機床主軸的振動的有限元模態(tài)分析

畢業(yè)設計說明書 題 目： 機床主軸的振動模態(tài)分析 專 業(yè)： 機械設計制造及其自動化 學 號： 姓 名： 指導教師： 完成日期： 目錄 摘要 I Abstract II 第一章 緒論 1 1.1 課題研究的背景及意義 1 1.2 數(shù)控機床主軸研究現(xiàn)狀 2 1.3 主軸性能研究概況 3 1.4 本課題的研究內容 4 第二章 理論基礎 6 2.1 模態(tài)分析理論 6 2.2 本章小節(jié) 10 第三章 機床主軸的有限元分析 11 3.1 有限元簡介及 ANSYS 軟件應用 11 3.1.2 ANSYS 軟件應用 12 3.1.2.1 ANSYS 的線性靜力分析 12 3.1.2.2 分析步驟 12 3.2 機床主軸有限元分析模型 12 3.2.1 構建幾何模型 12 3.2.2 有限元模型建立 13 3.2.3 單元類型選擇和網格劃分 14 3.3 機床主軸振動模態(tài)分析 16 3.3.1 ANSYS 動力分析 16 3.3.2 模態(tài)分析 17 3.4 本章小結 21 結論 22 參考文獻 23 致謝 24 附錄一 英文文獻翻譯 附錄二 英文文獻原件 機床主軸振動的有限元模態(tài)分析 摘 要 ： 機床發(fā)展日益朝向高速度和高精度的方向發(fā)展，這對機床的設計提出了更高的要求，需要采用更加先進和合理的設計方法來完成機床設計。作為一種先進的設計手段，動態(tài)設計方法已經成為企業(yè)提高競爭力的重要方面。要進行動態(tài)設計，前 提是對機床的動態(tài)性能作出正確的分析。主軸是數(shù)控機床的重要組成部分，其動態(tài)特性的好壞對機床的性能有著重要的影響。因此，對主軸部件進行動態(tài)特性分析十分必要。為了提高機床的設計水平，將現(xiàn)代化的設計方法應用于機床的設計，主要是對現(xiàn)有數(shù)控機床 CKS6125 主軸振動進行模態(tài)分析，為進一步進行動態(tài)設計打基礎。 本文態(tài)參數(shù) ,識別原理； (1) 簡要論述了有限元方法和動力學分析的基本求解過程，建立機床主軸有限元模型，合理的確定了載荷、軸承支承剛度和約束條件，選定了單元類型。采用 Lanczos 法對其進行自由模的具體研究內容 ； (2)總結了機床、動態(tài)設計方法研究和機床主軸動靜態(tài)研究的發(fā)展狀況和發(fā)展趨勢，在總結前人研究成果的基礎上，結合當前的技術發(fā)展趨勢，采用有限元方法來進行開展研究； (3) 簡要論述了模態(tài)分析，得到主軸的固有頻率和振型，找出工作時容易發(fā)生共振的頻率域 ,為進一步提高精度和轉速提供理論依據(jù)。 關鍵詞 :有限元分析；模態(tài)分析；機床主軸；振動 II Spindle vibration modal analysis by finite element method ABSTRACT High-speed and high-accuracy are the trends in development of machine tool, we need to use advanced and appropriate method to design machine tool. As a way to improve enterprises competitive power, the dynamic design method has been played an important role. The analysis of dynamic performance is the premise of dynamic design. Spindle is a key part of CNC machine; its performance will affect the machines performance and quality of work piece mostly. Its dynamic characteristic is an important influence for the function of the tool machine. To improve design level and use advanced design chose Machine Tools CKS6125 to do study on dynamic performance and application. The paper is based on the study and the mainly work is study on dynamic performance of Machine Tools Spindle which can provide a foundation for dynamic design. The contents are: (1) In the paper, the development