機械與數(shù)學.doc

機械與數(shù)學摘要：數(shù)學在機械行業(yè)中有著重要的地位，本文將以具體的機械專業(yè)課程為例向大家介紹數(shù)學在機械專業(yè)課程中的應用數(shù)學是一門既基礎又獨立的學科，是生活中必不可少的一門工具,現(xiàn)代機械設計的理論基礎是理論力學，當然還有其他學科的交叉，而理論力學的深度取決于數(shù)學發(fā)展的深度，可以說數(shù)學發(fā)展到什么程度，理論力學就可進展到什么程度,比如在齒輪傳動中的齒輪漸開線，螺旋線等的設計，計算等，微積分，偏微分，只是在設計中的計算工具，當然在電路，自控和電子元器件設計方面還要用到線性代數(shù)，傅里葉方程，場論等，人類在認識自然，尋找自然規(guī)律，科學發(fā)展的過程中還有很長的路要走，數(shù)學的發(fā)展遠遠沒有解決人類的認識論和方法論的全部，只是真理漸進線的一個點，掌握這些工具對機械工作大有益處。一、 數(shù)學在機械運動中的應用1. 常量、變量與運動狀態(tài)的描述變量與常量是描述運動狀態(tài)的一種數(shù)學方法，把點的軌跡化為兩個變數(shù)X、Y的關系式代數(shù)方程，即把變數(shù)理解為由點連續(xù)運動產生的。因此，坐標系的創(chuàng)立為研究機械運動提供了一個有用的工具。2. 函數(shù)與運動規(guī)律的表達函數(shù)概念是一種變量對另一種變量的依賴關系的反映。因此，函數(shù)也成為了描述運動規(guī)律的一種數(shù)學方法，函數(shù)的概念也是從運動的研究中產生的。 3. 微分與運動本質的刻畫導數(shù)(微分)概念的產生也與運動的研究有關。自由落體運動為例，自由落體瞬時速度的物理意義在于：既表明落體在瞬時t位于位置s(t)，又表明落體以s (t)=gt這樣大小的趨勢和方向離開位置s(t)。這樣，瞬時速度就刻畫了出了物體運動的本質。由此可見，瞬時速度(微分法)是刻畫運動本質的數(shù)學方法。4. 微分方程與運動規(guī)律的揭示物質機械運動過程可表為空間某區(qū)域的點上力學量隨時間的變化。也就是說，運動規(guī)律是表征物質運動的特征量在鄰近空間與鄰近時間的變化。這種變化是一種微分關系，或者說是一種微分方程。因而，微分方程(包括偏微分方程)是揭示物質運動規(guī)律的一種數(shù)學方法。事實上，力學的各種運動微分方程都揭示了相應的物質運動的規(guī)律。其對應關系，諸如：質點系的基本定理 質點系動力學，剛體運動微分方程 剛體動力學，拉格朗日方程非自由質點系動力學，麥克斯韋方程 電動力學，薛定諤方程 量子力學，愛因斯坦引力場方程 相對論力學。5. 變分法與運動優(yōu)化的判據(jù)在力學基本定律的基礎上，利用變分方法得到的力學變分原理，提供一種準則，給出的準則表現(xiàn)為系統(tǒng)運動的某一函數(shù)或泛函具有駐定值問題的形式出現(xiàn)。力學的變分原理有：拉格朗日最小作用原理、Hamilton原理、雅克比最小作用原理、高斯最小約束原理、Hertz最小曲率原理等。這些原理大多表明，最優(yōu)化是自然界物質系統(tǒng)發(fā)展的一種趨勢。可以說變分法是判據(jù)運動優(yōu)化的數(shù)學方法。二、 數(shù)學在機械制圖課程中的應用機械制圖的學習一直是機電專業(yè)學生學習的重點和難點，其中讀識圖紙及繪制圖紙的能力，與我們學習的立體幾何有很大關系。機械制圖的基本內容是：基本幾何體及其組合體的讀識和繪制；孔軸、圓盤類零件的讀識和繪制；裝配圖的讀識和繪制等三個相應的學習單元。這些技能的學習要求我們了解一般幾何圖形，并對它們進行簡單組合，在頭腦中形成三維立體概念。在立體幾何中，基本幾何體如長方體、圓柱體、三棱柱、椎體等，同學們都學過，并且對它們的正視圖、主視圖左視圖的投影及畫法都有一定的了解。