《球的體積和表面積》教案

球的體積和表面積教案教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割求和化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識(shí).能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題.培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力.2、過(guò)程與方法通過(guò)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式R3和面積公式4R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想.3、情感與價(jià)值觀通過(guò)學(xué)習(xí)，使我們對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了我們探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法.難點(diǎn)：推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成.教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情景提出問(wèn)題：球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像在柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.設(shè)疑引課：球的大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？激發(fā)學(xué)生推導(dǎo)球的體積和面積公式.二、探究新知1探究球的體積公式回顧祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截面的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.構(gòu)造新的幾何體，結(jié)合祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式(見(jiàn)P32頁(yè)).球的體積公式：. 2.探究球的表面積公式設(shè)球的半徑為，我們把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用表示，則球的表面積:以這些“小球面片”為底，球心為頂點(diǎn)的“小錐體”的體積和等于球的體積，這些“小錐體”可近似地看成棱錐，“小錐體”的底面積可近似地等于“小棱錐”的底面積，球的半徑近似地等于小棱錐的高，因此，第個(gè)小棱錐的體積，當(dāng)“小錐體”的底面非常小時(shí)，“小錐體”的底面幾乎是“平的”，于是球的體積:，又，且可得，又，即為球的表面積公式三、例題示范例1已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積.解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，例2半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積.解：作軸截面如圖所示，設(shè)球半徑為，則 ，例3表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，又，例4. 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的；(2) 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。證明:(1) 設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.因?yàn)?所以,(2) 因?yàn)?,所以,. 四、練習(xí)反饋1三個(gè)球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的_倍；2.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則球的體積比原來(lái)增加_倍；3.把半徑分別為3，4，5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是_；4.正方體全面積是，它的外接球的體積是_，內(nèi)切球的體積是_答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，5球O1、O2、分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O3的表面上，求三個(gè)球的表面積之比分析：球的表面積之比事實(shí)上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關(guān)系即可解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則三個(gè)球的半徑依次為、，三個(gè)球的表面積之比是五、小結(jié)歸納球的表面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；球的內(nèi)接正方體、長(zhǎng)方體及外切正方體的有關(guān)計(jì)算“分割求近似和化為準(zhǔn)確和”的方法，是一種重要