【全程復(fù)習(xí)方略】（福建專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué) 分類(lèi)題庫(kù)考點(diǎn)28 空間的角（）理 人教版(1).doc

考點(diǎn)28 空間的角 一、填空題1.（2012大綱版全國(guó)卷高考文科16）已知正方體中，e、f分別為,的中點(diǎn)，那么異面直線ae與所成角的余弦值為_(kāi).【解題指南】采用兩種辦法，一是常規(guī)求解，二是向量法.常規(guī)求解：連結(jié),，利用平行關(guān)系將異面直線ae與所成角轉(zhuǎn)化為求直線與所成角；向量法：以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.【解析】方法一：連結(jié),則為平行四邊形，則，異面直線ae與所成角為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則,【答案】二、解答題2.（2012四川高考文科19）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上.（）求直線與平面所成的角的大??；（）求二面角的大小.【解析】解法一：（）連接oc. 由已知，所成的角設(shè)ab的中點(diǎn)為d，連接pd、cd.因?yàn)閍b=bc=ca,所以cdab.因?yàn)榈冗吶切?，不妨設(shè)pa=2，則od=1，op=, ab=4.所以cd=2，oc=.在rttan .（）過(guò)d作de于e，連接ce.由已知可得，cd平面pab. 據(jù)三垂線定理可知，cepa，所以，.由（）知，de=，在rtcde中，tan故. 解法二 ：（）設(shè)的中點(diǎn)為，連接因?yàn)樵谏希覟樵谄矫嫔系纳溆?，所?所以，且由,知設(shè)為中點(diǎn)，則,從而如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系. 不妨設(shè),所以.所以,而為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為直線與平面所成的角，則故直線與平面所成的角為（ii）由（i）有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則從而取則所以.設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角.而平面的一個(gè)法向量為，則，故二面角的大小為3.（2012四川高考理科19）如圖，在三棱錐中，平面平面.（）求直線與平面所成角的大?。唬ǎ┣蠖娼堑拇笮?【解析】方法一（）設(shè)ab的中點(diǎn)為d,ad的中點(diǎn)為o,連結(jié)po、co、cd.由已知，為等邊三角形.所以又平面平面，平面平面所以.所以所成的角.不妨設(shè),則在中， .所以在rttan.故直線pc與平面abc所成的角的大小為（ii）過(guò)作于，連接.由已知可得，cd平面pab.根據(jù)三垂線定理可知，cepa，所以，.由（i）易知，de=在rtcde中，tan故方法二（）設(shè)的中點(diǎn)為，作于點(diǎn),連結(jié)因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面所?所以由,知設(shè)為中點(diǎn)，則,從而如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè),所以.所以,而為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為直線與平面所成的角，則故直線與平面所成的角的大小為（ii）由（i）有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則從而取則所以.設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角.而面的一個(gè)法向量為，則，故二面角的大小為4.（2012大綱版全國(guó)卷高考理科18）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，,，是上的一點(diǎn)，.（）證明平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小.【解析】（）為菱形，底面,由三垂線定理得，設(shè)，連結(jié),，又,，,.又, 平面.（）解法1：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足，因?yàn)槎娼菫?，所以平面平?又平面平面.，故平面,與平面的兩條交線，都垂直，所以平面.則有,所以底面是正方形.,設(shè)到平面的距離為.因?yàn)?且平面,平面,故平面.兩點(diǎn)到平面的距離相等，即.設(shè)與平面所成角為，則.即與平面所成角為.解法2：過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié).底