小學奧數(shù)36個經(jīng)典講座總匯(上) 2.doc

小學三年級奧數(shù)第1講 多位數(shù)的運算多位數(shù)的運算，涉及利用10k-1，提出公因數(shù)，遞推等方法求解問題 一、10k-1的運用 在多位數(shù)運算中，我們往往運用10k-1來轉(zhuǎn)化問題； 如：59049 我們把轉(zhuǎn)化為3， 于是原式為59049=（3）59049=59049=（-1）19683=19683-19683 而對于多位數(shù)的減法，我們可以列個豎式來求解； +1 如：，于是為 簡便計算多位數(shù)的減法，我們改寫這個多位數(shù)原式=233=23=（-1）=-=,于是為.2計算=AA，求A 【分析與解】 此題的顯著特征是式子都含有，從而找出突破口. = =（-1） =（） =（33）=A2 所以，A. 3計算25的乘積數(shù)字和是多少? 【分析與解】我們還是利用=來簡便計算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創(chuàng)造條件使用：25=（）（）+125=（）（）+125=2-22（）+125=4-2-2=-=100-50=(求差過程詳見評注)=所以原式的乘積為那么原式乘積的數(shù)字和為12004+52004=12024評注：對于的計算，我們再詳細的說一說=4計算的積?【分析與解】 我們先還是同上例來湊成；(求差過程詳見評注) 我們知道能被9整除，商為：049382716 又知1997個4，9個數(shù)一組，共221組，還剩下8個4，則這樣數(shù)字和為84=32,加上后面的3，則數(shù)字和為35，于是再加上2個5，數(shù)字和為45，可以被9整除 能被9整除，商為04938271595； 我們知道能被9整除，商為：061728395； 這樣9個數(shù)一組，共221組，剩下的1995個5還剩下6個5，而6個5和1個、6，數(shù)字和36，可以被9整除 能被9整除，商為0617284 于是，最終的商為： 評注：對于-計算，我們再詳細的說一說 -+1-+1. 二、提出公因式有時涉及乘除的多位數(shù)運算時，我們往往需提出公因式再進行運算，并且往往公因式也是和式或者差式等5.計算：（1998+19981998+199819981998+）（1999+19991999+199919991999）1999【分析與解】1998原式1998（1+10001+100010001+）1999（1+10001+100010001+）19991998199919991998. 6試求1993123999999乘積的數(shù)字和為多少? 【分析與解】 我們可以先求出1993123的乘積，再計算與(10000001)的乘積，但是1993123還是有點繁瑣設(shè)1993123=M，則(1000123)123000M(2000123=)246000，所以M為6位數(shù)，并且末位不是0；令M則M999999M（1000000-1）1000000M-M-+1+1 那么這個數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+1)=96=54 所以原式的計算結(jié)果的數(shù)字和為54評注：M的數(shù)字和為9k(其中M的位數(shù)為x，且xk) 7試求999999999999999乘積的數(shù)字和為多少? 【分析與解】 通過上題的計算，由上題評注：設(shè)999999999999999M， 于是M類似的情況，于是，確定好M的位數(shù)即可；注意到999999999999999M，則M10100100013100000000 其中k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023； 即M，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為10249=102401024=9216原式的乘積數(shù)字和為9216 三、遞推法的運用有時候，對于多位數(shù)運算，我們甚至可以使用遞推的方法來求解，也就是通常的找規(guī)律的方法 8我們定義完全平方數(shù)A2=AA，即一個數(shù)乘以自身得到的數(shù)為完全平方數(shù)；已知：123456765432149是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方?【分析與解】 我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解：121112；123211112；123432111112于是，我們歸納為1234n4321=（）2 所以，1234567654321：11111112；則，123456765432149=1111111272=77777772所以，題中原式乘積為7777777的平方評注：以上歸納的公式1234n4321（）2，只有在n10時成立9.=A2，求A為多少? 求是否存在一個完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？ 【分析與解】 方法一：問題直接求解有點難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解： 注意到有可以看成，其中n2004； 尋找規(guī)律：當n=1時，有49=72； 當n=2時，有4489=672；當n=3時，有444889=6672； 于是，類推有= 方法二：下面給出嚴格計算： =+1； 則+1（4+8）+14（+1）+8+14（）+12+1（）236+12+1（）262+2（6）+1（）2 由知，于是數(shù)字和為(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；于是，n=167，所以=，所以存在，并且為. 10計算9的乘積是多少? 【分析與解】采用遞推的方法693=162； 66933=19602； 6669333=1996002； 于是，猜想9= 9=評注：我們與題l對比，發(fā)現(xiàn)題1為93使用遞推的方法就有障礙,=10kl這種方法適用面要廣泛一點 練習1設(shè)N=9，則N的各位數(shù)字之和為多少? 練習2乘積的積是多少?各位數(shù)字之和又是多少?練習3試求的各位數(shù)字之和是多少?第2講 計算綜合（一） 繁分數(shù)的運算，涉及分數(shù)與小數(shù)的定義新運算問題，綜合性較強的計算問題 1繁分數(shù)的運算必須注意多級分數(shù)的處理，如下所示： 甚至可以簡單地說：“先算短分數(shù)線的，后算長分數(shù)線的”找到最長的分數(shù)線，將其上視為分子，其下視為分母 2一般情況下進行分數(shù)的乘、除運算使用真分數(shù)或假分數(shù)，而不使用帶分數(shù)所以需將帶分數(shù)化為假分數(shù) 3某些時候?qū)⒎謹?shù)線視為除號，可使繁分數(shù)的運算更加直觀 4對于定義新運算，我們只需按題中的定義進行運算即可 5本講要求大家對分數(shù)運算有很好的掌握，可參閱思維導引詳解五年級 第1講 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)1計算：【分析與解】原式=2計算：【分析與解】 注意，作為被除數(shù)的這個繁分數(shù)的分子、分母均含有于是，我們想到改變運算順序，如果分子與分母在后的兩個數(shù)字的運算結(jié)果一致，那么作為被除數(shù)的這個繁分數(shù)的值為1；如果不一致，也不會增加我們的計算量所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分數(shù)的運算順序 而作為除數(shù)的繁分數(shù)，我們注意兩個加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為19950.5 具體過程如下：原式=3計算：【分析與解】原式=4計算：已知=，則x等于多少?