期點(diǎn)y ，有1 i m s u p l 廠“( 功- f ( y ) l 0 。 混沌學(xué)的誕生使得非線性動(dòng)力學(xué)理論得到了飛速的發(fā)展。它是繼確定論、概率論之 后科學(xué)的一個(gè)新發(fā)展，并將在這兩大科學(xué)體系之間架起橋梁，揭開物理學(xué)、數(shù)學(xué)甚至于 整個(gè)現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的新篇章。 混沌同步是指具有耦合作用的兩個(gè)混沌系統(tǒng)各自調(diào)節(jié)其運(yùn)動(dòng)到一個(gè)共同行為的過 程【2 】，最早起源于1 6 7 3 年惠更斯( c h u y g e n s ) 對(duì)耦合單擺的同步現(xiàn)象的觀察【3 1 。自1 9 9 0 年由美國海軍實(shí)驗(yàn)室的p e c o r a 和c a r r o l 提出兩個(gè)混沌同步概念和現(xiàn)象【5 】之后，隨著計(jì) 算機(jī)運(yùn)算能力的提高，混沌同步得到了非常廣泛的研究和應(yīng)用。混沌系統(tǒng)的最基本特點(diǎn) 就是具有“蝴蝶效應(yīng)”，即軌道對(duì)初始值的敏感依賴性或軌道的指數(shù)分離，決定了混沌 表面上拒絕同步的，由于實(shí)驗(yàn)中不能夠精確地測(cè)出初始條件，因此混沌同步化的實(shí)現(xiàn)對(duì) 追蹤系統(tǒng)的軌道具有特別重要的意義【2 - 5 】?；煦鐚W(xué)及其同步與其他學(xué)科相互滲透、相互 促進(jìn)，對(duì)于它的研究幾乎跨越了自然科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的所有領(lǐng)域。 江南大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 2 混沌同步分類 自從混沌同步現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)以來，混沌同步理論得到廣泛發(fā)展。l y a p u n o v 穩(wěn)定性定 理，漸近穩(wěn)定性定理及兩個(gè)不穩(wěn)定性定理，奠定了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)，并且為混沌同步 及廣義同步的研究提供了理論基礎(chǔ)。尤其是進(jìn)入2 0 世紀(jì)9 0 年代以來，p e c o r a 和c a r r o l l 5 】 提出相同混沌子系統(tǒng)間，通過某種驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化，他們的工作極大的推動(dòng) 了混沌同步的理論研究，并拉開了混沌及其同步研究的序幕。近些年來已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，隨著 系統(tǒng)間耦合強(qiáng)度的變化，其耦合行為表現(xiàn)出不同程度的同步化【3 】諸如相同步化( p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n ) 1 0 1 、完全同步化( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ) t 5 、廣義同步化( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ) 1 1 - 1 4 】等。在這里，我們對(duì)上述目前研究的主要混沌同步類型分別作介 紹如下： 對(duì)于相位同步，目前還沒有一個(gè)很好的定義。當(dāng)前被認(rèn)為是指：當(dāng)只有一個(gè)旋轉(zhuǎn) 中心時(shí)，兩個(gè)混沌系統(tǒng)的相位差鎖定在2 兀以內(nèi)。具體的如下：先定義系統(tǒng)的相位為 巾( t ) = a r c t 二署罟端，其中( x ( 。) ，y ( 。) ) 為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中，1 2 。