「競賽 一般物體的平衡答案」.doc

2014第二講 一般物體的平衡一、相關(guān)概念（一）力臂：從轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對轉(zhuǎn)動軸的力矩。記為M=FL，單位“牛米”。一般規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動為正方向，順時針方向轉(zhuǎn)動為負(fù)方向。（三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件作用在物體上各力對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零，即M=0，或M逆=M順。（四）重心：計算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對合力作用點合力矩為零，則合力作用點為重心。2、割補法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：，當(dāng)坐標(biāo)原點移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。二、常用方法巧選轉(zhuǎn)軸簡化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線交點為軸，這些力的力矩為零，式子簡化得多；復(fù)雜的物體系平衡問題有時巧選對象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問題求解；無規(guī)則形狀的物體重心位置計算常用方法是通過割補思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計算。三、鞏固練習(xí)1.如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為M、半徑為R；勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長度為l。求它的重心。RAB【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB連線上，且ACM=BCm；ACBC（2M+m）gMgFABCmgMg（M+m）gR+l/2第二種方法是：將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質(zhì)量為-M的球的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB連線上，且BC（2M+m）=M。不難看出兩種方法的結(jié)果都是。2.將重為30N的均勻球放在斜面上,球用繩子拉住,如圖所示.繩AC與水平面平行，C點為球的最高點斜面傾角為370.求：(1)繩子的張力.(2)斜面對球的摩擦力和彈力. 答案：（1）10N；（2）10N，30N 解：（1）取球與斜面的接觸點為轉(zhuǎn)軸：，得T=10N; （2）取球心為轉(zhuǎn)軸得，f=T=10N;取C點為轉(zhuǎn)軸：，得N=30N. 3.個半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊，球跟墻面和水平地面間的靜摩擦因數(shù)都為,如果在球上加一個豎直向下的力F，如圖所示問；力F離球心的水平的距離s為多大，才能使球做逆時針轉(zhuǎn)動? 解當(dāng)球開始轉(zhuǎn)動時,達到最大靜摩擦分別以球心和球與水平地接觸點為軸列力矩平衡方程.因為最大靜摩擦:將以上方程聯(lián)立可得:4.如圖所示,均勻桿的A端用鉸鏈與墻連接,桿可繞A點自由轉(zhuǎn)動,桿的另一端放在長方形木塊上,不計木塊與地之間的摩擦力,木塊不受其它力作用時,木塊對AB桿的彈力為10N,將木塊向左拉出時,木塊對桿的彈力為9N,那么將木塊向右拉出時,木塊對桿的彈力是多少? （答案：11.25N） 解:木塊靜止時彈力為10N，可得桿重G=20N向左拉時:N1Lcosa+mN1Lsina=Gcosa,或N1msina=Gcosa-N1cosa向右拉時:N2Lcosa=mN2Lsina+Gcosa,或N2msina=N2cosa-Gcosa兩式相比得,得N2=11.25N 5.有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用鉸鏈固定在豎直墻壁上,另一端用水平輕繩BC拉住.板上依次放著1、2、3三上圓柱體,半徑均為r,重均為G.木板與墻的夾角為q(如圖所示).一切摩擦均不計,求BC繩的張力. 答案： 解:此題的解法很多,同學(xué)們可體會到取不同的研究對象,問題的難易程度不同. 解法1:對圓柱體一個一個分析,分別計算出圓柱體的彈力,再對木板分析,有力矩平衡求出BC繩的張力.比較麻煩. 解法2:把三個球作為整體,可求出板對三個球的彈力,再對板有力矩平衡求出BC繩的張力.但彈力的力臂比較難求. 解法3:先對三個球分析,受墻壁的彈力N1=3Gcotq.再把三個圓柱體和木板合為一整體,此整體受到墻壁的彈力N1,BC繩的拉力T,重力3G,A點的作用力N(N對A點的力矩為零).對A點,有力矩平衡式中有上述四式可行. 6.如圖所示，三個完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去之前，A、B兩柱體接觸，但無擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動摩擦因數(shù)為0，柱體與柱體之間的動摩擦因數(shù)為。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，0和必須滿足什么條件？ 分析和解：這是一個物體系的平衡問題，因為A、B、C之間相互制約著而有單個物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設(shè)每個圓柱的重力均為G，首先隔離C球，受力分析如圖1一7所示，由Fcy0可得 再隔留A球，受力分析如圖1一8所示，由FAy=0得 由FAx=0得 由EA0得 由以上四式可得，而，A1A2A3A4A5A6B1B2B3B4B5B6， 7.（第六屆預(yù)賽）有6個完全相同的剛性長條薄片AiBi（i=1，2），其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計，現(xiàn)將此6個薄片架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的小突起B(yǎng)i恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起A6的距離，則薄片A6B6中點所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）壓力。