【分析與解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=125方法二：有，所以；所以，那么1.25 5求這10個數(shù)的和 【分析與解】方法一： = = = =. 方法二：先計算這10個數(shù)的個位數(shù)字和為； 再計算這10個數(shù)的十位數(shù)字和為49=36，加上個位的進位的3，為； 再計算這10個數(shù)的百位數(shù)字和為48=32，加上十位的進位的3，為； 再計算這10個數(shù)的千位數(shù)字和為47=28，加上百位的進位的3，為； 再計算這10個數(shù)的萬位數(shù)字和為46=24，加上千位的進位的3，為； 再計算這10個數(shù)的十萬位數(shù)字和為45=20，加上萬位的進位的2，為； 再計算這10個數(shù)的百萬位數(shù)字和為44=16，加上十萬位的進位的2，為； 再計算這10個數(shù)的千萬位數(shù)字和為43=12，加上百萬位的進位的1，為； 再計算這10個數(shù)的億位數(shù)字和為42=8，加上千萬位的進位的1，為；最后計算這10個數(shù)的十億位數(shù)字和為41=4，加上億位上沒有進位，即為所以，這10個數(shù)的和為4938271591 6.如圖1-1，每一線段的端點上兩數(shù)之和算作線段的長度，那么圖中6條線段的長度之和是多少? 【分析與解】 因為每個端點均有三條線段通過，所以這6條線段的長度之和為： 7.我們規(guī)定，符號“”表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：352.9=2.93.5=3.5符號“”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9請計算：【分析與解】原式 8規(guī)定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框內(nèi)應填的數(shù)是多少?【分析與解】=. 9從和式中必須去掉哪兩個分數(shù)，才能使得余下的分數(shù)之和等于1?【分析與解】 因為，所以,的和為l，因此應去掉與. 10如圖1-2排列在一個圓圈上10個數(shù)按順時針次序可以組成許多個整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)，例如1.892915929那么在所有這種數(shù)中。最大的一個是多少?【分析與解】 有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有92918較大，于是最大的為 11請你舉一個例子，說明“兩個真分數(shù)的和可以是一個真分數(shù)，而且這三個分數(shù)的分母誰也不是誰的約數(shù)”. 【分析與解】 有， 評注：本題實質(zhì)可以說是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說呢? 注意到，當時，有 當a、b、c兩兩互質(zhì)時，顯然滿足題意 顯然當a、b、c為質(zhì)數(shù)時一定滿足，那么兩個質(zhì)數(shù)的和等于另一個質(zhì)數(shù)，必定有一個質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對孿生質(zhì)數(shù) 即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可. 12計算： 【分析與解】原式=.13已知.問a的整數(shù)部分是多少？ 【分析與解】 =.因為所以.同時所以a.綜上有a所以a的整數(shù)部分為10114問與相比，哪個更大，為什么?【分析與解】方法一：令，有.而B中分數(shù)對應的都比A中的分數(shù)大，則它們的乘積也是BA，有AA4B，所以有AA，那么A即與相比，更大方法二：設(shè)，則=，顯然、都是小于1的，所以有A2，于是A.15下面是兩個1989位整數(shù)相乘：問：乘積的各位數(shù)字之和是多少?【分析與解】在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變因為能被9整除，所以將一個乘以9，另一個除以9，使原算式變成：= 得到的結(jié)果中有19809=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個“987654321”，所以各位數(shù)之和為：+評注：1111111119=12345679； M的數(shù)字和為9k(其中M)可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果第3講 計算綜合（二） 本講主要是補充計算綜合(I)未涉及和涉及不深的問題，但不包括多位數(shù)的運算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2從1開始連續(xù)n個自然數(shù)的平方和的計算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知a=試比較a、b的大小.【分析與解】其中A=99,B=99+因為A98+，所以有a b2.試求的和？【分析與解】 記則題目所要求的等式可寫為：而所以原式的和為1評注：上面補充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想2 試求1+2+3+4+4+100的值?【分析與解】 方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項+末項)項數(shù)2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下兩個數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101100，那么原式的和為10l100 2=5050方法三：整數(shù)裂項(重點)， 原式=(12+22+32+42+1002)2=5050.3 試求l2+23+34+45+56+99100 【分析與解】方法一：整數(shù)裂項原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005計算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 【分析與解】這個題看上去是一個關(guān)于小數(shù)的問題，實際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進行計算即先計算13+24+35+46+9799+98100。