二階全矩陣空間上的極小秩保持問(wèn)題.doc

本科學(xué)生畢業(yè)論文二階全矩陣空間上的極小秩保持問(wèn)題黑 龍 江 工 程 學(xué) 院二一年六月The Graduation Thesis for Bachelors DegreePreserving Minimal Rank on 22 Full Matrix Spaces黑龍江工程學(xué)院本科生畢業(yè)論文摘 要在數(shù)學(xué)的各學(xué)科領(lǐng)域中，研究各種不變量以及不變量保持的映射和變換是一個(gè)十分活躍的課題?？坍嬀仃嚰g保持某些函數(shù)、子集、關(guān)系、變換等不變量的線性算子的問(wèn)題被稱為線性保持問(wèn)題。本文主要是在特征不為2的域上，刻畫并證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。論文的主要工作有以下幾方面：1、介紹線性保持問(wèn)題的研究背景、分類、常用解決方法及相關(guān)領(lǐng)域已取得的成果，還有極小秩保持問(wèn)題的研究現(xiàn)狀。2、介紹了極小秩保持問(wèn)題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，為第三章定理的證明做準(zhǔn)備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時(shí),全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。3、在特征不為2的域上，時(shí),全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明基礎(chǔ)上，利用高等代數(shù)的知識(shí)，刻畫并證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。關(guān)鍵詞：線性保持；極小秩；線性算子；數(shù)域；特征ABSTRACTIn the areas of every mathematic subject, it is a very active topic to study all kinds of invariant and invariant maintain the mapping and transformation. The problems to characterize the linear operators which preserve certain functions, subsets, relations or transformations invariants between matrix sets are called “Linear Preserver Problems”. The thesis characterize and prove the second full matrix space maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator over the field of characteristic not 2.This paper includes:1.Introduce the problem of linear maintain and the study background,classification,common solutions and the related field has been achieved.and the status of the maintain minimal rank.2.Introduce the maintain problem in the minimal rank to use some of the basics.prepair for proving the theorem in the chapter 3.including sets, transformations,group-s, rings,fields and the concept of minimal rank.The proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2 is given.3.On the basis of the proof of full matrix space to maintain the minimal rank of its own operator when over the field of characteristic not 2,using the knowledge of the advanced algebra, we characterize and prove the second full matrix space to maintain the minimal of its own rank in the form of linear operator.this is the main content of the thesis. Key words: Linear preserver ; Minimal rank; Linear operator; Several domain; Characteristic36黑龍江工程學(xué)院本科生畢業(yè)論文目 錄摘 要IABSTRACTII第1章 緒 論11.1 課題背景與發(fā)展概況11.1.1 線性保持問(wèn)題的背景11.1.2 