熱力學(xué)第三章氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率.ppt

2020 2 5 崎山苑工作室 1 第三章氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布 3 1氣體分子的速率分布律3 2用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律3 3玻爾茲曼分布律重力場(chǎng)中微粒按高度的分布3 4能量按自由度均分定理 2020 2 5 崎山苑工作室 2 3 1氣體分子的速率分布律 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 分子運(yùn)動(dòng)論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā) 研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì) 其中個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng) 在動(dòng)力學(xué)支配下 是無規(guī)則的 存在著極大的偶然性 但是 總體上卻存在著確定的規(guī)律性 例 理想氣體壓強(qiáng) 人們把這種支配大量粒子綜合性質(zhì)和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 氣體中個(gè)別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的 但就大量分子的整體來看 在一定的條件下 氣體分子的速度分布也遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 為研究氣體分子速度分布的定量規(guī)律 有必要介紹分布函數(shù)的概念 2020 2 5 崎山苑工作室 3 例1 統(tǒng)計(jì)某城市中每個(gè)商店里職工的分布情況 可用下列方法 分布函數(shù)和平均值 偶然事件 大量出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的事件 多次重復(fù)觀察同樣的事件 可獲得該偶然事件的分布 從而得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律 表示該城市中的商店總數(shù) 表示該城市中有個(gè)職工的商店數(shù) 稱分布數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 4 例 令f h dN h Ndh 則 我們把f h 稱為歸一化分布函數(shù) f h 表征在單位高度內(nèi) 身高為h的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率 f h dh 高度在h與h dh之間的概率 2020 2 5 崎山苑工作室 5 N個(gè)人的平均身高為 高度在h與h dh之間的人數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 6 推廣至任一變量 物理量 x 由分布函數(shù)f x 求平均值 有 對(duì)具有統(tǒng)計(jì)性的系統(tǒng)來講 總存在著確定的分布函數(shù)f x 因此 寫出分布函數(shù)f x 是研究一個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵之處 具有普遍的意義 2020 2 5 崎山苑工作室 7 速率分布函數(shù)一定量的氣體分子總數(shù)為NdNv表示速率分布在某區(qū)間v v dv內(nèi)的分子數(shù) dNv N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 或百分比 dNv N是v的函數(shù) 在不同速率附近取相等的區(qū)間 此比率一般不相等 當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí) 宏觀小 微觀大 dNv N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比 2020 2 5 崎山苑工作室 8 因此有 物理意義 速率在v附近 單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 f v 速率分布函數(shù) 歸一化條件 Normalizingcondition 或 2020 2 5 崎山苑工作室 9 麥克斯韋速率分布律 Maxwellspeeddistributionlaw 一定條件下 速率分布函數(shù)的具體形式 在平衡態(tài)下 當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí) 分布在任一速率區(qū)間v v dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為 麥克斯韋速率分布函數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 10 麥克斯韋速率分布曲線 2020 2 5 崎山苑工作室 11 麥克斯韋速率分布曲線 面積 面積 速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例 或分子速率位于區(qū)間內(nèi)的幾率 速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例 或分子速率位于區(qū)間內(nèi)的幾率 2020 2 5 崎山苑工作室 12 表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 13 表示分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 14 表示分布在單位體積內(nèi) 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 15 表示速率在區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率 2020 2 5 崎山苑工作室 16 氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率 