二階非齊次線性微分方程的解法..doc

目 錄待定系數(shù)法常數(shù)變異法冪級數(shù)法特征根法升階法降階法關(guān)鍵詞：微分方程，特解，通解，二階齊次線性微分方程常系數(shù)微分方程 待定系數(shù)法解決常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程 (1) 特征根是單根的情形設(shè)是特征方程的的個彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程有如下個解： 如果均為實(shí)數(shù)，則是方程的個線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程的通解可表示為如果方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是實(shí)系數(shù)，復(fù)根將成對共軛出現(xiàn)。設(shè)是一特征根，則也是特征根，因而與這對共軛復(fù)根對應(yīng)，方程有兩個復(fù)值解它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。這樣一來，對應(yīng)于特征方程的一對共軛復(fù)根，我們可求得方程的兩個實(shí)值解（2） 特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，對應(yīng)于方程的個線性無關(guān)的解。若這個重零根設(shè)特征根為其重數(shù)為。方程的解為對于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè)是重特征根，則也是重特征根，可以得到方程的個實(shí)值解例1 求方程的通解。解 特征方程的根為有兩個實(shí)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。例2 求解方程 的通解。解 特征方程的根為有兩個復(fù)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法（1） 化為常系數(shù)1. 在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程一類典型的方程是歐拉方程 我們想找一個變換，使方程的線性及齊次性保持不變，且把變系數(shù)化為常系數(shù)。根據(jù)方程本身的特點(diǎn)，我們選取自變量的變換，并取，即變換 就可以達(dá)到上述目的（這里設(shè)，當(dāng)時，取，以后為確定起見，認(rèn)為）。事實(shí)上，因?yàn)榇敕匠?，則原方程變?yōu)榉匠坛Ｏ禂?shù)二階線性微分方程，由 上可求得方程的通解。再變換，代回原來的變量，就得到原方程的通解。例 求方程的通解解 此方程為歐拉方程，令，則由知，原方程化為 其特征方程為特征根為，故方程的通解為換回原自變量，則原方程的通解為2. 在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的方程現(xiàn)在考慮二階變異系數(shù)線性方程 的系數(shù)函數(shù)滿足什么條件時，可經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性齊次變換化為常系數(shù)方程。這里是待定函數(shù)。為此，把代入方程，可得到欲使為常系數(shù)線性齊次方程，必須選取使得及的系數(shù)均為常數(shù)。特別地，令的系數(shù)為零，即可求得再代入，整理之，得到 由此可見，方程可經(jīng)線性齊次變換化為關(guān)于的不含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性齊次方程，且當(dāng)?shù)南禂?shù)為常數(shù)時，方程為常系數(shù)方程。因方程在形如的變換下，函數(shù)的值不會改變，故稱為方程的不變式。因此，當(dāng)不變式為常數(shù)時，方程可經(jīng)變換化為常系數(shù)線性齊次方程。例求方程的通解解 這里，因故令就可把原方程化為常系數(shù)方程可求得其通解為代回原變量，則得原來方程的通解為（二）降階的方法 處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當(dāng)?shù)淖儞Q把高階方程的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階方程的求解問題。具體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。已知的一個特解，試求該方程的通解解 作變換，則原方程可化為一階線性微分方程求解，得所以原方程的通解為法二 設(shè)是方程的任一解，則有劉維爾公式得其中常數(shù)，亦即以積分因子乘上式兩端，就可推出積分上式可得到例 求方程的通解解 由觀察知方程有一特解，令則，代入方程，得再令，得一階線性齊次方程從而可得取便得原方程的另一解顯然，解線性無關(guān)，故方程的通解為冪級數(shù)法考慮二階線性微分方程及初值及的情況可設(shè)一般性，可設(shè)，否則，我們引進(jìn)新變量，經(jīng)此變換，方程的形式不變，但這時對應(yīng)于的就是了.因此總認(rèn)為. 定理 若方程中的系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為,則方程有形如的特解，也以為級數(shù)的收斂區(qū)間.定理 若方程中的系數(shù)和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為,則方程有形如的特解，也以為級數(shù)的收斂區(qū)間.