2013年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題解析匯編03(粵閩桂海川滇黔省會(huì)).doc

2013年全國數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題解析匯編03（粵閩桂海川滇黔省會(huì)）【2013廣州24題】已知AB是O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在O 上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接CD，且CD=OA.（1）當(dāng)OC=時(shí)，求證：CD是O的切線；（2）當(dāng)OC時(shí)，CD所在直線于O相交，設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE. 當(dāng)D為CE中點(diǎn)時(shí)，求ACE的周長； 連接OD，是否存在四邊形AODE為梯形？若存在，請(qǐng)說明梯形個(gè)數(shù)并求此時(shí)AEED的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）連接OD。AB是O的直徑，AB=4OA=OB=OD=2 OD2=4OA=CDCD=2 CD2=4OC= OC2=8OC2=OD2+CD2ODC是直角三角形，且ODC=90ODCDCD是O的切線（2） 連接OE、OD。D為CE的中點(diǎn) DE=CDCD=OA=2，OA=OD=OEDE=OD=OE=2ODE是等邊三角形 DOE=ODE=60CD=OD=2 DOC=OCDODE=DOC+OCD=60DOC=OCD=30過點(diǎn)D作DFOC于F則OF=CF=ODcosDOC=2=OC=OF+CF=2DOC=30，DOE=60 AOE=90AE=ACE的周長=AE+DE+CD+OC+OA=+2+2+2+2=+2+6 存在四邊形AODE為梯形。由題意知，當(dāng)ODAE時(shí)，四邊形AODE為梯形。由對(duì)稱性知，存在兩個(gè)這樣的梯形，即在AC的上下方各一個(gè)。ODAE DOC=EAOODC、AOE是等腰三角形又OA=OE=OD=CD=2ODCAOE OC=AE設(shè)OC=AE=m(m)，則AC=m+2ODAE ，即m2-2m-4=0解得m=或(舍去)AE=DOC=EAO=OCDCE=AEED=CE-CD=AE-CD=-2=AEED=()()=4【2013廣州25題】已知拋物線y1=過點(diǎn)A(1,0)，頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說明理由；（3）若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B，且于該拋物線交于另一點(diǎn)C()，求當(dāng)x1時(shí)y1的取值范圍。解：（1）拋物線過點(diǎn)A（1，0）a+b+c=0b=-a-c（2）點(diǎn)B在第四象限。理由如下：當(dāng)y1=0時(shí)，ax2+bx+c=0由韋達(dá)定理得，x1x2=ac x1x21拋物線過點(diǎn)A（1，0）1是方程的根，令x1=1x21拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線不經(jīng)過第三象限拋物線開口向上，即a0頂點(diǎn)B在第四象限（3）點(diǎn)C在拋物線上b+8=a()2+b+c=b=-8a+c=8點(diǎn)C在直線y2=2x+m上m=-頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，）即B（，），且在直線y2上=-由解方程組得： 或 aca=2，c=6拋物線的解析式為y1=2x2-8x+6易知A（1，0）和C（3，0）是拋物線與x軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，-2）拋物線開口向上當(dāng)x1時(shí)，y1的取值范圍為y1-2【2013福州21題】如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，B=45，P是BC邊上一點(diǎn)，PAD的面積為，設(shè)AB=，AD=（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）若APD=45，當(dāng)時(shí)，求PBPC的值；（3）若APD=90，求的最小值。解：（1）過點(diǎn)A作AEBC于E。B=45，AB=xAE=ABsinB=xAD=y，SAPD=SAPD=ADAE=yx =y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（2）APD=45APB+DPC=135B=45，ADBCBAD=180-B=135BAP+PAD=135ADBCPAD=APBBAP+APB=135BAP=DPC四邊形ABCD是等腰梯形B=C，AB=CDABPPCD，即PBPC=ABCDy=1 x=AB=CD=PBPC=2（3）取AD的中點(diǎn)F，連接FP，過點(diǎn)P作PHAD于H，則PFPH。當(dāng)PF=PH時(shí)，PF有最小值A(chǔ)PD=90，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)PF=AD=yPH=AE=x當(dāng)y=x時(shí)，PF有最小值，即y有最小值y=，即x=y=，得y2=2y0y=，即y的最小值為【2013福州22題】我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y1=ax2+bx(a0) （1）對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=_；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是_（2）繼續(xù)探究，如果b0，且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx(k0)上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；（3）現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A1，A2，An在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，n（n為正整數(shù)，且n12），分別過每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過Dn，求所有滿足條件的正方形邊長。