《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案.doc

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教案中衛(wèi)市第一中學(xué)俞清華教學(xué)目標(biāo)：1認知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力。3情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。教學(xué)重點：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。教學(xué)難點：數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（板書）。首先給大家講一個故事：從前有一個員外的兒子學(xué)寫字，當(dāng)老師教他寫數(shù)字的時候，告訴他一、二、三的寫法時，員外兒子很高興，告訴老師他會寫數(shù)字了。過了不久，員外要寫請?zhí)缯堄H朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫請?zhí)?。結(jié)果早晨開始寫，一直到了晚間也沒有寫完，請問同學(xué)們，這是為什么呢？生：因為有姓“萬”的。師：對！有姓“萬”的。員外兒子萬萬也沒有想到“萬”不是一萬橫，而是這么寫的“萬”。通過這個故事，你對員外兒子有何評價呢？生：（學(xué)生的評價主要會有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）師：其實員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯的，但遺憾的是他猜錯了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時候是通過觀察歸納猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過程。那么，我們在以前的學(xué)習(xí)過程中，有沒有也像員外兒子那樣猜想過某些結(jié)論呢？生：有。例如等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項滿足的規(guī)律：，歸納出了它的通項公式的。其實我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫法的方法都是歸納法。那么你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點嗎？生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點：特殊一般。師：對。（投影展示有關(guān)定義）像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？生：（齊答）可靠。師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？生：不可靠。這是因為只考察了部分情況，結(jié)論不一定具有普遍性。師：是不可靠的。不妨再舉一例容易驗證，如果由此作出結(jié)論對于任何，都成立，那就是錯誤的。事實上，。二設(shè)置問題，引導(dǎo)探究師：請問同學(xué)們你們玩過多米諾骨牌嗎？生：（沒）玩過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無論玩沒玩過，下面我們一起來玩一下。（投影儀上進行生動、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時，請思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？生：假設(shè)第張骨牌倒下，保證第張骨牌倒下。師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？生：不是。我們不知道第張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第張骨牌倒下。若第張骨牌倒下，需要第張骨牌倒下；若第張骨牌倒下，需要第張骨牌倒下，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個條件：第一張骨牌倒下。師：大家說有了這兩個條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？生：是。師：上面同學(xué)說得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個條件（投影顯示）第一個條件是：第一張骨牌倒下；第二個條件是：假設(shè)第張骨牌倒下，第張骨牌一定倒下?，F(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明等差數(shù)列通項公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？生：時結(jié)論正確時結(jié)論正確時，結(jié)論正確，時結(jié)論正確時結(jié)論正確師：由于這個過程推理方法是一樣的，能否把這個過程一般化呢？生：假設(shè)時結(jié)論正確時結(jié)論也正確。師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項公式了嗎？三解決問題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書）證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，就是，下面看看是否能推出時等式也成立，那么等于什么？生：。師：哦！看來時等式也成立，這樣做對嗎？生：（齊答）不對。師：注意在證時，一定要用到歸納假設(shè)，時等式成立這一步，因為這樣才能保證遞推，那么與有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說，當(dāng)時，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項公式的正確性了呢？生：時等式成立時等式成立時等式成立所以取任何正整數(shù)等式都成立。師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。（1）證明當(dāng)取第一個值（例如或2等）時結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時結(jié)論正確，證明當(dāng)時結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對從開始的所有正整數(shù)都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來就是“兩個步驟，一個結(jié)論?！睅煟河脭?shù)學(xué)歸納法證題，實質(zhì)是一種什么思想？生：遞推思想。師：在遞推中，兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時投影上注明）師：這兩步可以缺少哪一步嗎？生：（學(xué)生舉例說明，教師點評，投影上也舉出實例，從而明確）兩步缺一不可。師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請同學(xué)們看一道例題。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1。2。3首項是，公比是的等比數(shù)列的通項公式是。四歸納小結(jié)，深化主題師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：1歸納法 特點：特殊一般2數(shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3數(shù)學(xué)歸納法實質(zhì)是遞推思想。五布置作業(yè)： P76 1，2數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教案說明一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用1數(shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式。數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊第二章“極限”中第一部分的知識。通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式、二項式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。2數(shù)學(xué)歸納法對思維發(fā)展的地位與作用人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認同，思維流程通常是觀察歸納猜想證明。猜想的結(jié)論對不對，證明是尤為關(guān)鍵的。運用數(shù)學(xué)歸納法解題時，有助于學(xué)生對等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識加強訓(xùn)練與掌握。對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學(xué)思想和方法，對思維的發(fā)展起到了完善與推動的作用。二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識，更重要的是對學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性；一條暗線：如何驗證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：認知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力；情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。三、學(xué)法、教法特點及預(yù)期效果1學(xué)法指導(dǎo)高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對事物的認識逐步的由感性上升到理性，個體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家奧蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)思點撥練”的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程。在這個過程中對學(xué)生進行以下學(xué)法指導(dǎo)。（1）溫故知新法引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性呢？進而引出數(shù)學(xué)歸納法。（2）體驗感悟法讓學(xué)生認真觀看多米諾骨牌實驗，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法引導(dǎo)學(xué)生主動質(zhì)疑，解決問題，得到方法。（4）練習(xí)法通過類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進一步體會數(shù)學(xué)歸納法原理。2教學(xué)特點本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個原則：一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過程，他們通過吸收與融合原知識的過程來建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認知結(jié)構(gòu)學(xué)說：“所有的認知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展。”數(shù)學(xué)知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數(shù)學(xué)知識必須基于個人對經(jīng)驗的歸納、交流，通過反思來主動建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計是通過等差數(shù)列通項公式的證明及多米諾骨牌實驗引導(dǎo)學(xué)生積極主動的進行建構(gòu)。二是寓教于樂原則。實踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點，將知識性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動學(xué)生的“心理場”。比如，通過講員外兒子學(xué)寫數(shù)字，引進了歸納法的概念，同時學(xué)生也體會到通過觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。3預(yù)期效果通過學(xué)法指導(dǎo)，教法特點實現(xiàn)三重目標(biāo)。四、教學(xué)診斷與評價1教學(xué)診斷證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實現(xiàn)的，第二步是重點也是難點，在驗證命題的正確性時，極易脫離歸納