排隊論論文上交.doc

計算機(jī)通信基礎(chǔ)期末論文 排隊論在生活中的應(yīng)用超市收銀問題摘要本文通過排隊論的方法，為超市收銀問題建立模型，從而研究顧客排隊結(jié)賬時間的影響因素，通過一系列的計算分析，得出影響最大因素，從而減少顧客的排隊時間，改善用戶的購物體驗。排隊論是通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)的排隊現(xiàn)象，解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)化控制的一門科學(xué)。本文將根據(jù)超市收銀臺前排隊狀況建立數(shù)學(xué)模型，運用排隊論的觀點進(jìn)行分析，從而找出可以減少排隊時間的最大影響因素。關(guān)鍵詞排隊論；M/M/s模型；超市收銀排隊引言在超市里，常?？梢钥吹竭@樣的情況：周末，許多顧客到超市購物采購一周所需要的生活用品，小小的收銀窗口前沒過幾分鐘便排成了長長的隊伍，每個收銀臺的前面變得擁擠不堪。等待收銀結(jié)賬的時間過長，導(dǎo)致本來愜意美好的周末變得十分焦躁。對于超市的管理者而言，過長的排隊隊伍，會影響顧客對超市購物的體驗，造成顧客的流失。因此，減少收銀過程中的排隊等待時間，是超市管理者十分關(guān)心的問題。一、排隊系統(tǒng)簡介1.1排隊系統(tǒng)的基本組成排隊過程的基本組成為：顧客到達(dá)、排隊規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)，如圖1所示。下面，分別對顧客的到達(dá)、排隊規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)進(jìn)行簡要的介紹1.1.1顧客的到達(dá)過程顧客的到達(dá)過程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個顧客相繼到達(dá)的間隔時間來描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。在生產(chǎn)線上加工的零件按規(guī)定的間隔時間依次到達(dá)加工地點屬于確定型輸入。隨機(jī)型的輸入是指在時間t內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) n（t）服從一定的隨機(jī)分布。如服從泊松分布,則在時間t內(nèi)到達(dá)n個顧客的概率為1.1.2服務(wù)時間服務(wù)時間是指顧客從開始接受服務(wù)到服務(wù)完成所花費的時間。由于每位顧客要辦理的業(yè)務(wù)不一定一樣，有存在很多影響服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)時間的隨機(jī)因素，服務(wù)時間是一個隨機(jī)變量。1.1.3排隊規(guī)則排隊規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時，所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用，則顧客排隊等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等待的空間有限，因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)，這種排隊規(guī)則就是混合制。1.1.4服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個或多個服務(wù)臺。多個服務(wù)臺可以是平行排列的，也可以是串連排列的。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。下圖說明了這些其中一些情況：1.2排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型排隊系統(tǒng)的一般形式符號為：X/Y/Z/A/B/C。其中：X表示顧客相繼到達(dá)時間間隔的分布；Y表示服務(wù)時間的分布；Z表示服務(wù)臺的個數(shù)；A表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)；B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則。排隊論的基本問題是研究一些數(shù)量指標(biāo)在瞬時或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運行的基本特征；系統(tǒng)數(shù)量指標(biāo)的統(tǒng)計推斷和系統(tǒng)的優(yōu)化問題等。當(dāng)系統(tǒng)運行一定時間達(dá)到平穩(wěn)后，對任一狀態(tài)n來說，單位時間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時間內(nèi)離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)相等，即系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡下“流入=流出”。