速率分布函數(shù)中的極大值對(duì)應(yīng)的分子速率 極值條件 1 最可幾速率 溫度超高 vp越大 分子的質(zhì)量越大 vp越小 2020 2 5 崎山苑工作室 17 最可幾速率 mostprobablespeed 2020 2 5 崎山苑工作室 18 對(duì)大量分子而言 在相同的速率間隔中 氣體分子的速率在vp附近的分子數(shù)最多 對(duì)單個(gè)分子而言 速率在vp附近的幾率最大 最可幾速率 vp 的意義是 2020 2 5 崎山苑工作室 19 氣體分子速率的算術(shù)平均值 2 平均速率 2020 2 5 崎山苑工作室 20 平均速率 averagespeed 2020 2 5 崎山苑工作室 21 3 方均根速率 root mean squarespeed 氣體分子速率平方的平均值的平方根 2020 2 5 崎山苑工作室 22 方均根速率 方均根速率 2020 2 5 崎山苑工作室 23 三種速率均與 成反比 但三者有一個(gè)確定的比例關(guān)系 三種速率使用于不同的場(chǎng)合 討論速率分布時(shí)用最可幾速率 計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離時(shí)用平均速率 計(jì)算分子平均平動(dòng)能時(shí)用方均根速率 三種速率比較 2020 2 5 崎山苑工作室 24 溫度越高 速率大的分子數(shù)越多 同一氣體不同溫度下速率分布比較 2020 2 5 崎山苑工作室 25 同一溫度下不同種氣體速率分布比較 分子質(zhì)量越小 速率大的分子數(shù)越多 2020 2 5 崎山苑工作室 26 例題1試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于vp vp 100和vp vp 100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù) 在此利用vp 引入W v vp 把麥克斯韋速率分布律改寫成如下簡(jiǎn)單形式 解 按題意 2020 2 5 崎山苑工作室 27 把這些量值代入 即得 現(xiàn)在 2020 2 5 崎山苑工作室 28 例2 有N個(gè)粒子 其速率分布函數(shù)為 求 1 速率分布曲線 2 由v0求常數(shù)C 3 粒子的平均速率 解 1 速率分布曲線 見下圖 2020 2 5 崎山苑工作室 29 2 常數(shù)C由歸一化條件求得 3 平均速率 2020 2 5 崎山苑工作室 30 例3 由麥?zhǔn)戏植悸蓪?dǎo)出理想氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布律 并找出最可幾動(dòng)能是什么 一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是什么 解 一個(gè)分子的平動(dòng)動(dòng)能 由麥?zhǔn)戏植悸?這就是理想氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能分布定律 2 2020 2 5 崎山苑工作室 31 最可幾動(dòng)能 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為 理論與實(shí)驗(yàn)符合得很好 從理論上已經(jīng)得到過 2020 2 5 崎山苑工作室 32 在平衡態(tài)下 當(dāng)氣體分子之間的相互作用可忽略時(shí) 速度分量vx在區(qū)間vx vx dvx vy在區(qū)間vy vy dvy vz在區(qū)間vz vz dvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為 麥克斯韋速度分布律 Maxwellvelocitydistributionlaw 上面討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律 對(duì)分子速度的方向未作任何確定 下面進(jìn)一步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律 dvx dvy dvz為速度空間的一個(gè)體積元 麥克斯韋速度分布函數(shù) Maxwellvelocitydistributionlaw 2020 2 5 崎山苑工作室 33 速度空間 velocityspace 的概念表示分子的速度以其分量vx vy vz為軸可構(gòu)成一直角坐標(biāo)系 由此坐標(biāo)系所確定的空間為速度空間 麥克斯韋速度分布律指明了分子代表點(diǎn)在速度空間體積元d dvxdvydvz中的分布情況 可由麥?zhǔn)纤俣确植悸赏瞥鳆準(zhǔn)纤俾史植悸?2020 2 5 崎山苑工作室 34 由圖 b 可得 2020 2 5 崎山苑工作室 35 由麥克斯韋速度分布函數(shù)可推出速度的三個(gè)分量的分布函數(shù) 將分布函數(shù)先后對(duì)vy和vz積分 即可求出速度分量vx在區(qū)間vx vx dvx內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率 同理可得 2020 2 5 崎山苑工作室 36 例題 用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù) 解 如圖 設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n 則單位體積內(nèi)速度分量vx在vx vx dvx之間的分子數(shù)為nf vx dvx 在dt內(nèi)能與dA相碰的分子數(shù)為 nf vx dvx vxdtdA 所以 在單位時(shí)間內(nèi)速度分量vx在vx vx dvx之間能與單位面積器壁碰撞的分子數(shù)為 而對(duì)于vx 0的分子不會(huì)與dA相碰 所以vx的積分區(qū)間為0 2020 2 5 崎山苑工作室 37 每秒碰到單位面積上的分子數(shù)為 2020 2 5 崎山苑工作室 38 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性與漲落 fluctuation 現(xiàn)象 麥克斯韋分布律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律 統(tǒng)計(jì)規(guī)律不僅對(duì)研究熱現(xiàn)象有重要意義 