trends of machine tool and dynamic design are summarized. And the FEA methods are taken to use. (2)The basic resolving processes about the modal parameters identifier theory. (3) The basic resolving processes about static analysis and kinetic analysis. The solid model of spindle is established. During the building of the model, the load on the spindle, the supporting stiffness of bearing, the boundary and elements are analyzed correctly. The modal frequency and modal shape characteristics are obtained by FEM modal analysis with the Lanczos method. And the frequency region of the resonance in work is obtained. It provides theoretical basis for promoting the precision and rotational speed of the spindle parts. Key words: Finite Element Method; Modal Analysis; Spindle; vibration 1 第一章 緒論 1.1 課題研究的背景及意義 制造業(yè)是體現(xiàn)一個國家綜合實力的重要方面，是國家財富的 主要創(chuàng)造者世界上凡是發(fā)達國家都擁有高水平的制造業(yè)。而裝備制造業(yè)作 為整個國家工業(yè)部門的裝備提供者，其水 平的高低決定了我國制造業(yè)的國際競爭力，特別是我國加入到 WTO 以后，行業(yè)競爭更加激烈，已經關系到我們國家現(xiàn)代化的進程和民族的復興，因此提高我國裝備制造業(yè)的整體技術水平具有重大的理論和現(xiàn)實意義。在當前的振興過程中，我們應該清醒的認識到我國裝備制造業(yè)和發(fā)達國家的差距，不能只看到眼前的一時繁榮。特別是機床行業(yè)，在設計水平上與發(fā)達國家有著比較大的差距，缺少創(chuàng)新和突破，掌握核心技術較少，特別在高端的產品領域，競爭力還不夠強大。同時由于工業(yè)、農業(yè)、國防與科學技術的發(fā)展，對機械設備提出了越來越高的要求，同時現(xiàn)代產品的更新速 度比較快，為了提高產品的市場競爭力，就要縮短產品生產設計周期，提高產品設計的水平。為了實現(xiàn)這個要求，要求產品設計人員在產品物理樣機設 計完成后，在產品的物理樣機制造出來之前，能夠對產品的各項性能進行評價，了解和掌握產品的靜動態(tài)性能，從而可以在產品投產之前對設計進行修改和結構優(yōu)化，提高設計的成功率和產品質量。 動態(tài)設計就是機械結構和機器系統(tǒng)的動態(tài)性能在圖紙設計階段就得到預測和優(yōu)化，整個設計過程實質上是運用動態(tài)分析技術，借助計算機輔助設計和計算機輔助分析的方法來實現(xiàn)的。長期以來，國內的機床設計多為經驗模 擬設計，結構設計計算沿用傳統(tǒng)的計算方法，如材料力學、結構力學以及彈性力學的一些公式進行計算。這些公式的推導多以強度方面的理論為主，輔以實驗和測試方法得出，具有一定的可靠性。但由于機床結構的復雜，計算過程中的數(shù)學模型對結構進行了許多簡化，導致了計算的精度差異較大。同時憑借簡單的計算工具，計算繁冗，時間很長，有些項目無法計算。因此，利用傳統(tǒng)的模擬設計方法進行機床設計雖然可以對機床或某些組成的零部件進行綜合或者部分的技術性能實驗，但是受實驗手段和方法的限制，還不能夠進行 深入的研究，從而根本上也談不上優(yōu)化設計以及動 態(tài)設計，多為“設計 制造 修改設計 制造”周期循環(huán)，有些甚至經過幾代才可能形成比較好的產品，費時費力，效率低下。 動態(tài)設計的原則 :目標是保證機械滿足其功能前提要求的條件下具有較高的動剛度，使其經濟合理、運轉平穩(wěn)、可靠。要從總體上把握機械結構的固有頻率、振型和阻尼比。具體為 :避開共振，避開率應在 15%-20%；降低機器運行過程中的振動幅度；結構各階模態(tài)剛度最大且盡量相等；結構的各階模態(tài)阻尼比要盡量高；避免結構疲勞破壞；提高振動穩(wěn)定性。 設計步驟 : 2 (1)建立機械結構或機械系統(tǒng)的動力學模型，根 據(jù)設計圖紙建立力學模型，也可以應用試驗模態(tài)分析技術建立結構的試驗模型； (2)利用數(shù)學模型求解自由振動方程得到結構振動的固有特性，引入外部激勵可以進行動力響應分析； (3)動態(tài)性能評定； (4)結構修改和優(yōu)化設計 1。 