據(jù)此，可得任一狀態(tài)下的平衡方程如下：由上述平衡方程，可求的：平衡狀態(tài)的分布為：其中：有概率分布的要求：，有： ，則有：注意：（3）式只有當(dāng)級數(shù)收斂時才有意義，即當(dāng)時才能由上述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。二、實例分析2.1模型假說假定顧客在周末購物高峰期這段時間到超市購物的人數(shù)是無限的，并且依次以參數(shù)的泊松過程達(dá)到，達(dá)到的時間間隔是隨機(jī)的，服從負(fù)指數(shù)分布。每個收銀臺以并聯(lián)的方式連接，且每個收銀窗口對顧客來說都是一樣的，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。收銀臺收銀實行先來先服務(wù)原則，且顧客可自由在隊列間進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并總向最短的隊列轉(zhuǎn)移，沒有顧客會因為隊列過長而離去，故可認(rèn)為排隊方式是單一隊列等待制。一般結(jié)賬結(jié)束的顧客馬上離開超市，并且超市足夠大，故我們可認(rèn)為，超市可容納顧客的數(shù)量是足夠的，所以解決顧客結(jié)賬的等待時間較長的現(xiàn)象，主要是解決排長隊與收銀窗口的問題。在這個大型超市進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，我們收集到以下數(shù)據(jù)。購物高峰期超市的顧客流分布情況：共統(tǒng)計了3059人次的數(shù)據(jù)(以10秒為一個單位)，見下表：每10秒到達(dá)人數(shù)1 2 3 4 5 7 頻數(shù) 257 441 894 956 350161由概率論的知識可知，若分布滿足，則該分布為泊松分布。(其中為泊松分布的密度，為泊松分布的參數(shù))由上表可知=3.39。2.2模型建立及求解基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊論中的多服務(wù)臺等待模型(M/M/s).該模型的特點是：服務(wù)系統(tǒng)中有s個窗口(即s個服務(wù)員)，顧客按泊松流來到服務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為；服務(wù)員的能力都是，服務(wù)時間服從指數(shù)分布，每個顧客的平均服務(wù)時間。當(dāng)顧客到達(dá)時，如果所有服務(wù)員都忙著，顧客便參加排隊等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。由調(diào)查數(shù)據(jù)可知(超市現(xiàn)有窗口6個)帶入以上各式可得：服務(wù)員能力：系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度：，因為1,所以極限存在?？臻e概率： 系統(tǒng)中排隊顧客的平均數(shù)：顧客平均排隊時間：顧客平均逗留時間：系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：由此可見，當(dāng)我們在這個時間段去超市購物時，一進(jìn)門就會發(fā)現(xiàn)里面已經(jīng)是人滿為患了，幾乎不可能找到空閑的收銀臺。而且，已經(jīng)有32個顧客在排隊，27個人這在排隊等待，平均一個窗口5人。當(dāng)我們開始排隊時要過80秒鐘才輪到我們，要過95秒鐘才能夠收銀完畢，離開超市。2.3模型分析對于顧客來說等待收銀的時間過長，會變得十分焦躁，造成時間的浪費，會極大的影響顧客對這次購物的體驗，因此，盡量縮短顧客排隊等待的時間對顧客來說，十分重要。同時，顧客在超市的排隊的平均逗留時間很大程度上可以決定顧客對超市的選擇，所以超市的經(jīng)營者也希望盡可能的滿足顧客的要求。研究顧客平均逗留時間將是解決本模型的關(guān)鍵所在，平均逗留時間是由平均排隊時間W和平均服務(wù)時間組成。我個人認(rèn)為15秒的平均服務(wù)時間對于服務(wù)員來說已經(jīng)是極限了，如果在加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯的可能性，到時反而會降低效率，因此，我認(rèn)為平均服務(wù)時間不可改變，是個常數(shù)。至于平均排隊時間W我們有公式可知它由顧客到達(dá)強(qiáng)度，每個顧客的平均服務(wù)時間和窗口數(shù)S來決定的，由于超市周圍居民區(qū)的居民是一定的，所有居民對于生活用品的需求是一定的。即每周都會去這個超市購物，因此我們可以認(rèn)為顧客流是穩(wěn)定的，即為常數(shù)，由上面的分析可知也是常數(shù)因此能對平均排隊時間構(gòu)成影響的就只有窗口S了。因此如果要增強(qiáng)顧客的購物體驗，使得顧客結(jié)賬時等待時間不至于過長，對于這