（宜賓專版）2018屆中考數(shù)學 第1編 教材知識梳理篇 第4章 圖形的初步認識與三角形 第15講 等腰三角形與直角三角形（精講）試題.doc

第十五講等腰三角形與直角三角形,考標完全解讀)考點考試內(nèi)容考試要求等腰三角形與直角三角形的定義等腰三角形的定義了解直角三角形的定義了解等腰三角形與直角三角形等腰三角形的性質(zhì)及其判定理解等邊三角形的性質(zhì)及其判定理解直角三角形的性質(zhì)及其判定理解,感受宜賓中考)1(宜賓中考)如圖，在abc中，adbc于d.請你再添加一個條件，就可以確定abc是等腰三角形你添加的條件是_答案不唯一，如bdcd_2到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的(d)a三條高的交點b三條角平分線的交點c三條中線的交點d三條邊的垂直平分線的交點3如圖，在abc中，ad平分bac，bead，be交ad的延長線于點e，點f在ab上，且efac.求證：點f是ab的中點證明：ad平分bac，baecae.efac，aefcae，aefbae，afef.又bead，baeabe90，befaef90，又aefbae，abebef，bfef，afbf，點f為ab中點,核心知識梳理)等腰三角形的性質(zhì)和判定1性質(zhì)： (1)等腰三角形兩腰_相等_(定義) (2)等腰三角形兩角底角_相等_(等邊對等角)(3)等腰三角形底邊上的中線，底邊上的高和頂角的平分線_互相重合_(簡稱“三線合一”)2判定： (1)有_兩邊相等_的三角形是等腰三角形 (2)有_兩角相等_的三角形是等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)和判定3等邊三角形的性質(zhì)：(具有等腰三角形的所有性質(zhì)，結合定義更特殊). (1)等邊三角形的內(nèi)角都_相等_，且為_60_. (2)等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線_互相重合_(簡稱“三線合一”)(3)等邊三角形是_軸對稱_圖形，它有_三_條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線4等邊三角形的判定：(首先考慮判斷三角形是等腰三角形) (1)_三邊_相等的三角形是等邊三角形(定義)(2)三個內(nèi)角都_相等_的三角形是等邊三角形. (3)有一個角是60的_等腰_三角形是等邊三角形直角三角形的性質(zhì)和判定5直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角_互余_(2)在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的_一半_(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_一半_(4)直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2.6直角三角形的判定判定1：有一個角為_90_的三角形是直角三角形判定2：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的_一半_，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形判定3：若_a2b2c2_，則以a，b，c為邊的三角形，是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)線段垂直平分線的定理及逆定理7線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_相等_【溫馨提示】它是證明兩條線段相等的重要的方法之一，在證明線段相等時，不要再證明兩個三角形全等了，方便了證明的過程8線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端點距離_相等_的點在這條線段的垂直平分線上【溫馨提示】(1)關于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理實際就是線段垂直平分線的判定定理；區(qū)分線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別的關鍵在于區(qū)分它們的題設和結論；(2)要想證明一條直線是一條線段的垂直平分線，只要證明這條直線上任意一點到這條線段的兩個端點距離相等即可,重點難點解析)等腰三角形的應用【例1】閱讀理解：如圖，在abc的邊ab上取一點p，連接cp，可以把abc分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們就稱點p是abc的邊ab上的和諧點解決問題：(1)如圖，abc中，acb90，試找出邊ab上的和諧點p，并說明理由；(2)已知a40，abc的頂點b在射線l上(圖)，點p是邊ab上的和諧點，請在圖中畫出所有符合條件的b點，并寫出相應的b的度數(shù)【解析】(1)由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找出和諧點為斜邊的中點；(2)由a為等腰三角形的頂角和底角分類討論得出符合條件的點b有3個【答案】解：(1)ab邊上的和諧點為ab的中點理由如下：p是ab的中點，pcabpapb，acp和bcp是等腰三角形；(2)當aacp40時，則cpb404080.如答圖.若cpcb1，則cpb1cb1p80.