第一節(jié) 映射與函數(shù).doc

第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)一、集合1、集合、集合（簡稱集）：指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.、元素（簡稱元）：指組成這個集合的事物.例如，一個書柜中的書 、一間教室里的學生 、全體實數(shù).注、集合用大寫的拉丁字母A,B,C表示.、元素用小寫的拉丁字母a,b,c表示.、a屬于A（aA）是指：a是集合A的元素 .a不屬于A（aA或aA）是指：a不是集合A的元素.、有限集是指：一個集合只含有有限個元素 .無限集是指不是有限集的集合.、表示集合的方法：、列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來表示.例如，由元素a ,a ,a 組合的集合的A，可表示成Aa ,a ,a .、描述法：若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可以表示示Mx|x具有性質(zhì)P.例如，集合B的方程x10的解集，就可表示成Bx|x10.、數(shù)集的字母的右上角標上“*”：表示該數(shù)集內(nèi)排除0的集.標上“+”：表示該數(shù)集內(nèi)排除0與負數(shù)的集.注 習慣上，、全體非負整數(shù)（自然數(shù)）的集合，記作N；即N0,1,2,n,；、全體正整數(shù)集合為，N 1,2,3,n,.、全體整數(shù)的集合記作Z；即Z,n,2,1,0,1,2,n,.、全體有理數(shù)集合記作Q；即Q |pZ，qN且p與q互質(zhì).、全體實數(shù)的集合，記作R.、排除數(shù)0的實數(shù)集，記作R*.、全體正實數(shù)集，記作R.、A是B的子集（A B或B A）：指集合A的元素都是集合B的元素.、集合A與集合B相等（AB）：指集合A與集合B互為子集，即A B且B A.例如，設(shè)A1,2， Bx|x3x20,則AB.、A是B的真子集（A B）：是指A B且A B.例如，N Z Q R.、空集（）：指不含任何元素的集合.例如，x|xR且x10是空集，因為適合條件x10的實數(shù)是不存在的.注 規(guī)定空集是任何集合A的子集，即 A.2、集合的運算、設(shè)A,B是兩個集合.、并集（簡稱并）：由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作AB，即ABx|xA或xB.、交集（簡稱交）：由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即ABx|xA且xB.、差集（簡稱差）：由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集，記作AB，即ABx|xA且xB.、全集或基本集：研究某個問題限定在一個大的集合I中進行，我們稱集合I為全集或基本集.、余集或補集：所研究的其他集合A都是I的子集，稱IA為A的余集或補集，記作A .例如，在實數(shù)集R中，集合Ax|0x1的余集就是Ax|x0或x1.、設(shè)A,B,C為任意三個集合，則有下列法則成立 .、交換律： ABBA， ABBA；、結(jié)合律： (AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)；、分配律： (AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)；、對偶律： (AB) A B ，(AB) A B .證明：兩個集合的并集的余集等于它們的余集的交集 .證：、因為x(AB) xAB xA且xB xA 且xB xA B ，、所以 (AB) A B ；、反之，因為xA B xA 且xB xA且xB xAB x(AB) ，、所以 A B (AB) .、于是 (AB) A B .注：、以上證明中，符號“ ”表示“推出”（或“蘊含”）.、如果在證明的第一段中，將符號“ ”改用符號“ ”（表示“等價”），則證明的第二段可省略 .、設(shè)A,B是任意的兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序?qū)?x,y)，把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑兀鼈內(nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記為AB，即AB(x,y)|xA且yB.例如，RR(x,y)|xR，yR即為xOy面上全體點的集合，RR常記作R. 3、區(qū)間和領(lǐng)域、設(shè)a和b都是實數(shù)，且 ab.、開區(qū)間：數(shù)集x|axb稱為開區(qū)間，記作(a,b)，即(a,b)x|axb.注：a和b稱為開區(qū)間(a,b)的端點，這里a(a,b)，b(a,b).、閉區(qū)間：數(shù)集x|axb稱為閉區(qū)間，記作a,b，即a,bx|axb.注：a和b也稱為閉區(qū)間a,b的端點，這里aa,b，ba,b.、半開區(qū)間：a,b)x|axb，(a,bx|axb.a,b)和(a,b都稱為半開區(qū)間.、有限區(qū)間：有限區(qū)間是長度為有限的線段.注 區(qū)間長度：數(shù)ba稱為這些區(qū)間的長度.、無限區(qū)間：無限區(qū)間是長度為無限的線段.注 引進記號及，則可類似地表現(xiàn)無限區(qū)間.例如，a,)x|xa，(,bx|xb.全體實數(shù)集合R也可記作(,)，它也是無限區(qū)間.、區(qū)間：以后在不需要辯明所論區(qū)間是否包含端點，以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間的場合，我們就簡單的稱它為“區(qū)間”，且常用I表示.