解：（1）當(dāng)頂點(diǎn)為（1，1）時(shí)，則有-=1，a+b=1a=-1當(dāng)頂點(diǎn)為（m，m）時(shí)，則有-=m，am2+bm=m消去b后即得：am+1=0（2）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，過原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）頂點(diǎn)在直線y=kx(k0)上-=a0，b0b=2k（3）頂點(diǎn)An在直線y=x上由(2)可知，b=2拋物線解析式為y=ax2+2x由題意可設(shè)，An坐標(biāo)為（n，n），并設(shè)點(diǎn)Dn所在的那條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m）由(1)可知，a=-這條拋物線的解析式為y=-x2+2x四邊形AnBnCnDn是正方形，AnBnx軸，且CnDn在AnBn右側(cè)點(diǎn)Dn的坐標(biāo)為（2n，n）n=(2n)2+22n得4n=3mm、n都是正整數(shù)，且m12，n12n=3或6或9滿足條件的正方形的邊長為3或6或9【2013成都27題】如圖，O的半徑r=25，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ACBD于點(diǎn)H，P為CA延長線上一點(diǎn)，且PDA=ABD。（1）試判斷PD與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若tanADB=，PA=AH，求BD的長；（3）在(2)的條件下，求四邊形ABCD的面積。解：（1）PD與O相切。理由如下：連接DO延長交O于E，連接AE。DE是O的直徑DAE=90ADE+AED=90PDA=ABD，ABD=AEDADE+PDA=90PDE=90，即PDDEPD與O相切（2）連接BE。ACBDAHD=90tanADB= DH=AHPA=AH PH=PA+AH=AH在RtPHD中，tanP=P=30P+PDH=90，PDH+BDE=90BDE=30DE是O的直徑 DBE=90DE=2r=50BD=DEcosBDE=50=25（3）過點(diǎn)O作OFAC于F，作OGAB于G，則四邊形OFHG是矩形FH=OG由(2)可得，F(xiàn)H=OG=OD=OFAC AC=2AF=2AH+25由tanADB=，設(shè)AH=3m，DH=4m則AC=6m+25，PA=(4-3)mPC=AC+PA=(4+3)m+25在RtPHD中，P=30PD=2DH=8mPD是O的切線，PAC是O的割線PD2=PAPC64m2=(4-3)m(4+3)m+25解得m=0(舍去)或4-3AC=6m+25=24+7S四邊形ABCD=ACBD=(24+7)25=900+【2013成都28題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x2+bx+c(b，c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限。（1）如圖，若該拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）平移(1)中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q。 若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)； 取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ。試探究是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）由題圖知，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，-1），則 解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+2x-1（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則 解得直線AC的解析式為y=x-1設(shè)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），則平移后的拋物線解析式為y=-(x-m)2+m-1聯(lián)立y=x-1可得，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m-2，m-3） 當(dāng)MPQ是等腰直角三角形時(shí)，存在如下三種情況，如圖：一、當(dāng)PM=PQ且P=90時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m+2，m-3）點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x-1上m-3=-(m+2)2+2(m+2)-1，即m2+2m-8=0解得m=2或-4 M（4，-1）或（-2，-7）二、當(dāng)MP=MQ且M=90時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-3），則m-3=-m2+2m-1，即m2-2m-4=0解得m=1+或1-(舍去)M（1+，-2+）或（1-，-2-）三、當(dāng)QM=QP且Q=90時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-5），則m-5=-m2+2m-1，即m2-2m-8=0解得m=4或-2 M（4，-1）或（-2，-7）故，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-1）、（-2，-7）、（1+，-2+）、（1-，-2-）P（m，m-1），Q（m-2，m-3）PQ=2當(dāng)NP+BQ有最小值時(shí)，有最大值N是BC的中點(diǎn) N（4，1），BN=2為定值當(dāng)四邊形BNPQ的周長最小時(shí)，NP+BQ最小取點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B(0，3)，取AB的中點(diǎn)D(2，-1)，連接BD交AC于Q，過點(diǎn)N作NPBD交AC于P，連接DN，如圖。