1.2 數(shù)控機床主軸研究現(xiàn)狀 我國數(shù)控技術的開發(fā)始于 1958 年，幾乎與國外同時起步。但由于自身技術的落后，研制進展十分緩慢。但 “九五 ”以來，我國機床在關鍵技術的突破上主要表現(xiàn)在以下方面： （ 1） 數(shù)控系統(tǒng)網絡化、集成化。應用 PC 機開發(fā)出了 8 軸聯(lián)動，可控 48 軸的分布式數(shù)控系統(tǒng)，以及可靠性達到 15000 小時的高分辨率數(shù)控系統(tǒng)。 （ 2） 實現(xiàn)了高速主軸、快速進給、高速換刀機構的 “三高 ”技術的突破。國產加工中心的主軸轉速可以達到 1 萬 1.2 萬 rpm，快速進給一般都能達到 30 40m/min。 （ 3） 靜壓技術、精密傳動技術的突破，有效地提高了重型機床的主軸精度和定位精度。如武漢重型機床廠和齊齊哈爾第一機床廠開發(fā)的精密雙齒輪條傳動系統(tǒng)，大大消除了齒輪傳動間隙，提高了傳動精度。在機床主軸轉速方面，我國取得了長足的進步，但與國外的差距還是很大。在 80 年代之前，我國機床主軸轉速一般都不到 2000rpm。進入 90 年代，機床廠商 和各高校都加緊了新產品的研制。國內有些廠家也生產出轉速上 5000rpm。如：上海明精機床公司生產的 2HM-007/25T 型高速數(shù)控車床，主軸最高轉速 7500rpm；南京機床廠生產的 CK1416/12、 1425/34 型高速數(shù)控車床，主軸最高轉速6000rpm；上?？闲啪軝C器制造有限公司生產的 KSJM6130C/6132C 型高速精密數(shù)控車床最高轉速也是 5000rpm。在國際上，數(shù)控機床高速化發(fā)展也經歷了幾個過程，其如表1-1 所示。 表 1-1 數(shù)控機床高速化發(fā)展過程 時間 60 年代 70 年代 80 年代 90 年代 21 世紀初 主軸轉速 (rpm) 1000-2000 2000-4000 2000-6000 4000-10000 10000-15000 主 軸是數(shù)控機床的關鍵部件，在其前部安裝工件、刀具，直接參與切削加工，對機床的加工精度，工件表面質量和生產效率有很大的影響，其性能的好壞將對機床的最終性能和加工工件的質量有非常重要的影響。據(jù)研究表明中型車床在不同頻率的動載荷作用下，各個部件反映在刀具與工件切削處的綜合位移中主軸部件所占比例最大，未處于共振狀態(tài)下占 30%-40%，共振狀態(tài)下占 60%-80%2。 3 對于數(shù)控機床的主軸部件常用的結構主要有以下幾種形式 : (1)對于高速高精度機床，為了實現(xiàn)高的主軸轉速，采用主軸電機結構； (2)對于中等要求的數(shù)控機床，采用主軸電機，驅動經過減速機構驅動 (采用齒輪傳動和同步帶傳動 )的專用主軸生產廠生產的主軸； (3)對于一般的數(shù)控機床 (經濟型數(shù)控機床 )，采用交流電機經過皮帶傳動，再經過主軸變速箱體 (其結構與普通機床的主軸箱有很大的不同 )實現(xiàn)主軸的變速 3。 數(shù)控機床的主傳動無論采用上面那種結構，設計人員都應該非常重視主軸部件的設計和機床主軸部件的動態(tài)性能。采用傳統(tǒng)的設計 方法，在機床的物理樣機制造出來之前，人們不能準確知道機床及其主軸部件的動態(tài)性能，需要制造出物理樣機通過試驗來確定，一旦設計達不到要求性能，一切需要重來。 近年隨著計算機及其相關軟硬件技術的發(fā)展促進了虛擬樣機技術的快速發(fā)展，同時成熟的 CAE 建模和分析軟件技術使產品動態(tài)設計成為可能。 1.3 主軸性能研究概況 機床主軸的動靜態(tài)特性主要就是固有頻率、受力變形、臨界轉速、動態(tài)響應等，由于其重要性，國內外的才昆多單位和研究機構很早就開始了機床動態(tài)設計的相關研究工作，也獲得一系列的成果。 在 60 年代以 前，一般采用經驗模擬法設計，方法繁瑣，精度低。 60 年代以后由于計算機技術和計算方法的進步，出現(xiàn)了有限差分法、結構分析法、有限元法、結構修正法，模態(tài)法等大量方法。 在國外， 1964 年， Bollinger 將軸承模擬為一個簡單的徑向彈簧和阻尼器，采用有限差分模型分析了車床主軸的特性 41985 年 Red 即和 Sharan 應用有限元模型研究車床主軸的動態(tài)特性及其設計 5。 1988 年 Sadeghipor 將動柔度分析引人對主軸系統(tǒng)的動力特性和動態(tài)設計的研究之中 6。 1992 年， Spur.G 等利用結構修正法分析 了切削機床的主軸一軸承的靜態(tài)和動態(tài)性能，但只是考慮軸承徑向一個自由度，并且忽略了軸向、力矩方向的自由度，更忽略了軸承剛度的非線性 7。 