、領(lǐng)域：、以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的領(lǐng)域，記作U(a).、設(shè)是任一正數(shù)，則開區(qū)間(a,a)就是點a的一個領(lǐng)域，這個領(lǐng)域稱為點a的領(lǐng)域，記作U(a,)，即U(a,)x|axa.注a、點a稱為領(lǐng)域的中心，稱為領(lǐng)域的半經(jīng).b、由于axa相當于|xa|，因此U(a,)x|xa|.因為|xa|表示點x與點a間的距離，所以U(a,)表示：與點a的距離小于的一切點x的全體.、去心領(lǐng)域：點a的領(lǐng)域去掉中心a后，稱為點a的去心領(lǐng)域，記作U(a,)，即U(a,)x|0|xa|.注 a、這里0|xa|就表示xa.b、為了方便，有時把開區(qū)間(a,a)稱為a的左領(lǐng)域，把開區(qū)間(a,a)稱為a的右領(lǐng)域.、兩個閉區(qū)間的直積表示xOy平面上的矩形區(qū)域.例如，a,bc,d(x,y)|xa,b，yc,d，即為xOy平面上的一個矩形區(qū)域，這個區(qū)域在x軸與y軸上的投影分別為閉區(qū)間a,b和閉區(qū)間c,d.二、映射1、映射概念【定義】 設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f：XY.注、y稱為元素x（在映射f下）的像，記作f(x)，即yf(x).、元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像.、集合X稱為映射f的定義域，記作D ，即D X.、X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域，記作R 或f(x)，即R f(x)f(x)|xX.補充：、構(gòu)成一個映射必須具備以下三個要素：、集合X，即定義域D X；、集合Y，即值域的范圍：R Y；、對應法則f，使對每個xX，有唯一確定的yf(x)與之對應.、對每個xX，元素x的象y是唯一的；而對每個yR ，元素y的原像不一定是唯一的.、映射f的值域R 是Y的一個子集，即R Y，不一定R Y.【例1】設(shè)f：RR，對每個xR，f(x)x.、顯然，f是一個映射，f的定義域D R，值域R y|y0，它是R的一個真子集.、對于R 中的元素y，除y0外，它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2兩個.【例2】設(shè)X(x,y)|xy1，Y(x,0)|x|1，f：XY，對每個(x,y)X，有唯一確定的(x,0)Y與之對應.、顯然f是一個映射，f的定義域D X，值域R Y.、在幾何上，這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間1,1上.【例3】設(shè)f: , 1,1，對每個x , ，f(x)sin x.這f是一個映射，其定義域D , ，值域R 1，1.、設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.、映射或滿射：若R Y，即Y中任一元素y都是X中某到Y(jié)上的映射或滿射.、單射：若對X中任意兩個不同元素x x ，它們的像f(x )f(x )，則稱f為X到Y(jié)的單射.、一 一映射（或雙射）：若映射f既是單射，又是滿射，則稱f為一一映射（或雙射）.注 上面【例1】中的映射，既非/單射，又非滿射；【例2】的映射不是單射，是滿射；【例3】的映射，既是單射，又是滿射，因此是一一映射.2、逆映射與復合映射、逆映射：設(shè)f是X到Y(jié)的單射，則由定義，對每個yR，有唯一的xX，是合f(x)y .于是我們可以定義一個R 到X的新映射g，即g：R X ，對每個yR ，規(guī)定g(y)x，這x滿足f(x)y.這個映射g稱為f的逆映射，記作f ，其定義域D R ，值域R X.注 按上述定義，只有單射才存在逆映射.所以，在【例1】、【例2】、【例3】中，只有【例3】中的映射f才存在逆映射f ，這個f 就是反正弦函數(shù)的主值f (x)arcsin x，x1,1，其定義域D 1,1，值域R , .、復合映射：設(shè)有兩個映射g：XY，f：Y Z，其中Y Y .則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則，它將每個xX映成fg(x)Z.顯然，這個對應法則確定了一個從X到Z的映射，這個映射稱為映射g和f構(gòu)成的復合映射，記作f g，即f g：XZ，(f g)(x)fg(x)，xX . 注：由復合映射的定義可知，映射g和f構(gòu)成復合映射的條件是：g的值域R 必須包含在f的定義域內(nèi)，即R D .否則，不能構(gòu)成復合映射 .由此可知道，映射g和f的復合是有順序的，f g有意義并不表示g f也有意義 .即使f g與g f都有意義，復合映射f g與g f也未必相同 .【例4】設(shè)有映射g：R1,1，對每個xR，g(x)sin x，映射f:1,10,1，對每個u1,1，f(u) 1u.則映射g和f構(gòu)成的復合映射f g：R0,1，對每個xR，有(f g)(x)fg(x)f(sin x) 1sinx|cos x|.三、函數(shù)1、函數(shù)概念【定義】設(shè)數(shù)集D R為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為yf(x)，xD，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作D ，即D D .補充、函數(shù)定義中，對每個xD，按對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x)，即yf(x).