《拉格朗日方程》PPT課件.ppt

動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日方程 拉格朗日方程 引言 將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來描述的 而拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 兩者都是用來解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題 它是用分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn) 因此它是分析力學(xué)的基礎(chǔ) 對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題 應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系 由達(dá)朗伯原理知 在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí) 任一質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力 約束反力及其慣性力三者構(gòu)成形式上的平衡力系 即 對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用虛位移原理 為此 取質(zhì)點(diǎn)系的任何一組虛位移 則得 設(shè)該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束 則有 故 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 即 將上式寫成解析式 則有 以上兩式是由達(dá)朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果 稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程 也稱達(dá)朗伯 拉格朗日方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程可以敘述如下 在理想約束條件下 在任一瞬時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力和虛加的慣性力 在該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 例1圖示滑輪系統(tǒng)中 動(dòng)滑輪上懸掛著重為的重物 繩子繞過定滑輪后 掛著重為的重物 設(shè)滑輪和繩子的重量不計(jì) 求重為的重物下降的加速度 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有理想約束 系統(tǒng)所受的主動(dòng)力為 假想加上慣性力 其中 給系統(tǒng)以虛位移和 由動(dòng)力學(xué)普遍方程 得 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 代入上式得 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 例2有兩個(gè)半徑皆為r的輪子 中心用連桿相連 在傾角為的斜面上作純滾動(dòng) 如圖 設(shè)輪重皆為P 對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J 連桿重量為Q 求連桿運(yùn)動(dòng)的加速度 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有理想約束 系統(tǒng)所受的主動(dòng)力有它們的重力 假想加上慣性力 如圖 其中 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 給連桿以平行斜面移動(dòng)的虛位移 則輪子有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移 根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程 即 1 2 拉格朗日方程 一 拉格朗日方程 設(shè)有n個(gè)知點(diǎn)組成的知點(diǎn)系 受完整的理想約束 具有N個(gè)自由度 其位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)來確定 則有 是廣義坐標(biāo)對(duì) 這就是拉格朗日方程 簡(jiǎn)稱拉氏方程 它是由N個(gè)二階常微分方程組成的方程組 將此微分方程組積分 就可以得出以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 1 2 拉格朗日方程 二 保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 在上述條件下 如果質(zhì)點(diǎn)系所受的主動(dòng)力都是有勢(shì)力 就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 式中為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能和勢(shì)能之差 稱為拉格朗日函數(shù) 這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 三 應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟 1 確定研究對(duì)象 一般以整個(gè)系統(tǒng) 判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目 選取合適的廣義坐標(biāo) 2 分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能 速度及角速度均為絕對(duì)的 1 2 拉格朗日方程 3 計(jì)算對(duì)應(yīng)每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力 當(dāng)主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí) 需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢(shì)能及拉格朗日函數(shù) 4 計(jì)算諸導(dǎo)數(shù) 或 5 寫出拉格朗日方程并加以整理 得到N個(gè)二階常微分方程 由2N個(gè)初始條件 解得運(yùn)動(dòng)方程 1 2 拉格朗日方程 例3在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖 已知?jiǎng)育X輪半徑為r 重為P 可視為均質(zhì)圓盤 曲柄OA重Q 可視為均質(zhì)桿 定齒輪半徑為R 今在曲柄上作用一不變的力偶 其矩為M 使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng) 求曲柄的運(yùn)動(dòng)方程 解 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有一個(gè)自由度 取曲柄轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo) 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系知 動(dòng)齒輪的角速度與曲柄的角速度的關(guān)系為 則系統(tǒng)的動(dòng)能為 1 2 拉格朗日方程 給曲柄以虛位移 則對(duì)應(yīng)的廣義力為 求諸導(dǎo)數(shù) 1 2 拉格朗日方程 即 積分得曲柄的運(yùn)動(dòng)方程為 式中 分別為初始轉(zhuǎn)角和初始角速度 1 2 拉格朗日方程 例4如圖輪A的質(zhì)量為 在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng) 定滑輪B的質(zhì)量為 兩輪均為均質(zhì)圓盤 半徑均為R 重物C的質(zhì)量為 彈簧的彈性系數(shù)為 試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有一個(gè)自由度 取x為廣義坐標(biāo) x從重物的平衡位置量起 系統(tǒng)的動(dòng)能為 設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧的靜伸長(zhǎng)為 則有關(guān)系式 即 1 2 拉格朗日方程 以系統(tǒng)平衡位置為彈力及重物C的零勢(shì)能位置 則系統(tǒng)的勢(shì)能為 利用前面的關(guān)系 整理得 代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程得 即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 則拉格朗日函數(shù)為 1 2 拉格朗日方程 例5如圖 均質(zhì)圓輪的質(zhì)量為 半徑為R 在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng) 桿長(zhǎng)L質(zhì)量為與輪在圓心A鉸接 試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 取x和為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 整理后得 1 2 拉格朗日方程 系統(tǒng)的勢(shì)能為 則拉格朗日函數(shù)為 1 2 拉格朗日方程 1 2 即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 1 2 拉格朗日方程 例6如圖輪為均質(zhì)圓盤 質(zhì)量為 半徑為R 輪心O及重物A只能沿鉛直方向運(yùn)動(dòng) 重物A的質(zhì)量為 彈簧剛性系數(shù)為 原長(zhǎng)為 試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度 取x和為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 2 1 2 即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 1 2 拉格朗日方程 例7如圖 物體A的質(zhì)量為 B輪質(zhì)量為 半徑為R 在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng) 物體A與水平面無(wú)摩擦 彈簧剛性系數(shù)為 試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度 選取 為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 1 2 1 2 即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 1 2 拉格朗日方程 例8實(shí)心均質(zhì)圓柱A和質(zhì)量分布與邊緣的空心圓柱B 質(zhì)量分別為 半徑均為R 兩者用通過定滑輪的繩索相連 如圖 設(shè)圓柱A沿水平面作純滾動(dòng) 滾動(dòng)摩擦不計(jì) 圓柱B鉛直下降 試求兩圓柱的角加速度和質(zhì)心的加速度 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度 選取 為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)所受主動(dòng)力只有重力 且皆為有勢(shì)力 取過圓柱的水平面為零勢(shì)面 則系統(tǒng)的勢(shì)能為 1 2 拉格朗日方程 故拉格朗日函數(shù)為 求諸導(dǎo)數(shù) 1 1 2 拉格朗日方程 2 聯(lián)立求解方程 1 2 得 于是角加速度為 1 2 拉格朗日方程 例9質(zhì)量為的金屬板放置在光滑水平面上 板上有半徑為r 質(zhì)量為的均質(zhì)圓柱 圓柱在板上作純滾動(dòng)而不滑動(dòng) 今有一水平常力拉動(dòng)金屬板 試求圓柱純滾的角加速度和金屬板的加速度 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度 選取 為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)的廣義力為 1 2 拉格朗日方程 求諸導(dǎo)數(shù) 1 2 解得 1 1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 例3均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m 半徑均為R 圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng) 一繩繞在圓柱A上 繩的另一端繞在圓柱B上 求B下落時(shí) 質(zhì)心C點(diǎn)的加速度 摩擦不計(jì) 解 以系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)所受的主動(dòng)力有圓柱的重力 設(shè)兩輪的角加速度為 輪B質(zhì)心的