線性保持問(wèn)題的四個(gè)主要類型21.1.3 線性保持問(wèn)題的兩個(gè)解決方法41.1.4 加法保持問(wèn)題的四個(gè)主要類型61.2極小秩保持問(wèn)題的研究現(xiàn)狀71.3本論文的主要研究工作和文章結(jié)構(gòu)11第2章 引言與預(yù)備知識(shí)122.1 引言122.2 預(yù)備知識(shí)122.3 本章小結(jié)19第3章 二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換213.1 引言213.2 符號(hào)說(shuō)明213.3 二階全矩陣空間概述213.4 證明思路233.5 主要結(jié)論233.6 本章小結(jié)24結(jié) 論25參考文獻(xiàn)26致 謝28附 錄29黑龍江工程學(xué)院本科生畢業(yè)論文第1章 緒 論1.1 課題背景與發(fā)展概況1.1.1 線性保持問(wèn)題的背景研究各種不變量以及不變量保持的映射和變換歷來(lái)是數(shù)學(xué)各學(xué)科領(lǐng)域關(guān)注的問(wèn)題。在矩陣論中，人們對(duì)矩陣集之間保不變量的算子很感興趣，稱其為保持問(wèn)題。線性保持問(wèn)題是其中一個(gè)比較熱門的研究領(lǐng)域，其中包括線性保持問(wèn)題，加法保持問(wèn)題，乘法保持問(wèn)題等。因?yàn)楸３謫?wèn)題在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景，所以近些年這類問(wèn)題的研究也十分活躍，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了大量的研究工作，取得了大量成果。而其中主要分為兩大類：線性保持問(wèn)題和加法保持問(wèn)題。那么下面讓我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下什么是線性保持問(wèn)題：設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(域，體，一般交換環(huán)等)，,記上的矩陣加法半群，他們常被取作所有矩陣的集合，所有對(duì)稱矩陣的集合，所有交錯(cuò)矩陣的集合,所有Hermitian矩陣的集合，所有上三角矩陣的集合等。如果一個(gè)映射:滿足如下的條件（1）和（2），則稱是線性映射或線性算子。（1） ；（2） .特別地，當(dāng)時(shí)，稱為線性變換?？坍嬃藦牡降谋３帜承┖瘮?shù)、子集、關(guān)系、變換等不變量的線性映射的結(jié)構(gòu)問(wèn)題稱為線性保持問(wèn)題，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)PP（Linear Preserver Problems）。最近，一些學(xué)者已開(kāi)始研究比“線性保持問(wèn)題” 更加廣泛的“加法保持問(wèn)題”，即在上述定義中取，為加法子群，并將條件（2）去掉，則稱為加法保持問(wèn)題。而，經(jīng)常被取作所有全矩陣空間的集合、所有對(duì)稱矩陣空間的集合、所有上三角矩陣空間的集合等。有關(guān)于線性保持問(wèn)題的研究最早始于1897年Frobenius給出的保行列式的線性變換的刻畫1和Kantor的2。到了二十世紀(jì)六十年代美國(guó)矩陣論專家Marcus研究了秩1保持這一核心問(wèn)題之后，成果才大批出現(xiàn)3, 4。特別是近三十年，線性保持問(wèn)題已成為國(guó)際上矩陣論中的熱門課題之一。這一方面是因?yàn)樗睦碚搩r(jià)值；另一方面是因?yàn)樗S多問(wèn)題在微分方程、系統(tǒng)控制、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景。1989年曹重光在黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)上發(fā)表了“局部矩陣環(huán)上矩陣模的保冪等自同態(tài)”一文5，在國(guó)內(nèi)引發(fā)了對(duì)線性保持問(wèn)題的研究，這些年來(lái)涌現(xiàn)出了一大批成果。1.1.2 線性保持問(wèn)題的四個(gè)主要類型1992年，Li在文獻(xiàn)2中將線性保持問(wèn)題概括為以下四個(gè)主要類型：類型1:保持函數(shù)設(shè)是上的(純量值，向量值或集值)函數(shù)，上的線性算子滿足例如當(dāng)時(shí)，F(xiàn)robenius分別解決了,以及時(shí)的情形，其中是復(fù)數(shù)域，記矩陣的行列式，記矩陣的跡。當(dāng)時(shí)，Minc解決了的情形，其中是任意的代數(shù)封閉域：劉紹武和王路群將Minc的結(jié)果推廣到含1的交換環(huán)；Wong也在非交換環(huán)上解決了這個(gè)問(wèn)題；劉紹武等和曹重光分別解決了對(duì)稱矩陣空間和三角矩陣空間的情形；Beasley,Pullman和Gregory解決了當(dāng)是某些半環(huán)的情形。當(dāng)時(shí)，參見(jiàn)Liu6的第七章，其中記的譜。類型2:保持子集設(shè),上的線性算子滿足。例如，當(dāng)時(shí)，Chan等首先解決了的情形，其中表示實(shí)數(shù)域。