、因變量y與自變量x之間的這種依賴關(guān)系，通常稱為函數(shù)關(guān)系.、函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記作R 或f(D)，即R f(D)y|yf(x)，xD.注意、需要指出，按照上述定義，記號f和f(x)的含義是有區(qū)別的：前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則，而后者表示與自變量x對應的函數(shù)值.但為了敘述方便，習慣上常用記號“f(x)，xD”或“yf(x)，xD”來表示定義在D上的函數(shù)，這時應理解為由它所確定的函數(shù)f.、表示函數(shù)的記號是可以任意選取的，除了常用的f外，還可以用其他的英文字母或希臘字母，如“g”、“F”、“”等.相應的，函數(shù)可記作yg(x)，yF(x)，y(x)等.有時還直接用因變量的記號來表示函數(shù)，即把函數(shù)記作yy(x).但在同一個問題中，討論到幾個不同的函數(shù)時，為了表示區(qū)別，需用不同的記號來表示它們.、函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域D 及對應法則f.如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則也想同，那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是不同的.、函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定：、一種是對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.例如，在自由落體運動中，設(shè)物體下過的時間為t，下落的距離為s，開始下落的時刻t0，落地的時刻tT，則s與t之間的函數(shù)關(guān)系是s gt，t0,T.這個函數(shù)的定義域就是區(qū)間0,T；、另一種是對抽象地用算式表達的函數(shù)，通常約定這種函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然數(shù)定義域.在這種約定之下，一般的用算式表達的函數(shù)可用“yf(x)”表達，而不必再表出D .例如，函數(shù)y 1x的定義域是閉區(qū)間1,1，函數(shù)y 的定義域是開區(qū)間(1,1).、在函數(shù)的定義中，對每個xD，對應的函數(shù)值y總是唯一的.如果給定一個對應法則，按這個法則，對每個xD，總有確定的y值與之對應，但這個y不總是唯一的，那么對于這樣的對應法則并不符合函數(shù)的定義，習慣上我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如，設(shè)變量x和y之間的對應法則由方程xyr給出.顯然，對每個xr,r，由方程xyr可確定出對應的y值，當xr或r時，對應y0一個值；當x取(r,r)內(nèi)任一個值時，對應的y有兩個值.所以這方程確定了一個多值函數(shù).、對于多值函數(shù)，如果我們附加一些條件，使得在附加條件之下，按照這個法則，對每個xD，總有唯一確定的實數(shù)值y與之對應，那么這就確定了一個函數(shù).我們稱這樣得到的函數(shù)為多值函數(shù)的單值分支.例如，在由方程xyr給出的對應法則中，附加“y0”的條件，即以“xyr且y0”作為對應法則，就可得到一個單值分支yy (x) rx；附加“y0”的條件，即以“xyr且y0”作為對應法則，就可得到另一個單值分支yy (x) rx.、表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法），這在中學里大家已經(jīng)熟悉.其中，用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標平面上的點集P(x,y)|yf(x)，xD稱為函數(shù)yf(x)，xD的圖形（圖13）.圖中的R 表示函數(shù)yf(x)的值域.【例5】函數(shù)y2的定義域D(,)，值域W|2|，它的圖形是一條平行于x軸的直線，如圖14所示.【例6】函數(shù)y|x|的定義域D(,)，值域R 0,，它的圖形如圖15所示.這函數(shù)稱為絕對值函數(shù).【例7】、函數(shù) 1，x0，ysgn x 0，x0， 1，x0稱為符號函數(shù)，它的定義域D(,)，值域R 1,0,1，它的圖形如圖16所示.、對于任何實數(shù)x，下列關(guān)系成立：xsgn x|x|.【例8】、設(shè)x為任一實數(shù)不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x.、例如， 0， 21，3，11，3.54.把x看作變量，則函數(shù)yx的定義域D(,)，值域R Z.它的圖形如圖17所示，這圖形稱為階梯圖形曲線.在x為整數(shù)值處，圖形發(fā)生跳躍，躍度為1.、這函數(shù)稱為取整函數(shù).注 在例6和例7中看到，有時一個函數(shù)要用幾個式子表示.這種在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數(shù)，通常稱為分段函數(shù).【例9】、函數(shù)yf(x)是一個分段函數(shù).它的定義域D0,).、當x0,1時，對應的函數(shù)值f(x)2 x；當x(1,)時，對應的函數(shù)值f(x)1x.、例如， 0,1，所以f( )2 2；10,1，所以f(1)2 12；3(1,)，所以f(3)134.這個函數(shù)的圖形如圖18所示.補充 用幾個式子來表示一個（不是幾個！）