再除以100方法一：再看每一個乘法算式中的兩個數(shù)，都是差2，于是我們?nèi)菀紫氲搅秧椀姆椒?0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=(9899100+9899)100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式進行計算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 評注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計算與整數(shù)的計算是有聯(lián)系的下面簡單介紹一下整數(shù)裂項 12+23+34+(n-1)n=123+233+343+(n-1)n3=123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)=6.計算下列式子的值： 【分析與解】 雖然很容易看出可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不像分數(shù)裂項那樣能消去很多項我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我們又有減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢?=7計算下列式子的值：【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們試著看看是否存在遞推的規(guī)律.顯然12+1=2;所以原式=1980122=396024習題計算1718+1819+1920+2930的值提示：可有兩種方法，整數(shù)裂項，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358.第4講 比例和百分數(shù)成本、利潤、價格等基本經(jīng)濟術(shù)語，以及它們之間的關(guān)系各種已知數(shù)據(jù)或所求結(jié)果中包含比例與百分數(shù)的應用題，有時恰當選取較小的量作為一個單位，司以實現(xiàn)整數(shù)化計算 1迎春農(nóng)機廠計劃生產(chǎn)一批插秧機，現(xiàn)已完成計劃的56，如果再生產(chǎn)5040臺，總產(chǎn)量就超過計劃產(chǎn)量的16那么，原計劃生產(chǎn)插秧機多少臺? 【分析與解】 : 5040(1+16-56)=8400(臺)2圓珠筆和鉛筆的價格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用715元問圓珠筆的單價是每支多少元? 【分析與解】:設(shè)圓珠筆的價格為4，那么鉛筆的價格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為204+213=143，則單位“1”的價格為71.5143：0.5元所以圓珠筆的單價是O.54=2(元)3李大娘把養(yǎng)的雞分別關(guān)在東、西兩個院內(nèi)已知東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來東、西兩院養(yǎng)雞總數(shù)的50.原來東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只?【分析與解】：方法一：設(shè)原來東西兩院一共養(yǎng)雞只，那么西院養(yǎng)雞只依題意：,解出.即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞280只 方法二：50即，東、西兩院剩下的雞等于東院的加上西院的，即20+西院原養(yǎng)雞數(shù) 有東院剩下40只雞，西院剩下原的雞所以有西院原養(yǎng)雞(4020)=240只，即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只 4用一批紙裝訂一種練習本如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙這批紙一共有多少張? 【分析與解】 方法一：裝訂120本，剩下40的紙，即用了60的紙 那么裝訂185本，需用185(60120)=925的紙，即剩下1-925=75的紙，為1350張所以這批紙共有135075=18000張 方法二：120本對應(1-40=)60的總量，那么總量為12060=200本 當裝訂了185本時，還剩下200-185：15本未裝訂，對應為1350張，所以每本需紙張：135015=90張，那么200本需20090=18000張即這批紙共有18000張 5有男女同學325人，新學年男生增加25人，女生減少5，總?cè)藬?shù)增加16人那么現(xiàn)有男同學多少人? 【分析與解】男生增加25人，女生減少5，而總?cè)藬?shù)增加了16人，說明女生減少了25-16=9人，那么女生原來有95=180人，則男生有325-180=145人增加25人后為145+25=170人，所以現(xiàn)有男同學170人 6有一堆糖果，其中奶糖占45，再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25那么，這堆糖果中有奶糖多少塊? 【分析與解】方法一：原來奶糖占，后來占，因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+( 1)=20塊.其中奶糖有20=9塊 方法二：原來奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45：(1-45)=9：11, 設(shè)奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份 現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25：(1-25)=1：3=9：27, 奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊奶糖占9份，就是9塊奶糖 7甲乙兩包糖的重量比是4：l，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5那么兩包糖重量的總和是多少克? 【分析與解】兩包糖數(shù)量的總數(shù)是 克.8有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中自子都占28小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32那么，共有棋子多少堆?