曹重光和王路群等先后將Chan等的結(jié)果分別推廣到特征不為2的局部環(huán)和含1的交換環(huán)。Beasley和Pullman在元素個(gè)數(shù)大于2的任何域上研究了這個(gè)問(wèn)題，并提出了兩個(gè)Open問(wèn)題，曹重光和張顯等解決了其中一個(gè)，后來(lái)劉紹武將這兩個(gè)問(wèn)題在更廣泛的主理想整環(huán)上同時(shí)解決。曹重光和劉紹武等也先后在體上解決了這個(gè)問(wèn)題。關(guān)于類型2的一個(gè)變形是：設(shè)且,上的線性算子滿足。關(guān)于這類問(wèn)題也取得了一些成果7。類型3:保持關(guān)系設(shè)是上的一個(gè)關(guān)系，的上的線性算子滿足對(duì)任何的時(shí)成立或當(dāng)且僅當(dāng)。例如，當(dāng)取作可交換時(shí)，即若，則Pierce和Watkins刻畫了任意域上保交換的非退化線性算子，之后Choi等又去掉非退化的條件進(jìn)行研究，另外，Chan和Lim也研究了實(shí)對(duì)稱矩陣空間上保交換的線性算子。當(dāng)取作時(shí)，其中表示的Moore-Penrose逆，曹重光8在特征不為2及3的域上解決了這個(gè)問(wèn)題，之后曹重光和張顯等又分別解決了特征29及特征310的域的情形；關(guān)于實(shí)四元數(shù)體上的這個(gè)問(wèn)題也被曹重光解決。類似地，當(dāng)取作時(shí)，其中表示的群逆，也有這方面的研究文獻(xiàn)出現(xiàn)。另外，張顯和曹重光也在一些非負(fù)半環(huán)上研究了保持某種關(guān)系的LPP。對(duì)于類型3的一個(gè)變形是：設(shè)上的兩個(gè)線性算子和滿足對(duì)任何的時(shí)成立或當(dāng)且僅當(dāng)。例如:張顯和楊忠鵬等的研究11, 12。類型4:保持變換給定一個(gè)變換：，上的線性算子滿足例如，Chan等分別考慮了及的LPP，其中是某個(gè)固定的正整數(shù)，是的伴隨矩陣。1.1.3 線性保持問(wèn)題的兩個(gè)解決方法LPP已分成不同的研究領(lǐng)域，而在現(xiàn)有的問(wèn)題上改變基本的矩陣空間或某些限制條件，則很容易產(chǎn)生新的LPP,所以每個(gè)問(wèn)題都有不同的變化。不同的LPP需要不同的方法和技巧去解決，這就導(dǎo)致了解決 LPP的方法和技巧的多樣化。例如，歷史上人們?cè)鴳?yīng)用過(guò)算子理論、組合學(xué)、圖解理論、抽象代數(shù)、乘積代數(shù)等數(shù)學(xué)工具處理過(guò)不同的LPP。盡管解決LPP的方法多種多樣，但也存在著一些處理類似問(wèn)題的統(tǒng)一方法。一個(gè)很好的例子就是13中的方法，他們用投影幾何的方法解決了兩個(gè)無(wú)關(guān)的LPP,即刻劃了上交換性保持和數(shù)值域保持。另外的例子是Botta的幾篇文章14,15，他用代數(shù)幾何的結(jié)果證明了很多LPP。方法1：對(duì)偶方法此方法的思想就是除了研究之外還研究的對(duì)偶交換，見(jiàn)16此方法主要用于研究線性等距的問(wèn)題。注意到線性算子若保持上的某些范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的對(duì)偶變換也保持對(duì)應(yīng)的范數(shù)，雖然所研究的范數(shù)或單位范數(shù)球面可能是很復(fù)雜的，但可能其對(duì)偶范數(shù)或?qū)ε挤稊?shù)球面卻擁有簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，因此可以較容易地刻劃其對(duì)偶變換，并因此而確定的結(jié)構(gòu)。在解決這樣的問(wèn)題時(shí),文獻(xiàn)17中給出的下面的命題是十分有用的。命題 令是上線性算子，則下列條件彼此等價(jià)：（1） 保持譜模；（2） 把可逆矩陣集映到其本身；（3） 保持跡函數(shù)；（4） 把奇異值為1, 0,，0的矩陣集映到其本身；（5） 滿足: 或 其中可逆；（6） 滿足: 或 其中可逆。應(yīng)用此方法的例子還可參閱18。方法2：微分幾何方法設(shè)是上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任意，令為基于的等價(jià)類，即。文獻(xiàn)19中給出的下面命題十分重要。命題 設(shè)是上的滿足，的線性算子，令為的等價(jià)類的切空間，則（1） 且（2） 若非退化 則應(yīng)用此方法的例子還可參閱20,21。最后應(yīng)該指出的是：對(duì)于在不同的矩陣空間上相同的LPP而言，它們的結(jié)果看起來(lái)十分相似，但問(wèn)題的難易程度及其證明方法可能是非常不同的。例如，從22, 23可看出全矩陣空間上冪等保持的LPP當(dāng)域的特征為2時(shí)的證明要比特征不為2時(shí)難的多，并且二元域的情形至今仍是一個(gè)Open問(wèn)題,而三角矩陣空間上冪等保持的LPP須對(duì)算子加可逆的限制，否則情況太復(fù)雜，甚至對(duì)稱矩陣空間上冪等保持的LPP需加更強(qiáng)的條件。加法保持問(wèn)題顯然是LPP的推廣，但是由于不能應(yīng)用線性空間的理論及系數(shù)交換的性質(zhì)，使得這類問(wèn)題的難度和技巧性大大增加。