答案：mg/42解析：本題共有六個物體，通過觀察會發(fā)現(xiàn)，A1B1、A2B2、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、A5B5作為一類，對其中一個進行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第i個薄片AB為研究對象，受力情況如圖甲所示，第i個薄片受到前一個薄片向上的支持力Ni、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力Ni+1. 選碗邊B點為軸，根據(jù)力矩平衡有所以 再以A6B6為研究對象，受力情況如圖乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一個薄片A1B1向下的壓力N1、質(zhì)點向下的壓力mg. 選B6點為軸，根據(jù)力矩平衡有由、聯(lián)立，解得 N1=mg/42所以，A1B1薄片對A6B6的壓力為mg/42.8.（第十屆全國決賽）用20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長度為L，橫截面為的正方形，求此橋具有的最大跨度（即橋孔底寬），試畫出該橋的示意圖，并計算跨度與橋孔高度的比值。HS解設(shè)1號右端面到2號右端面的距離為x1，,2號右端面到3號右端面到的距離為x2，以第2號木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡:,可以得出,同理:第3號右與第4號右端的距離為x3, 以第3號木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡 求得第k號的右端面的距離為xk，則第k號由力矩平衡知： 求得：解得則橋拱長的一半為由圖1可知所以。將n=10代入可得9.有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角，如圖所示。（1）若以水平力F作用在桿上，作用點到地面的距離為桿長），要使桿不滑倒，力F最大不能越過多少？（2）若將作用點移到處時，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如圖57甲所示，由平衡條件得 另由上式可知，F(xiàn)增大時，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿足：解得：由上式又可知，當(dāng)時對F就沒有限制了。（1）當(dāng)，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入的表達式得 （2）當(dāng)無論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。10.用兩個爬犁 (雪橇)在水平雪地上運送一根質(zhì)量為m長為l的均勻橫粱，橫梁保持水平，簡化示意示圖，如圖1-41所示每個爬犁的上端A與被運送的橫梁端頭固連，下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸而積很小.一水平牽引力作用于前爬犁作用點到雪地的距離用h表示已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為k1后爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為k2問要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動h應(yīng)滿足什么條件?水平牽引力F應(yīng)多大?設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計分析正確地物體進行受力分析,應(yīng)用物體平衡的條件 是求解平衡問題的基本出發(fā)點,準(zhǔn)確地領(lǐng)會題中隱含信息,則是求解的關(guān)鍵所在,本題體現(xiàn)了這一解題思路.解整個裝置的受力如解圖1-24所示,其中N1與N2分別為雪地對爬犁的支持力,f1和f2分別為摩擦力,根據(jù)平衡條件有 根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系有: h越大以爬犁與地的前接觸點為軸,F的力矩越大.故N2越小.h最大時對應(yīng)N2=0的情況.將N2=0代入以上各式,可以解得: 故:h應(yīng)滿足的條件是:11.半徑為r,質(zhì)量為m的三個剛性球放在光滑的水平面上,兩兩接觸.用一個圓柱形剛性圓筒(上、下均無蓋)將此三球套在筒內(nèi).圓筒的半徑取適當(dāng)值,使得各球間以及球與筒壁之間保持接觸,但互相無作用力.現(xiàn)取一個質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個球,放在三個球的上方正中.四個球和圓筒之間的靜摩擦系數(shù)均為m=(約等于0.775).問R取何值時,用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個球一起提起來? 答案： 解：當(dāng)上面一個小球放上去后,下面三個小球有向外擠的趨勢,互相之間既無彈力也無摩擦力.因此可以通過下面某一個球的球心和上面球的球心的豎直面來進行受力分析,受力圖如圖所示.對上面小球,根據(jù)豎直方向受力平衡有3N2sinq-3f2socq=mg-（或下面的小球，對球與筒接觸點為轉(zhuǎn)軸，力矩平衡N2rsinq+mgr=f2r(1+cosq)）再對四個小球為整體,在豎直方向3f1=4mg-下面的小球,對球心為為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡條件f1r=f2r，得f1=f2-對下面的小球,取f1和f2作用線的交點為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡得N1N2,故大球與小球接觸處先滑動（這是確定何處先滑動的常用方法）而大球沿筒滾動，當(dāng)R最大時：f2=mN2-有上述四式得：128soc2q+24cosq-77=0,解得：cosq=,因，所以。但上面的小球不能太小,否則上球要從下面三個小球之間掉下去,必須使.故得 四、自主招生試題1.（2009清華大學(xué)）質(zhì)量為m、長為L的三根相同的勻質(zhì)細(xì)棒對稱地擱在地面上，三棒的頂端O重合，底端A、B、C的間距均為L，如圖所示。(1)求OA棒頂端所受的作用力F的大小。（2）若有一質(zhì)量也為m的人（視為質(zhì)點）坐在OA棒的中點處，三棒仍然保持不動，這時OA棒頂端所受的作用力F的大小又為多大？