1997 年，美國普渡大學的 Bert.R.Jorgensen和、 ixng.C. Shin 推出了一個包括熱變形的軸承載荷一變形模型，并與離散的主軸動態(tài) 模型結合在一起，這一模型可以得到主軸固有頻率、軸承剛度和熱變形 較好的計算值 8。同年， Tsutsumi 等人研究了滾動軸承的動態(tài)性能對主軸振動特性的影響。 Yhland 建立了僅受球軸承幾何缺陷激勵的無阻尼主軸 軸承系統(tǒng)的線性分析模 型，該模型在主軸的中、低速有效 9。 而國內從事這一領域研究的也很多，特別是早期對普通主軸動特性的研究。 1992 年，江蘇工學院的付華應用試驗模態(tài)分析與有限元計算相結合的方法，對傳統(tǒng)主軸部件進行 4 了動力特性分析，并對主軸進行了動力修改 10。 1994 年，大連理工大學的肖曙紅用有限元結合迭代的分析方法，編制了主軸組件靜、動特性分析軟件 SAAS11。 1999 年，北京工業(yè)大學的費仁元等采用實驗方法對復雜的主軸部件進行了動態(tài)特性分析 12。 2000年，沈陽工業(yè)學院的史安娜等對主軸部件建立了空間梁單元模型，并在 此基礎上對其靜動態(tài)特性進行了分析 13 。同年，北京理工大學的劉素華利用有限元分析軟件ALGORFEAS 對電主軸的動靜態(tài)特性進行了分析 14。 2001 年，楊曼云等利用 MSC. Nastran 軟件對 TH6350 臥式加工中心的主軸系統(tǒng)進行了靜、動態(tài)特性分析 15。武漢理工大學的楊光等利用傳遞矩陣法對電主軸系統(tǒng)進行了動力學特性分析 16。 2003 年，無錫機床股份有限公司的蔡英等基于 Riccatti 傳遞矩陣法，對 MK2120A 型內圓磨床的高速主軸系統(tǒng)進行了動力學特性分析 17。 從國內外研究的情況看，對高 速主軸的一些基本特性都被人們所認識，高速主軸的靜剛度，熱特性，高速軸承特性等都逐漸被人們所掌握。但是，數(shù)控機床的高速化不是簡單分析零件就能行的。提升主軸的轉速是要綜合分析主軸部件，特別是要掌握主軸與主軸箱的固有特性，即二者的振動頻率，阻尼比等參數(shù)。只有系統(tǒng)的對主軸和主軸箱的靜、動態(tài)特性分析，才能全面掌握影響主軸部件轉速的因素。 本課題就是要研究機床主軸的動靜態(tài)特性，由上述各文獻所總結的經驗可知，其主要任務是計算軸承的剛度、建立合理有效的模型，特別是軸承部分的簡化，再對模型進行靜變形、模態(tài)及響應等各方面的分析 ，得到固有頻率、振型等參數(shù)。其中軸承剛度的計算較復雜，靜剛度可用經驗公式計算得出；而動剛度的計算部分則要考慮主軸高速運轉條件下對軸承的影響，目前在國內還未見到簡便有效的計算方法，本文做了初步討論。 1.4 本課題的研究內容 本課題采用 ANSYS 有限元軟件來分析主軸的動靜態(tài)特性。 ANSYS 軟件是一個應用廣泛的工程有限元分析軟件，主要是利用有限元法將所探討的工程系統(tǒng)轉化成一個有限元系統(tǒng)，該有限元系統(tǒng)由節(jié)點及元素所組合而成，以取代原有的工程系統(tǒng)，有限元系統(tǒng)可以轉化成一個數(shù)學模式，并根據(jù)該數(shù)學模式得到該有限 元系統(tǒng)的解答，且可以通過節(jié)點、元素把結果表現(xiàn)出來。完整的有限元模型除了節(jié)點、元素外，還包含工程系統(tǒng)本身所具有的邊界條件，如約束條件、外力的負載等。 利用 ANSYS 有限元軟件對主軸進行靜、動態(tài)特性分析，確定合理的邊界條件，改善主軸部件的靜動態(tài)特性，并采用合理的數(shù)學建模方法進行對比分析，最后以沈陽機床一廠生產的 CKS6125 型數(shù)控車床為 研究 對象，檢驗前面進行的理論分析，從而得出合理的設計方法，為實現(xiàn)產品的動態(tài)設計打下基礎。 具體工作分為以下幾個部分 : 5 (1)總結了機床、動態(tài)設計方法研究和機床主軸 動靜態(tài)研究的發(fā)展狀況和發(fā)展趨勢，在總結前人研究成果的基礎上，結合當前的技術發(fā)展趨勢，采用有限元方法來進行開展研究； (2)闡述學習理論基礎，即振動理論 (模態(tài)分析理論 ),簡要論述了模態(tài)參數(shù) ,識別原理； (3)簡要論述了有限元方法和動力學分析的基本求解過程，建立機床主軸有限元模型，合理的確定了載荷、軸承支承剛度和約束條件，選定了單元類型。采用 Lanczos 法對其進行自由模態(tài)分析，得到主軸的固有頻率和振型，找出工作時容易發(fā)生共振的頻率域 ,為進一步提高精度和轉速提供理論依據(jù)。 6 第二章 理論基礎 在 對運動系統(tǒng)的結構動力學特性研究中，模態(tài)分析是近年來被廣泛采用的一種研究手段。它的主要方法是將耦合的運動方程組解耦成為相互獨立的方程，通過求解每個獨立的方程得到各模態(tài)的特性參數(shù)，進而就可以用所求得的模態(tài)參數(shù)來預測和分析該系統(tǒng)的運動特性等 18。