不過(guò)值得注意的是，對(duì)于特殊的系數(shù)，根據(jù)其加法的特性，還是可以交換的。設(shè)是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，記上的矩陣加法半群，是一個(gè)從到的加法映射，由其定義易見(jiàn)：（1） 若k是自然數(shù)，則（2） 若自然數(shù)滿足對(duì)任意的成立，則（3） 若自然數(shù)滿足且對(duì)任意成立，則（4） 若自然數(shù)滿足且對(duì)任意的成立，則1.1.4 加法保持問(wèn)題的四個(gè)主要類型由于加法保持問(wèn)題的研究起步較晚，和LPP相比較來(lái)講結(jié)果還比較少，但在四種類型上也各有研究，下面就對(duì)加法保持問(wèn)題的四種類型的研究現(xiàn)狀進(jìn)行一下簡(jiǎn)要的說(shuō)明。類型1:保持函數(shù)例如，當(dāng)或時(shí)的情形均依賴接下來(lái)要描述的類型2中保秩1的問(wèn)題得以解決。類型2:保持子集由于上面的類型1因?yàn)榍啡边@一類型而無(wú)法得到完整解決，還請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容。例如，當(dāng)時(shí)，Omladic和Semrl首先解決了的情形，其中表示復(fù)數(shù)域。隨后，Bell和Sourour描述了的情形，其中表示一般域。2003年，Cao和Zhang又說(shuō)明了的情形，其中是特征不為2也不為3的域，2005年，Tang做出了時(shí)的結(jié)果，這里是復(fù)數(shù)域。當(dāng)時(shí)，Cao等作出了和時(shí)的結(jié)果，這里是特征不為2的域。類型3:保持關(guān)系例如，當(dāng)取作時(shí)，表示的Moore-Penrose逆，張顯，曹重光等在特征不為2的域上解決了這個(gè)問(wèn)題。此外還有，對(duì)于由定義的關(guān)系(這是一種偏序關(guān)系)，You和Tang在對(duì)稱矩陣空間和交錯(cuò)矩陣空間上刻畫了保持這種關(guān)系的加法映射。類型4:保持變換例如，Tang等研究了當(dāng)，及時(shí)的情形，這里是的伴隨矩陣。與LPP類似，對(duì)于在不同的矩陣空間上相同的加法保持問(wèn)題而言，它們的結(jié)果可能是相似的，但問(wèn)題的難易程度和其證明方法或許是非常不同的。例如，早在1996年曹重光和張顯就作出了域的特征不為2時(shí)，其上的全矩陣空間保冪等的加法映射，但當(dāng)域的特征為2時(shí)，至今仍是一個(gè)Open問(wèn)題。在本小節(jié)中，主要介紹了線性保持問(wèn)題的基本概念，發(fā)展歷程，以及線性保持問(wèn)題、加法保持問(wèn)題的四個(gè)基本類型。1.2極小秩保持問(wèn)題的研究現(xiàn)狀1999年，Wasin So在文獻(xiàn)24中刻畫了特征為0的代數(shù)閉域上保持極小秩的線性算子，即為如下定理。定理1.2.124 時(shí)，若是上保持極小秩的線性變換,則存在矩陣，使得或者 其中，是上的線性函數(shù)。2006年張志旭等25證明了對(duì)于一般數(shù)域，上述結(jié)論仍成立。在定理的證明過(guò)程中他刻畫了上保持極小秩的線性算子。因?yàn)闃O小秩在平移、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置及相似條件下市不變的，所以一下兩個(gè)線性算子顯然是保持極小秩的：， （1）或， （2）其中是一非零常數(shù)，且可逆，是一線性函數(shù)。自然聯(lián)想到這一結(jié)論的逆是否正確。即如果是上的保持極小秩的線性算子，則是否可以表示成（1）或（2）的形式呢？時(shí)，經(jīng)論證這一結(jié)論是正確的。具體的證明過(guò)程由定理給出。定理 1.2.225 當(dāng)時(shí)，若是上的一個(gè)線性算子，且保持極小秩，則可以表示為（1）或（2）的形式。證明 假設(shè)是一個(gè)秩1陣。根據(jù)性質(zhì)，有.因此設(shè)，其中，特別地，.現(xiàn)定義一個(gè)線性函數(shù)，.定義一個(gè)線性算子，則有.即.同時(shí) 即 .這樣在一般數(shù)域上的推廣，可知保持秩1陣。因此可以有如下四種形式中的一種：（1） ， 且可逆.（2） ， 且可逆.（3） ， ，其中，使得任意秩陣均可由線性表出.（4）， ，其中，使得任意可逆陣均可由線性表出。若為（3）或（4）的形式，則.所以若，則.這與保持極小秩矛盾。所以，且可逆或，且可逆.又保持極小秩為零的陣，則，且，所以，。因此，且可逆.或 ，且可逆.所以.或.其中，且可逆.下面假設(shè)為極小秩為的矩陣的集合。則由定理的證明可以得到下面的推論：推論 1.2.125 當(dāng)時(shí)，若是上的一線性算子，且滿足，則可以表示為（1）或（2）的形式。在上述結(jié)論的證明中，文獻(xiàn)24利用了代數(shù)閉域這個(gè)條件并假設(shè)域的特征為 0，文獻(xiàn)25雖然去掉了代數(shù)閉域這個(gè)條件但仍局限在數(shù)域上討論，而數(shù)域的特征為0。2007年，陳嘉佳和譚宜家26去掉了這兩個(gè)條件并證明對(duì)于特征不為2的任意域(注：這里 不一定是數(shù)域)，上述結(jié)論仍成立。