【分析與解】 方法一：設(shè)有堆棋子，每堆有棋子“1”根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變列方程得32，化簡得28 =32(-)，兩邊同除以4，得7=8(-)，解得=4 即共有棋子4堆 方法二：注意到所有棋子中的白子個數(shù)前后不變，所以設(shè)白子數(shù)為“1”那么有： 黑子變化了，對應為堆；所以對應l堆而開始共有棋子l+，所以共有堆9幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，中班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，那么大班有女生多少名?【分析與解】設(shè)大班女生有名，則中班女生有(18-)名根據(jù)男生數(shù)可列出方程：+(18-)=32，解得=12所以大班有女生12名 10某校四年級原有2個班，現(xiàn)在要重新編為3個班，將原一班的號與原二班的丟組成新一班，將原一班的與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10，那么原一班有多少人? 【分析與解】 有新三班的為原一、二班總?cè)藬?shù)的1-，為30人 所以原來兩班總?cè)藬?shù)是：30=72(人) 則新一班與新二班人數(shù)總和是72-30=42(人) 現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份 新一班人數(shù)=42 =22(人)，新二班人數(shù)=42-22=20(人) (原一班人數(shù))-(原二班人數(shù))=(22-20)=212=24(人) 原一班人數(shù)=(72+24)2=48(人)11有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的；在第一包糖中，奶糖占25，在第二包糖中，水果糖占50；巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍當兩包糖合在一起時，巧克力糖占28，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析與解】表述1：設(shè)第一包有2粒糖，則第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，則第一包有4粒巧克力糖 28，所以28=20于是第一包中，巧克力糖占=40，水果糖占1-40-25=35在兩包糖總粒數(shù)中，水果糖占44表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c 那么有22c+3c=28(2+3)，有7c=140，所以c=20，那么有如下所示的每種糖所占的百分數(shù)所以水果糖占總數(shù)的(352+503)(2+3)=44 12某次數(shù)學競賽設(shè)一、二、三等獎已知：甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等：甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為5:6；甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20；甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50；甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)等于多少? 【分析與解】 表述1：不妨設(shè)甲校有60人獲獎，由、，乙校有50人獲獎 由知兩校獲二等獎的共有(60+50)20=22人； 由知甲校獲二等獎的有22(4.5+1)4.5=18人； 由知甲校獲一等獎的有60-6050-18=12人， 從而所求百分數(shù)等于1250100=24 表述2：(這有一個“5”)1.25100=24，即乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的2413某校畢業(yè)生共有9個班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少? 【分析與解】表述1：由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1知，四至九班的男生總數(shù)比七、八、九班總?cè)藬?shù)少1 因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、七、八、九共五個班的人數(shù)，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)所以，男、女生之比是5：4 表述2： 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即為一至九班全體男生數(shù)，恰為“二、三班總?cè)藬?shù)”加上“四、五、六班總?cè)藬?shù)”，即為五個班總?cè)藬?shù)，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)所以，男、女生之比是5：414某商品按原定價出售，每件利潤為成本的25；后來按原定價的90出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價前增加了15倍問后來每天經(jīng)營這種商品的總利潤比降價前增加了百分之幾? 【分析與解】設(shè)這種商品的成本為“1”，共賣出商品“1”，則利潤為25，總利潤為025，定價為125 那么按原定價的90出售，即以1.25 90=1.125的價格出售，現(xiàn)在銷售的件數(shù)比原來增加了1.5倍，利潤為0.125(1.5+1)=O.3125，而原來的總利潤為O.25，現(xiàn)在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.06250.25：25 所以，后來每天經(jīng)營這種商品的總利潤比降價前增加了2515贏利百分數(shù)=某電子產(chǎn)品去年按定價的80出售，能獲得20的贏利；由于今年買入價降低，按同樣定價的75出售，卻能獲得25的贏利那么是多少? 