高中數(shù)學(xué) 第三章 柯西不等式與排序不等式本講整合課件 新人教A版選修45.ppt

本講整合 答案 三維形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 亂序和 順序和 向量形式 三角不等式 專題一 專題二 專題一 柯西不等式的應(yīng)用1 柯西不等式的一般形式為 a1b1 a2b2 anbn 2 其中ai bi r i 1 2 n 該不等式的形式簡潔 美觀 對稱性強(qiáng) 靈活地運用柯西不等式 可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解 也可以用來解決最值問題 2 利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù) 并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化 運用時要注意體會拼湊和變形技巧 3 利用柯西不等式證明不等式 特別是求最值時要注意等號是否成立 專題一 專題二 專題一 專題二 變式訓(xùn)練1已知實數(shù)a b c滿足a 2b c 1 a2 b2 c2 1 求證 c 1 證明 因為a 2b c 1 a2 b2 c2 1 所以a 2b 1 c a2 b2 1 c2 由柯西不等式可得 12 22 a2 b2 a 2b 2 即5 1 c2 1 c 2 專題一 專題二 例2設(shè)a b c為正實數(shù) 且a 2b 3c 13 專題一 專題二 變式訓(xùn)練2求實數(shù)x y的值 使 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2達(dá)到最小值 解 由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 專題一 專題二 專題二 排序不等式的應(yīng)用1 在利用排序不等式證明相關(guān)不等式時 首先考慮構(gòu)造出兩個合適的有序數(shù)組 并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合 這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行合理選擇 2 根據(jù)排序不等式的特點 與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題 利用排序不等式解決往往有 化繁為簡 的效果 3 利用排序不等式求最值時 也要關(guān)注等號成立的條件 不能忽略 專題一 專題二 例3設(shè)a b c r 利用排序不等式證明 分析 假定a b c的大小關(guān)系 構(gòu)造數(shù)組a5 b5 c5 進(jìn)行證明 專題一 專題二 例4設(shè)a1 a2 a3 a4 a5是互不相同的正整數(shù) 分析 構(gòu)造數(shù)組b1 b2 b3 b4 b5和1 利用排序不等式求解 解 設(shè)b1 b2 b3 b4 b5是a1 a2 a3 a4 a5的一個排列 且b1 b2 b3 b4 b5 則b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 b5 5 專題一 專題二 變式訓(xùn)練3設(shè)a1 a2 an為正數(shù) 且a1 a2 an 5 5 1 2 3 4 考點 柯西不等式的應(yīng)用1 2014陜西高考 設(shè)a b m n r 且a2 b2 5 ma nb 5 則的最小值為 解析 由柯西不等式 得 a2 b2 m2 n2 am bn 2 即5 m2 n2 25 m2 n2 5 當(dāng)且僅當(dāng)an bm時 等號成立 1 2 3 4 2 2013湖南高考 已知a b c r a 2b 3c 6 則a2 4b2 9c2的最小值為 解析 由柯西不等式 得 12 12 12 a2 4b2 9c2 a 2b 3c 2 即a2 4b2 9c2 12 當(dāng)a 2b 3c 2時 等號成立 所以a2 4b2 9c2的最小值為12 答案 12 1 2 3 4 3 2017江蘇高考 已知a b c d為實數(shù) 且a2 b2 4 c2 d2 16 證明 ac bd 8 證明 由柯西不等式可得 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 因為a2 b2 4 c2 d2 16 所以 ac b