這里因?yàn)榈诙乱步榻B了一些關(guān)于他們的結(jié)論，所以這里就不給出他們結(jié)論的完整證明，只給出結(jié)論部分以方便說(shuō)明問(wèn)題。定理 1.2.326 設(shè)域滿足,為矩陣空間中保持極小秩的線性算子,則可表為: 或其中,為中的可逆矩陣,是上的線性函數(shù)。證明： 設(shè)是秩為1的階矩陣,則。因此,即,其中,且。所以由知, ,其中,且.,定義,則不難證明,是上的線性函數(shù)。再設(shè),則是上的線性算子。并且因此,.又因?yàn)?所以,。由引理4,為到的保秩1的線性算子。于是由引理1知,存在可逆矩陣,使得滿足如下4種情況之一:（1）；（2）；（3）,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有.若滿足情況（3）,那么,由知,.但此時(shí),或.當(dāng)時(shí), ,此時(shí),；當(dāng)時(shí),因此, ,或1,這與保極小秩矛盾。同理可證,為（4）這種情況也是不可能的。所以,必為形式1)或2),即或.又因?yàn)?所以,從而存在,使得.另一方面,由知, ,這樣.所以,即或.則或,證明完畢。1.3本論文的主要研究工作和文章結(jié)構(gòu)本文主要是利用高等代數(shù)的知識(shí)，在特征不為2的域上，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。第1章,緒論。介紹線性保持問(wèn)題的研究背景、分類、常用解決方法及相關(guān)領(lǐng)域已取得的成果，還有極小秩保持問(wèn)題的研究現(xiàn)狀。第2章，引言與預(yù)備知識(shí)。介紹了極小秩保持問(wèn)題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，為第3章定理的證明做準(zhǔn)備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時(shí),全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。第3章，二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換。在特征不為2的域上，利用高等代數(shù)的知識(shí)，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。第2章 引言與預(yù)備知識(shí)2.1 引言 極小秩是建筑、工程、控制等方面重要的不變量之一。對(duì)于矩陣，它的極小秩與其非平凡不變多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)之間滿足關(guān)系，其中表示的非平凡不變多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，所以方陣平凡不變多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)等于極小秩。因此研究保持平凡不變多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)、非平凡不變多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)、極小秩的變換是等價(jià)的。 本章主要介紹極小秩保持問(wèn)題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時(shí),全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明過(guò)程。2.2 預(yù)備知識(shí) 定義2.2.127 集合是指一類研究對(duì)象的全體，組成集合的對(duì)象個(gè)體成為集合的元素。表示屬于集合，表示不是集合的元素，集合常用舉例法或性質(zhì)表示法標(biāo)出。 不含任何元素的集合稱為空集合，記為，若兩個(gè)集合與含有相同的元素，稱為兩個(gè)集合相等，記為。若集合的元素全是集合的元素，則稱為的子集合，記為。若集合與同時(shí)滿足與，則。 設(shè)與是兩個(gè)集合，既屬于又屬于的全體元素的集合稱為與的交，記為。屬于或?qū)儆诘娜w元素所成集合稱為與的并，記為。 定義2.2.227 設(shè)與是兩個(gè)集合，若對(duì)中的每一個(gè)元素，按照某一法則都有中一個(gè)確定的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱為集合到的一個(gè)映射。若映射使元素與元素對(duì)應(yīng)，就記為，稱為在映射下的像，稱為的一個(gè)原像。 集合到集合的兩個(gè)映射及，若對(duì)的每個(gè)元素都有，則稱與相等，記為。 設(shè)是一個(gè)集合，若，則稱為集合的恒等映射或單位映射。 設(shè)，分別是集合到，到的映射，則稱為乘積。 設(shè)是集合到的一個(gè)映射，用代表在映射下像的全體，稱為在映射下像的集合，。 若，就映射為映上的或滿射。 若在映射下，中不同元素的像也一定不同，則映射稱為單設(shè)。一個(gè)映射若既是單設(shè)又是滿射就稱為雙射。一個(gè)集合到其自身的映射叫做變換。 定義2.2.327 設(shè)是一個(gè)非空集合，是一個(gè)數(shù)域，在集合中的元素之間定義了加法運(yùn)算（即對(duì)任，有唯一的，使），在數(shù)域與集合中的元素之間定義了數(shù)乘運(yùn)算（即對(duì)任一與，有唯一的，使）。