, x ( t ) 、y ( t ) 分別是一個(gè)混 沌系統(tǒng)中兩個(gè)變量的相軌跡；再定義平均轉(zhuǎn)數(shù)為：f 2 = ( 呻( ) = 艦 r ；( t ) d t ，即： q ：! r 璧；從以上兩個(gè)定義可以得到相位同步的具體條件如下： ( i t l i 蜘mt d t d ( t ) 一巾，( t ) l o ，j ，( o ) o ，z ( o ) 0 ，且系統(tǒng)( 1 2 ) 中的參數(shù)滿足：a ( v l - a 2 ) b 。a ：d o ，那么存在m 。，m ：，m ， o 以及t 0 ， 使得： 5 竹 9 8 7 凹 n 江南大學(xué)碩士學(xué)位論文 x ( t ) m 。，y ( t ) m ：，z ( t ) m ，對(duì)任意的t t 鶘 等m = 觜唧 ( 皆h m ，：蘭i 熊竺! 逭：。 。 v 3 1 4 主要數(shù)學(xué)理論 以下重要的數(shù)學(xué)理論可以在文獻(xiàn)【2 1 7 】中找到。 1 4 1l y a p u n o v 穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng) x = f ( x ) ( 1 3 ) 其中狀態(tài)向量，= ( 而，藝，毛) r “，f ：只“- - r ”是連續(xù)向量函數(shù)。這里的“， 表示x 的轉(zhuǎn)置。為判定平衡點(diǎn)= 0 點(diǎn)處的穩(wěn)定性( 若而d 時(shí)，我們可以通過某種變換 將平衡點(diǎn)變換到0 處) ，我們首先有以下定義： 定義1 4 1 在上述系統(tǒng)( 1 3 ) 中，對(duì)任意的時(shí)間t ，都有( 而) = d ，則稱為該系 統(tǒng)的平衡點(diǎn)。 定義1 4 2 令y ( z ) 為區(qū)域o = x ：l l x l l og ，而 且y ( z ) 為正定向量函數(shù)，則稱y ( z ) 為l y a p u n o v 函數(shù)，其中| i i i 表示范數(shù)。 定義1 4 3 v ( x ) 沿系統(tǒng)( 1 3 ) 的解的全導(dǎo)數(shù)為： 多= 了d r ( x ) = 喜掣魯= 喜可o r ( x ) ， 4 ， 定理1 4 1 ( l y a p u n o v 穩(wěn)定性定理) 若對(duì)于系統(tǒng)( 1 2 ) ，存在l y a p u n o v 函數(shù)z ( x ) ， 有： 訊) = 喜掣 。 ( 1 5 ) 則系統(tǒng)( 1 3 ) 在點(diǎn)而處是局部漸近穩(wěn)定的。如果d 是整個(gè)r “空間，那么系統(tǒng)( 1 3 ) 在點(diǎn)而處是全局漸近穩(wěn)定的。 1 4 2 比較定理 定理1 4 2 ( 比較定理) ( i ) 令f ( t ，“) ：足尺_(dá) r 是連續(xù)的，固定( ，u o ) r 尺。 ( 豇) 令s ( t 1 是初值問題： 6 第一章緒論 絲d t ) ， ( 1 6 ) i “( f o ) = u o ， 在區(qū)間k ，t o + 口) 上的最大解。 ( i i i ) 令“( f ) ：【t o ，t o + 口) ，口( o ，佃】是連續(xù)的，且使得“) o z ( 0 ) 0 ， 則母3 = ，y ，z ) r 3 x _ o , y 芝o ，z o ) 是系統(tǒng)( 2 2 ) 的不變區(qū)域，即x ( f ) ，y ( f ) ，z ( f ) 均為系 統(tǒng)( 2 2 ) 囪非負(fù)解。 證明：由系統(tǒng)( 2 2 ) 可知： m ) ( o ) e x p 胂一刪) 一高刷】吼 y 叫。) e x p f 【器一而a 2 而如m ， 砸) = z ( 0 ) e x p f 【焉卅出 由系統(tǒng)( 2 2 ) 的解的初始條件z ( 0 ) o ，y ( o ) o ，z ( o ) o n ：x ( t ) o ，y ( t ) 0 ，z ( t ) 0 。 定理2 2 ：在r 3 = ( x ，y ，z ) r 3 x o , y o ，z 0 ) 中，對(duì)任意t - 0 ，系統(tǒng)( 2 2 ) 均 有界。 證明：從系統(tǒng)( 2 2 ) 的第一個(gè)方程我們有： 等x ( 1 - x ) ，五( 0 ) 0 。 由比較定理【1 7 1 ，我們有： x ( r ) 再告，對(duì)任意的r o ，其中c 2 c 去j 。1 。 