而且在其他自然現(xiàn)象中也是普遍存在的 如伽爾頓板 Galtonplate 實(shí)驗(yàn) 在一次實(shí)驗(yàn)中小球落入哪個(gè)狹槽是偶然的 但大量小球按槽的分布情況卻是確定的 在中央的槽內(nèi)小球分布得最多 在離中央越遠(yuǎn)的槽內(nèi)小球越少 人們把這種支配大量粒子綜合性質(zhì)和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 2020 2 5 崎山苑工作室 39 統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn) 1 只對(duì)大量偶然的事件才有意義 2 它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律 量變到質(zhì)變 3 總是伴隨著漲落 統(tǒng)計(jì)規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的 這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關(guān)系 一切與熱現(xiàn)象有關(guān)的宏觀量 如P T 的數(shù)值都是統(tǒng)計(jì)平均值 在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內(nèi) 觀測(cè)值都與統(tǒng)計(jì)平均值有偏差 這就是漲落現(xiàn)象 2020 2 5 崎山苑工作室 40 統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn) 1 只對(duì)大量偶然的事件才有意義 2 它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律 量變到質(zhì)變 3 總是伴隨著漲落 統(tǒng)計(jì)規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的 這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關(guān)系 一切與熱現(xiàn)象有關(guān)的宏觀量 如P T 的數(shù)值都是統(tǒng)計(jì)平均值 在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內(nèi) 觀測(cè)值都與統(tǒng)計(jì)平均值有偏差 這就是漲落現(xiàn)象 2020 2 5 崎山苑工作室 41 3 2用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律 由于技術(shù)條件 如高真空技術(shù) 測(cè)量技術(shù)等 的限制 測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn) 直到二十世紀(jì)二十年代才實(shí)現(xiàn) 實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷改善和提高 特別是分子射線實(shí)驗(yàn)技術(shù)的迅速發(fā)展 使麥克斯韋速度分布律得到許多直接的實(shí)驗(yàn)證明 2020 2 5 崎山苑工作室 42 分子射線 molecularray 下圖是產(chǎn)生分子射線實(shí)驗(yàn)裝置示意圖 容器O中貯藏的氣體為平衡態(tài)的氣體 從O中逸出的氣體經(jīng)狹縫S1 S2后形成一窄束分子射線 在用分子射線驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律的實(shí)驗(yàn)中 氣體一般用金屬 如銀 鈹 釷等 蒸氣 2020 2 5 崎山苑工作室 43 葛正權(quán)實(shí)驗(yàn) 我國(guó)物理學(xué)家葛正權(quán)于1934年測(cè)定鉍蒸氣分子的速率分布 其實(shí)驗(yàn)裝置原理圖如下圖 鉍分子由S3到達(dá)P 處所需的時(shí)間為 t D v R轉(zhuǎn)過的弧PP 長(zhǎng)度為 s D 2 D t 2 v D2 2s 一定的s值與一定的v對(duì)應(yīng) 2020 2 5 崎山苑工作室 44 密勒和庫(kù)士實(shí)驗(yàn) 密勒和庫(kù)士在1956年用釷蒸氣的原子射線做實(shí)驗(yàn)精確地驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布律 其實(shí)驗(yàn)裝置原理圖如下圖所示 給定 小孔充分小 改變 測(cè)D上的沉積厚度 就可測(cè)氣體速率分布 2020 2 5 崎山苑工作室 45 粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線 粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線如下所示 2020 2 5 崎山苑工作室 46 粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線 粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線如下所示 2020 2 5 崎山苑工作室 47 3 3玻爾茲曼分布律重力場(chǎng)中微粒按高度的分布 1 玻爾茲曼分布律 Boltzmanndistributionlaw 玻爾茲曼將其推廣到分子在保守力場(chǎng) 如重力場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)的情形 在這種情形下則必須考慮分子在力場(chǎng)中的勢(shì)能Ep 玻耳茲曼推廣 氣體分子速度在區(qū)間vx vx dvx vy vy dvy vz vz dvz 位置在區(qū)間x x dx y y dy z z dz分子數(shù)目為 2020 2 5 崎山苑工作室 48 玻爾茲曼分布律 Boltzmanndistributionlaw 玻爾茲曼分子按能量分布定律 當(dāng)系統(tǒng)在力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí) 其中坐標(biāo)介于區(qū)間x x dx y y dy z z dz內(nèi) 同時(shí)速度介于vx vx dvx vy vy