由于首先通過線性坐標變換的方法解耦運動方程，所以對于求解多自由度系統(tǒng)的運動方程，模態(tài)分析具有其他計算方法所不能替代的優(yōu)勢。數(shù)控機床主軸是形狀不規(guī)則的多自由度系統(tǒng)，本文采用模態(tài)分析的方法研究它們的結構動力學特性。模態(tài)分析的具體研究方法根據(jù)其手段的不同主要分為兩種 :基于有 限元法的計算模態(tài)分析和基于測試技術的實驗模態(tài)分析。 2.1 模態(tài)分析理論 模態(tài)分析的理論是在機械阻抗與導納的概念上發(fā)展起來的。近十余年來，模態(tài)分析理論吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計以及自動控制理論的知識，形成了一套獨特的理論，它已經成為近年來應用于結構動力學研究的重要方法 19。模態(tài)分析的基本原理是：將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每一列為模態(tài)振型。由振動理論 ，系統(tǒng)任一點的響應均可表示為各階模態(tài)響應的線性組合。因而，通過求出的各階模態(tài)參數(shù)就可以得到任意激勵下任意位置處的系統(tǒng)響應。模態(tài)分析的最終目標是識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結構系統(tǒng)的振動特性分析、振動故障診斷和預報以及結構動力學特性的優(yōu)化設計提供依據(jù)。工程中較復雜的振動問題多為象機床主軸箱這樣的多自由度系統(tǒng)。對于多自由度系統(tǒng)利用矩陣分析方法， N 自由度線性定常系統(tǒng)的運動微分方程為 : . . .M X C X K X F （ 2-1） 其中， M,C,K 分別表示系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣 (均為 NN 階矩陣 )， X,F 表示系統(tǒng)各點位置上的位移響應和激勵力向量 。 12nxxXx 12nffFf（ 2-2） 方程 (2-1)中是用各坐標點的位移、速度和加速度 (X , .X , .X )描述的運動方程組，其中每一個方程中均包含了系統(tǒng)的各個物理坐標點的影響，所以是耦合的運動方程。對 7 于耦合的運動方程，當系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大時，要對其求解是非常困難的。模態(tài)分析的基本思想就是對這樣耦合的運動方程進行解耦，使其變成為非耦合的、獨立的運動微分方程組。 對 (2-1)式兩邊進行拉氏變換，得到 2( ) ( ) ( )s M s C K X s F s (2-3) 式中的拉氏因 子： sj *sj (2-4) X(s)， F(s)是位移響應與激勵力的拉氏變換 ( ) ( ) stX s x t e d t ( ) ( )stF s f t e d t 由式 (2-3)可以得到傳遞函數(shù)矩陣為 21()( ) ( )()XsH s s M s C KFS (2-5） 令 22( ) 0( ) ( )Ts r rTs r rTTr r r r r rTrKKMMK w M QK w M j w C q F F wCC 就可以得出傅氏域中的頻響函數(shù)矩陣， w 為系統(tǒng)的固有頻率。 21( ) ( )H s K w M j w C (2-6) 此時系統(tǒng)的運動方程為： 2( ) ( ) ( )K w M j w C X w F w (2-7) 因為系統(tǒng)任一點的響應可以用各階模態(tài)響應的線性組合來表示，所以將 l 點的響應表示為 : 1 1 2 2 l n 1( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )nl l n l r rrx w q w q w q w q w (2-8) 式中，lr為第 l 個測點，第 r 階模態(tài)的振型系數(shù)。 N 個測點的振型系數(shù)所組成的列向量。 12rn (2-9) 8 稱為第 r 階模態(tài)向量，反映該階模態(tài)的振動形狀。由各階模態(tài)向量組成 (N N)階的模態(tài)矩陣為： 12, , . n (2-10） (2-8)式中的 ()rqw為第 r 階模態(tài)坐標，可以理解為各階模態(tài)對響應的加權系數(shù)。 一般來說，能量主要集中于低階模態(tài)，所以與高 階模態(tài)相比低階模態(tài)具有較大的系數(shù)。令12 ( ) , ( ) , . . . ( ) TnQ q w q w q w可以將系統(tǒng)的響應列向量表示為： ()X w Q (2-11) 將 (2-11)式帶入 (2-7)式得到： 2( ) ( )K w M j w C Q F w (2-12) 下面分別從有阻尼和無阻尼兩種情況討論。 （ 1）無阻尼自 由振動對于無阻尼系統(tǒng)矩陣 C=0，此時 (2-12)式成為 2( ) 0K w M Q (2-13） 即： 2( ) 0K w M (2-14) 對第 r 階模態(tài)有： 2( ) 0rK w M(2-15） 上式左乘 Ts,可得： 2( ) 0TsrK w M(2-16) 可得對于第 s 階模態(tài)的 (2-14)式進行轉置并右乘r,得： 2( ) 0TtsrK w M(2-17) 由于 K,M 為對稱陣 ,有 ,TTK K M M (2-16)式與 (2-17)式相減得到： 22( ) 0Tr s s rw w M(2-18) 通常情況下： 22rsww所以可得： 0,TsrM r s(2-19) 9 同樣 可得： 0,TsrK r s(2-20) 當 rs 時，同 (2.15)式可得： 2TTs r r s rK w M （ 2-21） 令 Ts r rKK（ 2-22） Ts r rMM(2-23) 其中rK與rM分別稱為第 r 階的模態(tài)剛度及模態(tài)質量。由以上公式可以得到模態(tài)的重要特性 模態(tài)正交性。由振動理論，一個無阻尼系統(tǒng)的各階模態(tài)稱為主模態(tài)。各階模態(tài)向量所張成的空間稱為主空間，其相對應的模態(tài)坐標稱為主坐標， 各階主模態(tài)在其 N維主空間中正交。對 (2-13)式左乘 T ，并由正交性可得： 2( ) 0T K w M Q （ 2-24） 即： 2( ) 0rrK w M Q(2-25) 其中 rK和 rM均為對角陣。由此可以看出，原運動方程變?yōu)榱朔邱詈系姆匠探M。 （ 2）有阻尼系統(tǒng) 對于有阻尼的系統(tǒng)，通常情況下假設為比例阻尼就可以得到比較好的近似解，其運動微分方程為： . . .M X C X K X F (2-26) 比例阻尼滿足下列條件： C M K (2-27) 其中 , 為比例系數(shù)。對其進行解耦變換： TrCC (2-28) 通常情況下 rC并不是對角陣，這使得求解變得非常復雜，在工程中對其進行忽略非對角元素的近似處理，簡化為對角陣 rC，稱為模態(tài)阻尼。 由此可將系統(tǒng)的運動方程表示為： 2( ) r r r rK w M j w C Q F (2-29) 即對第 r 階模態(tài)有： 2()r r r r rK w M j w C q F (2-30) 10 即對第 r 階模態(tài)有其中 ()TrrF F w。 本文對數(shù)控車床主軸數(shù)值模擬計算這個方面進行了結構動力學的分析和研究，在后面的章節(jié)中做了詳細說明。 2.2 本章小節(jié) 本章簡敘了模態(tài)分析理論的基本概念和原理，對后面章節(jié)提供了理論依據(jù)。 11 第三章 機床主軸的有限元分析 3.1 有限元簡介及 ANSYS 軟件應用 3.1.1 有限元概述 有限元法是根據(jù)變分原理求解問題的數(shù)值方法，是數(shù)學和工程結合的產物，在工程領域應用廣泛。該法早在 20 世紀 40 年代就已出現(xiàn)。 1943 年 Courant 首先提出將一個連續(xù)求解域分成有限個分片連續(xù)的小區(qū)域的組合，即離散化的概念，用來求解 St.venant扭轉問題。 1954 年，德國阿亨大學 J.H.Argyris 教授運用系統(tǒng)的最小勢能原理，得到了系統(tǒng)的剛度方程，使得已經成熟的桿系結構矩陣分析方法，可以用于連續(xù)介質的分析當中。航空工業(yè)的發(fā)展也促進了有限元的近一步發(fā)展。 1956年，美國波音公司的 M.J.Turner和 R.W.Clough 等人在分析大型飛機結構時，第一次采用了直接剛度法，給出了三角形單元求解平面應力問題的正確解答，從而開創(chuàng)了利用計算機求解復雜彈性平面問題的新局面。 Finite Element”這一術語是 R. W Clough 于 1960 年在一篇論文首次提出。 60年代初， CY.N.White 和 K.O.Friedrichs 采用了規(guī)則的三角形單元，從變分原理出發(fā)來求解微分方程式。 1963 到 1964 年， J.F.Bessling 等人證明了有限元法是基于變分原理的 Ritz(里 茲 )法的另一種形式，此后有限元法才開始鞏固其地位。 1969 年，英國O.C.Zienkiewecz 教授提出了等參元的概念，從而使得有限元更加普及和完善，在理論和工程應用都得到了飛速的發(fā)展。 當前有限元法己有彈性力學的平面問題擴展到了空間問題，板殼問題；由線性到非線性問題，如塑性分析和疲勞分析；由靜力分析到動力分析；而且擴展到多個領域，如流體力學、電磁學、傳熱學等。 有限元方法的基礎就是結構離散和插值。有限元法是先將連續(xù)體劃分為有限個規(guī)則形狀的單元體，相鄰單元之間通過若干個結點相互聯(lián)接。作用于單元上的外載荷，按 等效原則移植為結點載荷。用劃分后的有限個小單元的集合體，代替原來的連續(xù)體，此過程即為連續(xù)體的離散化。 