1 0 第二章三種群食物鏈模型 因此有，x ( os 1 ，對(duì)任意的f 0 。 令m = x + y + z ，于是，便有： m 7 = ( x + y + z ) 7 = x o - x ) 一d i y 一畋zs 一妒( x + y + z ) = 一聲川 其中：= m i n d , ，d 2 ，一1 ) 。 所以有：r e ( t ) 卯一，其中c 為任意常數(shù)。 因此，系統(tǒng)中各個(gè)種群變量均有界。 2 3 食物鏈系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 本節(jié)我們探討了關(guān)于系統(tǒng)( 2 2 ) 的平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性問題如下：通過計(jì)算， 我們得到系統(tǒng)( 2 2 ) 有以下四個(gè)平衡點(diǎn)： i 在原點(diǎn)處有一平衡點(diǎn)，即e o = ( o ，o ，0 ) ，并且總是存在的。 i i 我們考慮如果y ，z 兩變量為零時(shí)具有平衡點(diǎn)互= ( 1 ，0 ，o ) 。 i i i 若第三個(gè)變量z 為零時(shí)，我們先假設(shè)有平衡點(diǎn)最= ( ，y ，0 ) ，即滿足： 1 1 - x 一而a l y 一霸- 0 【而a l xq 一屯_ 。 因此，由方程( 壟4 ) 我們可以得到： ，一 盔 ，。一2 a l 一包吐一d l 一a i - 一b i d i 叫2 贏葡a 7 n l ( 。一6 l d l ) 1 一工一業(yè)：0 1 + b l x l 一旦一面= 0 l + b l x1 + 6 2 y 1 1 叢一破：0 1 + 6 2 y 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 因此，由方程( 2 5 ) 可以得到：歹= i 蘭矗，且五三滿足：三2 芝a 2 蘭豸0 2 a 2 。 口，一d ，口， 一 下面我們給出系統(tǒng)( 2 2 ) 在( 工，y ，z ) 處的雅可比矩陣： j ( x ，y ，z ) = z 篆+ 彳 識(shí) y 等 o x z 亟 a x 工亟 砂 馘， y 半+ 2 砂 z 絲 砂 z 盟 a ! z a 疋 y 蔫 蘇， z 半+ 3 毖 因此，系統(tǒng)( 2 2 ) 的局部穩(wěn)定性分析如下： 江南大學(xué)碩士學(xué)位論文 i ) 系統(tǒng)( 2 2 ) 在e o = ( o ，0 ，0 ) 處的雅可比矩陣為： j ( o 刪00 恥0 d立0lo0 ，) = l 一。 l 一吐j i i ) 系統(tǒng)( 2 2 ) 在巨= ( 1 ，0 ，o ) 處的雅可比矩陣為： j ( 1 ，0 ，o ) = 一1 一土0 l + 島 一面+ 擊。 00 一d 2 所以，此矩陣的特征值： = _ 1 o ，五= 一面+ 南 o ，五= 一畋 0 t “i 因此，a ，如都是大于零的。 第三個(gè)特征值為：五2 瓦= i a 麗2 - l - 瓦d f i f 而 0 所以，由上述可以知道，只有平衡點(diǎn)e o = ( 1 ，0 , 0 ) 是漸近穩(wěn)定的。 探討食物鏈系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，我們可以更好的理解系統(tǒng)中各個(gè)種群變量隨 時(shí)間的變化關(guān)系：如果系統(tǒng)中的某個(gè)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，那么在不考慮其他因素的情況下， 隨著時(shí)間變量的增加，最后每一個(gè)變量都會(huì)趨向于平衡點(diǎn)而達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。 2 4 小結(jié) 在后面我們所列舉的文獻(xiàn)中：具有h o l l i n g - t a n n a r 、m e , c h a e l i s m e n t e n 、 b e d d i n g - d e a n g e l i s 等類型函數(shù)響應(yīng)的食物鏈模型，本文我們所要研究的是具有h o l l i n g t y p ei i 類型函數(shù)響應(yīng)的食物鏈混沌模型。