初中幾何中線段和差最大值最小值典型分析最全.doc

.初中幾何中線段和（差）的最值問(wèn)題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：（對(duì)稱軸為：動(dòng)點(diǎn)所在的直線上）一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： （2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)： A、A 是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)： （2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短. 填空：最短周長(zhǎng)=_變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)： 2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B在O上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：三）、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： 過(guò)A點(diǎn)作ACm,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：練習(xí)題1如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值為Q2、如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為3、如圖，在銳角三角形ABC中 ，AB=，BAC=45，BAC的平分線交BC于D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？4、如圖4所示，等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為.5、如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為_(kāi)6、如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為7、如圖5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為8、如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)cm10、如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為11、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)則PB+PE的最小值是 12、如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 13、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為 14、如圖7，在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長(zhǎng)的最小值為cm（結(jié)果不取近似值）15、如圖，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是 16、如圖8，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，AMN30，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最小值為( )(A)2 (B)(C)1 (D)2解答題1、如圖9，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.2、如圖，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1x2）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，6）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與AC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)3、如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，AOB的面積是.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使AOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；4如圖，拋物線yx2x3和y軸的交點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)5如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過(guò)點(diǎn)B作BDBC，交OA于點(diǎn)D將DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過(guò)（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ1，要使四邊形BCPQ的周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a 為何值時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短7、如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).二、求兩線段差的最大值問(wèn)題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：解析：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PAPBAB，而PAPB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：解析：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB，PA-PB最大值為AB練習(xí)題1. 如圖，拋物線yx 2x2的頂點(diǎn)為A，與y 軸交于點(diǎn)B(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PAPBAB；(3)當(dāng)PAPB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).2. 如圖，已知直線yx1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)yxCBADOEy 3、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，1）和（2，5）；點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在何處時(shí)，PAPB的和為最?。坎⑶笞钚≈?。點(diǎn)P在何處時(shí)，PAPB最大？并求最大值。4. 如圖，直線yx2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)O，直線BC交A于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)O，C，D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5、拋物線的解析式為，交x軸與A與B,交y軸于C，在其對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使APC周長(zhǎng)最小，若存在，求其坐標(biāo)。在其對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使QBQC的值最大，若存在求其坐標(biāo)。yCxBA6、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到DAO（1）試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q，連接OP若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大？7、如圖，已知拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+8，圖象與y軸交于D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲線上（1）求過(guò)頂點(diǎn)A的雙曲線解析式；（2）若開(kāi)口向上的拋物線C2與C1的形狀、大小完全相同，并且C2的頂點(diǎn)P始終在C1上，證明：拋物線C2一定經(jīng)過(guò)A點(diǎn)；（3）設(shè)（2）中的拋物線C2的對(duì)稱軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線交于E點(diǎn)，當(dāng)D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線y=x上求一點(diǎn)M，使|MD-MP|的值最大8、如圖,已知拋物線 經(jīng)過(guò)A(3，0)，B(0，4)，（1）.求此拋物線解析式（2）若拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C 的坐標(biāo)（3） 若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H，問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCOxyABCOxyDEFH三、其它非基本圖形類線段和差最值問(wèn)題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問(wèn)題往往是將各條線段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（ ）A BC。 D 62、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問(wèn)題:（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且ACB=60，則CD= ；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6，且ACB=90，則CD= ；（3）如圖3，當(dāng)ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù). 圖1 圖2 圖33、在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn).（1）若過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1 設(shè)，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最大值4、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由；EA DB CNM 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).5、如圖