定理 若方程中的系數(shù)和具有這樣的性質(zhì)，即和都能展成的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為,若，則方程有形如的特解，是一個待定的常數(shù).級數(shù)也以為級數(shù)的收斂區(qū)間.例 求方程的滿足初值條件及的解解 設(shè) 為方程的解.利用初值條件，可以得到因而將的表達(dá)式代入原方程，合并的同次冪的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到因而最后得對一切正整數(shù)成立.將的值代回就得到、這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級數(shù)解法求解方程解 因?yàn)?，所以在的鄰域?nèi)有形如的冪級數(shù)解.將代入原方程，得比較的同次冪的系數(shù)，得解得 所以，原方程的通解為即方程組的消元法 在某些情形下，類似于代數(shù)方程組的消元，我們可以把多個未知函數(shù)的線性方程組化為某一個未知函數(shù)的高階微分方程來求解例 求解線性微分方程組解 從第一個方程可得 把它代入第二個方程，就得到關(guān)于的二階方程式不難求出它的一個基本解組為把和分別代入式，得出的兩個相應(yīng)的解為由此得到原來微分方程組的通解為其中和為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程類型一 的特解，其中為特征方程的根的重數(shù)(單根相當(dāng)于；當(dāng)不是特征根時，取),而.類型二 的特解，其中為特征方程的根的重數(shù)，而均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項(xiàng)式，.求方程的通解解 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.這里特征方程有兩個根.因此，通解為，其中為任意常數(shù).再求非齊次線性微分方程的一個特解.這里又因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故可取特解形?其中待定常數(shù).為了確定A,B,將代入原方程，得到，比較系數(shù)得由此得從而因此，原方程的通解為求方程的 通解.解 特征方程有重根，因此，對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù).現(xiàn)求非齊次線性微分方程的一個特解.因?yàn)椴皇翘卣鞲?，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項(xiàng)系數(shù)得從而因此原方程的通解為方法二由方法一知對應(yīng)的齊次線性的通解為為求非齊次線性微分方程的一個特解，我們先求方程 的特解.這是屬于類型一，而不是特征根，故可設(shè)特解為分出它的實(shí)部于是原方程的通解為注：對于這是因?yàn)?，求的通?對應(yīng)的齊次方程的特征方程為即得特征根為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的即方程的一個特解為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的 即方程有一個特解為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的 即方程有一個特解為所以原方程的通解為這里是任意常數(shù).升階的方法升階是常微分方程很少提到的一種方法，這是因?yàn)殡S著階數(shù)的升高，一般會使得求解更為繁瑣，但適當(dāng)運(yùn)用這種方法，在有些情況下也可以受到事半功倍的效果.升階法往往用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程，具體分析見參考文獻(xiàn)【9】 例 用升階法求方程的一個特解 解 兩邊同時逐次求導(dǎo)，直到右邊為常數(shù)，得令，則代回原方程，得，解之，有，該表達(dá)式幾位方程的一個特解. 例 用升階法求方程的一個特解解 先求解方程，令，代入方程，得，取，進(jìn)一步取，則其虛部函數(shù)為原方程的一個特解，即可求得原方程的一個特解為 常數(shù)變易法定理 如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是區(qū)間上齊次線性微分方程的基本解組，那么，非齊次線性微分方程的滿足初值條件的解有下面公式給出這里是的朗斯基行列式，是在中的第列代以后得到的行列式，而且非齊次方程的任一解都具有形式這里是適當(dāng)選取的常數(shù).特別地，當(dāng)時的特解為其中因此，當(dāng)時，常數(shù)變易公式變?yōu)?而通解就是 法二設(shè)是方程的基本解組，當(dāng)滿足以下條件時，是方程的通解，滿足條件的，則為二階非齊次線性微分方程的通解例 試求方程的一個解解 易知對應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組為我們直接利用公式來求方程的一個的一個解。這時取是對應(yīng)的齊次線性微分方程的一個解，所以函數(shù)也是原方程的一個解。 218頁13題165頁6題參考文獻(xiàn)1王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松編 高等教育出版社 常微分方程第三版2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社3都長清