（3）在（2）的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？析:(1)(2) 在OC中點坐一人2.（2010北大） 如圖，一個質(zhì)量M、棱邊長為L的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對滑動，求向前和向后施加力的最小值以及對應(yīng)的摩擦因素。設(shè)想立方體開始翻轉(zhuǎn)后，施加的外力F大小和方向會改變，以維持F始終為最小值。3.（2010南大強化）如圖所示，一個質(zhì)量均勻分布的直桿擱置在質(zhì)量均勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切，系統(tǒng)靜止在水平地面上，桿與地面接觸點為A，與環(huán)面接觸點為B。已知兩個物體的質(zhì)量線密度均為，直桿與地面夾角為，圓環(huán)半徑為R，所有接觸點的摩擦力足夠大。求： (1)地給圓環(huán)的摩擦力。(2)求A、B兩點靜摩擦系數(shù)的取值范圍。五、備用hBCA1.（第二屆全國復(fù)賽）如圖所示，勻質(zhì)管子AB長為L，重為G，其A端放在水平面上，而點C則靠在高的光滑鉛直支座上，設(shè)管子與水平面成傾角=45，試求要使管子處于平衡時，它與水平面之間的摩擦因數(shù)的最小值。2.（第十屆全國預(yù)賽）半徑為R質(zhì)量為M1的均勻圓球與一質(zhì)量為M2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點A,并處于平衡,如圖所示.已知懸點A到球心的距為L,不考慮繩的質(zhì)量和繩與球間的摩擦,求懸掛圓球的繩AD與豎直方向AB的夾角q. 答案：q=arcsin 解:球受重力M1g,AD繩受拉力為T,ACE壓力為N,因重力M1g通過圓心,N也通過圓心（但不是水平方向）,所以T也通過圓(三力共點)，OA=L.取整體為研究對象對A點的力矩平衡,M1gOB=M2gBC,或M1gLsinq=M2g(R-Lsinq),得q=arcsin. 3.如圖所示，一根細(xì)長棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長度相等，兩棒限以圖示的豎直平面內(nèi)運動，且不計鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一個適當(dāng)?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯?nèi)）可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正好在A端的正下方。（1）不管兩棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向的范圍內(nèi)？說明道理（不要求推算）。（2）如果AB棒的質(zhì)量為m1，BC棒的質(zhì)量為m2，求此外力的大小和方向。答案：（1）F的方向與AC夾角范圍18.24-45間；（2） 解（1）設(shè)F的方向與AC夾角為q，如果當(dāng)m1質(zhì)量很小時，AB對BC的作用力沿AB方向，則F的方向必交于AB的中點，q=45-tan-1=18.24；如果當(dāng)m2質(zhì)量很小時，則F的方向沿BC方向，q=45。所以F方向的范圍是q=18.24-45間。 （2）以A為轉(zhuǎn)軸，對兩棒有：-以B為轉(zhuǎn)軸，對BC有：-sin(45-q)=sin45cosq-cso45sinq-有式得F的大?。?；F的方向與豎直線的夾角q=.可見，m1=0時，q=18.24；m2=0時，q=45. 4 如圖兩把相同的均勻梯子AC和BC，由C端的鉸鏈 連起來，組成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端離水平地面4m，總重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數(shù)0.6，則人爬到何處梯子就要滑動？解：進行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個整體，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)： AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 設(shè)人到鉸鏈C的距離為 滿足， 所以 整理后：，所以人在爬到梯子中點處時梯子就要滑動5.架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻間的靜摩擦因數(shù)分別為m1、m2。求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。（答案：） 解法1：設(shè)梯子能平衡時與地面所成的最小夾角為a，則有f1=m1N1, f2=m2N2（同時達到最大，與上題有區(qū)別）水平方向：m1N1=N2，豎直方向：m2N2+N1=G，得：G=m2N2+N2/m1-取A點為轉(zhuǎn)軸：-解得，即。 解法2：地對梯和墻對梯的二個全反力與重力必交于一點（如圖的D點）則有：tanj1=m1,tanj2=m2，有幾何關(guān)系：，可解得：。 6.如圖所示梯子長為2l,重量為G，梯子上的人的重量為，人離梯子下端距離為h，梯子與地面夾角為q,梯子下端與地面間的摩擦因數(shù)為m,梯子上端與墻的摩擦力忽略不計，試求梯子不滑動時的h值解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，解方程可以得出：（原答案有誤）所以，只要，梯子就不會滑動。7.如圖所示，方桌重G=100 N，前后腿與地面的動摩擦因數(shù)，桌的寬與高相等。求：(1)拉力F、地面對前、后腿的支持力和摩擦力。(2)設(shè)前、后腿與地面間的靜摩擦因數(shù)。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿為軸向前翻倒？CBA圖1-358.如圖所示，一根細(xì)棒AB，A端用絞鏈與天花板相連,B端用絞鏈與另一細(xì)棒BC相連，二棒長度相等限于在圖示的豎直面內(nèi)運動，且不計絞鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一個適當(dāng)?shù)耐饬?與AB，BC在一個平面內(nèi))可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直且C在A端的正下方 (1)不論二棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內(nèi)?試說明理由 (2)如果AB棒的質(zhì)量為m1，BC棒質(zhì)量為m2求此外力