5.幾何變式教學(xué)的思考.doc

教學(xué)案例：幾何變式教學(xué)的思考 -從一堂公開課說起【主題闡述】變式教學(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題時，變更概念非本質(zhì)的特征，變更問題的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容；創(chuàng)設(shè)實際應(yīng)用的各種環(huán)境，使概念或本質(zhì)不變的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)變式的研究能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的質(zhì)疑、多思的學(xué)習習慣，提高類比推理的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習的能力，點燃創(chuàng)新思維的火花。而利用 變式教學(xué)”和 變式訓(xùn)練”， 通過對數(shù)學(xué)問題多角度， 多方位、多層次的討論和思考， 能幫助學(xué)生打通關(guān)節(jié)， 構(gòu)建有價值的變式探索研究， 展示數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程， 有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從 “變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)， 從 “不變”的本質(zhì)中探究 “變”的規(guī)律， 使所有知識點融會貫通， 使思維在所學(xué)知識中游刃有余、順暢飛翔。筆者有幸于2007年4月在西湖區(qū)的初三復(fù)習研討會上，上了一節(jié)問題變式探究的公開課，對變式教學(xué)有了一些新的感受，請同行們批評指正?！菊n例描述】一、 引例教學(xué)：給大家展示的是2006年江西南昌的中考題：某課外學(xué)習小組在一次學(xué)習研討中，得到了如下兩個命題： 如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON=60則BM=CN： 如圖2，在正方形ADBC中，M、N分別是AC、AD上的點BM 與CN相交于點O，若BON=90則BM=CN.然后運用類似的思想提出了如下命題： 如圖3，在正五邊形AEDBC中，M、N分別是AC，AE上的點，BM與CN相交于點O，若BON=108，則BM=CN.請你從，三個命題中選擇一個進行證明。在同學(xué)們選擇其中之一證明以后提出了以下問題：問題1：這個中考題為什么讓你從三個命題中選擇一個進行證明？問題2：三個命題的證明方式為什么是一樣的？用到了哪些知識點？問題3：你能將命題推廣嗎？問題4：這些命題在證明過程中哪些條件起到解決問題的決定性作用？師生共同探究條件“正多邊形”的作用是：(1) BC=CM 邊等創(chuàng)造三角形全等的條件 (2) BCA=CAN=BON角等讓同學(xué)們體會引例中的條件“正多邊形”只是作為命題的背景，在平時的學(xué)習中要學(xué)會抓住每個條件所起的作用，即抓住問題的本質(zhì)。二、 例題教學(xué)：例題：操作：如圖，ABC中，A60，ABAC，BDC是頂角BDC120的等腰三角形，以D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連結(jié)MN探究：線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。引導(dǎo)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)DCN至DCN1的方法證明命題成立。引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）條件BDCD所起的作用是什么？（2）MDN60與條件BDC120有什么關(guān)聯(lián)性？所起的作用是什么？（3）是什么條件保證了A、B、N1三點共線？為什么要證三點共線？若三點不共線，結(jié)果會是什么？探究1：若將條件MDN60改為MDN50，若要使原結(jié)論成立，則如何修改原命題？探究2：ABC中必須滿足A80，ABAC嗎？你所添加的這個條件所起的作用是什么？可否用別的條件來替換它？師生共同探究命題的本質(zhì)：BDCD旋轉(zhuǎn)時，使C與B重合BDC2MDNMDN1MDNABDACD180保證了A、B、N1三點共線因此，可將該題一般化，如圖，圓的內(nèi)接四邊形ABDC中，BD=DC，M是AB上一點，作交AC于點N，則MN=BM+CN。三、 課堂練習：1、已知ABC中，A90，ABAC，D是BC的中點，以D為頂點作一個90角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連結(jié)MN.探究：線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明對例題再次變式探究，以達到對命題本質(zhì)的再認和多題一解的目的。要求：學(xué)生在解題之前先思考“這個題與例題有什么關(guān)聯(lián)性？”若有困難，可先解決問題后再思考前面的問題。