函數(shù)，不僅與函數(shù)定義并無矛盾，而且有現(xiàn)實意義.在自然科學和工程技術(shù)中，經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形.例如,在等溫過程中，氣體壓強p與體積V的函數(shù)關(guān)系，當V不太小時依從玻意耳定律；當V相當小時，函數(shù)關(guān)系就要用范德瓦耳斯方程來表示，即P其中k、都是常量.2、函數(shù)的幾種特性(1)、函數(shù)的有界性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，數(shù)集X D.如果存在數(shù)K ，使得f(x)K 對任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，、而K 稱為函數(shù)f(x)在X上的一個上界.如果存在K ，使得f(x)K 對任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，、而K 稱為函數(shù)f(x)在X上的一個下界.、如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|M對任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界.、如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界；這就是說，如果對于任何正數(shù)M，總存在x X，使|f(x )|M，那么函數(shù)f(x)在X上無界.例如，、就函數(shù)f(x)sin x在(,)內(nèi)來說，數(shù)1是它的一個上界，數(shù)1是它的一個下界（當然，大于1的任何數(shù)也是它的上界，小于1的任何數(shù)也是它的下界）.、又|sin x|1對任一實數(shù)x都成立，故函數(shù)f(x)sin x在(,)內(nèi)是有界的.這里M1（當然也可以取大于1的任何數(shù)作為M而使|f(x)|M對任一實數(shù)x都成立）.、又如、函數(shù)f(x) 在開區(qū)間(0,1)內(nèi)沒有上界，但有下界，例如1就是它的一個下界.、函數(shù)f(x) 在開區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的，因為不存在這樣的正數(shù)M，使| |M對于(0,1)內(nèi)的一切x都成立（x接近于0時，不存在確定的正數(shù)K ，使 K 成立）.、但是f(x) 在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的，例如可取M1而使| |1對于一切x(1,2)都成立.、容易證明，函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.(2)、函數(shù)的單調(diào)性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I D.如果對于區(qū)間I上任意兩點x 及x ，當x x 時，恒有f(x )f(x )，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的（圖19）；、如果對于區(qū)間I上任意兩點x 及x ，當x x 時，恒有f(x )f(x )，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的（圖110）.、單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).例如，函數(shù)f(x)x在區(qū)間0,)上是單調(diào)增加的，在區(qū)間(,0上是單調(diào)減少的；在區(qū)間(,)內(nèi)函數(shù)f(x)x不是單調(diào)的（圖111）.又例如，函數(shù)f(x)x在區(qū)間(,)內(nèi)是單調(diào)增加的（圖112）.(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱.、如果對于任一xD，f(x)f(x)恒成立，則稱f(x)為偶函數(shù).、如果對于任一xD，f(x)f(x)恒成立，則稱f(x)為奇函數(shù).例如，f(x)x是偶函數(shù)，因為f(x)(x)xf(x).又例如，f(x)x是奇函數(shù)，因為f(x)(x)xf(x).、偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸是對稱的.因為若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是圖形上的點，則與它關(guān)于y軸對稱的點A(x,f(x)也在圖形上（圖113）.、奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點是對稱的.因為若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是圖形上的點，則與它關(guān)于原點對稱的點A(x,f(x)也在圖形上（圖114）.補充 函數(shù)ysin x是奇函數(shù).函數(shù)ycos x是偶函數(shù).函數(shù)ysin xcos x既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).(4)、函數(shù)的周期性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.如果存在一個正數(shù)l，使得對于任一xD有(xl)D，且f(xl)f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期.