第一章 基本概念.doc

第一章 基本概念1.1 集 合1.指出下列各命題的真假.(1); (2); (3); (4);(5); (6); (7); (8);(9); (10); (11); (12).解 命題,(5),(6),(8),(9)和(11)為真命題,其余都是假命題.2.設(shè),求,.解 ; ;.3.設(shè)是兩個集合,若,證明:.證明 假設(shè).則.因此.4.設(shè)是三個集合,若,證明:.證明 考察任意的:若,則由可知;若,則由可知.由此可見,.同理可證,.所以.5.證明下列三命題等價:(1);(2);(3).證明 我們有.所以命題(1),(2)和(3)兩兩等價. 6.設(shè)是三個集合,證明:(1); (2);(3); (4);(5); (6).證明 (1)對于任意的元素,我們有.所以(2)對于任意的元素,我們有.所以.(3)對于任意的元素,我們有.所以.(4)對于任意的元素,我們有所以.(5)對于任意的元素,我們有.所以.(6)對于任意的元素,我們有.所以.7.設(shè),寫出的冪集.解 顯然.所以.8.設(shè)是包含個元素的有限集,求的冪集所包含元素個數(shù).解 對于任意的,的由個元素組成的子集共有個.所以的冪集所包含元素個數(shù)為.1.2 映 射1. 設(shè)是一個正整數(shù),作帶余除法:,.規(guī)定,問:是否為到的映射?單射?滿射? 答 顯然是到的映射.由于,因此不是單射.由于,因此不是滿射.2.(1)設(shè)是到的單射,是到的單射,證明:是到的單射.(2)設(shè)是到的滿射,是到的滿射,證明:是到的滿射.證明 (1)假設(shè)且.由于是到的單射,因此且.由于是到的單射,因此且,即.由此可見,是到的單射.(2)任意給定.由于是到的滿射,因此我們可取,使得.由于是到的滿射,因此我們可取,使得.于是,.由此可見,是到的滿射.3.設(shè),問:(1)有多少個到的映射?(2)有多少個到的單射?滿射?雙射?解 (1)令表示到的所有映射組成的集合,表示這三個元素的所有有重復和無重復的排列組成的集合.對于任意的,令.顯然是到的雙射,并且.所以.也就是說,到的不同映射共有個A中元素在B中必有對應(yīng)項，對于1,2,3有3種選擇，即3*3*3=27.(2)設(shè)如(1)中所說.顯然,對于任意的,是單射(滿射)當且僅當是這三個元素的一個無重復的排列.由于這三個元素的無重復的排列共有個,所以到的不同單射(滿射)共有6個.4.設(shè)給出三個到的映射: ; (1)計算:,;(2)證明:是單射,并分別求出的一個左逆映射;(3)證明:是滿射,并求出的一個右逆映射.解 (1)對于任意的,;(2),若,則;若;則.所以和都是單射.由(1)可知,既是的一個左逆映射,又是的一個左逆映射.(3),我們有.所以是滿射.由(1)可知,和都是的右逆映射.5.設(shè)是到的映射,是到的映射.(1)若有左逆映射,問是否都有左逆映射?(2)若有右逆映射,問是否都有右逆映射?解 (1)若有左逆映射,則,從而,是的左逆映射.但是未必有左逆映射.例如,令,定義到的映射和到的映射如下:則有左逆映射;不是單射,從而,沒有左逆映射.(2)若有右逆映射,則,從而,是的右逆映射.但是未必有右逆映射.例如,在上例中,有右逆映射,不是滿射,從而,沒有右逆映射.6.設(shè)都是有限集,且.又是一個映射,證明:是單射是滿射.證明 由于是到的映射,因此.當是單射時,是到的雙射,從而,.這樣,由可知.所以是滿射.當是滿射時,對于每一個,任意定一個元素,使得,并令.于是,是到的單射.由于,因此是雙射.又因,所以是雙射,從而,是單射.1.3 卡氏積與代數(shù)運算1.設(shè),問下列各命題是否正確?(1); (2); (3);(4); (5); (6).答 命題(3),(4)和(6)都正確;其余命題都不正確.2.判斷下列法則是否為有理數(shù)域上的代數(shù)運算:(1); (2); (3);(4); (5).解 (1),(3)和(5)中的法則都是有理數(shù)域上的代數(shù)運算;其余的法則都不是.3.設(shè)上的代數(shù)運算適合結(jié)合律,交換律,試完成下列表中的計算.解 由于適合交換律,因此我們有由于適合結(jié)合律,因此.又因,根據(jù)可以斷言.所以我們有4.在非零實數(shù)集上普通數(shù)的除法運算是否適合結(jié)合律、交換律?答 小學生都知道,數(shù)的除法運算不適合結(jié)合律和交換律,因此無需舉例說明.5.在實數(shù)集上規(guī)定一個代數(shù)運算,問這個代數(shù)運算是否適合結(jié)合律、交換律?解 我們有,;,.由此可見,這個代數(shù)運算不適合結(jié)合律和交換律.6.證明定理1.9.注 定理1.9的內(nèi)容如下:(1)設(shè)上的代數(shù)運算適合結(jié)合律;到的代數(shù)運算對于適合左分配律,則對于中任意()個元素,中任意元素,都有.(2)設(shè)上的代數(shù)運算適合結(jié)合律; 到的代數(shù)運算對于適合右分配律,則對于中任意()個元素,中任意元素,都有.證明 這里只證明定理1.9(1)成立.由于對于適合左分配律,因此.假設(shè)當()時有.當時,由于適合結(jié)合律,根據(jù)歸納假設(shè),我們有.所以對于一切正整數(shù),有.7.設(shè)上的兩個代數(shù)運算與由下列運算表給出:證明:對于適合左、右分配律.證明 事實上,對于任意的,若或,則;若或,則.總之,我們有,.這就是說,對于適合左分配律.