標架與坐標.doc

1.5 標架與坐標1. 直線上的坐標系在直線上確定一個定點O且取定一個非零向量，則對直線上的每個向量，都存在惟一的實數(shù)x，都可表示成定義1.5.1 直線上的一個定點連同直線上的一個非零向量叫做直線的一個標架，記作O；. 若是單位向量，則O；叫笛卡兒標架，一般的標架稱為仿射標架. 定義1.5.2 對于取定標架O；的直線上的任意點P，向量叫做點P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標架O；的分量x叫做點P關(guān)于標架O；的坐標，記為P(x)或(x).定義1.5.3在直線上取定標架O；之后，直線上的點P就與向徑取得一一對應，而向徑通過關(guān)系式= x就與全體實數(shù)的集合之間取得一一對應，因此直線上的全部向量或點的集合與全體實數(shù)的集合之間取得了一一對應關(guān)系，這個一一對應關(guān)系叫做直線上的向量或點的坐標系. 若O；是笛卡兒標架，則由它決定的坐標系叫笛卡兒坐標系，若O；是仿射標架，則由它決定的坐標系叫仿射坐標系. 由于直線坐標系完全由標架O；決定，我們也常用O；來表示直線坐標系. 此時O叫坐標原點，叫坐標向量. 取定標架O；的直線叫坐標軸，簡稱軸. 可記為Ox. 2. 平面上的坐標系在平面上確定一個定點O且取定兩個不共面的向量，則對平面上每個向量，都存在惟一一對有序?qū)崝?shù)，使分解成和的線性組合：定義1.5.4 平面上的一個定點O連同平面上的兩個不共線的有序向量，的全體叫做平面的一個標架，記作O；，. 若，都是單位向量，則O；，叫笛卡兒標架，若，不僅是單位向量而且相互垂直，則O；，叫笛卡兒直角標架，一般的標架O；，稱為平面仿射標架. 定義1.5.5 公式中的有序?qū)崝?shù)對x，y叫做向量對于標架O；，的分量或坐標. 定義1.5.6 對于取定標架O；，上的平面上任意點P，向量叫做點P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標架O；，的分量x，y叫做點P關(guān)于標架O；，的坐標，記為P(x，y)或(x，y).在平面上取定標架O；，之后，平面上的點P就與向徑取得一一對應，而向徑通過關(guān)系式= x又與有序?qū)崝?shù)對的集合之間取得一一對應，因此平面上的全部向量或點的集合與全體有序?qū)崝?shù)對集合之間取得了一一對應關(guān)系，這個一一對應關(guān)系叫做平面上的向量或點的坐標系. 若O；，是笛卡兒（直角）標架，則由它決定的坐標系叫笛卡兒（直角）坐標系，若O；，是仿射標架，則由它決定的坐標系叫平面仿射坐標系. 由于平面坐標系完全由標架O；，決定，我們也常用O；，來表示平面坐標系. 此時O叫坐標原點，叫坐標向量. 平面右旋坐標系和左旋坐標系的概念. 今后使用的一般都是平面右旋笛卡兒直角坐標系，簡稱為平面直角坐標系，其坐標向量通常用表示. 取定標架O；，后，將，歸結(jié)到原點O，就得到坐標軸，簡稱軸Ox和Oy，分別稱為x軸和y軸. 坐標系可記為Oxy. 平面坐標系使我們建立了平面上的點與一對有序數(shù)組(x，y)之間的一一對應關(guān)系，于是幾何與代數(shù)就結(jié)合起來，增強了我們研究平面圖形的能力與手段.下面引進空間直角坐標系.3. 空間坐標系在空間上確定一個定點O且取定3個不共面的有序向量，則對空間上每個向量，都存在惟一一組有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使分解成，和的線性組合：定義1.5.7 空間上的一個定點O連同3個不共面的有序向量，的全體叫做空間的一個標架，記作O；，. 若，都是單位向量，則O；，叫笛卡兒標架，若，不僅是單位向量而且兩兩垂直，則O；，叫笛卡兒直角標架，一般的標架O；，稱為空間仿射標架. 介紹右手標架和左手標架的概念. 定義1.5.8 公式中的有序?qū)崝?shù)組x，y，z叫做向量對于標架O；，的分量或坐標，記作(x，y，z)或 x，y，z . 定義1.5.9 對于取定標架O；，的空間中的任意點P，向量叫做點P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標架O；，的分量x，y，z叫做點P關(guān)于標架O；，的坐標，記為P(x，y，z)或(x，y，z).在空間取定標架O；，之后，空間上的點P就與向徑取得一一對應，而向徑通過關(guān)系式= x又與有序三數(shù)組的集合之間取得一一對應，因此空間上的全部向量或點的集合與全體有序三數(shù)組的集合之間取得了一一對應關(guān)系，這個一一對應關(guān)系叫做空間中的向量或點的一個坐標系. 若O；，是笛卡兒（直角）標架，則由它決定的空間坐標系叫笛卡兒（直角）坐標系，若O；，是仿射標架，則由它決定的坐標系叫空間仿射坐標系. 由于空間坐標系完全由標架O；，決定，我們也常用O；，表示空間坐標系. 此時O叫坐標原點，叫坐標向量. 今后使用的一般都是空間右手笛卡兒直角坐標系，簡稱為空間直角坐標系，其坐標向量通常用表示. 取定標架O；，后，將，歸結(jié)到原點O，就得到3個坐標軸，簡稱軸Ox，Oy和Oz軸，分別稱為x，y和z軸. 空間坐標系可記為Oxyz. 如無特別聲明，今后使用的都是空間直角坐標系. 1）坐標面與卦限三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面.由x軸與y軸所決定的坐標面稱為xOy面，由y軸與z軸所決定的坐標面稱為yOz面，由z軸與x軸所決定的坐標面稱為zOx面.三個坐標面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限（如下圖）.2）空間點的直角坐標取定空間直角坐標系之后，我們就可以建立起空間點與有序數(shù)組之間的對應關(guān)系.設(shè)P為空間的一已知點，過P點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的三個平面，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為Q，R，S，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x，y，z，于是：空間點就唯一地確定了一個有序數(shù)組x，y，z，這組數(shù)叫P點的坐標.依次稱x，y，z為點P的橫坐標、縱坐標和立坐標，記為P（x，y，z）.3）用向量的分量進行向量的線性運算定理1.5.1 向量的分量等于其終點的坐標減去其起點的坐標. 即設(shè)M1()，M2(x2，y2，z2)，則證 由點及向量坐標的定義知，所以 =.由定義知.定理1.5.2 兩向量的和分量等于其對應的分量的和：證 設(shè)，那么=+=，所以定理1.5.3 數(shù)乘向量時，kx，y，z= k x，k y，k z. 定理1.5.4 設(shè)，則共線的充要條件是 . 定理1.5.5 三向量，共面的充要條件是 證 因為不共面，所以存在不全為零的實