例如，函數(shù)sin x，cos x都是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tan x是以為周期的周期函數(shù).、圖115表示周期為l的一個周期函數(shù).在每個長度為l的區(qū)間上，函數(shù)圖形有相同的形狀.、并非每個周期函數(shù)都有最小正周期.下面的函數(shù)就屬于這種情形.【例10】狄利克雷函數(shù)D(x)容易驗證這是一個周期函數(shù)，任何正有理數(shù)r都是它的周期.因為不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期.3、反函數(shù)與復合函數(shù)、作為逆映射的特例，我們有以下反函數(shù)的概念.設(shè)函數(shù)f：Df(D)是單射，則它存在逆映射f ：f(D)D，稱此映射f. 為函數(shù)f的反函數(shù).補充 按此定義，對每個yf(D)，有唯一的xD，使得f(x)y，于是有f (y)x.這就是說，反函數(shù)f 的對應法則是完全由函數(shù)f的對應法則所確定的.例如，、函數(shù)yx，xR是單射，所以它的反函數(shù)存在，其反函數(shù)為xy ，yR.、由于習慣上自變量用x表示，因變量用y表示，于是yx，xR的反函數(shù)通常寫作yx ，xR.、一般的，yf(x)，xD的反函數(shù)記成yf (x),xf(D).、若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù)，則f：Df(D)是單射，于是f的反函數(shù)f 必定存在，而且容易證明f 也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).證明 事實上，不防設(shè)f在D上單調(diào)增加，現(xiàn)在來證明f 在f(D)上也是單調(diào)增加的.、任取y ，y f(D)，且y y .按函數(shù)f的定義，對y ，在D內(nèi)存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x ；對y ，在D內(nèi)存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x .、如果x x ，則由f(x)單調(diào)增加，必有y y ；如果x x ，則顯然有y y .、這兩種情形都與假設(shè)y y 不符，故必有x x ，即f (y )f (y ).這就證明了f 在f(D)上是單調(diào)增加的.、相對于反函數(shù)yf (x)來說，原來的函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù).補充、把直接函數(shù)yf(x)和它的反函數(shù)yf (x)的圖形畫在同一坐標平面上，這兩個圖形關(guān)于直線yx是對稱的（圖116）.、這是因為如果P(a,b)是yf(x)圖形上的點，則有bf(a).按反函數(shù)的定義，有af (b)，故Q(b,a)是yf (x)圖形上的點；反之，若Q(b,a)是yf (x)圖形上的點，則P(a,b)是yf(x)圖形上的點.、而P(a,b)與Q(b,a)是關(guān)于直線yx對稱的.、復合函數(shù)是復合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號，復合函數(shù)的概念可如下表述.設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域為D ，設(shè)函數(shù)ug(x)的定義域為D ，且其值域R D ，則由下式確定的函數(shù)yfg(x)，xD 稱為由函數(shù)ug(x)與函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復合函數(shù)，它的定義域為D ，變量u稱為中間變量.補充、函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復合函數(shù)，即按“先g后f”的次序復合的函數(shù)，通常記為f g，即(f g)(x)fg(x).、與復合映射一樣，g與f能構(gòu)成復合函數(shù)f g的條件是：函數(shù)g的值域R 必須含在函數(shù)f的定義域D 內(nèi)，即R D. 否則，不能構(gòu)成復合函數(shù).例如，yf(u)arcsin u的定義域為1,1，ug(x)sin x的定義域為R，且g(R) 1,1，故g與f可構(gòu)成復合函數(shù).yarcsin sin x，xR；又如，yf(u) u的定義域為D 0,)，ug(x)tan x的值域為R (,)，顯然R D ，故g與f不能構(gòu)成復合函數(shù).、但是，如果將函數(shù)g限制在它的定義域的一個子集Dx|kx(k ),kZ上，令g*(x)tan x，xD，那么R g*(D) D ，g*與f就可以構(gòu)成復合函數(shù)(f g*)(x) tan x，xD.、習慣上為了簡便起見，仍稱函數(shù) tan x是由函數(shù)utan x與函數(shù)y u構(gòu)成的復合函數(shù).這里函數(shù)utan x應理解成：utan x，xD.以后，我們采取這種習慣說法.例如，我們稱函數(shù)ux1與函數(shù)yln u構(gòu)成復合函數(shù)ln (x1)，它的定義域不是ux1的自然定義域R，而是R的一個子集D(1,).、有時也會遇到兩個以上函數(shù)所構(gòu)成的復合函數(shù)，只要它們順次滿足構(gòu)成復合函數(shù)的條件.