根據(jù)結點參數(shù)作為基本未知量，根據(jù)所取結點的基本未知量的不同，可將其分為 : (1)位移法，以結點位移作為基本未知量的方法； (2)力法，以結點力作為基本未知量的方法； (3)混合法，以部分結點位移和部分結點里作為基本未知量的方法。 工程上應用比較廣泛的是位移法，即以單元結點位移為待求的基本未知量，單元內其余各點的位移則通過結點位移用插值函數(shù)求得。因此，每個單元需要選取一簡單的插 12 值函數(shù)， 用以近似表達單元內各點位移的分布規(guī)律，并把單元任一點位移分量寫成統(tǒng)一形式的位移插值函數(shù)式，叢而可通過單元結點位移向量，表達單元內任一點位移、應變和應力。同時在保證單元滿足平衡、連續(xù)和物理性質等制約條件下，利用變分原理或虛功原理建立單元結點力向量和結點位移向量之間的特性關系，即建立單元有限元方程式。此過程稱為單元分析。 最后，通過結點平衡和協(xié)調條件，運用直接迭加原理，將各單元的特性關系組集成整體連續(xù)體的特性關系，即建立整體連續(xù)體結點載荷和結點位移之間的關系，形成整體有限元方程式，得到一組以結點位移分量為未知量 的多元一次聯(lián)立方程組，再引入約束條件，就可求得連續(xù)體力學問題的數(shù)值解，此過程稱為整體分析 23。 3.1.2 ANSYS 軟件應用 隨著計算機軟硬件的發(fā)展，一些規(guī)模較大，功能全面的商用有限元軟件相繼問世，如 ANSYS, NASTRAN 等等，而且這些軟件和其它 CAD 軟件有著友好的數(shù)據(jù)接口。 本文采用 ANSYS 有限元分析軟件， ANSYS 是國際流行的大型商用有限元分析軟件，功能十分強大，不僅可以用于常規(guī)結構工程問題的靜態(tài)或動態(tài)有限元分析，還可以用于流體力學、熱力學 (溫度場 )、電磁場藕 合等以及多場藕合分析， 同時 ANSYS 軟件具有強大的后處理功能，與其它三維 CAD 軟件有良好的數(shù)據(jù)交換功能。如今已經廣泛應用于許多工程領域，如航空、汽車、電子、核科學等。 3.1.2.1 ANSYS 的線性靜力分析 用于穩(wěn)態(tài)載荷作用下的結構分析，不考慮慣性和阻尼影響。其中穩(wěn)態(tài)載荷包括固定不變的慣性載荷，也可以是隨時間變化緩慢近似靜力的載荷。 靜力分析施加的載荷主要有 :外部的作用力、穩(wěn)態(tài)的慣性力、位移載荷和溫度載荷。 3.1.2.2 分析步驟 典型 ANSYS 分析問題的步驟有三部分 :前處理、求解、后處理。 前處理 :創(chuàng)建幾何模型；設置 單元類型，定義單元屬性和實常數(shù)；設置材料屬性；網格劃分。 求解 :定義分析類型；定義邊界條件，施加載荷；求解。 后處理 :觀察分析結果， ANSYS 有 POSTl 和 POST26 兩種方式，前者用于模型在某個載荷步的結果分析，后者用于瞬態(tài)分析。分析結果可以通過云圖、向量圖和列表等方式顯示。 3.2 機床主軸有限元分析模型 3.2.1 構建幾何模型 以往對于中空階梯軸多采用空間梁單元模擬，隨著計算機軟硬件技術的發(fā)展，運算能力獲得極大的提高，使得現(xiàn)在的 PC 機具有以前工作站的能力。本文以沈陽機床一廠 13 生產的 CKS6125 型數(shù)控車床主軸為試驗對象，采用三維實體單元模擬相對梁單元來說，主要原因就是 :梁單元模型忽略了主軸截面形狀及剪應力的影響，而三維實體單元可以考慮截面形狀因素；在約束條件上三維實體單元更加接近實際情況；對于長徑比小于10:1 的主軸部件，適宜采用三維實體單元 24。 圖 3.1 為主軸部件的結構簡圖，主要有傳動皮帶輪、同步帶輪、主軸、鎖緊螺母、主軸箱體、軸承和液壓卡盤。 圖 3.1 主軸部件結構簡圖 圖 3.2 為 主軸的結構尺寸簡圖 ， M1、 M2 處為彈性 支承位置 。 圖 3.2 主軸的結構尺寸簡圖 3.2.2 有限元模型建立 有限元模型建立的好壞關系到以后分析計算準確性和計算成本。建立有限元模型可以采用有限元分析軟件直接建立模型，也可以采用采用其它三維實體造型軟件建立部件的三維實體模型，然后通過數(shù)據(jù)轉換調入到有限元分析軟件中，進而建立模型。在本文中我們采用前一種方法，利用 Ansys 建立三維模型。在建立模型過程中，為了便于有 限元分析，對模型進行了簡化，主要包括螺紋、鍵槽按實體處理；忽略 退 刀槽、倒角等局部特征。經過這樣的簡化可以提高計算效率，并且對計算結果精度影響很小。如圖 3.3 14 為主軸三維外觀圖。 圖 3.3 主軸三維外觀圖 3.2.3 單元類型選擇和網格劃分 按照前面模型分析的要求，主軸實體模型采用 Solid45 單元。 Solid45 單元為空間 8結點等參元空間單元模擬主軸，用于模擬三維實體單元。該單元具有以下特點 :具有二階的位移模式，能適應映射網格，每個結點具有三個空間自由度，該單元特性具有塑性、蠕性、大變形、大的張力。通過幾何體掃掠方式劃分網格得主軸的有限元模型如圖 3.3。