【分析與解】 根據(jù)題中給出的公式知： 贏利百分數(shù)買入價=賣出價一買入價 則買入價(贏利百分數(shù)+1)=賣出價，那么買入價=第5講 比和比例兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì)2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性質(zhì)3：若a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性質(zhì)4：若a: b=c：d，則ad = bc；(即外項積等于內(nèi)項積)正比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比二、比和比例在行程問題中的體現(xiàn)在行程問題中，因為有速度=，所以：當一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對應時間的反比；當一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對應時間的反比；當一組物體行走時間相等，那么行走的速度比等于對應路程的正比1A和B兩個數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個數(shù)【分析與解】方法一：設(shè)A為8x，則B為5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85方法二：因為減少的數(shù)相同，所以前后A 、B的差不變，開始時差占3份，后來差占1份且與B一樣多，也就是說減少的34，占開始的3-1=2份，所以開始的1份為342=17，所以A為178=136，B為175=852近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2小時問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米? 【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？ (x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232 即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，3兩座房屋A和B各被分成兩個單元若干只貓和狗住在其中已知：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率試問是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率? 【分析與解】 如下表給出的反例指出：對所提出問題的回答應該是否定的表中具體寫出了各個單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率4家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3，已知雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5，公雞、母雞數(shù)量之比是1：3，公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4試求公鵝、母鵝的數(shù)量比【分析與解】 公雞占家禽場家禽總數(shù)的=，母雞占總數(shù)的；公鴨占總數(shù)的，母鴨占總數(shù)的；公鵝占總數(shù)的，母鵝占總數(shù)的，公鵝、母鵝數(shù)量之比為：3：25在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其影子的前端正好到達階梯的第3階(箭頭)另外，此時樹立l根長70cm自桿子，其影子的長度為175cm，設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm，求柱子的高度為多少？ 【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長度為175cm;所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍于是，影子的長度為6+1.5+1.52.5=11.25，所以桿子的長度為11.252.5=4.5m6已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B，重量比為3：5；第二種只含成分B和C，重量比為I：2；第三種只含成分A和C，重量之比為2：3以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，這三種成分的重量比為3：5：2 ?【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到 3：5，再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì). 第二種混合物不含A，第三種混合物不含B，所以1.5倍第三種混合物含A為3，5倍第二種混合物含B為5，即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5 于是此時含有C為52+1.53=14.5，在最終混合物中C的含量為3A5B含量的2倍有14.52-1=6.25，所以含有第一種混合物6.25即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：67現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問：男、女工各多少人?【分析與解】 直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程會比較繁瑣設(shè)開始男工為“1”，此時女工為“k”，有1名男工相當k名女工男工、女工人數(shù)對調(diào)以后，則男工為“k”，相當于女工“k2”，女工為“I” 有k2：1=36：25，所以k= 于是，開始有男工數(shù)為1100=500人，女工600人8有甲乙兩個鐘，甲每天比標準時間慢5分鐘，而乙每天比標準時間快5分鐘，在3月15日的零點零分的時候兩鐘正好對準若已知在某一時刻，乙鐘和甲鐘時針與分針都分別重合，且在從3月15日開始到這個時候，乙鐘時針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個時候的標準時間是多少?【分析與解】 標準的時鐘每隔分鐘重合一次 假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘 于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了x次； 同理，乙鐘重合了x次； 于是，需要乙鐘比甲鐘多重合x-x=x=10;所以，x=2460；所以要經(jīng)歷246065分鐘，則為天.于是為65天小時分鐘9一隊和二隊兩個施工隊的人數(shù)之比為3：4，每人工作效率之比為5：4，兩隊同時分別接受兩項工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果二隊比一隊早完工9天后來，由一隊工人與二隊工人組成新一隊，其余的工人組成新二隊兩支新隊又同時分別接受兩項工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果新二隊比新一隊早完工6天試求前后兩次工程的工作量之比?【分析與解】 一隊與二隊的工作效率之比為：(35)：(44)=15：16 一隊干前一個工程需9=144天 新一隊與新二隊的工作效率之比為： 新一隊干后一個工程需6=282天一隊與新一隊的工作效率之比為所以一隊干后一個工程需282天前后兩次工程的工作量之比是144：(282)=(14445)：(28246)=540：1081.