所以立體幾何對學好機械制圖是至關重要的。三、 數(shù)學工具MatLab在機械原理課程中的應用MATLAB是一個通用性很強的優(yōu)秀軟件，在數(shù)學、力學、機械工程、控制工程及信號處理等領域內應用極其廣泛。MATLAB在機械原理課程的教學中應用廣泛并且便捷，以至于國內外已有專門結合MATLAB軟件的機械原理教材出現(xiàn)。MATLAB有以下幾個基本特點：第一，有極強的數(shù)值計算功能和作圖功能，也有很強的符號計算功能；第二，圖形窗口式的操作一看就懂，一用就會使用常用的數(shù)學符號和表達式，貼近人們的思維習慣，使用復數(shù)與矩陣，計算速度快；第三，用簡單的指令就可以完成大量的計算與作圖功能。編程語法簡單，程序設計方便正是具有這樣的特點，因此在機械原理教學中應用數(shù)學工具，選用MATLAB軟件作為教學軟件是很合適的。學生只需用很少的時間便可掌握其基本用法，又可在日后的工作和學習中進一步深入學習，從而為將來的工程技術工作打下良好的基礎。四、 模糊數(shù)學方法在機械設計中的應用在機械設計中,一些經驗性數(shù)據(jù)和一些實際測量值,很難用精確的數(shù)字給出,往往采用諸如下列的表達:材料的厚度約為2cm,沖擊力約為8t,零件底部圓角半徑為56mm,等等。那么如何表達這些不精確信息(非隨機的不精確信息,主要是模糊信息)？例如:一個鐵棒已知長度約為50cm,圓型橫截面的半徑為22.2cm,問這個鐵棒的體積是多少?按傳統(tǒng)模型,我們有l(wèi)=50cm,min=2cm,max=22cm.根據(jù)這些數(shù)據(jù)可得可知,所得的結果與實際是有一定差距的?？梢钥闯?傳統(tǒng)設計模型不能恰當?shù)孛枋鎏幚砟：畔?因而影響設計計算結果。模糊數(shù)設計不失為解決上述問題的一種好方法。模糊數(shù)是以實數(shù)為論域的正規(guī)的凸模糊集。設mW(R),且滿足:(1)m是凸的;(2)m是正規(guī)的,即 x0R,m(x0)=1.則稱m是R上的模糊數(shù)?？梢钥闯?區(qū)間數(shù)是模糊數(shù)的一種特例1。模糊數(shù)設計就是用模糊數(shù)去表示設計數(shù)據(jù),按照模糊數(shù)的運算規(guī)則去加工數(shù)據(jù)進行設計計算。五、 數(shù)學在機械振動中的應用我們還可從下面的描述中來體會數(shù)學在振動和動力學研究中體現(xiàn)的完美和統(tǒng)一。對線性有阻尼自由振動,從數(shù)學方程看是一個衰減振動,已經無周期可言,最后系統(tǒng)會處于靜止狀態(tài),實際測試的時間歷程也證明完全一致,從相圖上看,會出現(xiàn)螺旋形收縮,最后走向原點即成為焦點,所以焦點就是該類系統(tǒng)的“吸引子”;而無阻尼時,由初始條件確定的橢圓就是系統(tǒng)的“吸引子”,強迫振動表現(xiàn)為瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的迭加。對于非線性系統(tǒng),以著名的蟲口繁衍非線性方程和Ueda所研究的達芬方程為例。在參數(shù)控制下,系統(tǒng)會出現(xiàn)從倍周期分岔走向混沌或從擬周期運動走向混沌,所以混沌系統(tǒng)存在“奇異吸引子”。還有許多事例可以證明數(shù)學在振動學中的重要地位,也可以從數(shù)學角度體會振動和動力學的美，這里由于涉及比較多的專業(yè)知識，在這里就不一一舉例了。近幾十年來，隨著科學技術的發(fā)展和社會的進步。數(shù)學在自然科學、社會科學、工程技術與現(xiàn)代十明理等方面獲得了越來越廣泛而深入的應用，使人們逐漸認識到建立數(shù)學模型的重要性。