另外因為該主軸主要采用 40Cr 鋼 , 40Cr 鋼是機制造業(yè)使用最廣的鋼種之一 ,經調質后具有良好的綜合力學性能 ,它的切 削加工性和淬透性尚好 ,經碳氮共滲和高頻淬火后 ,可作受載荷較大及要求耐磨又不受很大沖擊的零件。 Solid45 單元材料參數(shù)如表 3-1 所示 。 15 圖 3.4 主軸的映射網格化后的模型 表 3-1 Solid45 單元材料參數(shù) 參數(shù)量 彈性模量 (N/m） 泊松比 密度（ kg/m3） 輸入量 2.06e11 0.28 7800 由于主軸的軸向剛度很大，阻尼對橫向振動特性影響很小，所以在建立有限元模型中只考慮徑向剛度影響，利用四個同截面周向均布的彈簧一阻尼單元模擬。以下為機床主軸的動力學模型，利用彈簧一阻尼單元模 擬軸承的彈性支承。圖 3.5 為兩組彈簧單元模型，其位置分別取前后兩個內錐孔圓柱滾子軸承的中截面處如圖 3.2 為主軸的結構尺寸簡圖中 M1、 M2 處為彈性支承位置，用以考察軸承對主軸橫向振動固有特性的影響。 圖 3.5 兩組彈簧單元模型 Combin14 單元可應用于一維、二維和三維空間的縱向的或者扭轉的彈性問題求解。 16 作為縱向彈簧一阻尼考慮時，只承受軸向的拉壓，不考慮彎曲和扭轉；作為扭轉彈簧一阻尼考慮時，承受純扭轉，不考慮彎曲和軸向載荷。 Combin14 單元不具有質量屬性，質量可以采用集中質量單元 Mass 模擬。表 3-2 為彈簧一阻尼單元輸入參數(shù)。 表 3-2 Combinl4 單元參數(shù)輸入 支承位置 前支承 后支承 剛度 (N/m) 10E8 10E8 阻尼 (N*s/m) 0 0 在建立主軸軸承支承部分的模型時，在每個圓周截面上建立 4 個彈簧一阻尼單元沿圓周均布。彈簧單元的長度按照各處軸承的內外圈半徑確定。在建立有限元模型中，外圈節(jié)點利用 Key Points 建立，內圈節(jié)點采用 Hard PT 建立，同時要保證彈簧單元的有限元劃分數(shù)目為 1。所有彈簧一阻尼單元外部四個節(jié)點限制全部自由度，前端內錐孔軸承支承內部四個節(jié)點限制軸向 自由度。為了限制主軸 X 軸方向的移動 ,在截面 M2 上與彈簧相連接的 4 個主軸上的節(jié)點加上 UX 約束。在彈簧的另外一端為完全固定。圖 3.6 為主軸的有限元模型。 圖 3.6 主軸的有限元模型 3.3 機床主軸振動模態(tài)分析 3.3.1 ANSYS 動力分析 本章研究主軸的動態(tài)特性，即 ANSYS 動力學分析。一般來說系統(tǒng)的動力學分析主要是確定固有頻率和振型，還有就是在一定載荷下的動力回應。按照系統(tǒng)特性可以分為線 17 性分析和非線性分析，按載荷隨時間變化關系也可分為穩(wěn)態(tài)動力分析和瞬態(tài)動力分析。ANSYS 提供了非常強大的動 力學分析功能，可以進行各種動力學分析。根據(jù)需要，本節(jié)進行主軸和主軸部件的模態(tài)分析和諧響應分析。 3.3.2 模態(tài)分析 模態(tài)是結構系統(tǒng)固有的、 整體的振動特性 ,每個模態(tài)具有特定的固有頻率和模態(tài)振型。模態(tài)分析是研究結構動力學特性的一種方法 ,是結構動態(tài)設計及故障診斷的重要手段。通過模態(tài)分析可以掌握結構系統(tǒng)在一定頻率范圍內的主要模態(tài)特性 ,預測在外部或內部各種振源作用下的實際振動響應。 模態(tài)分析在動力學分析中是極其重要的一環(huán)，用于確定結構的固有頻率和振型，同時也是進行其它動力學分析諸如瞬態(tài)動 力學分析、諧響應分析和譜分析的基礎。 在 ANSYS 中提供了七種模態(tài)方法，分別是 :Block Lanczos 法、子空間法、PowerDynamics 法、縮減法、不對稱法、阻尼法。本文采用 Block Lanczos 法，該法是求解大型矩陣特征問題的一種最有效的方法，其特點是利用遞推關系式產生一個正交的向量矩陣 -Lanczos 向量矩陣，通過該矩陣的相乘運算便可以獲得一個對于結構的離散化模型質量優(yōu)良的假設模態(tài)矩陣，即截斷的 Lanczos 向量矩陣，它所形成的模態(tài)空間能有效地逼近結構的離散化模型的低階模態(tài)空間。與子空 間迭代法相比，該方法既適用于同樣廣的求解問題的范圍，又有更快的求解速度，對模型單元的質量要求較低，所要內存及硬盤空間也不高；此外，計算精度比減縮法高。 模態(tài)分析主要步驟就是 :建模、加載求解、擴展模態(tài)和結果后處理。在 ANSYS 中模態(tài)分析要注意 :只有線性行為有效，即使制定非線性單元，系統(tǒng)也將按照線性處理；模態(tài)分析中唯一的載荷就是零位移約束。分析結果包括頻率、振型和對應的應力分布。 結構的振動可以表達為各階振型的線性疊加 , 其中低階振型比高階振型對結構的振動影響大 , 低階振型對結構的動態(tài)特性起決定作用 , 故進行結構的振動特性分析時通常取前 5 10 階即可。因此 ,在 Ansys 中采用 Block Lanczos 模態(tài)提取法