本章我們首先介紹了三種群食物鏈模型的由來 及其構(gòu)成 2 0 2 3 】，并計(jì)算和分析了該系統(tǒng)酌平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，簡(jiǎn)單說明了系統(tǒng)中各個(gè)變 量及其所代表的生物學(xué)意義。另外，我們嚴(yán)格證明了該系統(tǒng)的有界性，而對(duì)于一般的混 沌系統(tǒng)，其有界性的證明是相當(dāng)困難的。同時(shí)也為下文中對(duì)于線性耦合兩食物鏈混沌系 統(tǒng)的有界性及同步奠定了基礎(chǔ)。 第三章單( 雙) 向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性及其同步 第三章單( 雙) 向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性及其同步 隨著數(shù)學(xué)理論、控制方法與不同學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展，更多的數(shù)學(xué)與控制方法被廣泛應(yīng) 用于各個(gè)學(xué)科中，尤其在生物學(xué)中。近來，h p 模型被提出并用數(shù)學(xué)方法已得到很好的 研究，但是對(duì)其混沌模型控制的研究還很少，還有一系列的工作值得研究。本章是在上 一章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明了單( 雙) 向線性耦合食物鏈混沌系統(tǒng)的有界性，為下文食 物鏈系統(tǒng)間的同步奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)采用線性耦合方法研究了生物學(xué)中食物鏈系統(tǒng)變量 之間的同步。首先，我們給出了種群同步的概念，然后來研究它的有界性和同步的方法。 3 1 食物鏈系統(tǒng)中種群同步的定義 生物學(xué)中食物鏈系統(tǒng)的各個(gè)變量之間的同步不同于一般意義下的同步，它對(duì)生物學(xué) 種群變量的研究具有一定的意義。在本文中，我們所研究的種群間的同步是指兩個(gè)不同 地方( 或不同名種) 的同一個(gè)種群放在同一魚塘中發(fā)生的現(xiàn)象，即兩個(gè)食物鏈混沌系統(tǒng)間 的各個(gè)變量：獵物、捕食者、高級(jí)捕食者之間的同步增長或是減少。 3 2 單向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性 單向線性耦合h p 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為： 三吲h ) 一羔乃堋而訓(xùn)， 五2 而a l x l 弗一篙毛一喀乃州兄訓(xùn)， ( 3 1 ) 三2 茜刁啤心( 乞吲 和 x 。2 = x 2 ( 1 - x 2 ) 一而a l x 2 兒， y 。2 = 雨a l x 2 兒一麗a 2 y 2 z 2 - 嘎兒， ( 3 2 ) z 。2 = 百a 2 i y 2 乞一吐乞， 系統(tǒng)( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的初始條件滿足：五：( 0 ) o ，乃，：( 0 ) o ，毛，：( 0 ) 0 由于一般的 混沌系統(tǒng)是有界的，因此只要能取到有限的耦合系數(shù)毛，屯，包，那么耦合系統(tǒng)( 3 1 ) 式 也是有界的。為討論方便我們令d = 毛= 哎= 毛。這里，我們給出線性耦合系統(tǒng)( 3 1 ) 的有界性證明： 定理3 2 1 - 對(duì)系統(tǒng)( 3 1 ) 的解( f ) ，y ( f ) ，z 。( f ) 滿足初始條件： 五( o ) o ，y ，( o ) o ，z 。( o ) 0 ，只要取得合適的耦合系數(shù)d 吐：，喀，則 r 3 = ( 五j ，z ) r 3 工0 ，y o ，z o ) 是系統(tǒng)( 3 1 ) 的不變區(qū)域，即( f ) ，y i ( f ) ，z i ( f ) 均為系 統(tǒng)( 3 1 ) 的非負(fù)解。 1 5 江南火學(xué)碩士學(xué)位論文 證明：由系統(tǒng)( 3 1 ) n - - j 知： 邪h ( o ) e x p 州呦一蠢耘們川( 豢一肭) ， y 。