其次,對于任意的,若,則;若,則;此外,對于任意的,有,.這樣一來,注意到適合交換律,可以斷言,.這就是說,對于適合右分配律.1.4 等價關(guān)系與集合的分類1.在集合中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明:是上的一個等價關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價類. 解 平行線的標準定義是:設(shè)和是同一平面上的兩條直線.若與沒有公共點,則稱平行于,記作.根據(jù)這一定義,對于任何直線,不成立,從而,同一平面上的直線之間的平行關(guān)系不是等價關(guān)系.但是,顯而易見,本題中,上關(guān)系具有對稱性和傳遞性.這樣一來,如果再補充規(guī)定:,那么就是上的一個等價關(guān)系.這時,以為代表的等價類就是由和該平面上的一切平行于的直線組成的集合.2.在非零復數(shù)集中,規(guī)定二元關(guān)系為的輻角的輻角. 證明:是上的一個等價關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價類.解 顯而易見,有;.所以是上的一個等價關(guān)系.以為代表的等價類就是一切與具有相同輻角的復數(shù)組成的集合,其幾何意義就是復平面上以為端點且經(jīng)過的射線. 3.設(shè),在中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明:是上的一個等價關(guān)系,并寫出商集.解 顯而易見,是上的一個等價關(guān)系,其理由不必贅述.,其中,. 注 課本中的答案有誤.以為代表的等價類不是,應(yīng)是. 4.設(shè),在中,規(guī)定二元關(guān)系為.問:是不是上的等價關(guān)系,為什么? 答 顯然,.因此不具有對稱性.所以不是上的等價關(guān)系. 5.設(shè)表示復數(shù)域上所有階矩陣所組成的集合,問下列規(guī)定的上的關(guān)系是不是等價關(guān)系,為什么?若是等價關(guān)系,寫出各個等價類的代表元.(1)階可逆矩陣,使.(2)的秩的秩.(3)(表示的行列式).解 高等代數(shù)中已經(jīng)指出,和都是上的等價關(guān)系,并且;稱為矩陣之間的等價關(guān)系.對于每一個,令表示主對角線上前個元素都是、其余元素都是的階矩陣,表示階零矩陣,則.對于每一個,令表示主對角線上第個元素是、主對角線上其它元素都是、其余元素都是的階矩陣,則.6.設(shè)表示所有階實對稱矩陣所組成的集合,問下列規(guī)定的上的關(guān)系是不是等價關(guān)系,為什么? 若是等價關(guān)系,寫出各個等價類的代表元.(1)階可逆矩陣,使.(2)階正交矩陣,使.解 高等代數(shù)中已經(jīng)指出,都是上的等價關(guān)系,稱為合同關(guān)系,稱為正交合同關(guān)系.對于任意的,與具有相同的慣性指標;與具有相同的實特征值.對于任意的整數(shù),令表示主對角線上前個元素是、主對角線上接著的元素都是、其余元素都是的階矩陣,則.對于任意的實數(shù),令表示主對角線上的元素依次為的對角矩陣,則,其中,當且僅當:適當調(diào)換諸的次序和下標,可使,. 注 課本中關(guān)于等價類的代表元的敘述有誤.7.設(shè),求的所有可能的分類.解 所有可能的分類如下:;,;,;,;.復 習 題 一1.設(shè),是兩個實系數(shù)一元多項式,其根的集合分別記作,證明:(1)多項式的根的集合為;(2)多項式的根的集合為.注 本題中應(yīng)設(shè)分別表示,的全體實數(shù)根組成的集合,否則斷言(2)不成立.例如,當,時,的全體復根的集合為.證明 (1)對于任意的實數(shù),我們有或或是的根.所以多項式的全體實數(shù)根的集合為.(2)對于任意的實數(shù),我們有且且是的根.所以多項式的全體實數(shù)根的集合為.2.設(shè)是兩個集合,將在中的余與在中的余的并稱為與的對稱余,記作,即.證明:(1);(2);(3).證明 (1)由于對于適合分配律,對于適合分配律,我們有.(2)根據(jù)的定義以及1.1習題6(6),我們有.(3)根據(jù)(1)和對合律,我們有.3.證明:(1);(2).證明 (1)對于任意的元素,我們有.所以.(2)對于任意的元素,我們有.所以.4.設(shè)是映射,證明:(1);(2);(3),并舉例說明等號未必成立.證明 (1)對于任意的,我們有.所以.(2)對于任意的,我們有.所以.(3)對于任意的,我們有 .所以.令,.則.于是,但.5.設(shè)與()都是上的關(guān)系,證明:(1);(2)當時,;(3);(4).證明 (1)對于任意的,我們有.所以.(2)當時,對于任意的,我們有.所以當時,.(3)對于任意的,我們有.所以.(4)對于任意的,我們有.所以.6.在偶數(shù)環(huán)中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明: 是上的一個等價關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價類.解 對于任意的,我們有,從而,;且且.由此可見,是上的一個等價關(guān)系.對于任意的,將以為代表的等價類記作,則.7.設(shè)是集合上的一個二元關(guān)系,證明:是上的等價關(guān)系的充要條件是滿足