如果加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足以下規(guī)則：（1） ；（2） ；（3） 存在，使對(duì)任，有；0稱為的零元素；（4） 存在的負(fù)元素，使；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；則稱為線性空間。線性空間的元素也稱向量，所以線性空間也稱向量空間。 線性空間有以下簡(jiǎn)單性質(zhì)：（1） 零元素是唯一的；（2） 負(fù)元素是唯一的；（3） ；（4） 若，則或. 定義2.2.428 令是數(shù)域上一個(gè)向量空間，到自身的一個(gè)線性映射叫做的一個(gè)線性變換。 定義2.2.527 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，是中一組向量，稱為向量組的一個(gè)線性組合，也稱向量可由向量組線性表出。 定義2.2.627 若（1） ；（2）是中兩個(gè)向量組，如果（1）中每個(gè)向量可以由（2）線性表出，則稱（1）可以由（2）線性表出。若（1）與（2）可以相互線性表出，則稱（1）與（2）是等價(jià)的。 定義2.2.727 線性空間中向量稱為線性相關(guān)，如果在數(shù)域中有個(gè)不全為零的數(shù)，使，如果向量不線性相關(guān)，就稱為線性無(wú)關(guān)。 由以上定義得到如下幾個(gè)常用結(jié)論：（1） 單個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是；兩個(gè)以上向量線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。（2） 若向量組線性無(wú)關(guān)，且可被線性表出，則.（3） 若向量組線性無(wú)關(guān)，但向量組，線性相關(guān)，則可以被線性表出，而且表示法唯一。 定義2.2.827 若在線性空間中有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，但中沒(méi)有更多數(shù)量的線性無(wú)關(guān)的向量，則稱為維的。若在中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱為無(wú)線維的。 定義2.2.927 令是數(shù)域上一個(gè)維向量空間是上的一個(gè)基，于是的每一個(gè)向量可以唯一表成其中系數(shù)是被向量和基唯一確定的，這組數(shù)稱為在基下的坐標(biāo)，記為. 定理2.2.127 若在線性空間中有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，且中任一向量都可以由它們線性表出，則是維的，而是的一組基。設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，與是的兩組基。關(guān)系式稱為基變換公式，可以形式地寫為其中 稱為由基到的過(guò)渡矩陣。 中元素在基下的坐標(biāo)與在基下的坐標(biāo)滿足關(guān)系式或者設(shè)和是中的兩個(gè)向量組，是兩個(gè)矩陣，則有以下運(yùn)算規(guī)則：；. 定義2.2.1028 令是一個(gè)非空集合，它帶有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，叫作乘法：對(duì)與任意的，有中唯一確定的元素，記作，與它對(duì)應(yīng)，叫做與的積如果下列條件滿足，那么說(shuō)關(guān)于乘法做成一個(gè)群：（1）對(duì)于任意的，有；（2）在中存在一個(gè)元素，叫做的單位元，它具有性質(zhì)，對(duì)，有；（3）對(duì)于的每一個(gè)元素，存在的一個(gè)元素使得，叫做的逆元。 定義2.2.1128 設(shè)是一個(gè)非空集合。帶有兩個(gè)運(yùn)算，分別叫做加法和乘法。如果下列條件被滿足，就稱是一個(gè)環(huán)：（1） 對(duì)于加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)阿貝爾群；（2） 的乘法滿足結(jié)合律：對(duì)于中任意元素，和，等式成立；（3）加法與乘法由分配律聯(lián)系著：對(duì)于中任意元素，和，等式；成立。 定義2.2.1228 設(shè)是一個(gè)有單位元的交換環(huán)。如果的每一個(gè)非零元素都是可逆元，那么就稱是一個(gè)域。定義2.2.1328 設(shè)是一個(gè)域，使得的最小正整數(shù)叫做域的特征。 如果不存在正整數(shù)，使得，那么就說(shuō)域的特征是零。 定理2.2.228 設(shè)是一個(gè)域（1） 如果。那么對(duì)于中任意非零元素和，（2） 如果，那么對(duì)于的任意非零元素，和， 定理2.2.328 設(shè)是一個(gè)特征為素?cái)?shù)的域。在里以下等式成立：，定義2.2.1428 設(shè)和是環(huán)（或域）。：是一個(gè)映射，如果對(duì)于中任意元素都有；那么就說(shuō)，是一個(gè)同態(tài)映射。