2020版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1.2.1函數(shù)的單調(diào)性課件新人教B版必修1.pptx

3 1 2函數(shù)的單調(diào)性第1課時函數(shù)的單調(diào)性 1 函數(shù)單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)y f x 的定義域為D 且I D 如果對任意x1 x2 I 當(dāng)x1 x2時 思考 函數(shù)單調(diào)性的定義中 能否去掉 任意 提示 不能 不能用特殊代替一般 2 函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)y f x 在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù) 則函數(shù)在區(qū)間I上具有單調(diào)性 區(qū)間I叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間 思考 區(qū)間I一定是函數(shù)的定義域嗎 提示 不一定 可能是定義域的一個子區(qū)間 單調(diào)性是局部概念 不是整體概念 素養(yǎng)小測 1 思維辨析 對的打 錯的打 1 函數(shù)f x 2x2 若f 1 f 2 則函數(shù)在R上是增函數(shù) 2 函數(shù)f x 在 0 0 上是減函數(shù) 3 函數(shù)f x 在定義域或其某一個子區(qū)間上一定有嚴(yán)格的單調(diào)性 提示 1 函數(shù)f x 2x2在 0 上是增函數(shù) 2 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 0 不能用 并 表示 3 常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性 2 如圖是函數(shù)y f x 的圖像 則函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 A 1 0 B 1 C 1 0 1 D 1 0 1 解析 選D 若函數(shù)單調(diào)遞減 則對應(yīng)圖像為下降的 由圖像知 函數(shù)在 1 0 1 上分別下降 則對應(yīng)的單調(diào)遞減區(qū)間為 1 0 1 3 若y f x 是定義在 上是減函數(shù) 且f x f 2x 2 則x的取值范圍為 解析 因為y f x 是定義在 上是減函數(shù) 所以由f x 2x 2 所以x 2 所以x的取值范圍為 2 答案 2 類型一利用圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 典例 1 如圖是定義在區(qū)間 2 2 的函數(shù)y f x 則f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 2 函數(shù)f x x x 2x的單調(diào)遞增區(qū)間為 思維 引 1 圖像從左到右下降的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間 2 分情況去掉絕對值 作出圖像確定單調(diào)遞增區(qū)間 解析 1 由圖像可以看出f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 1 1 答案 1 1 2 x 0時 f x x2 2x 對稱軸為x 1 開口向上 在 1 單調(diào)遞增 x 0時f x x2 2x 對稱軸x 1 開口向下 在 1 單調(diào)遞增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 和 1 答案 1 和 1 內(nèi)化 悟 怎樣求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 提示 作出函數(shù)的圖像 利用圖像的上升 下降確定單調(diào)區(qū)間 類題 通 圖像法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 作圖 作出函數(shù)的圖像 結(jié)論 上升圖像對應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間 下降圖像對應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間 習(xí)練 破 函數(shù)f x x 2 的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析 f x x 2 所以x 2時 f x x 2單調(diào)遞增 所以f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 答案 2 加練 固 畫出函數(shù)y x x 2 的圖像 并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解析 y x x 2 函數(shù)的圖像如圖所示 由函數(shù)的圖像知 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 和 1 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 類型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性 典例 1 下列函數(shù)中 在R上是增函數(shù)的是 A y x B y xC y x2D y 2 證明函數(shù)f x x 在 0 上是增函數(shù) 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 思維 