易證得PQDN，PQ=DN四邊形DNPQ是平行四邊形 NP=DQBQ=BQ NP+BQ=DQ+BQ點(diǎn)B、Q、D在同一直線上NP+BQ=BD有最小值易得NP+BQ=BD=2的最大值為【2013貴陽24題】在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究ABC的形狀（按角分類）。（1）當(dāng)ABC的三邊長分別為6，8，9時(shí)，ABC為 三角形；當(dāng)ABC的三邊長分別為6，8，11時(shí)，ABC為 三角形；（2）猜想：當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為鈍角三角形；（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍。解：（1）如圖，ABC為直角三角形，CA=6，BC=8，AB=10。以點(diǎn)C為圓心，6為半徑畫??；以點(diǎn)B為圓心，9為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AC、AB，得到三邊長分別為6，8，9的ABC。顯然，ABC是 銳角 三角形以點(diǎn)C為圓心，6為半徑畫?。灰渣c(diǎn)B為圓心，11為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AC、AB，得到三邊長分別為6，8，11的ABC。顯然，ABC是 鈍角 三角形（2）由(1)可以猜想得到：當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為銳角三角形當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為鈍角三角形（3）根據(jù)構(gòu)成三邊長構(gòu)成三角形的條件知：a+bc c6b-ac c22c6a=2，b=4a2+b2=20當(dāng)c2=20時(shí)，a2+b2=c2，ABC是直角三角形，此時(shí)，c=2當(dāng)c220時(shí)，a2+b2c2，ABC是銳角三角形，此時(shí)，0c2則c的取值范圍為2c2當(dāng)c220時(shí)，a2+b2c2，ABC是鈍角三角形，此時(shí)，c2則c的取值范圍為2c6【2013貴陽25題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線l：y=-x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，一個(gè)高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移。（1）在平移過程中，得到A1B1C1，此時(shí)頂點(diǎn)A1恰好落在直線l上，寫出A1點(diǎn)的坐標(biāo) ；（2）繼續(xù)向右平移，得到A2B2C2，此時(shí)它的外心P恰好落在直線l上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在這樣的點(diǎn)，與(2)中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時(shí)構(gòu)成三個(gè)等腰三角形。如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。解：（1）過A1作x軸的垂線，垂足為D。則A1D=A1B1sin60=3=點(diǎn)A1恰好落在直線l上當(dāng)y=時(shí)，=-x+4，得x=4-A1點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-，）（2）過A2作x軸的垂線，垂足為E；過點(diǎn)B2作A2C2的垂線，垂足為F。由等邊三角形性質(zhì)可知，A2E與B2F的交點(diǎn)就是A2B2C2的外心P。B2E=B2C2=，PB2E=30PE=B2Etan30=點(diǎn)P恰好落在直線l上當(dāng)y=時(shí)，=-x+4，得x=4-P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-，）（3）存在滿足題述條件的點(diǎn)。由直線l得，OM=4，ON=4，易得OMN=30在(2)的條件下，點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合點(diǎn)P是A2B2C2的外心，且在直線l上PA2=PB2=PC2點(diǎn)P（4-，）是滿足條件的點(diǎn)以A2B2為邊，在A2B2C2的另一側(cè)作等邊A2B2Q1，因?yàn)橹本€lA2B2，所以點(diǎn)Q1在直線l上，顯然點(diǎn)Q1是滿足條件的點(diǎn)。過點(diǎn)Q1作Q1H1x軸于H1，易得Q1H1=，由(1)知，點(diǎn)Q1與點(diǎn)A1重合，坐標(biāo)為（4-，）以C2為圓心，3為半徑畫圓，與直線l交于Q2、Q3，顯然點(diǎn)Q2、Q3是滿足條件的點(diǎn)。過點(diǎn)Q2作Q2H2x軸于H2，易得Q2H2=，C2H2=，Q2的坐標(biāo)為(，-)過點(diǎn)Q3作Q3H3x軸于H2，易得Q3H3=，C2H3=，Q3的坐標(biāo)為(，)故，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-，）、（4-，）、(，-)、(，)【2013昆明22題】已知：如圖，AC是O的直徑，BC是O的弦，點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，PBA=C。（1）求證：PB是O的切線；（2）若OPBC，且OP=8，BC=2，求O的半徑。解：（1）連接OB。AC是O的直徑ABC=90OBA+OBC=90OB=OCOBC=COBA+C=90PBA=CPBA+OBA=90OBP=90OBPBPB是O的切線（2）令OP與AB交于點(diǎn)DOPBC，OA=OC，BC=2AD=BD，OD=BC=1OP=8PD=OP-OD=7ABC=90，即ABBC，且OPBCBDOPOBP=90BD2=ODPD(射影定理)AD=BD=OA=O的半徑為【2013昆明23題】如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D。