北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《二次函數(shù)最值問題》學(xué)案.doc

初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的最值問題解析 例1. 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于a（2，0），b（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值是2， （1）求：二次函數(shù)圖象的解析式 （2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為p，求：abp的面積 分析：與幾何知識(shí)結(jié)合的函數(shù)問題，要注意幾何量的大小與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系。 解：（1）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)a（2，0），b（3，0） 設(shè)解析式為 即 所求解析式為 另解：圖象過（2，0），（3，0） 對(duì)稱軸為 頂點(diǎn)為（） 設(shè)，把代入即可 （2）， ab邊上的高即p到x軸的距離，為函數(shù)最大值2 例2. 如圖，在矩形abcd中，bd20，adab，設(shè)abd，已知sin是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)e、f分別是bc、dc上的點(diǎn)，eccf8，設(shè)bex，aef的面積等于y （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)e、f兩點(diǎn)在什么位置時(shí)，y有最小值？并求出最小值 解：（1）解方程可得 在rtabd中，adbdsin 設(shè)be為x，則有， （2） 當(dāng)時(shí)，y有最小值是46 故當(dāng)be10，cf2時(shí)，y有最小值是46 例3. 如圖，abc中，bc4，b45，m、n分別是ab、ac上的點(diǎn)，mnbc，設(shè)mn為x，mnc的面積為s。 （1）求出s與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。 （2）是否存在平行線段mn，使mnc的面積等于2，若存在，求出mn的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1）過點(diǎn)a作adbc，垂足為d， 則有 設(shè)mnc的mn上的高為h mnbc （2）若存在這樣的平行線段mn，使則方程必有實(shí)數(shù)解，即方程必有實(shí)數(shù)解，但該方程的判別式，說明它沒有實(shí)解，矛盾，所以不存在這樣的平行線段mn，使 例4. 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)，商場(chǎng)決定提高銷售價(jià)格，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件，若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y（件）是價(jià)格x（元/件）的一次函數(shù)。 （1）試求y與x之間的關(guān)系式 （2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少元？ 解：（1）設(shè)，依題意，得 解得： （2）設(shè)月利潤(rùn)為w，則 ，w有最大值。 當(dāng)時(shí)，w最大，最大利潤(rùn)為1920元。 例5. 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨著時(shí)間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式： （1）講課開始后，第5分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？ （2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？ （3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？ 解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 講課開始后第25分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第5分鐘更集中 （2）當(dāng)時(shí)，該圖像的對(duì)稱軸為，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨t的增大而增大，所以，當(dāng)時(shí)，y有最大值240，當(dāng)時(shí)，y隨t的增大而減小，所以，當(dāng)時(shí)，y有最大值240 所以，講課開始后10分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘 （3）當(dāng)時(shí)，令 當(dāng)時(shí)，令， 所以，學(xué)生注意力在180以上的持續(xù)時(shí)間為（分鐘） 所以，老師可經(jīng)過適當(dāng)安排，能在學(xué)生的注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目。 例6. 已知，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線與y軸交于點(diǎn)c（0，4），與x軸交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)a在點(diǎn)b的左側(cè)，求：此拋物線的解析式。 解：（1）當(dāng)a、b兩點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，如圖1圖1 ， c（0，4），oc4，ob1 b（1，0） a（5，0） 設(shè)二次函數(shù)解析式，由于拋物線過點(diǎn)c ， 即二次函數(shù)解析式 （2）當(dāng)a、b兩點(diǎn)在原點(diǎn)異側(cè)時(shí)，如圖2圖2 又c（0，4），oc4，ob1，b（1，0） 由 即ab4，a（3，0） 設(shè)二次函數(shù)解析式為，由于拋物線過點(diǎn)c 即二次函數(shù)解析式為 例7 已知一次函數(shù) （1）根據(jù)表中給出的x值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并填在表格中： （2）觀察第（1）問表中有關(guān)數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立。 （3）試問：是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，2），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，若存在，求出函數(shù)的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1） （2）證明： 當(dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，均成立。 （3）由經(jīng)過（5，2），得 依題意，有 由、可得 恒大于0， 則滿足： 令恒大于0，則： 滿足 綜上，可得 解析式為 例8 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（3，6），并與x軸交于點(diǎn)b（1，0）和點(diǎn)c，頂點(diǎn)為p （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式 （2）設(shè)d為線段oc上一點(diǎn)，滿足dpcbac，求：點(diǎn)d的坐標(biāo) （3）在x軸上是否存在一點(diǎn)m，使以m為圓心的圓與ac、pc所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)m的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1）將a（3，6），b（1，0）代入 得 （2）過a作aex軸，垂足為e， 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于f， 則aec、cfp均為等腰直角三角形 則eacfpc dpcbac，eabfpd aebpfd ，易求 （3）存在：過m作mhac，mgpc垂足分別為h、g，設(shè)ac交y軸于s，cp的延長(zhǎng)線交y軸于t sct是等腰直角三角形，m是sct的內(nèi)切圓圓心 mgmhon，且ommcoc ，得， 在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)m， 同理： 得 ，即在x軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)。【模擬試題】一、填空題： （1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_ （2）拋物線的對(duì)稱軸是_，有最_值是_ （3）有一個(gè)拋物線形橋拱，有最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖1所示），則此拋物線的解析式為_圖1 （4）二次函數(shù)的圖象如圖2所示，則函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍是_圖2 （5）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于a、b兩點(diǎn)，在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)c，且abc的面積等于10，則c點(diǎn)的坐標(biāo)為_ （6）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2和6，圖象與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3，則這個(gè)二次函數(shù)是_ （7）把配方成的形式是_ （8）拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m為_二、選擇題： （1）二次函數(shù)的圖象如圖3所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）圖3 a. b. c. d. （2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖象可能是（ ）圖4 （3）把拋物線的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式是，則有（ ） a. b. c. d. 三、解答題： （1）已