州。) e x p f 【端一蠢齋扣m “( 囂。1 臌 邪心( 0 ) e x p 端一畋川器一眥， 由系統(tǒng)( 3 i ) 的解的初始條件五( o ) o ，m ( o ) 0 ，z l ( o ) o 得：五( f ) o ，y l ( t ) o ，z l ( f ) 0 。 定理3 2 2 ：若系統(tǒng)( 3 2 ) 有界，只要取得合適的耦合系數(shù)4 ，如，吃，則系統(tǒng)( 3 1 ) 的解是有界的。 證明：由于系統(tǒng)( 3 2 ) 是有界的及2 2 節(jié)食物鏈系統(tǒng)的有界性證明可知： 從系統(tǒng)( 3 1 ) 的第一個(gè)方程我們有： 皇( 1 一五) + d ( 屯一五) ( 1 一j c l ) + d 一如= ( 1 一) ( 五十d ) 其中：五( o ) 0 。 由比較定理【1 7 1 ，我們有： 對(duì)任意的，。，玉o ) 1 - - d e - o + a ) t 嘉，其中c = ( 去) _ l 。 因此對(duì)任意的f o ，都有x ( f ) l 。 c 令m = x + y + z ，于是，便有： m = ( 石+ y + z ) = 而( 1 一五) + d ( 恐一五) 一d l y i + d ( y 2 一m ) 一畋乙+ d ( z 2 一互) 由2 2 節(jié)可知：不防設(shè)x ( f ) ，少( f ) ，z ( f ) m ；礦= l - d + m i n d l + d ，吐+ j ； a = m i n d , + d ，吐+ d ) 。 則上式可轉(zhuǎn)化為： m ( 1 - d ) x l - ( d + d 1 ) y , 一( d + 畋) 五+ 3 d m 3 d m + c p - a m 所以有：m ( f ) 3 d m + f a + c 礦耐，其中c 為任意常數(shù)。 因此，系統(tǒng)( 3 1 ) 有界得到證明。 3 3 雙向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性 我們研究雙向線性耦合h p 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下： 1 6 第三章單( 雙) 向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性及其同步 x 。, = x , ( 1 - x o 一蒜 訓(xùn)， 五2 囂乃一而a 2 y , z - 咖- 堋兄m ( 3 3 ) ；- i 十a(chǎn) 2 d y , 訂乙一畋z - + 屯( z 2 一z 1 ) ， 和 x 2 = x 2 ( 1 - - x 2 ) 一而a l x 2 奶+ 墨( 五一藝) ， 立= 蕞咒一而a 2 y 2 z 2 咖z 州y - 訓(xùn)， ( 3 4 ) 乏= 1 + a 2 反y 2 “z 2 一吐z z + 乜( 乙一z 2 ) ， 上述兩系統(tǒng)的初始條件滿足：五。：( 0 ) 0 ，舅：( 0 ) 0 ，z l ，：( 0 ) 0 只要取到合適的耦合系數(shù) 毛，晚，毛，就可以得到系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 是有界的類似于定理3 2 1 和定理3 2 2 ， 下面我們給出雙向耦合線性食物鏈混沌系統(tǒng)的有界性證明如下： 定理3 3 1 ：對(duì)上述連系統(tǒng)的解五。：( f ) ，y l 2 ( f ) ，z ，：( f ) 滿足初始條件：五，：( o ) 0 ， 咒：( o ) o ，毛，：( o ) o ，只要取得合適的耦合系數(shù)墨，也，七3 ，則： f 足3 = ( 五y ，z ) r 3 x 0 ，y o , z 0 ) 是系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 的不變區(qū)域。 即屯竺咒2 i 曼z 分別：i 苧竺。3 ) 竺系統(tǒng)0 4 ) ) 的非負(fù)解。 