dvy vz vz dvz內(nèi)的分子數(shù)為 n0為在處 單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù) 2020 2 5 崎山苑工作室 49 求單位體積分子數(shù)n將玻爾茲曼分布率積分 有 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布 2020 2 5 崎山苑工作室 50 當(dāng)大氣溫度均勻時(shí) 分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小 在同一高度 2020 2 5 崎山苑工作室 51 等溫大氣壓強(qiáng)公式 高度計(jì)原理 利用 P nkT 假設(shè) 大氣為理想氣體 不同高度處溫度相等 可得 P0 n0kT表示在z 0處的壓強(qiáng) 等溫氣壓公式 2020 2 5 崎山苑工作室 52 恒溫氣壓公式 高度計(jì) 設(shè)溫度不隨高度變化 根據(jù)壓強(qiáng)變化測(cè)高度 實(shí)際溫度也隨高度變化 測(cè)大氣溫度有一定的范圍 是近似測(cè)量 由上式可得高度h為 測(cè)定大氣壓強(qiáng)隨高度的減小 即可判斷上升的高度 2020 2 5 崎山苑工作室 53 恒溫氣壓公式 高度計(jì) 設(shè)溫度不隨高度變化 根據(jù)壓強(qiáng)變化測(cè)高度 實(shí)際溫度也隨高度變化 測(cè)大氣溫度有一定的范圍 是近似測(cè)量 由上式可得高度h為 測(cè)定大氣壓強(qiáng)隨高度的減小 即可判斷上升的高度 2020 2 5 崎山苑工作室 54 3 4能量按自由度均分定理 自由度 degreeoffreedom 某一物體的自由度 就是決定這一物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù) 在直角坐標(biāo)系中 1 對(duì)質(zhì)點(diǎn) x y z共3個(gè)自由度 稱平動(dòng)自由度t 3 但因 所以 直桿需要的自由度數(shù)為 2020 2 5 崎山苑工作室 55 3 對(duì)剛體 確定剛體一軸線5個(gè)自由度 確定剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)加一個(gè)自由度 剛體的自由度數(shù) 分子的自由度 1 單原子分子 氦 He 氖 Ne i 3 2 雙原子分子 H2 O2 CO 剛性 非剛性 3 三原子分子 CO2 H2O 剛性 非剛性 振動(dòng)自由度 2020 2 5 崎山苑工作室 56 分子的自由度 分子種類 單原子分子 雙原子分子 多原子分子 t平動(dòng) r轉(zhuǎn)動(dòng) s振動(dòng) 3 0 0 3 剛性 3 2 0 5 非剛性 3 2 1 6 剛性 非剛性 3 3 0 6 3 3 3n 6 3n 自由度 總結(jié) 2020 2 5 崎山苑工作室 57 能量均分定理 theoremofequipartitionofenergy 椐理想氣體溫度公式 分子平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度關(guān)系為 分子在每一個(gè)自由度上具有相等的平均平動(dòng)動(dòng)能 其大小等于 即分子的平均平動(dòng)動(dòng)能3KT 2是均勻的分配于每一個(gè)自由度的 2020 2 5 崎山苑工作室 58 上述結(jié)論可推廣到振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 得到能均分定理 在溫度為T的平衡態(tài)下 物質(zhì) 氣體 液體 固體 分子的每一個(gè)自由度都具有相等的平均動(dòng)能 其大小等于 對(duì)于有t個(gè)平動(dòng)自由度 s個(gè)振動(dòng)自由度和r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的氣體分子 分子的平均總動(dòng)能為上述三種運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和 每個(gè)振動(dòng)自由度上均分有的振動(dòng)勢(shì)能 2020 2 5 崎山苑工作室 59 在溫度為T的平衡態(tài)下 氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等 都等于 是統(tǒng)計(jì)規(guī)律 只適用于大量分子組成的系統(tǒng) 是氣體分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理可給出嚴(yán)格證明 2020 2 5 崎山苑工作室 60 理想氣體的內(nèi)能 internalenergy 內(nèi)能 熱力學(xué)系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和 包括大量分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能 分子間的勢(shì)能 分子內(nèi)原子內(nèi)及核內(nèi)的能量 這里特指前兩種 用E表示 對(duì)于理想氣體 分子間無相互作用 內(nèi)能只是分子各種形式的動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能的總和 理想氣體內(nèi)能決定于分子的自由度和氣體的溫度 內(nèi)能僅是溫度的單值函數(shù) 與熱力學(xué)溫度成正比 與氣體的壓強(qiáng) 體積無關(guān) 2020 2 5 崎山苑工作室 61 單原子分子氣體 雙原子分子 剛性非剛性 理想氣體的內(nèi)能 2020 2 5 崎山苑工作室 62 理想氣體的熱容量 heatcapacity 熱容量 溫度升高 或降低 1 C物體所吸收 或放出 的熱量 以c表示比熱 則熱容量為 C Mc 摩爾熱容量 1摩爾物質(zhì)溫度升高 或降低 1 C所吸收 或放出 的熱量 以C表示 C c 氣體在等容過程中吸收的熱量全部用來增加內(nèi)能 而在等壓過程中則只有一部分用來增加內(nèi)能 另一部分轉(zhuǎn)化為氣體膨脹時(shí)對(duì)外所作的功 因此 氣體升高一定的溫度 在等壓過程中要比等容過程中吸收更多的熱 定壓熱容量比定容熱容量大 2020 2 5 崎山苑工作室 63 Cv 定容摩爾熱容量 heatc