例如，函數(shù)y u，ucot v，v 可構(gòu)成復合函數(shù)y cot ，這里u及v都是中間變量，復合函數(shù)的定義域是Dx|2kx(2k1)，kZ，而不是v 的自然定義域R，D是R的一個非空子集.4、函數(shù)的運算設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域依次為D ，D ，DD D ，則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：、和（差）fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、積fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、商 ：( )(x) ，xDx|g(x)0，xD.【例11】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(l,l)，證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x)，使得f(x)g(x)h(x).證 、先分析如下：假若這樣的g(x)、h(x)存在，使得f(x)g(x)h(x)， (1)且g(x)g(x)，h(x)h(x).、于是有f(x)g(x)h(x)g(x)h(x). (2)、利用(1)、(2)式，就可以作出g(x)、h(x).這就啟發(fā)我們作如下證明：作g(x) f(x)f(x)，h(x) f(x)f(x).、則g(x)h(x)f(x)，g(x) f(x)f(x)g(x)，h(x) f(x)f(x)h(x).證畢.5、初等函數(shù)、在初等數(shù)學中已經(jīng)講過下面幾類函數(shù)：、冪函數(shù)：yx （R是常數(shù)），指數(shù)函數(shù)：ya （a0且a1），、對數(shù)函數(shù)：ylog x（a0且a1，特別當ae使，記為yln x），、三角函數(shù)：如ysin x，ycos x，ytan x等，、反三角函數(shù)：如yarcsin x，yarccos x，yarctan x等.以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).、由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如y 1x，ysin x，y cot 等都是初等函數(shù).第二節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義1、【引例】、設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A ；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A ；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A ；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般的把內(nèi)接正62 邊形的面積記為A （nN ）.、這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A, A ,A ,A ,它們構(gòu)成一列有次序的數(shù).、當n越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以A 作為圓面積的近似值也越精確.、但是無論n取得如何大，只要n取定了，A 終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積.、因此，設(shè)想n無限增大（記為n，讀作n趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時A 也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積.、這個確定的數(shù)值在數(shù)學上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）A ,A ,A ,A ,當n時的極限.、在圓面積問題中我們看到，正是這個數(shù)列的極限才精確地表達了圓的面積.2、數(shù)列的定義(1)、數(shù)列：如果按照某一法則，對每個nN ，對應著一個確定的實數(shù)x ，這些實數(shù)x 按照下標n從小到大排列得到的一個序列x ,x ,x ,x ,就叫做數(shù)列，簡記為列x .(2)、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項.(3)、數(shù)列的一般項：第n項x 叫做數(shù)列的一般項.例如, , , ,；2,4,8,2 ,；, , , ,；1,1,1,(1) ,；2, , , ,它們的一般項依次為，2 ， ，(1) ， .注、在幾何上，數(shù)列x 可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x ,x ,x ,x ,(圖1-23).、數(shù)列x 可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：x =f(n)，nN .當自變量n依次取1,2,3,一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排列成數(shù)列x .3、數(shù)列極限的定義分析 對數(shù)列2, , , , (1)進行分析.、在這數(shù)列中，x = =1(1) .兩個數(shù)a與b之間的接近程度可以用這兩個數(shù)之差的絕對值|ba|來度量（在數(shù)軸上|ba|表示點a與點b之間的距離），|ba|越小，a與b就越相近.