共同探究：這個題即是例題的特例，是將例題歸納圖中的邊BC是圓的直徑，點D是圓心，但互補的條件不滿足，所以這個圖中的DCN旋轉(zhuǎn)后A、B、N1三點不共線，則三條線段之間應(yīng)不是原先的關(guān)系。而且這個題中的條件ABAC是多余的。2、已知ABCD是正方形，E是邊DC上一點，作EAF45交邊CB于點F，連結(jié)EF。試探究DE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系. 要求：學(xué)生在解題之前先思考“這個題與例題有什么關(guān)聯(lián)性？”若有困難，可先解決問題后再思考前面的問題。共同探究：這個題也是例題的特例.變式1：若點E在射線DC上，則結(jié)論將是什么？變式2：若例題中的點M在射線AB上，則結(jié)論將是什么？四、 領(lǐng)悟提升：一般在做幾何題時，我們的方法是：解決問題透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)反思（1）命題中每個條件所起的作用是什么？（2）哪些條件起決定性作用？（3）能否將命題拓展、推廣？【教學(xué)反思】區(qū)教研員付蘭英老師的點評：本課例把一道中考題作為引例，在學(xué)生個體獨立探究的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生在小組內(nèi)充分展示自己的思維方法及過程，相互討論分析，揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過探究發(fā)現(xiàn)圖形變換的本質(zhì)特性，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力和探究問題的能力。本課例是數(shù)學(xué)探究學(xué)習，問題設(shè)計是關(guān)鍵，教師不斷創(chuàng)設(shè)問題情境，在學(xué)生自主、獨立地發(fā)現(xiàn)問題的過程中，不僅僅獲得知識與技能，更重要的是學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力得到發(fā)展，學(xué)生通過主動探究而“生成”自己的知識。教師在教學(xué)中設(shè)計的具有一定探究空間的問題情景對貫徹新課程理念，促進每一位學(xué)生的發(fā)展具有重要的實際意義。課堂中教師積極引導(dǎo)，讓學(xué)生在思考問題時從多方向、多角度、多手段、多途徑入手，教師善于把問題延伸，拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、流暢性、廣闊性；從而養(yǎng)成良好的思考問題習慣與解決問題的策略。在課堂，教師及時評價，學(xué)生獲得了成功的體驗，學(xué)生在變式探究中體會問題反思的方法及反思的樂趣，學(xué)生通過反思激發(fā)了探究的興趣，在探究中的體驗變成了一種學(xué)習的動力，成為一種思維方式。在課堂，學(xué)生在合作交流中學(xué)會相互幫助，實現(xiàn)學(xué)習互補，增強合作意識，提高交往能力；師生交流情感融洽，充滿了鼓勵、愛心，體現(xiàn)了評價的人文關(guān)懷。我自己的體會：在以往的教學(xué)中我們也很喜歡變式教學(xué)，一般情形下都是老師將題變好后讓學(xué)生練習，至于題目為什么能變，如何去變，學(xué)生都是不知道的，甚至有些老師也只是把一些類似的題目串在一起而已，沒有將幾個題作類似性的分析，所以學(xué)生們經(jīng)常是跟著老師的思維為做題而做題，很少或很難去理解題與題之間的聯(lián)系，今天的教學(xué)，我試圖突破這一點。通過例題中三角形形狀的不斷改變，讓學(xué)生體會每個條件所起的作用，從而讓學(xué)生明白一般題目變式可以從改變非本質(zhì)的條件入手，有能力的同學(xué)可在平時的學(xué)習中嘗試改變題目，體會題目可以變的原因。這樣的嘗試是有價值的，它可以改變學(xué)生拿來題就做的習慣，如果能在初一就開始培養(yǎng)這種習慣，我們不僅可以培養(yǎng)一支會解題的學(xué)生，還能培養(yǎng)一支會思考的學(xué)生，會編題的學(xué)生，會知一而知其二，那將是學(xué)生學(xué)習方法的一種突破。 通過本節(jié)課的教學(xué)，也讓我們老師在平時的教學(xué)中改變著自己的思維方式，老師們也在思考如何讓學(xué)生們體會題中本質(zhì)，抓住本質(zhì)起到事半功倍的作用?！就卣固嵘孔兪浇虒W(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題時，變更概念非本質(zhì)的特征，變更問題的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容；創(chuàng)設(shè)實際應(yīng)用的各種環(huán)境，使概念或本質(zhì)不變的一種教學(xué)方式。變式教學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)辯證唯物主義認為：“任何事物都是內(nèi)容和形式的矛盾統(tǒng)一”，當形式適合內(nèi)容時,它對內(nèi)容有巨大的反作用,它對內(nèi)容的發(fā)展起積極的推動作用；反之,則起消極的阻礙作用。