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1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式的證明過(guò)程2會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大(小)值3會(huì)建立函數(shù)不等式模型,利用其解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè),生生、師生交流討論,糾正共性問(wèn)題。二、合作探究探究1滿足不等式成立的a,b,c的范圍是什么?探究2應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式,求最值應(yīng)注意什么?探究3利用不等式求最值的條件是什么?探究4如何求yx2的最小值?例1 已知xR,求函數(shù)yx(1x2)的最大值變式練習(xí)1已知xR,求函數(shù)yx2(1x)的最大值例2 設(shè)a、b、cR,求證:(1)(abc)227;(2)(abc).變式練習(xí)2設(shè)0a1,0b1,0c1,求證:abc(1a)(1b)(1c).例3 已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時(shí),圓柱的體積最大?并求出這個(gè)最大的體積變式練習(xí)3制作一個(gè)圓柱形的飲料盒,如果容積一定,怎樣設(shè)計(jì)它的尺寸,才能使所用的材料最少?參考答案探究1【提示】a,b,c的范圍為a0,b0,c0探究2【提示】三個(gè)正數(shù)的和為定值,積有最大值;積為定值,和有最小值當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)正數(shù)相等時(shí)取得探究3【提示】“一正、二定、三相等”,即(1)各項(xiàng)或各因式為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取到相等的值探究4 【提示】yx233,當(dāng)且僅當(dāng),即x時(shí),等號(hào)成立,ymin3.其中把x2拆成和兩個(gè)數(shù),這樣可滿足不等式成立的條件若這樣變形:yx2x2,雖然滿足了乘積是定值這個(gè)要求,但“三相等”不能成立,因?yàn)閤2時(shí)x無(wú)解,不能求出y的最小值例1【解析】yx(1x2),y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2,y2.當(dāng)且僅當(dāng)2x21x21x2,即x時(shí)取“”號(hào)y.y的最大值為.變式練習(xí)1解:yx2(1x)xx(1x)xx(22x).當(dāng)且僅當(dāng)x22x,即x時(shí)取等號(hào)此時(shí),ymax.例2 【解析】(1)a,b,cR,abc30,從而(abc)290,又30,(abc)23927當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立(2)a,b,cR,(ab)(bc)(ca)30,30,(abc).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立變式練習(xí)2證明:0a0.0a(1a).同理0b(1b),0c(1c).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),以上三個(gè)式子等號(hào)成立將以上三個(gè)不等式相乘得abc(1a)(1b)(1c).例3 【解析】設(shè)圓柱體的底面半徑為r,如圖,由相似三角形的性質(zhì)可得,r(Hh)V圓柱r2h(Hh)2h(0hH)根據(jù)平均不等式可得V圓柱hR2H.當(dāng)且僅當(dāng)h,即hH時(shí),V圓柱最大R2H.變式練習(xí)3解:設(shè)圓柱形飲料盒的體積為V(定值),底面半徑為r,高為h,表面積為S.則Vr2h
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