、就數(shù)列(1)來說，因為|x 1|=|(1) |= ，由此可見，當n越來越大時， 越來越小，從而x 就越來越接近于1.、因為只要n足夠大，|x 1|即 可以小于任意給定的正數(shù)，所以說，當n無限增大時，x 無限接近于1.、例如給定 ，欲使 100，即從第101項起，都能使不等式|x 1| 成立.、同樣的，如果給定 ，則從第10 001項起，都能使不等式|x 1|N時，不等式|x 1|都成立.、這就是數(shù)列x = （n=1,2,）當n時無限接近于1這件事的實質(zhì).這樣的一個數(shù)1，叫做數(shù)列x = （n1,2,）當n時的極限.【定義】設(shè)x 為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當nN時，不等式|x a|都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列x 的極限，或者稱數(shù)列x 收斂于a，記為lim x a，或x a（n）.補充、如果不存在這樣的常數(shù)a，就說數(shù)列x 沒有極限，或者說數(shù)列x 是發(fā)散的，習慣上也說lim x 不存在.、上面定義中正數(shù)可以任意給定是很重要的，因為只有這樣，不等式|x a|才能表達出x 與a無限接近的意思.、此外還因注意到：定義中的正整數(shù)N是與任意給定的正數(shù)有關(guān)的，它隨著的給定而選定.、我們給“數(shù)列x 的極限為a”一個幾何解釋：、將常數(shù)a及數(shù)列x ,x ,x ,x ,在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的領(lǐng)域即開區(qū)間(a,a)（圖124）.、因不等式 |x a|與不等式 ax a等價，所以當nN時，所有的點x 都落在開區(qū)間(a,a)內(nèi)，而只有有限個（至多只有N個）在這區(qū)間以外.、為了表達方便，引入記號“V”表示“對于任意給定的”或“對于每一個”，記號“ ”表示“存在”.于是，“對于任意給定的0”寫成“V0”，“存在正整數(shù)N”寫成“ 正整數(shù)N”，數(shù)列極限lim x a的定義可表達為：lim x a V0， 正整數(shù)N，當nN時，有|x a|.【例1】證明數(shù)列2, , , , ，的極限是1.證 、|x a| 1| ,、為了使|x a|小于任意給定的正數(shù)（設(shè)1），只要 或n .、所以，V0，取N ，則當nN時，就有| 1|，即 lim 1.【例2】已知x ，證明數(shù)列x 的極限是0.證、|x a| 0| .、V0（設(shè)1），只要 或n 1，不等式|x a|必定成立.、所以，取N 1，則當nN時就有| 0|，即 lim 0.注 、在利用數(shù)列極限的定義來論證某個數(shù)a是數(shù)列x 的極限時，重要的是對于任意給定的正數(shù)，要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)N確實存在，但沒有必要去求最小的N.、如果知道|x a|小于某個量（這個量是n的一個函數(shù)），那么當這個量小于時，|x a|當然也成立.、若令這個量小于來定出N比較方便的話，就可采用這種方法.例2便是這樣做的.【例3】設(shè)|q|1，證明等比數(shù)列1,q,q,q ,的極限是0.證、 V0（設(shè)1），因為|x 0|q 0|q| ，要使|x 0|，只要|q| .、取自然對數(shù)，得(n1)ln |q|ln .因|q|1，ln |q|0，故 n1 .、取N1 ，則當nN時，就有|q 0|，即 lim q 0.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)【定理1】（極限的唯一性）如果數(shù)列x 收斂，那么它的極限唯一.證明 用反證法.、假設(shè)同時有x a及x b，且ab.取 .、因為lim x a，故 正整數(shù)N ，當nN 時，不等式|x a| (2)都成立.、同理，因為lim x b，故 正整數(shù)N ，當nN 時，不等式|x b| (3)都成立.、取NmaxN ,N （這式子表示N是N 和N 中較大的那個數(shù)），則當nN時，(2)式及(3)式會同時成立.、但由(2)式有x ，由(3)式有x ，這是不可能的.這矛盾證明了本定理的斷言.【例4】證明數(shù)列x (1) （n1,2,）是發(fā)散的.證、如果這數(shù)列收斂，根據(jù)定理1它有唯一的極限，設(shè)極限為a，即lim x a.、按數(shù)列極限的定義，對于 ， 正整數(shù)N，當nN時，|x a| 成立；即當nN時，x 都在開區(qū)間(a ,a )內(nèi).、但這是不可能的，因為n時，x 無休止地一再重復取得1和1這兩個數(shù)，而這兩個數(shù)不可能同時屬于長度為1的開區(qū)間(a ,a )內(nèi).因此這數(shù)列發(fā)散.補充 下面先介紹數(shù)列的有界性概念，然后證明收斂數(shù)列的有界性.、 對于數(shù)列x ，如果存在著正數(shù)M，使得對于一切x 都滿足不等式|x |M，則稱數(shù)列x 是有界的；如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列x 是無界的.、例如，數(shù)列x （n1,2,）是有界的，因為可取M1，而使| |1對于一切正整數(shù)n都成立.、數(shù)列x 2 （n1,2,）是無界的，因為當n無限增加時，2 可超過任何正數(shù).、數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點x 都落在閉區(qū)間M,M上.