所以,我們在實踐活動中,都要設(shè)法使內(nèi)容和形式盡可能完美和諧地統(tǒng)一起來。實踐證明,教學(xué)形式對內(nèi)容具有不可忽視的作用，變式教學(xué)實際上是在教學(xué)中根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)要求、授課對象、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境,形成的一種教學(xué)方法。變式教學(xué)是形式,要想對內(nèi)容有積極的促進作用,就要求每個教師應(yīng)針對不同的教學(xué),盡可能地創(chuàng)設(shè)一種和諧愉悅的教學(xué)氣氛,采用學(xué)生所能接受的語言和良好的教學(xué)方法,以取得內(nèi)容和形式的統(tǒng)一,從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益；變式教學(xué)就是外因，學(xué)生的學(xué)習活動則是內(nèi)因，變式教學(xué)就是教師為學(xué)生提供更多的主動參與學(xué)習的時間、空間,促進學(xué)生學(xué)習的內(nèi)化的過程。維果茨基關(guān)于最近發(fā)展區(qū)的理論認為：每個學(xué)生都存在兩種水平：一是現(xiàn)有水平,二是潛在水平，這兩者之間的差距即學(xué)生的現(xiàn)有水平與經(jīng)過他人的啟發(fā)幫助可以達到的潛在水平的差距，教學(xué)是一個由現(xiàn)有水平轉(zhuǎn)化為潛在水平即新的現(xiàn)有水平,并不斷創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)的過程。根據(jù)這種理論,變式教學(xué)從學(xué)生的這兩種水平的實際差異出發(fā),首先在教學(xué)中用不同形式的材料引導(dǎo)學(xué)生自己想,自己試,相互磋商,幫助學(xué)生達到潛在水平即新的現(xiàn)有水平,然后根據(jù)新的最近發(fā)展區(qū)圍繞本節(jié)教材知識線索中的本質(zhì)問題,變換同類事物的非本質(zhì)特征,幫助學(xué)生達到更高的潛在水平?，F(xiàn)代教育理論認為變式教學(xué)可以體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。首先，學(xué)生在教學(xué)認識活動中處于主體地位。教學(xué)活動本質(zhì)上是一種認識活動,學(xué)生是這種認識活動的主體，學(xué)生的認識活動歸根到底是學(xué)生自己的事情，教師永遠無法包辦代替，因此,只有確立學(xué)生在教學(xué)活動中的主體地位，發(fā)揮其主體作用，調(diào)動學(xué)生學(xué)習的積極性和主動性，才能真正保證教學(xué)的質(zhì)量；其次,教師在教學(xué)活動中起主導(dǎo)作用。在教學(xué)活動中,學(xué)生是教學(xué)認識的主體，但由于青少年學(xué)生是一個不成熟的主體，他們的知識!經(jīng)驗還不夠豐富，能力還不夠強大,還不可能掌握認識活動的方向、內(nèi)容和方法等，此他們的認識活動需要由師領(lǐng)導(dǎo)著進行。再次，教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位之間是辯證統(tǒng)一的。學(xué)習了以上理論之后，結(jié)合自己的日常教學(xué)體會，我對幾何變式教學(xué)又有一點認識：幾何變式可從變條件、變位置、變形狀三個角度進行研究。如圖1,ABC是一個正三角形，E、F分別是邊BC、CA上的點，且BE=CF，AE、BF交于點O,則BOE的度數(shù)是多少？本題的解題思路是利用等邊三角形的邊等和角等的條件，構(gòu)造了ABEBCF，三角形全等的性質(zhì)可得BAE=FBC，所以BOE=BAE+FBA=FBC+FBA=ABC=60。變式一：變條件要使的結(jié)論不變，你認為可把BE=CF換成其它什么條件？ 變條件必須抓住ABEBCF不變，要變只能改變判定這對三角形全等的方法，因此本題有兩個思路變條件：思路一：直接替換三角形全等的條件：思路二：簡接替換三角形全等的條件：思路三：構(gòu)造逆命題：將BE=CF與結(jié)論BOE =60對換。變式二：變位置若題中的條件與結(jié)論不變，你認為可以改變E、F的位置嗎？可將E、F的位置改在BC、CA的延長線上(或CB、AC的延長線上)，如圖2，這時ABEBCF仍沒改變，因此結(jié)論不變。圖5但若E在BC的延長線上、F在AC的延長線上，如圖3，這時圖中也有ABEBAF，但它已經(jīng)改變了ABEBCF的本質(zhì)，因此這種改變只是形似而已，對學(xué)生的思維培養(yǎng)不能起到較好的效果，這也是我們在變式教學(xué)中要注意的地方。圖3圖2圖4 變式三：變背景如：將題中的正三角形ABC改為正方形ABCD，如圖5，E、F分別是邊BC、CD上的點，且BE=CF，AE、BF交于點O,則AE和BF相等嗎？BOE的度數(shù)是多少？在前面研究的基礎(chǔ)上，可讓學(xué)生象前一個問題的方式去研究，從而體會兩者的本質(zhì)是如圖6，ABEBCF，所以只要能抓住ABEBCF這個本質(zhì)，正ABC(或正方形ABCD)的形狀可以改變，從而將命題推廣到正多邊形的條件下仍能成立。利用變式教學(xué)