若b2pb2c，則b2pcb2cp80，cb2p180808020.若pcb3p，則pb3cpb3c50；當aapc40時，如答圖，cpb4180apc18040140，cb4p20；當acpapc70時，如答圖，cpb5180apc18070110，cb5p35.綜上所述，符合條件的cbp的度數(shù)為35，50，80，20.【針對訓練】1閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形如正方形，菱形都是和諧四邊形結合閱讀材料，完成下列問題：如圖，等腰rtabd中，bad90.若點c為平面上一點，ac為凸四邊形abcd的和諧線，且abbc，請畫出圖形并求出abc的度數(shù)解：ac是四邊形abcd的和諧線，acd是等腰三角形，在等腰rtabd中，abad，abadbc，如圖，當adac時，abacbc，acdadc，abc是正三角形，abc60.如圖，當adcd時，abadbccd.bad90，四邊形abcd是正方形，abc90；如圖，當accd時，過點c作cead于e，過點b作bfce于f.accd，cead，aead，acedce.badaefbfe90，四邊形abfe是矩形bfae.abadbc，bfbc，bcf30.abbc，acbbac.abce，bacace，acbbacbcf15，abc150，綜上所述，abc的度數(shù)為60或90或150.等邊三角形的性質(zhì)和判定【例2】圖中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖.當傘收緊時，點p與點a重合；當傘慢慢撐開時，動點p由a向b移動；當點p到過點b時，傘張得最開已知傘在撐開的過程中，總有pmpncmcn6.0 dm，cecf18.0 dm，bc2.0 dm.(1)求ap長的取值范圍；(2)當cpn60時，求ap的值【解析】(1)根據(jù)題意，得accnpn，進一步求得ab的長，即可求得ap的取值范圍；(2)根據(jù)等邊pcn的判定和性質(zhì)即可求解【答案】解：(1)bc2.0 dm，accnpn12 dm，ab12210(dm)，ap的取值范圍為：0 dmap10 dm.(2)cnpn，cpn60，pcn等邊三角形，cp6 dm.apacpc1266(dm)即當cpn60時，ap6 dm. 【針對訓練】2(2017南充中考)如圖，等邊oab的邊長為2，則點b的坐標為(d)a(1，1) b(，1)c(，) d(1，)3如圖，abc為等邊三角形，bd平分abc，debc.求證：(1)ade是等邊三角形；(2)aeab.證明：(1)abc為等邊三角形，aabcacb60.debc，aedabc60，adeacb60，aaedade，ade是等邊三角形；(2)ade是等邊三角形，adae.abc為等邊三角形，abac.bd平分abc，d是ac的中點(三線合一)，adacab，aeab.直角三角形的性質(zhì)及應用【例3】如圖，一位同學做了一個斜面裝置進行科學實驗，abc是該裝置左視圖，acb90，b15，為了加固斜面，在斜面ab的中點d處連結一條支撐桿cd，量得cd6.(1)求斜坡ab長和adc的度數(shù)；(2)該同學想用彩紙裝飾實驗裝置中的abc的表面，請你計算abc的面積【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ab2cd，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論；(2)過c作ceab于e，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到cecd3，由三角形的面積公式即可得到結論【答案】解：(1)acb90，d是ab的中點，ab2cd2612.cdbd，adc2b30；(2)過c作ceab于e，adc30，cecd3，sabc12318.【針對訓練】4如圖，在abc中，acb90，a15，d是邊ab的中點，deab交ac于點e.求：(1)cde的度數(shù)；(2)ceea.解：(1)在abc中，acb90，d是邊ab的中點，cdadbd，dcaa15，bdcadca30.edab，edb90，cde903060；(2)連結be.d為ab中點，deab，beae，ebaa15，bec151530，cosbeccos30.aebe，.線段中垂線的定理及逆定理【例4】如圖，在abc中，ad平分bac，deac，efad交bc延長線于f.求證：facb.【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可得aeed，則ef是ad的垂直平分線，又fadcadfac，fdabbad，即可證得【答案】證明：ad平分bac，badcad.deac，edacad.edaead，aeed.又efad，ef是ad的垂直平分線，afdf，fadfda.又fadcadfac，fdabbad，facb.【針對訓練】5(德州中考)如圖，在abc中，b55，c30，分別以點a和點c為圓心，大于ac的長為半徑畫弧，兩弧相交于點m，n，作直線mn，交bc于點d，連接ad，則bad的度數(shù)為(a)a65 b60 c55 d45,當堂過關檢測)1.(2017荊州中考)如圖，在abc中，abac，a30，ab的垂直平分線l交ac于點d，則cbd的度數(shù)為(b)a30 b45 c50 d75,(第1題圖),(第2題圖)2(2017濱州中考)如圖，在abc中，abac，d為bc上一點，且dadc，bdba，則b的大小為(b)a40 b36 c30