（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）由題意得，A（4，0），C（0，3），B（4，3）拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)可設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-4)拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上由拋物線和矩形的對(duì)稱性可知，頂點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）將點(diǎn)E坐標(biāo)代入解析式可求得a=-拋物線的解析式為y=-x2+3x（2）設(shè)直線AC的解析為y=kx+b，則 解得k=-，b=3直線AC的解析式為y=-x+3則，解方程組得： 或 （此為點(diǎn)A）點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）（3）存在。 過點(diǎn)D作DMx軸交拋物線于M，在x軸上取AN=DM，則四邊形ANMD是平行四邊形易得DM=2，則AN=2當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（6，0）當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，0） 向左平移AC，與x軸交于點(diǎn)N3，與拋物線交于點(diǎn)M，當(dāng)MN3=AD時(shí)，四邊形ADN3M是平行四邊形。過點(diǎn)D作DHx軸于H，過點(diǎn)M作MKx軸于K，易證得AHDN3KMMK=DH=，N3K=AH=3點(diǎn)M在x軸下方點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-由-x2+3x =-得x=2+或2-當(dāng)x=2+時(shí)，MN3AD，故舍去點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2-，-)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(2-，0)N3K=3點(diǎn)N3的坐標(biāo)為(-1-，0)綜上所述，存在以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1-，0)或（2，0）或（6，0）【2013南寧25題】如圖，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，BE交O于點(diǎn)F，連接AF，AF的延長線交O于點(diǎn)P。（1）求證：DE是O的切線；（2）求tanABE的值；（3）若OA=2，求線段AP的長。解：（1）連接AD，OD。AB是O的直徑ADB=90ADBCBAC=90，AB=ACABC是等腰直角三角形點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)DEAC，BAACDEBA點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)DE=AB=OADEOA四邊形AODE是平行四邊形OAE=90，OA=OD四邊形AODE是正方形ODDEDE是O的切線（2）四邊形AODE是正方形AE=OA=ABtanABE=（3）AB是O的直徑AFB=90ABE+FAB=90FAB+PAE=BAC=90PAE=ABEtanPAE=tanABE=tanPAE=，且AE=OA=2PE=1AP=【2013南寧26題】如圖，拋物線y=ax2+c(a0)經(jīng)過C（2，0），D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)。直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行與x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N。（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究： 當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值； 試說明無論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)。解：（1）拋物線過C（2，0），D（0，-1）兩點(diǎn) 解得a=，c=-1拋物線的解析式為y=x2-1（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(m，m2-1)，則OA2=m2+(m2-1)2=m4+m2+1由題意得，AM=m2-1+2=m2+1AM2=(m2+1)2=m4+m2+1OA2=AM2OA=AM（3） 由y=x2-1=0得x=-2或2當(dāng)k=0時(shí)，A（-2，0），B（2，0）AM=2，BN=2=1 由x2-1=kx得，x2-4kx-4=0設(shè)A的坐標(biāo)為(m，km)，B的坐標(biāo)為(n，kn)由韋達(dá)定理得，m+n=4k，mn=-4由題意得，AM=km+2，BN=kn+2=1=1，與k無關(guān)無論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)，此常數(shù)為1.【2013海南23題】如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合），點(diǎn)E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP、DE。（1）求證：BCPDCE；（2）如圖2，直線EP交AD于點(diǎn)F，連接BF、FC，點(diǎn)G是FC與BP的交點(diǎn)。 當(dāng)CD=2PC時(shí)，求證：BPCF； 當(dāng)CD=nPC（n是大于1的實(shí)數(shù)）時(shí)，記BPF的面積為S1，DPE的面積為S2，求證：S1=(n+1)S2.解：（1）ABCD是正方形BC=DC，BCP=DCE=90CE=CPBCPDCE（SAS）（2） CD=2PCP是CD的中點(diǎn)PD=PCPDF=PCE=90，F(xiàn)PD=EPCPDFPCEDF=CEDF=CPBC=CD，BCP=CDF=90BCPCDFPBC=FCDPBC+BPC=90FCD+BPC=90CGP=90BPCE 因?yàn)镃D=nPC，不妨設(shè)PC=m則CE=m，CD=AD=AB=nm，DP=(n-1)mSDPE=DPCES2=(n-1)mm=(n-1)m2CP=CEPCE是等腰直角三角形FPD=CPE=45PDF是等腰直角三角形DF=DP=(n-1)mSPDF=DFDP=(n-1)2m2AF=AD-DF=nm-(n-1)m=mSABF=ABAF=nmm=nm2S梯形ABPD=(AB+DP)AD=nm+(n-1)mnm=(2n2-n) m2S1= SBPF= S梯形ABPD-SABF-SPDF=(