如果還是一個(gè)雙射，那么就說(shuō)是一個(gè)同構(gòu)映射，這時(shí)就說(shuō)環(huán)（或域）與同構(gòu)。定義2.2.1524 設(shè)，則為矩陣的極小秩，記。定義2.2.1629 若線性變換：滿足，則稱是上保持極小秩的線性變換。 由極小秩的定義,可得以下性質(zhì):（1）平移不變性：；（2）數(shù)乘不變性：；（3）相似不變性：為可逆矩陣；（4）轉(zhuǎn)置不變性： ；（5）；（6）；（7）.若無(wú)特別聲明,總表示一個(gè)域。 引理2.2.126 設(shè):為矩陣空間上保秩1的線性算子,即，那么存在可逆矩陣, ,使得滿足下面情況之一:（1） ；（2） ；（3） ,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有. 引理2.2.226 設(shè)并且,，那么相似于某一個(gè)對(duì)角矩陣,其中且. 證明: 設(shè)矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為,其中為的不變多項(xiàng)式,=1,2,3,且, =1,2.下證.若的次數(shù)1.因?yàn)槎囗?xiàng)式的次數(shù)為3,且, ,所以只能是: 從而與矩陣相似，此時(shí)。這與條件矛盾。 因此，這樣或且的次數(shù)1. 若，設(shè)，則由文獻(xiàn)4中的定理2知,相似于矩陣.則,有.因?yàn)榫仃囍杏幸粋€(gè)二階子式,所以.所以.這與條件矛盾,因此,其中的次數(shù)1且.因?yàn)榈拇螖?shù)是3,所以的次數(shù)只能是1,的次數(shù)只能是2.這樣,具有形式,其中. 若,那么相似于矩陣.此時(shí)或.這與條件矛盾； 若,那么相似于對(duì)角矩陣,此時(shí)有3種情況:；.容易看出,情況和都與條件矛盾,而情況恰好滿足引理的條件。因此相似于對(duì)角矩陣.證明完畢。 引理2.2.326 設(shè)域滿足,為線性算子,且滿足: ，那么,若,則. 引理2.2.426 設(shè)域滿足,為線性算子且滿足:（1）,；（2）, ,其中表示位置上元素是1,其余元素全為0的階矩陣。那么, 為上保秩1的線性算子,即. 定理2.2.426 設(shè)域滿足,為矩陣空間中保持極小秩的線性算子,則可表為: 或 其中,為中的可逆矩陣,是上的線性函數(shù)。 證明: 設(shè)是秩為1的階矩陣,則.因此,即,其中,且.所以由知, ,其中,且.,定義,則不難證明,是上的線性函數(shù)。再設(shè),則是上的線性算子。并且因此,.又因?yàn)?所以,.由引理4,為到的保秩1的線性算子。于是由引理1知,存在可逆矩陣,使得滿足如下4種情況之一:（1）；（2）；（3）,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有；（4）,其中:為線性算子,滿足,當(dāng)時(shí),都有. 若滿足情況（3）,那么,由知,.但此時(shí),或。當(dāng)時(shí), ,此時(shí),；當(dāng)時(shí),因此, ,或1,這與保極小秩矛盾。同理可證,為4)這種情況也是不可能的。 所以必為形式（1）或（2）,即或.又因?yàn)?所以,從而存在,使得.另一方面,由知, ,這樣.所以,即或.則或.證明完畢。2.3 本章小結(jié) 本章介紹了極小秩保持問(wèn)題中用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，目的是為下一章定理的證明做準(zhǔn)備。其中包括集合、映射、群、環(huán)、域、極小秩等概念，以及特征不為2的域上，時(shí),全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的證明。第3章 二階全矩陣空間上保持極小秩的線性變換3.1 引言線性保持極小秩問(wèn)題首先是在1999年，由Wasin So刻畫了特征為0的代數(shù)閉域上保持極小秩的線性算子形式。2006年，張志旭等人證明了對(duì)于一般數(shù)域，上述結(jié)論仍成立，而數(shù)域的特征為0。2007年，陳嘉佳等人去掉了這個(gè)條件，證明對(duì)于特征不為2的任意域上該結(jié)論仍然成立。本章就是受上面結(jié)論的啟發(fā)來(lái)考慮的。在特征不為2的域上，利用高等代數(shù)的知識(shí)，刻畫并證明二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式，這也是本文的主要內(nèi)容。3.2 符號(hào)說(shuō)明設(shè)是一個(gè)特征不為2的域，是上全矩陣空間，是上全矩陣空間，也稱為上的二階全矩陣空間。是單位矩陣，是所有可逆矩陣構(gòu)成的群，稱為一般線性群，是由中所有非零元構(gòu)成的乘法群。對(duì)于矩陣，記是的轉(zhuǎn)置矩陣，是的逆矩陣，是的伴隨矩陣，是酉群，是的秩，是的極小秩。3.3 二階全矩陣空間概述設(shè)是一個(gè)特征不為2的域，是由上所有的矩陣構(gòu)成的矩陣集合，可以證明該矩陣集合是線性空間，稱之為域上的二階全矩陣空間。設(shè)，是中的任意數(shù)，那么關(guān)于，滿足下面性質(zhì)：（1） ；設(shè)，左邊求和后為，右邊求和顯然與左側(cè)相等，所以成立。（2）；設(shè)，左側(cè)為+ =，而右側(cè)求解后結(jié)果為，兩側(cè)相等，所以成立。（3） ；因?yàn)椋@然成立。（4） 存在，使得成立；因?yàn)榇嬖?