【定理2】（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列x 收斂，那么數(shù)列x 一定有界.證明、因為數(shù)列x 收斂，設(shè)lim x a.、根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于1， 正整數(shù)N，當nN時，不等式|x a|1都成立.、于是，當nN時，|x |(x a)a|x a|a|1|a|.、取Mmax|x |,|x |,|x |,1|a|，那么數(shù)列x 中的一切x 都滿足不等式|x |M.這就證明了數(shù)列x 是有界的.補充 根據(jù)上述定理，如果數(shù)列x 無界，那么數(shù)列x 一定發(fā)散.但是，如果數(shù)列x 有界，卻不能斷定數(shù)列x 一定收斂，例如，數(shù)列1,1,1,(1) ,有界，但例4證明了這數(shù)列是發(fā)散的.所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.【定理3】（收斂數(shù)列的保號性）如果lim x a，且a0（或a0），那么存在正整數(shù)N0，當nN時，都有x 0 （或x0）.證明 就a0的情形證明.、由數(shù)列極限的定義，對 0， 正整數(shù)N0，當nN時，有|x a| ，、從而x a 0.【推論】如果數(shù)列x 從某項起有x 0（或x 0），且lim x a，那么0（或a0）.證明、設(shè)數(shù)列x 從第N 項起，即當nN 時有x 0.、現(xiàn)在用反正法證明.若lim x a0，則由定理3知， 正整數(shù)N 0，當nN 時，有x 0.、取NmaxN ,N ，當nN時，按假定有x 0，按定理3有x 0，這引起矛盾，所以必有a0.補充 、數(shù)列x 從某項起有x 0的情形，可以類似地證明.、最后，介紹子數(shù)列的概念以及關(guān)于收斂的數(shù)列與其子數(shù)列間關(guān)系的一個定理.、在數(shù)列x 中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列x 中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列x 的子數(shù)列（或子列）.、設(shè)在數(shù)列x 中，第一次抽取x ，第二次在x 后抽取x ，第三次在x 后抽取x ，這樣無休止地抽取下去，得到一個數(shù)列x , x , x , ,這個數(shù)列x 就是數(shù)列x 的一個子數(shù)列.注 在子數(shù)列x 中，一般項x 是第k項，而x 在原數(shù)列x 中卻是第n 項.顯然，n k.*【定理4】（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列x 收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.證明、設(shè)數(shù)列x 是數(shù)列x 是任一子數(shù)列.、由于lim x a，故V0， 正整數(shù)N，當nN時0，|x a|成立.、取KN，則當kK時，n n n N.、于是|x a|.這就證明了lim x a.注 由定理4可知，如果數(shù)列x 有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列x 是發(fā)散的.例如，例4中的數(shù)列1,1,1,.,(1) ,.的子數(shù)列x 收斂于1，而子數(shù)列x 收斂于1，因此數(shù)列x (1) （n1,2,.）是發(fā)散的.同時這個例子也說明，一個發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.第三節(jié) 函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義分析、因為數(shù)列x 可看作自變量為n的函數(shù)：x f(n)，nN ，所以，數(shù)列x 的極限為a，就是：當自變量n取正整數(shù)而無限增大（即n）時，對應的函數(shù)值f(n)無限接近于確定的數(shù)a.、把數(shù)列極限概念中的函數(shù)為f(n)而自變量的變化過程為n等特殊性撇開，這樣可以引出函數(shù)極限的一般概念.、函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限.、這個極限是與自變量的變化過程密切相關(guān)的，由于自變量的變化過程不同，函數(shù)的極限就表示為不同的形式.數(shù)列極限看作函數(shù)f(n)當n時的極限，這里自變量的變化過程是n.、自變量的變化過程為其他情形時函數(shù)f(x)的極限：、自變量x任意的接近于有限值x 或者說趨于有限值x （記作xx ）時，對應的函數(shù)值f(x)的變化情形；、自變量x的絕對值|x|無限增大即趨于無窮大（記作x）時，對應的函數(shù)值f(x)的變化情形.1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限分析、現(xiàn)在考慮自變量x的變化過程為xx .如果在xx 的過程中，對應的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么就說A是函數(shù)f(x)當xx 時的極限.當然，這里我們首先假定函數(shù)f(x)在點x 的某個去心領(lǐng)域內(nèi)是有定義的.、在xx 的過程中，對應的函數(shù)值f(x)無限接近于A，就是|f(x)A|能任意小.、如數(shù)列極限概念所述，|f(x)A|能任意小這件事可以用|f(x)A|來表達，其中是任意給定的正數(shù).、因為函數(shù)值f(x)無限接近于A是在xx 的過程中實