引 1 考查當(dāng)x增大時 函數(shù)值y的變化 2 利用單調(diào)性的定義證明 解析 1 選B 根據(jù)題意 依次分析選項 對于A選項 y x 在R上不是增函數(shù) 不符合題意 對于B選項 y x 為正比例函數(shù) 在R上是增函數(shù) 符合題意 對于C選項 y x2 為二次函數(shù) 在R上不是增函數(shù) 不符合題意 對于D選項 y 為反比例函數(shù) 在R上不是增函數(shù) 不符合題意 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 則x1 x2 0 那么f x1 f x2 因為x1 x2 0 所以x1x2 0 所以1 0 又x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上單調(diào)遞增 內(nèi)化 悟 如果函數(shù)是增函數(shù) x與y的關(guān)系是什么 減函數(shù)呢 提示 如果函數(shù)是增函數(shù) 當(dāng)x增大時 y增大 如果函數(shù)是減函數(shù) 當(dāng)x增大時 y減小 類題 通 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 習(xí)練 破 已知函數(shù)f x m 0 證明在 2 上是增函數(shù) 證明 任取x1 x2 2 且x1 x2 則x1 x2 0 那么f x1 f x2 由x1 x2 2 x1 2 0 x2 2 0 又m 0 x1 x2 0 故f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 2 上單調(diào)遞增 加練 固 證明 函數(shù)f x 在 1 上是減函數(shù) 證明 任取x1 x2 1 且x10 又x1 x20 故f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 1 上單調(diào)遞減 類型三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用角度1利用單調(diào)性解函數(shù)不等式 典例 已知函數(shù)f x 的定義域為 2 2 且f x 在區(qū)間 2 2 上是增函數(shù) f 1 m f m 則實數(shù)m的取值范圍為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 思維 引 從定義域 單調(diào)性兩個方面列不等式求范圍 解析 因為f x 的定義域為 2 2 所以解得 1 m 2 因為f x 是增函數(shù) 所以1 m0 5 所以0 5 m 2 答案 0 5 m 2 素養(yǎng) 探 單調(diào)性的應(yīng)用時 常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯思維 利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式 從而求出變量的范圍 本例的條件若改為 減函數(shù) 試求m的取值范圍 解析 因為f x 的定義域為 2 2 所以解得 1 m 2 因為f x 是減函數(shù) 所以1 m m 所以m 0 5 所以 1 m 0 5 答案 1 m 0 5 角度2分段函數(shù)的單調(diào)性 典例 若函數(shù)f x 在R上為增函數(shù) 則實數(shù)b的取值范圍為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A 1 2 B C 1 2 D 思維 引 分別考慮x 0 x 0 分界點三個方面的因素求范圍 解析 選A 因為函數(shù)f x 在R上為增函數(shù) 所以解得1 b 2 類題 通 由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的類型及處理方法 1 由函數(shù)解析式求參數(shù) 2 分段函數(shù)的單調(diào)性首先分析每段上的單調(diào)性 其次是分界點處函數(shù)值的大小 如果是增函數(shù) 則界點左側(cè)值小于等于右側(cè)值 如果是減函數(shù) 則界點左側(cè)值大于等于右側(cè)值 發(fā)散 拓 關(guān)于 對勾 函數(shù)f x x a 0 的單調(diào)性 函數(shù)y x a 0 的圖像如圖所示 則函數(shù)y x 的單調(diào)增區(qū)間是 和 單調(diào)減區(qū)間是 0 和 0 延伸 練 2019 銀川高一檢測 函數(shù)f x x x 0 的單調(diào)減區(qū)間是 A 2 B 0 2 C D 0 解析 選D 函數(shù)f x x x 0 根據(jù)對勾函數(shù)圖像及性質(zhì)可知 函數(shù)f x x x 0 在 單調(diào)遞增 函數(shù)f x 在 0 單調(diào)遞減 習(xí)練 破 1 函數(shù)f x kx2 3k 2 x 5在 1 上單調(diào)遞增 則k的取值范圍是 A 0 B C D 解析 選D 當(dāng)k 0時 f x 2x 5在R上單調(diào)遞減 不符合題意 當(dāng)k 0時 因為函數(shù)f x kx2 3k 2 x 5在 1 上單調(diào)遞增 所以解得 k 綜上所述 k的取值范圍是 2 若函數(shù)f x 是 上的減函數(shù) 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 由題意 因為f x 在R上是減函數(shù) x 0時f x x2 ax 1 其過定點 0 1 且x 0時是減函數(shù) 所以對稱軸x 0 又因為x 0時 f x x 3a 是減函數(shù) 且在R上是減函數(shù) 所以3a 1 由 得0 a 答案 加練 固 已知函數(shù)f x x2 ax b 1 若函數(shù)f x