，所以存在，所以上述結(jié)論成立。（5） ；左側(cè)括號(hào)內(nèi)加法后得到=；右側(cè)等于=，左右相等，所以結(jié)論成立。（6） ；左側(cè)計(jì)算得；右側(cè)計(jì)算得= ，左右相等，所以滿足.（7） ；左側(cè)計(jì)算得=，右側(cè)計(jì)算得，左右相等，所以成立。（8） ；數(shù)字1乘以結(jié)果仍然是，即。以上證明可以看出，滿足線性空間的8個(gè)條件，稱之為域上的二階全矩陣空間。3.4 證明思路該定理的證明主要運(yùn)用了線性空間基的性質(zhì)，方法采用反證法。證明結(jié)論時(shí)重點(diǎn)為證明一組向量是一組基，則可用到任意一組向量可由基線性表示的知識(shí)點(diǎn)，證明條件時(shí)同樣運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)，另外還有數(shù)量陣的性質(zhì)，定理自然得證。3.5 主要結(jié)論定理3.5.1：設(shè)：是線性變換，則，同時(shí)是的基，此外，是非奇異的。證明：因?yàn)椋援?dāng)是數(shù)量陣時(shí)，當(dāng)不是數(shù)量陣時(shí)。因?yàn)?，所以是?shù)量陣是數(shù)量陣，即。下證是的基。設(shè)，由于是線性變換，是數(shù)量陣，可知是數(shù)量陣，故，因此，線性無(wú)關(guān)。若不是的基，則可設(shè)由于是線性變換，是數(shù)量陣，可知是數(shù)量陣，故矛盾。當(dāng)是數(shù)量陣時(shí)，設(shè)，則也是數(shù)量陣，故當(dāng)是數(shù)量陣時(shí)，.當(dāng)不是數(shù)量陣時(shí)，其中，不全為0，若為數(shù)量陣，設(shè)，即，其中，不全為0，和是的基矛盾，故不是數(shù)量陣，從而當(dāng)不是數(shù)量陣時(shí)，故，。是非奇異的是顯然的，證明略。3.6 本章小結(jié)本章主要是在特征不為2的域中，對(duì)二階全矩陣空間中保持極小秩的線性算子形式進(jìn)行了證明，即：設(shè)：是線性變換，則，同時(shí)是的基，此外，是非奇異的.結(jié) 論本論文利用數(shù)量陣、線性空間基的定義、性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，在特征不為2的任意域上，證明了二階全矩陣空間到其自身的保持極小秩的線性算子的形式。首先，介紹了極小秩的概念、背景、發(fā)展歷程、中外學(xué)者的著作。其次，介紹了極小秩保持問(wèn)題中所要用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，內(nèi)容由淺入深，便于理解。最后，得出本文主要結(jié)論。在特征不為2的域中，對(duì)二階全矩陣空間中保持極小秩的線性算子形式進(jìn)行了證明，即：設(shè)：是線性變換，則，同時(shí)是的基，此外，是非奇異的。現(xiàn)在對(duì)于線性保持問(wèn)題的研究越來(lái)越受大家的關(guān)注，本論文研究的也只是冰山一角，由于我的知識(shí)貯備有限，所以不免在論文中會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)大家多多批評(píng)指正。另外，目前線性保持問(wèn)題在應(yīng)用方面已經(jīng)有了一定的位置，但在極小秩方面，作為它的一個(gè)分支在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中還有很大一部分可開(kāi)發(fā)空間。希望以后會(huì)有更多的人在這方面取得突破。參考文獻(xiàn)1 G.FROBENIUS.Uber die Darstellung der endichen Gruppen durch linera SubstitutionenJ.Sitzungsber.Deutsch.Akad.Wiss,Berjin,1997,994-1015.2 S.KANTOR.Theorie der Aquivalenz von linera Scharen bilinearer FormenJ.Sitzun-gsber.Munchener Akad,1997,367-381.3 M.Marcus.Linear operations on matricesJ.Amer.Math.Monthly,1996,69:837-847.4 M.Marces.Linear transformations on matricesJ.J.Res.Nat.Bur.Standarss,1991,75B:107-113.5 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This is also called algebraic form complete. This is the mature period algebra. Before, mathematicians in Hilbert only for some special algebra form gives the general problem, it is the greatest contribution. Paul Gorda (1837-1912). He devoted all his lifes Dan almost no variables theory research,