高等數(shù)學(xué)D86幾何中的應(yīng)用.ppt

第六節(jié) 復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束 一 空間曲線的切線與法平面 二 曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 復(fù)習(xí) 平面曲線的切線與法線 已知平面光滑曲線 切線方程 法線方程 若平面光滑曲線方程為 故在點 切線方程 法線方程 在點 有 有 因 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一 空間曲線的切線與法平面 過點M與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 位置 空間光滑曲線在點M處的切線為此點處割線的極限 平面 點擊圖中任意點動畫開始或暫停 1 曲線方程為參數(shù)方程的情況 切線方程 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 此處要求 也是法平面的法向量 切線的方向向量 稱為曲線的切向量 如個別為0 則理解為分子為0 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 不全為0 因此得法平面方程 說明 若引進向量函數(shù) 則 處的導(dǎo)向量 就是該點的切向量 例1 求圓柱螺旋線 對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程 切線方程 法平面方程 即 即 解 由于 對應(yīng)的切向量為 在 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 2 曲線為一般式的情況 光滑曲線 當 曲線上一點 且有 時 可表示為 處的切向量為 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 則在點 切線方程 法平面方程 有 或 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 也可表為 法平面方程 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 求曲線 在點 M 1 2 1 處的切線方程與法平面方程 切線方程 解法1令 則 即 切向量 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 法平面方程 即 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解法2 方程組兩邊對x求導(dǎo) 得 曲線在點M 1 2 1 處有 切向量 解得 切線方程 即 法平面方程 即 點M 1 2 1 處的切向量 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 曲面的切平面與法線 設(shè)有光滑曲面 通過其上定點 對應(yīng)點M 切線方程為 不全為0 則 在 且 點M的切向量為 任意引一條光滑曲線 下面證明 此平面稱為 在該點的切平面 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 上過點M的任何曲線在該點的切線都 在同一平面上 證 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 在 上 得 令 由于曲線 的任意性 表明這些切線都在以 為法向量 的平面上 從而切平面存在 曲面 在點M的法向量 法線方程 切平面方程 復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束 曲面 時 則在點 故當函數(shù) 法線方程 令 特別 當光滑曲面 的方程為顯式 在點 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時 切平面方程 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 法向量 用 將 法向量的方向余弦 表示法向量的方向角 并假定法向量方向 分別記為 則 向上 復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 求球面 在點 1 2 3 處的切 平面及法線方程 解 所以球面在點 1 2 3 處有 切平面方程 即 法線方程 法向量 令 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例4 確定正數(shù) 使曲面 在點 解 二曲面在M點的法向量分別為 二曲面在點M相切 故 又點M在球面上 于是有 相切 與球面 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 因此有 1 空間曲線的切線與法平面 切線方程 法平面方程 1 參數(shù)式情況 空間光滑曲線 切向量 內(nèi)容小結(jié) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 切線方程 法平面方程 空間光滑曲線 切向量 2 一般式情況 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 空間光滑曲面 曲面 在點 法線方程 1 隱式情況 的法向量 切平面方程 2 曲面的切平面與法線 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 空間光滑曲面 切平面方程 法線方程 2 顯式情況 法線的方向余弦 法向量 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 如果平面 與橢球面 相切 提示 設(shè)切點為 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二法向量平行 切點在平面上 切點在橢球面上 證明曲面 上任一點處的 切平面都通過原點 提示 在曲面上任意取一點 則通過此 作業(yè)P452 3 4 5 8 9 10 2 設(shè)f u 可微 第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束 證明原點坐標滿足上述方程 點的切平面為 1 證明曲面 與定直線平行 證 曲面上任一點的法向量 取定直線的方向向量為 則 定向量 故結(jié)論成立 的所有切平面恒 備用題 機動目錄上