第6講 工程問題 多人完成工作、水管的進水與排水等類型的應用題解題時要經(jīng)常進行工作時間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化 1甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時司以完成任務(wù)如果甲單獨加工，便需要12小時完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個零件才完成任務(wù)問乙一共加工零件多少個? 【分析與解】乙單獨加工，每小時加工=. 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(82)()=(小時)，所以乙每小時加工零件420=25個，則2小時加工225=60(個)，因此乙一共加工零件60+420480(個) 2某工程先由甲單獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成如果由甲、乙兩人合作，需48天完成現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么還需做多少天?【分析與解】 由右表知，甲單獨工作15天相當于乙單獨工作20天，也就是甲單獨工作3天相當于乙單獨工作4天 所以，甲單獨工作63天，相當于乙單獨工作6334=84天，即乙單獨工作84+28=112天即可完成這項工程 現(xiàn)在甲先單獨做42天，相當于乙單獨工作4234=56天，即乙還需單獨工作11256=56天即可完成這項工程 3有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天現(xiàn)在讓3個隊合修，但中間甲隊撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成? 【分析與解】 甲、乙、丙三個隊合修的工作效率為+=，那么它們6天完成的工程量為6=，而實際上因為中途撤出甲隊6天完成了的工程量為1 所以1=是因為甲隊的中途撤出造成的，甲隊需=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊在6天內(nèi)撤出了5天 所以，當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了5天才完成 4一件工程，甲隊獨做12天可以完成，甲隊做3天后乙隊做2天恰好完成一半現(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等，則共用了多少天? 【分析與解】 甲隊做6天完成一半，甲隊做3天乙隊做2天也完成一半。所以甲隊做3天相當于乙隊做2天 即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨做12=8(天)完成，所以兩段所用時間相等，每段時間應是： 8(1+l+)3(天)，因此共用326(天) 5抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完成？ 【分析與解】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的； 由于丙抄寫5天相當于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的. 所以乙一人單獨抄寫需要1=24天才能完成 6游泳池有甲、乙、丙三個注水管如果單開甲管需要20小時注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小時注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時注滿水池那么，單開丙管需要多少小時注滿水池? 【分析與解】 乙管每小時注滿水池的-=, 丙管每小時注滿水池的-=. 因此，單開丙管需要1=10(小時) 7一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成? 【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、. 對于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，所以甲、丁合作的工作效率為所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程 8一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為 而對于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率為 那么丙一個人來做，完成這項工作需1=48天 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為 那么丙單獨工作的工作效率為，那么丙一個人來做，完成這項工作需48天 9某工程如果由第1、2、3小隊合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小隊合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小隊合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小隊合干需要42天才能完成那么這5個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程? 【分析與解】 由已知條件可得，對于工作效率有： (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)所以5個小隊一起合作時的工作效率為： （2）3所以5個小隊合作需要6天完成這項工程.評注：這類需綜合和差倍等知識的問題在工程問題中還是很常見的. 10一個水箱，用甲、乙、丙三個水管往里注水若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時，水箱已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時，水箱才滿又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍則該水箱最多可容納多少噸水? 【分析與解】 設(shè)甲管注入18噸水所需的時間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時間為“O.5”，所以乙管注入27噸水所需的時間為27180.5=0.75. 以下采用兩種方法： 方法一：設(shè)丙在單位時間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此18+“1”=27+“O.75”，則“0.25”=9噸，所以“1”=36噸，即丙在單位時間內(nèi)灌入36噸的水 所以水箱最多可容納18+36=54噸的水 方法二：也就是說甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的 再設(shè)甲單獨灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+2