數(shù)學模型的最優(yōu)化模型相關理論被廣泛的應用到機械結構的設計領域。將機械設計任務的具體要求構造成數(shù)學模型，也就是將機械設計問題化為數(shù)學問題。什么是建模，在工程中來說，就是把你想的東西以數(shù)學的形式表達出來，例如齒輪的計算，齒根強度模型為懸臂梁，這個模型很不錯，但是不是普世的，你需要知道為什么這樣寫公式，這才是用數(shù)學。對于蝸輪而言，或者對于短齒而言，這個公式還能用吧，精度有多高？結合材料，力學等把實際問題轉化為數(shù)學模型，這才是實際的，雖不是最基礎的，但是對于工程設計而言，可以算作基礎了。1 H2 3 . q! t7 A% f0 , k8 V: l Z( n: R我們學機械設計，學里面的什么？好像教科書中重點給出的就是算法和流程，其實最應該明白的是這些東西是怎么來的。當然最是的規(guī)范性也很重要，這是機械人的品質。我們看日本人做事，就是死板，包括德國人，其實是一種做事規(guī)范的體現(xiàn)。2 l6 _ Y; K$ L$ ! u+ 不管以后用什么東西計算，求解本身不是關鍵，關鍵是你知道怎么去找關聯(lián)，把問題變成數(shù)學模型。#在這個數(shù)學模型中，既包括有設計要求，又包括根據(jù)設計要求提出的必須滿足的附加條件，從而構成一個完整的數(shù)學規(guī)劃命題。逐步求解這個數(shù)學規(guī)劃命題，使其滿足設計要求，從而獲得可行方案。機械結構設計就是在滿足各種規(guī)范或某些特定要求的條件下使結構的某種廣義性能指標(如重量，造價等)為最佳，目的在于尋求既安全又經濟的結構形式。把數(shù)學與客觀實際問題聯(lián)系起來的紐帶首先是數(shù)學建模，因此要進行機械結構的設計，首先必須將設計問題的物理模型轉變?yōu)閿?shù)學模型。通過調查，收集數(shù)據(jù)、資料，觀察和研究其固有的特征和內在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，提出假設，經過抽象簡化，建立反映實際問題的數(shù)量關系。建立數(shù)學模型時要選取設計變量，列出目標函數(shù)，給出約束條件。其次，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼庠摂?shù)學模型。在多數(shù)情況下，我們很難獲得數(shù)學模型的解析解，而只能得到它的數(shù)值解，這就需要應用各種數(shù)值方法、軟件和計算機。包括各種數(shù)值優(yōu)化方法，線性與非線性方程組的數(shù)值方法，微分方程(或方程組)的數(shù)值解法，各種預測、決策和概率統(tǒng)計方法等。當然，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型并不是一件容易的事。另外，如果所建立的數(shù)學模型的數(shù)學表達式過于復雜，涉及的因素很多，在計算上也會出現(xiàn)困難。因此，要抓主要矛盾，盡量使問題合理簡化，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。數(shù)據(jù)分析法是從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學模型，其中常用的方法有時序分析法、回歸分析法。仿真一般使用計算機仿真(模擬)，實質上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。常用的離散系統(tǒng)仿真和連續(xù)系統(tǒng)仿真。 簡述機械系統(tǒng)動態(tài)仿真軟件平臺及其功能和基本分析步驟。數(shù)學建模方法有幾種？機械系統(tǒng)建模采用哪幾種，并加以簡要說明。