證明：由系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 有： 訛) 2 五( o ) e x p f 【( 1 吲呦一而a 麗1 巾) 堋卷- 1 ) 】峨 腫一l ( 0 川f 蒜一蕊a 而2 拍h 詠描- 1 ) ， 拍) - z i ( o ) e x p f 【瑞一吐州搿_ 1 ) 地 和 川) = 堋) e x p 吲呦一矗埔) 州豢。) ， 圳2 y 2 ( o ) c x p 豇端一而a 麗2z l ( 滬吐州器- 1 ) ， 礎(chǔ)) = 2 1 2 ( o ) 唧 f 【端一畋州器卸 由于系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 的解滿足初始條件_ ，：( o ) 0 ，y 1 ：( o ) o ，z l 2 ( o ) o ， 所以有：五2 ( f ) 0 ，j ，i 2 ( f ) o ，z 1 2 ( f ) o 。 1 7 江南大學(xué)碩士學(xué)位論文 證明：從系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 的第一個(gè)方程我們有： 掣：孛+ 譬x 。( 1 - 五) + 而( 卜屯) d td td t ”。 = ( + 乇) 一( 五2 + 恐2 ) = ( x i + 恐) 一( + 屯) 2 + 2 而 ( + 為) 一魚i 之蘭上：( + 恐) 1 一i 1 ( 五+ 恐) 】 其中系統(tǒng)( 3 3 ) 和( 3 4 ) 滿足初始條件：五( 0 ) o ，恐( o ) 0 。 在此，我們令：x = 五+ 而，并由比較定理我們有： 對(duì)任意的f o ， x ( f ) = 而( f ) + 恐( f ) 與 1 + c 2 因此對(duì)任意的t 0 ，x ( t ) 都是有界的，即雙向 ，其中c 一。 ( 3 3 ) 和( 3 4 ) 的解五( f ) ，x 2 ( t ) 也都是有界的。不防假設(shè)：o l 。i m s u p 五( f ) ，而( f ) 了m 。 f u ， 由系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 右端的方程可知： 垡! 苧z ! 芻2 i - d ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 垡! 苧羔! + 堡! 苧匕! + 望! 芻互! d td t d td td t 五( 1 一五) 一面咒一畋毛+ y l ( 1 一咒) 一面兒一畋乞 = ( + 屯) 一d l ( y , + 兒) 一d 3 ( z i + 乞) ( 3 5 ) g a _ k 述可知，我們令：x = 五+ 喲，y = 兒+ 耽，z = z i + 乞。 令m = x + y + z ，于是，由( 3 5 ) 式有： m 7 = ( x + 】廠+ z ) = ( + 屯) 一d l ( y , + 此) 一吐( 五+ z 2 ) = x 一盔】廠一畋z y m i n d l ，吃) ( y + z ) 由上述可知：x ( t ) = 五( f ) + x 2 ( t ) m 妒= 1 + r a i n d , ，畋) ；a = m i n d , ，畋) 。 則上式可轉(zhuǎn)化為：m m 一- a m 所以有：聊( f ) 絲+ 傀一，其中c 為任意常數(shù)。 口 因此，雙向耦合系統(tǒng)( 3 3 ) 和系統(tǒng)( 3 4 ) 有界得到證明。 3 4 線性耦合混沌系統(tǒng)的同步定理 考慮如下線性耦合模型，分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)： x = 似+ 八x ) + k ( r - 石) ( 3 6 ) 】，= 彳】，+ 廠( 】，) + ( x - y ) ( 3 7 ) 這里x = ( 五，恐，) r r “為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，】，= ( 乃，奶，兒) r r ”為響應(yīng)系 統(tǒng)的狀態(tài)變量，彳是靠木n 矩陣，這里的函數(shù)廠為連續(xù)可微向量函數(shù)且滿足：f ( o ) = 0 其 1 8 一l 繕c 黝 一卜 合 一一2耦 第三章單( 雙) 向線性耦合食物鏈系統(tǒng)的有界性及其同步 中：為方便我們經(jīng)常取k ：為對(duì)角矩陣，是耦合參數(shù)矩陣當(dāng)k i 或?yàn)榱憔仃嚂r(shí)即為單 x i = 6 i i o ) + b 1 2 ( f ) 屯+ 6 1 3 0 ) 屯 而= 6 2 i o ) 五+ 么2