傳統(tǒng)的數(shù)學建棋方法基本上有兩大類，即機理分析建模與實驗統(tǒng)計建模。以后又出現(xiàn)了層次分析和定性推理建模力法，而且實驗統(tǒng)計建模也有新的發(fā)展，產生了具有現(xiàn)代活力的系統(tǒng)辨識建模方法。在上述四大類數(shù)學建模方法基礎上的具體建模方法，目前已超過數(shù)十種，其常見方法有；機理分析法、直接相似法、系統(tǒng)辨識法、回歸統(tǒng)計法、極率統(tǒng)計法、量綱分析法、網(wǎng)絡圖論法、圖解法、模糊集論法、蒙特卡洛法、層次分析法、“隔艙”系統(tǒng)法、定性推理法、“灰色”系統(tǒng)法、多分面法、分析統(tǒng)計法及計算機輔助建模法等。機械系統(tǒng)建模一般采用機理分析、數(shù)據(jù)分析法、仿真等方法。機理分析是從基本物理定律以及系統(tǒng)的結構數(shù)據(jù)來推導出模型，其中常用的方法有比例分析法、代數(shù)方法、邏輯方法、常微分方程、偏微分方程。下面以Pro/E為例進行介紹。Pro/Mechanical Motion為Pro/E的集成運動模塊，是設計機構運動強有力的工具。該模塊可以讓機構設計師設定裝配件在特定環(huán)境中的機構動作并給予評估，能夠判斷出改變哪些參數(shù)能滿足工程及性能上的要求，使產品設計達到最佳狀態(tài)。 Pro/Mechanical Motion是一個完整的二維實體靜力學、運動學、動力學和逆動力學仿真與優(yōu)化設計工具。Motion運動模塊可以快速創(chuàng)建機構模型并能方便地進行分析。從而改善機構設計。Pro/Mechanical Motion具有如下功能：(1)校驗機構運動的正確性，對運動進行仿真，計算機構任意時刻的位置、速度、加速度。(2)通過運動分析可以得出裝配的最佳配置。(3)根據(jù)給出的力次定運動狀態(tài)及反作用力。(4)根據(jù)運動反求所需要的力。(5)求出餃接點所受的力及軸承力。(6)通過尺寸變量對機構進行優(yōu)化。(7)干涉檢查。Pro/Mechanical Motion進行運動分析的流程圖如下：一般機械系統(tǒng)動態(tài)仿真的基本步驟如下圖所示：結語數(shù)學對科學技術的發(fā)展起著重大作用是被廣泛接受的觀點正如馬克思所說：“一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步” 現(xiàn)代科學技術發(fā)展的一個重要趨勢是日益數(shù)學化它不僅要進行定性的研究，還要進行定量分析，提出一定的數(shù)學關系式和數(shù)學模型來描述研究課題的運動規(guī)律這是現(xiàn)代科學革命的一個必然趨勢機械行業(yè)也不例外，通過自己對機械專業(yè)課程的學習，深深地感受到了數(shù)學對于機械的重要性，同時也感受到了數(shù)學給機械的深入研究帶來的便利。例如，機械制圖中用到了數(shù)學中的立體幾何知識，理論力學中用到了拉格朗日方程和哈密頓正則方程等重要公式，機械原理中用到了利用包絡線方程求凸輪輪廓曲線等公式，另外，利用數(shù)學知識開發(fā)的專業(yè)軟件也為機械的發(fā)展做出了重要貢獻，如專業(yè)軟件：MATLAB、AutoCAD、Solidworks、Pro-E、UG-NX等。正是因為有了這些數(shù)學知識，機械的相關研究才能更精確，更方便，更高效！最后，愿數(shù)學與機械共同發(fā)展、進步，共同為人類美好的未來貢獻自己的一份力量！參考文獻：1 邵秀燕. 數(shù)學課結合機械制圖基本幾何休的教學嘗試J. 職業(yè)技術, 2004,(03)2 姜娜. 讓創(chuàng)新走進機械制圖的數(shù)學中J. 黃河之聲：科教創(chuàng)新版,2007,(0